《不等式的基本性质》教学设计。

一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，作为教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，帮助教师掌握上课时的教学节奏。您知道教案应该要怎么下笔吗？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“《不等式的基本性质》教学设计”，相信能对大家有所帮助。

《不等式的基本性质》教学设计

教学目标

知识与技能：理解并掌握不等式的三个性质，能运用性质，用不等号连接某些代数式，进行不等式的变形。

过程与方法：经历自主学习，小组交流合作学习，以及课堂上的成果汇报，培养学生自主分析问题，解决问题的能力，养成与他人交流，共同学习，共同进步的学习方法。

情感态度与价值观：在自主分析，交流合作，成果汇报的活动中，感受学习的乐趣，体会与人合作的快乐。

教学难点：正确运用不等式的性质。

教学重点：理解并掌握不等式的性质3。

教学过程：

一、创设情境引入新课

利用一台平衡的天平提出问题，引入新课

1、给不平衡的天平两边同时加入相同质量的砝码，天平会有什么变化？

2、不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？

3、如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢？通过天平演示，结合自己的观察和思考，让学生感受生活中的不等关系。

二、合作交流探究新知

1、问题情景：数学老师比语文老师年龄小.

1、10年后谁的年龄大?

2、20年之后呢?

3、5年之前呢?

假设数学,语文两位老师的年龄分别为a,b，则ab

a+10/spanb+10

a+20/spanb+20

a-5/spanb-5

2、探索与发现

一组：已知53，则5+23+2

5-23-2

二组：已知-13则-1+23+2

-1-33-3

想一想不等号的方向改变吗？

3、归纳：不等式的性质1:

不等式两边都加(或减去)同一个数(或式子）,不等号的方向不变

如果a＜b,那么a+cb+c,a-cb-c;

如果a＞b,那么a+cb+c,a-cb-c.

不等号方向不改变!

4、大胆猜想

不等式两边都加(或减去)同一个数,不等号方向不改变

不等式两边都加(或减去)同一个数,不等号方向不改变

不等式两边都乘(或除以)同一个数(不为零),

不等号的方向呢？

5、探索与发现

已知4/span6,则

一组：4×26×2;二组：4×(-2)6×(-2);

4÷2/span6÷2;4÷(-2)6÷(-2).

思考不等号方向改变吗？

不等式两边都乘(或除以)一个不为零的数,不等号方向改不改变和什么有关？

6、不等式的性质2:

不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

如果ab,且c0,那么acbc,

如果a/spanb,且c0,那么ac/spanbc,

7、不等式的性质3:

不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

如果ab,且c/span0,那么ac/spanbc,

如果a/spanb,且c/span0,那么ac/spanbc,

三、巩固提高拓展延伸

例1：判断下列各题的推导是否正确？为什么(学生口答)

(1)因为7.5＞5.7，所以-7.5＜-5.7；

(2)因为a+8＞4，所以a＞-4；

(3)因为4a＞4b，所以a＞b；

(4)因为-1＞-2，所以-a-1＞-a-2；

(5)因为3＞2，所以3a＞2a．

(1)正确，根据不等式基本性质3．

(2)正确，根据不等式基本性质1．

(3)正确，根据不等式基本性质2．

(4)正确，根据不等式基本性质1．

(5)不对，应分情况逐一讨论．

当a＞0时，3a＞2a．(不等式基本性质2)

当a=0时，3a=2a．

当a＜0时，3a＜2a．(不等式基本性质3)

考考你！04,哪里错了？

已知mn,两边都乘以4,得4m4n,

两边都减去4m,得04n-4m,

即04(n-m),

两边同时除以(n-m),得04.

等式与不等式的性质

1.不等式的三个性质.

2.等式与不等式的性质对比.

先前后比较,再定不等号

四、总结归纳

1、等式性质与不等式性质的不同之处；

2、在运用“不等式性质3时应注意的问题．学生通过总结，可以帮助自己从整体上把握本节课所学知识培养良好的学习习惯，也为下节课学好解不等式打下基础。

五、布置作业

1、必做题：教科书第134页习题9.1第4、5题

2、选做题：教科书第134页习题9.1第7题．

扩展阅读

高一数学知识点：不等式的基本性质

高一数学知识点：不等式的基本性质

不等式的基本性质知识点
1.不等式的定义：a-b0
ab,a-b=0
a=b,a-b0
a
①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。
作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。
如证明y=x3为单增函数，
设x1,x2isin;(-infin;,+infin;),x1
)2
+
x22]
再由(x1+
)2+
x220,x1-x20,可得f(x1)
2.不等式的性质：
①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有：
(1)ab
b
(2)ab,bc
ac(传递性)
(3)ab
a+cb+c(cisin;R)
(4)c0时，ab
acbc
c0时，ab
ac
运算性质有：
(1)ab,cd
a+cb+d。
(2)ab0,cd0
acbd。
(3)agt,高中历史;b0
anbn(nisin;N,n1)。
(4)ab0
(nisin;N,n1)。
应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“
”和“
”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。
②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：
(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。
(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。
(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。

