应用已知函数模型解决实际问题。

俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。教师要准备好教案，这是教师的任务之一。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。您知道教案应该要怎么下笔吗？以下是小编收集整理的“应用已知函数模型解决实际问题”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

§3.2.2函数模型的应用实例
第一课时应用已知函数模型解决实际问题

课前预习学案
一．预习目标：熟悉几种常见的函数增长型
二．预习内容：阅读课本内容思考：主要的函数增长性有哪些
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容
课内探究学案
一．学习目标：能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.
学习重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.
学习难点：将实际问题转变为数学模型.
二．学习过程
解决实际问题的步骤
1）首先建立直角坐标系，画出散点图；
2）根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：
一次函数模型：
二次函数模型：
幂函数模型：
指数函数模型：（＞0，）
利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型；由于尝试的过程计算量较多，可同桌两个同学分工合作，最后再一起讨论确定.

例1某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？

变式：某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程.

例2要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价.

变式：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.

课后练习与提高
一．选择题
1.客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（）
A.B.C.D.
2．一种商品连续两次降价10%后，欲通过两次连续提价恢复原价，则每次应提价（）
A．10%B．20%C．5%D．11.1%
3．今有一组实验数据如下：
1.993.04.05.16.12
1.54.047.51218.01
现准备用下列函数中一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）
A．B．C．D．
二．填空题
4.假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=，那么广告效应为，当A=时，取得最大广告效应.
5．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为2个）经过3小时后，这种细菌可由1个分裂成__________个
三．解答题
6.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨.?
（1）求y关于x的函数；?
（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.?

参考答案

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《用函数模型解决实际问题》教学设计

一名优秀的教师就要对每一课堂负责，教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以更好的帮助学生们打好基础，使教师有一个简单易懂的教学思路。怎么才能让教案写的更加全面呢？经过搜索和整理，小编为大家呈现“《用函数模型解决实际问题》教学设计”，仅供参考，欢迎大家阅读。