不等式的性质

作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，高中教师要准备好教案，这是高中教师的任务之一。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？下面是由小编为大家整理的“不等式的性质”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

不等式的性质教学目标
1.理解不等式的性质,把握不等式各个性质的条件和结论之间的逻辑关系,并把握它们的证实方法以及功能、运用;
2.把握两个实数比较大小的一般方法;
3.通过不等式性质证实的学习,提高学生逻辑推论的能力;
4.提高本节内容的学习,;培养学生条理思维的习惯和认真严谨的学习态度;
教学建议
1.教材分析
(1)知识结构
本节首先通过数形结合,给出了比较实数大小的方法,在这个基础上,给出了不等式的性质,一共讲了五个定理和三个推论,并给出了严格的证实。
知识结构图
(2)重点、难点分析
在“不等式的性质”一节中,联系了实数和数轴的对应关系、比较实数大小的方法,复习了初中学过的不等式的基本性质。
不等式的性质是穿越本章内容的一条主线,无论是算术平均数与几何平均数的定理的证实及其应用,不等式的证实和解一些简单的不等式,无不以不等式的性质作为基础。
本节的重点是比较两个实数的大小,不等式的五个定理和三个推论;难点是不等式的性质成立的条件及其它的应用。
①比较实数的大小
教材运用数形结合的观点,从实数与数轴上的点一一对应出发,与初中学过的知识“在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大”利用数轴可以比较数的大小。
指出比较两实数大小的方法是求差比较法:
比较两个实数a与b的大小,归结为判定它们的差a-b的符号,而这又必然归结到实数运算的符号法则.
比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判定它们的差的符号.
②理清不等式的几个性质的关系
教材中的不等式共5个定理3个推论,是从证实过程安排顺序的.从这几个性质的分类来说,可以分为三类:
(Ⅰ)不等式的理论性质:(对称性)
(传递性)
(Ⅱ)一个不等式的性质:
(n∈N,n1)
(n∈N,n1)
(Ⅲ)两个不等式的性质:
2.教法建议
本节课的核心是培养学生的变形技能,练习学生的推理能力.为今后证实不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础.
授课方法可以采取讲授与问答相结合的方式.通过问答形式不断地给学生设置疑问(即:设疑);对教学难点,再由讲授形式解决疑问.(即:解疑).主要思路是:教师设疑→学生讨论→教师启发→解疑.
教学过程可分为:发现定理、定理证实、定理应用,采用由形象思维到抽象思维的过渡,发现定理、证实定理.采用类比联想,变形转化,应用定理或应用定理的证实思路;解决一些较简单的证实题.
第一课时
教学目标
1.把握实数的运算性质与大小顺序间关系;
2.把握求差法比较两实数或代数式大小;
3.强调数形结合思想.
教学重点
比较两实数大小
教学难点
理解实数运算的符号法则
教学方法
启发式
教学过程
一、复习回顾
我们知道,实数与数轴上的点是一一对应的,在数轴上不同的两点中,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如,在右图中,点A表示实数,点B表示实数,点A在点B右边,那么.
我们再看右图,表示减去所得的差是一个大于0的数即正数.一般地:
若,则是正数;逆命题也正确.
类似地,若,则是负数;若,则.它们的逆命题都正确.
这就是说:(打出幻灯片1)
由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了,这也是我们这节课将要学习的主要内容.
二、讲授新课
1.比较两实数大小的方法——求差比较法
比较两个实数与的大小,归结为判定它们的差的符号,而这又必然归结到实数运算的符号法则.
比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判定它们的差的符号.
接下来,我们通过具体的例题来熟悉求差比较法.
2.例题讲解
例1比较与的大小.
分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开,合并同类项之后,判定差值正负,并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.
解:
∴
例2已知,比较(与的大小.
分析:此题与例1基本类似,也属于两个代数式比较大小,但是其中的x有一定的限制,应该在对差值正负判定时引起注重,对于限制条件的应用经常被学生所忽略.
由得,从而
请同学们想一想,在例2中,假如没有这个条件,那么比较的结果如何?
(学生回答:若没有这一条件,则,从而大于或等于)
为了使大家进一步把握求差比较法,我们来进行下面的练习.
三、课堂练习
1.比较的大小.
2.假如,比较的大小.
3.已知,比较与的大小.
要求:学生板演练习,老师讲评,并强调学生注重加限制条件的题目.
课堂小结
通过本节学习,大家要明确实数运算的符号法则,把握求差比较法来比较两实数或代数式的大小.
课后作业
习题6.11,2,3.
板书设计
§6.1.1不等式的性质
1.求差比较法例1学生
……
例2板演

基本不等式

教案课件是老师上课中很重要的一个课件，大家应该要写教案课件了。只有制定教案课件工作计划，新的工作才会如鱼得水！你们会写适合教案课件的范文吗？小编特地为您收集整理“基本不等式”，仅供您在工作和学习中参考。

第04讲：基本不等式
高考《考试大纲》的要求：
①了解基本不等式的证明过程
②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题
（一）基础知识回顾：
1.定理1.如果a,b,那么，（当且仅当_______时，等号成立）.
2.定理2（基本不等式）：如果a,b0,那么______________（当且仅当_______时，等号成立）.
称_______为a,b的算术平均数，_____为a,b的几何平均数。基本不等式又称为________.
3.基本不等式的几何意义是：_________不小于_________.如图

4.利用基本不等式求最大（小）值时，要注意的问题：（一“正”；二“定”；三“相等”）
即:（1）和、积中的每一个数都必须是正数；
（2）求积的最大值时，应看和是否为定值；求和的最小值时，应看积是否为定值，；
简记为：和定积最_____，积定和最______.
（3）只有等号能够成立时，才有最值。
（二）例题分析：
例1．（2006陕西文）设x、y为正数，则有(x+y)(1x＋4y)的最小值为（）
A．15B．12C．9D．6

例2．函数的值域是_________________________.

例3（2001江西、陕西、天津文,全国文、理）设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为，画面的上、下各有8cm空白，左、右各有5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小？

（三）基础训练：
1.设且则必有()
(A)(B)
(C)(D)

2.（2004湖南理）设a＞0,b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）
（A）≥4（B）≥
（C）≥（D）≥
3.（2001春招北京、内蒙、安徽文、理）若为实数，且，则的最小值是（）
（A）18（B）6（C）（D）

4.已知a,b,下列不等式中不正确的是（）
（A）（B）
（C）（D）
5．（2005福建文）下列结论正确的是（）
A．当B．
C．的最小值为2D．当无最大值

6.已知两个正实数满足关系式,则的最大值是_____________.

7.若且则中最小的一个是__________.

8.（2005北京春招文、理）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：。
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到千辆/小时）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？

（四）拓展训练：
1.(2000全国、江西、天津、广东）若,P=,Q=,R=,则（）
（A）RPQ（B）PQR（C）QPR（D）PRQ

2．若正数a、b满足ab=a+b+3，分别求ab与a+b的取值范围。
参考答案
第04讲：基本不等式
（二）例题分析：例1．C；例2．；
例3解：设画面高为xcm，宽为λxcm，则λx2=4840．
设纸张面积为S，有S=(x＋16)(λx＋10)=λx2＋(16λ＋10)x＋160，
将代入上式，得．
当时，即时，S取得最小值．
此时，高：，宽：．
答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小．
（三）基础训练：1.B；2.B；3.B；4.B5．B；6.2;7.
8.解：（Ⅰ）依题意，
（Ⅱ）由条件得
整理得v2－89v+16000,即（v－25）（v－64）0,解得25v64.
答：当v=40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时．

（四）拓展训练：1.B;
2．解：因为a、b是正数，所以，即，
法一：令，则，由ab=a+b+3≥2+3，得，（t0）
解得t≥3,即，所以ab≥9,a+b=ab-3≥6.
法二：令，则由ab=a+b+3可知a+b+3=，得，（x0）
整理得，又x0，解得x≥6,即a+b≥6，所以ab=a+b+3≥9.