《用函数模型解决实际问题》教学设计
用函数模型解决实际问题这部分内容，非常注重贴近实际生活，关注社会热点，要求学生对一些实际例子做出判断、决策，注重培养学生分析问题、解决问题的能力。解决函数建模问题，也就是根据实际问题建立起数学模型来。所谓的数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表达的一种数学结构。函数就是重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行。本节内容是安排在学生刚学完函数的相关知识，为学生建立起函数模型奠定基础。
学生虽然对这种函数建模问题并不陌生，但是要建立起正确的函数模型却不是一件容易的事。这种题型题目较长，相关的内容较多，问题不是一眼就可以看出答案，需要建立的函数模型也多种多样，不少还会涉及到求二次函数的最值问题，学生往往是无从下手，对自己失去信心。针对这种情况，我觉得直接让学生一步到位就找出解决问题的途径是很困难，老师在这里就应该发挥自己的主导地位，带领学生由问题入手，逐步分析，自己设计出一个一个的小问题，最后把这些小问题串起来，把题目中的大问题解决。
用函数模型解决实际问题需要建立的函数模型是多种多样的，只有根据题目的要求建立起适当的函数模型，才能成功地解决问题。教师在授课过程中，要注重分类的思想，帮助学生把函数建模问题分成几类，以方便学生形成自己的知识系统。
一．一次函数模型的应用
某同学为了援助失学儿童，每月将自己的零用钱一相等的数额存入储蓄盒内，准备凑够200元时一并寄出，储蓄盒里原有60元，两个月后盒内有90元。
（1）盒内的钱数（元）与存钱月份数的函数解析式，并画出图象。
（2）几个月后这位同学可以第一次汇款？
这种题型只要建立起一次函数就可以很快地解决问题，而且学生以前也有接触过，对他们而言这种问题难度不大，主要是让他们对函数建模有个感觉。
二．二次函数模型的应用
建立二次函数模型解决实际问题是整本书中出现得最多的一种方法，这种多用于根据二次函数的性质求出最值，求利润问题也多属于这种类型。
某商店进了一批服装，每件售价为90元，每天售出30件，在一定范围内这批服装的售价每降低1元，每天就多售出1件。请写出利润（元）与售价（元）之间的函数关系，当售价为多少元时，每天的利润最大？
学生首次接触这种类型的题，往往是束手无策，这时教师可引导他们从他们最熟悉的问题做起：利润=单件售价×售出件数，设售价为x，则下面只需要找出售出件数即可，而售出件数又与价钱降低的幅度有关，所以设计下列相关问题让学生去找答案：
售价比原定的售价降低了：90－x
售出件数比原来多了：（90－x）×1＝90－x
则现在售出件数为：30＋（90－x）＝120－x
因此，利润y=x（120－x）
只要学生根据这些小问题，一个一个向题目索取答案，那么这道题就可以迎刃而解。
三．分段函数模型的应用
我们国家的税收，邮资的收取，出租车的收费都是按段收费的，可以根据这些现实中的例子让学生写出它们对应的函数，这样学生会更感兴趣，而且也更能感受到数学在实际生活中的广泛应用。
四．指数函数模型的应用
这种函数的应用多用于人口的增长问题，银行用复利计算利息的问题。
按复利计算利息的一种储蓄，设本金为a元，每期利率为r，本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。如果存入本金1000元，每期利率2.25%，计算5期后的本利和是多少？（不计利息税）
这种涉及到建立指数函数模型的问题，学生理解起来相对困难，可以帮助学生从第一期、第二期……求起：
1期后的本利和为a＋a×r＝a（1＋r）
2期后的本利和为a（1＋r）＋a（1＋r）r＝a（1＋r）2
3期后的本利和为a（1＋r）2＋a（1＋r）2×r＝a（1＋r）3
……
x期后的本利和为y＝a（1＋r）x
这样分步骤，学生就很容易理解最终的本利和的函数式是怎么得到的。
根据实际例子建立起适当的函数模型是教学当中的一大难点，只有帮助学生进行分类归纳，并且在授课过程中时刻体现由问题入手，由简单到复杂，学生才能对所学知识更好地掌握，才能在数学学习中体会到其中的乐趣，把数学更好地应用到实际生活中去。

函数模型及其应用

一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，作为高中教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助高中教师掌握上课时的教学节奏。高中教案的内容具体要怎样写呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“函数模型及其应用”，希望对您的工作和生活有所帮助。

函数模型及其应用（1）
【本课重点】：能根据实际问题建立适当的数学模型，重点掌握一次、二次、反比例以及分段函数模型；体会数学建模的基本思想
【预习导引】：
1、某地高山上温度从山脚起每升高100米降低0.7℃。已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃。则此山高米。
2、某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，则生产台计算机的总成本C=
____________（万元），单位成本P=（万元），销售收入R=（万元），利润L=（万元），若要创利不低于100万元，则至少应生产这种计算机______(台)。
3、某汽车运输公司购买了豪华型大客车投入客运，据市场分析，每辆客车的总利润y万元与营运年数x(x)的函数关系式为y=-x2+12x-25,则每辆客车营运年使其营运年平均利润最大。
【典例练讲】：
例1、某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km，慢车到终点需要16min，快车比
慢车晚发3min，且行使10min后到达终点站。试分别写出两车所行路程关于慢车行使时间的函数关系式。两车在何时相遇？相遇时距始发站多远？

例2、某地上年度电价为元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55—0.75元之间，经测算，若电价调至元，则本年度新增用电量亿度与(x-0.4)成反比例，又当x=0.65元时，y=0.8。
（1）求y与x之间的函数关系式。
（2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益=用电量×（实际电价-成本价）]

例3、在经济学中，函数的边际函数定义为，某公司
每月最多生产100台报警系统装置,生产台的收入函数为
（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差。
(1)求利润函数及边际利润函数；
(2)利润函数与边际利润函数是否具有相同的最大值？

例4、经市场调查，某商品在过去100天内的销售和价格均为时间t（天）的函数，且销售量近似地满足g（t）=。前40天价格为，后60天价格为。试写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系，并求最大销售额。

【课后检测】：
1、李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了一段时间，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校，在课堂上，李老师请学生画出自行车行进路程S（km）与行驶时间t(h)的函数图象的示意图，你认为正确的是（）
（A）（B）（C）（D）
2、将进货单价为80元的商品400个，按90元每个售出能全部售出（未售出商品可以原价退货）。已知这种商品每个涨价一元，其销售量就减少20个，为了获得最大利润，售价应定为（）
A、每个110元B、每个105元C、每个100元D、每个95元
3、某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km,按1.8元/km收费。另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（）
A、5~7kmB、9~11kmC、7~9kmD、3~5km
4、假设某做广告的商品的销售收入R与广告费A之间的关系满足（为正常数），那么广告效应为，则当广告费A=______时，取得最大广告效应。
5、某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km,火车10分钟行驶13km后，以120km/h匀速行驶，试写出火车行驶路程S(km)与匀速行驶的时间t（h）之间的函数关系式，并求出火车离开北京2h内行驶的路程。
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6、某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，当顾客在商场内消费一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：
消费金额（元）的范围[200,400)[400,500)[500,700)[700,900)...
获得奖券的金额（元）3060100130...
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2+30=110元设购买商品得到的优惠率＝。试问
（1）购买一件标价为1000元的商品，优惠率是多少？
（2）对于标价在[500，800]内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率？
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7、电信局为了方便客户不同需要，设有两种优惠方案，这两种方案应付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示实线部分（注：图中）试问：
（1）若通话时间为2小时，按方案各付话费多少元？
（2）方案从500分钟后，每分钟收费多少元？
（3）通话时间在什么范围内，方案才会比方案优惠？
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函数模型的应用实例

§3.2.2函数模型的应用实例（2）

学习目标
1.通过一些实例，来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用；
2.初步了解对统计数据表的分析与处理.

学习过程
一、课前准备
（预习教材P104~P106，找出疑惑之处）
阅读：2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件.
这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人.
这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测.

二、新课导学
※典型例题
例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
销售单价/元6789101112
日均销售量/桶480440400360320280240
请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?

变式：某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？

小结：找出实际问题中涉及的函数变量→根据变量间的关系建立函数模型→利用模型解决实际问题→小结：二次函数模型。

例2某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表（身高：cm；体重：kg）
身高60708090100110
体重6.137.909.9912.1515.0217.50
身高120130140150160170
体重20.9226.8631.1138.8547.2555.05
（1）根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式.
（2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重78kg的在校男生的体重是否正常？

小结：根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据→画散点图→选择函数模型→求函数模型→检验→符合实际，用函数模型解释实际问题；不符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止.
※动手试试
练1.某同学完成一项任务共花去9个小时，他记录的完成工作量的百分数如下：
时间/小时123456789
完成
百分数1530456060708090100
（1）如果用来表示h小时后完成的工作量的百分数，请问是多少？求出的解析式，并画出图象；
（2）如果该同学在早晨8：00时开始工作，什么时候他未工作？

练2.有一批影碟（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台售价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较低？

三、总结提升
※学习小结
1.有关统计图表的数据分析处理；
2.实际问题中建立函数模型的过程；

※知识拓展
根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：
①一次函数模型：
②二次函数模型：
③幂函数模型：
④指数函数模型：（＞0，）
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1.向高为H的圆锥形漏斗内注入化学溶液（漏斗下口暂且关闭），注入溶液量V与溶液深度h的大概图象是（）.
2.某种生物增长的数量与时间的关系如下表：
123．．．
138．．．
下面函数关系式中，能表达这种关系的是（）.
A．B．
C．D．
3.某企业近几年的年产值如下图：

则年增长率（增长率=增长值/原产值）最高的是（）.
A.97年B.98年C.99年D.00年
4.某杂志能以每本1.20的价格发行12万本，设定价每提高0.1元，发行量就减少4万本.则杂志的总销售收入y万元与其定价x的函数关系是.
5.某新型电子产品2002年投产，计划2004年使其成本降低36℅.则平均每年应降低成本%.