答：ab与a+b的取值范围分别是与。

不等式的性质2

不等式的性质2第二课时
教学目标
1.理解同向不等式,异向不等式概念;
2.把握并会证实定理1,2,3;
3.理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据,定理3是移项法则的依据;
4.初步理解证实不等式的逻辑推理方法.
教学重点:定理1,2,3的证实的证实思路和推导过程
教学难点:理解证实不等式的逻辑推理方法
教学方法:引导式
教学过程
一、复习回顾
上一节课,我们一起学习了比较两实数大小的方法,主要根据的是实数运算的符号法则,而这也是推证不等式性质的主要依据,因此,我们来作一下回顾:
这一节课,我们将利用比较实数的方法,来推证不等式的性质.
二、讲授新课
在证实不等式的性质之前,我们先明确一下同向不等式与异向不等式的概念.
1.同向不等式:两个不等号方向相同的不等式,例如:是同向不等式.
异向不等式:两个不等号方向相反的不等式.例如:是异向不等式.
2.不等式的性质:
定理1:若,则
定理1说明,把不等式的左边和右边交换,所得不等式与原不等式异向.在证实时,既要证实充分性,也要证实必要性.
证实:∵,
∴
由正数的相反数是负数,得
说明:定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证,注重向学生强调实数运算的符号法则的应用.
定理2:若,且,则.
证实:∵
∴
根据两个正数的和仍是正数,得
∴说明:此定理证实的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数.
定理3:若,则
定理3说明,不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式与原不等式同向.
证实:∵
∴
说明:(1)定理3的证实相当于比较与的大小,采用的是求差比较法;
(2)不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边,理由是:根据定理3可得出:若,则即.
定理3推论:若.
证实:∵,
∴①
∵
∴②
由①、②得
说明:(1)推论的证实连续两次运用定理3然后由定理2证出;
(2)这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即:两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向;
(3)两个同向不等式的两边分别相减时,就不能作出一般的结论;
(4)定理3的逆命题也成立.(可让学生自证)
三、课堂练习
1.证实定理1后半部分;
2.证实定理3的逆定理.
说明:本节主要目的是把握定理1,2,3的证实思路与推证过程,练习穿插在定理的证实过程中进行.
课堂小结
通过本节学习,要求大家熟悉定理1,2,3的证实思路,并把握其推导过程,初步理解证实不等式的逻辑推理方法.
课后作业
1.求证:若
2.证实:若
板书设计
§6.1.2不等式的性质
1.同向不等式3.定理24.定理35.定理3
异向不等式证实证实推论
2.定理1证实说明说明证实
第三课时
教学目标
1.熟练把握定理1,2,3的应用;
2.把握并会证实定理4及其推论1,2;
3.把握反证法证实定理5.
教学重点:定理4,5的证实.
教学难点:定理4的应用.
教学方法:引导式
教学过程:
一、复习回顾
上一节课,我们一起学习了不等式的三个性质,即定理1,2,3,并初步熟悉了证实不等式的逻辑推理方法,首先,让我们往返顾一下三个定理的基本内容.
(学生回答)
好,我们这一节课将继续推论定理4、5及其推论,并进一步熟悉不等式性质的应用.
二、讲授新课
定理4:若
若
证实:
根据同号相乘得正,异号相乘得负,得
当
说明:(1)证实过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正,异号相乘得负”来完成的;
(2)定理4证实在一个不等式两端乘以同一个正数,不等号方向不变;乘以同一个负数,不等号方向改变.
推论1:若
证实:
①
又
∴②
由①、②可得.
说明:(1)上述证实是两次运用定理4,再用定理2证出的;
(2)所有的字母都表示正数,假如仅有,就推不出的结论.
(3)这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说,两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.
推论2:若
说明:(1)推论2是推论1的非凡情形;
(2)应强调学生注重n∈N的条件.
定理5:若
我们用反证法来证实定理5,因为反面有两种情形,即,所以不能仅仅否定了,就“归谬”了事,而必须进行“穷举”.
说明:假定不大于,这有两种情况:或者,或者.
由推论2和定理1,当时,有;
当时,显然有
这些都同已知条件矛盾
所以.
接下来,我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用.
例2已知
证实:由
例3已知
证实:∵
两边同乘以正数
说明:通过例3,例4的学习,使学生初步接触不等式的证实,为以后学习不等式的证实打下基础.在应用定理4时,应注重题目条件,即在一个等式两端乘以同一个数时,其正负将影响结论.接下来,我们通过练习来进一步熟悉不等式性质的应用.
三、课堂练习
课本P7练习1,2,3.
课堂小结
通过本节学习,大家要把握不等式性质的应用及反证法证实思路,为以后不等式的证实打下一定的基础.
课后作业
课本习题6.14,5.
板书设计
§6.1.3不等式的性质
定理4推论1定理5例3学生
内容内容
证实推论2证实例4练习