课后作业
某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件.由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好.为了在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，你能解决这一问题吗？

3.4.2　函数模型及其应用（1）

俗话说，凡事预则立，不预则废。教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，使教师有一个简单易懂的教学思路。教案的内容具体要怎样写呢？小编为此仔细地整理了以下内容《3.4.2　函数模型及其应用（1）》，相信能对大家有所帮助。

3.4.2函数模型及其应用（1）
教学目标：
1．能根据实际问题的情境建立数学模型，利用计算工具，结合对函数性质的研究，给出问题的解答；
2．通过实例，理解一次函数、二次函数等常见函数在解决一些简单的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用；
3．在解决实际问题的过程中，培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.

教学重点：
一次函数、二次函数以及指、对数函数等常见函数的应用．
教学难点：
从生活实例中抽象出数学模型.

教学过程：
一、问题情境
某城市现有人口总数为100万，如果人口的年自然增长率为1.2﹪，问:
（1）写出该城市人口数y(万人)与经历的年数x之间的函数关系式;
（2）计算10年后该城市的人口数；
（3）计算大约多少年后，该城市人口将达到120万?
（4）如果20年后该城市人口数不超过120万，年人口自然增长率应该控制在多少？
二、学生活动
回答上述问题，并完成下列各题：
1．等腰三角形顶角y(单位：度)与底角x的函数关系为．
2．某种茶杯，每个0.5元，把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数，其定义域为．
三、数学应用
例1某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，分别写出总成本C(万元)、单位成本P(万元)、销售收入R(元)以及利润L(万元)关于总产量x台的函数关系式．
例2大气温度y(℃)随着离开地面的高度x(km)增大而降低，到上空11km为止，大约每上升1km，气温降低6℃，而在更高的上空气温却几乎没变(设地面温度为22℃)．
求：（1）y与x的函数关系式；
（2）x＝3.5km以及x＝12km处的气温．
变式：在例2的条件下，某人在爬一座山的过程中，分别测得山脚和山顶的温度为26℃和14.6℃，试求山的高度．
四、建构数学
利用数学某型解决实际问题时，一般按照以下步骤进行：

1．审题：理解问题的实际背景，概括出数学实质，尝试将抽象问题函数化；
2．引进数学符号，建立数学模型，即根据所学知识建立函数关系式，并确定函数的定义域；
3．用数学的方法对得到的数学模型予以解答，求出结果；
4．将数学问题的解代入实际问题进行检验，舍去不合题意的解，并作答.
五、巩固练习
1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企业生产某种产品的数量为x件时的成本函数是C(x)＝200＋10x＋0.5x2(元)，若每售出一件这种商品的收入是200元，那么生产并销售这种商品的数量是200件时，该企业所得的利润可达到元．
2．有m部同样的机器一起工作，需要m小时完成一项任务．设由x部机
器（x为不大于m的正整数）完成同一任务，求所需时间y(小时)与机器的
部数x的函数关系式．
3．A，B两地相距150千米，某人以60千米/时的速度开车从A到B，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A，则汽车离开A地的距离x与时间t的函数关系式为．
4．某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km，慢车到达终点需16min，快车比慢车晚发车3min，且行驶10min到达终点站.试分别写出两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式．两车在何时相遇？相遇时距始发站多远？
5．某产品总成本C(万元)与产量x(台)满足关系C＝3000＋20x－0.1x2，其中0＜x＜240．若每台产品售价25万元，要使厂家不亏本，则最少应生产多少台？
六、要点归纳与方法小结
1．利于函数模型解决实际问题的基本方法和步骤；
2．一次函数、二次函数等常见函数的应用．
七、作业
课本P100－练习1，2，3．