高考数学（理科）一轮复习函数及其表示学案带答案。
俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。高中教师要准备好教案，这是高中教师的任务之一。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃，帮助高中教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。关于好的高中教案要怎么样去写呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《高考数学（理科）一轮复习函数及其表示学案带答案》，仅供您在工作和学习中参考。
第二章函数
学案4函数及其表示
导学目标：1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．
自主梳理
1．函数的基本概念
(1)函数定义
设A，B是非空的，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的,在集合B中，称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，x的取值范围A叫做函数的__________，__________________叫做函数的值域．
(2)函数的三要素
__________、________和____________．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有：________、________、________.
(4)函数相等
如果两个函数的定义域和__________完全一致，则这两个函数相等，这是判定两函数相等的依据．
(5)分段函数：在函数的________内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的____________，这样的函数通常叫做分段函数．
分段函数是一个函数，它的定义域是各段取值区间的________，值域是各段值域的________．
2．映射的概念
(1)映射的定义
设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的.?
（2）由映射的定义可以看出，映射是概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合，A、B必须是数集.
自我检测
1．(2011佛山模拟)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列4个图形，其中能表示集合M到N的函数关系的有()
A．0个B．1个
C．2个D．3个
2．(2010湖北)函数y＝1log0.54x－3的定义域为()
A．(34，1)B．(34，＋∞)
C．(1，＋∞)D．(34，1)∪(1，＋∞)
3．(2010湖北)已知函数f(x)＝log3x，x02x，x≤0，则f(f(19))等于()
A．4B.14
C．－4D．－14
4．下列函数中，与函数y＝x相同的函数是()
A．y＝x2xB．y＝(x)2
C．y＝lg10xD．y＝2log2x
5．(2011衡水月考)函数y＝lg(ax2－ax＋1)的定义域是R，求a的取值范围．
探究点一函数与映射的概念
例1(教材改编)下列对应关系是集合P上的函数的是________．
(1)P＝Z，Q＝N*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；
y＝x2，x∈P，y∈Q；
（2）P={-1,1,-2,2}，Q={1，4}，对应关系:f:x→y=x2,x∈P,y∈Q;?
(3)P={三角形}，Q={x|x0}，对应关系f:对P中三角形求面积与集合Q中元素对应.
变式迁移1已知映射f:A→B.其中B．其中A＝B＝R，对应关系f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是()
A．k1B．k≥1
C．k1D．k≤1
探究点二求函数的定义域
例2(1)求函数y＝x＋1＋x－10lg2－x的定义域；
(2)已知函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域．
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变式迁移2已知函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，那么g(x)＝fx21＋lgx＋1的定义域是________________________________________________________________________．
探究点三求函数的解析式
例3(1)已知f(2x＋1)＝lgx，求f(x)；
(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)；
(3)已知f(x)满足2f(x)＋f(1x)＝3x，求f(x)．
变式迁移3(2011武汉模拟)给出下列两个条件：
(1)f(x＋1)＝x＋2x；
(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.试分别求出f(x)的解析式．
探究点四分段函数的应用
例4设函数f(x)＝x2＋bx＋c，x≤0，2，x0.若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为()
A．1B．2C．3D．4
变式迁移4(2010江苏)已知函数f(x)＝x2＋1，x≥0，1，x0，则满足不等式f(1－x2)f(2x)的x的范围是________________．
1．与定义域有关的几类问题
第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；
第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；
第三类是不给出函数的解析式，而由f(x)的定义域确定函数f[g(x)]的定义域或由f[g(x)]的定义域确定函数f(x)的定义域．
第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．
2．解析式的求法
求函数解析式的一般方法是待定系数法和换元法，除此还有代入法、拼凑法和方程组法．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列各组中的两个函数是同一函数的为()
(1)y1＝x＋3x－5x＋3，y2＝x－5；
(2)y1＝x＋1x－1，y2＝x＋1x－1；
(3)f(x)＝x，g(x)＝x2；
(4)f(x)＝3x4－x3，F(x)＝x3x－1；
(5)f1(x)＝(2x－5)2，f2(x)＝2x－5.
A．(1)(2)B．(2)(3)
C．(4)D．(3)(5)
2．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点数目是()
A．1B．0
C．0或1D．1或2
3．(2011洛阳模拟)已知f(x)＝x＋2x≤－1，x2－1x2，2xx≥2，若f(x)＝3，则x的值是()
A．1B．1或32
C．1，32或±3D.3
4．(2009江西)函数y＝lnx＋1－x2－3x＋4的定义域为()
A．(－4，－1)B．(－4,1)
C．(－1,1)D．(－1,1]
5.（2011台州模拟）设f:x→x2是从集合A到集合B的映射，如果B={1，2}，则A∩B为()
A．B．{1}
C．或{2}D．或{1}
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．下列四个命题：(1)f(x)＝x－2＋1－x有意义；(2)函数是其定义域到值域的映射；(3)函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；(4)函数y＝x2，x≥0，－x2，x0的图象是抛物线．其中正确的命题个数是________．
7．设f(x)＝3x＋1x≥0x2x0，g(x)＝2－x2x≤12x1，
则f[g(3)]＝________，g[f(－12)]＝________.
8．(2010陕西)已知函数f(x)＝3x＋2，x1，x2＋ax，x≥1，若f(f(0))＝4a，则实数a＝______.
三、解答题(共38分)
9．(12分)(1)若f(x＋1)＝2x2＋1，求f(x)的表达式；
(2)若2f(x)－f(－x)＝x＋1，求f(x)的表达式；
(3)若函数f(x)＝xax＋b，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)的表达式．
10．(12分)已知f(x)＝x2＋2x－3，用图象法表示函数g(x)＝fx＋|fx|2，并写出g(x)的解析式．
11．(14分)(2011湛江模拟)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R(x)(万元)满足R(x)＝－0.4x2＋4.2x－0.8，0≤x≤5，10.2，x5.假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：
(1)要使工厂有盈利，产品x应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品的售价为多少？
答案自主梳理
1．(1)数集任意一个数x都有唯一确定的数f(x)和它对应定义域函数值的集合{f(x)|x∈A}(2)定义域值域对应关系(3)解析法列表法图象法(4)对应关系(5)定义域对应关系并集并集2.(1)都有唯一一个映射(2)函数非空
自我检测
1．B[对于题图(1)：M中属于(1,2]的元素，在N中没有象，不符合定义；
对于题图(2)：M中属于(43，2]的元素的象，不属于集合N，因此它不表示M到N的函数关系；对于题图(3)：符合M到N的函数关系；对于题图(4)：其象不唯一，因此也不表示M到N的函数关系．]
2．A3.B4.C
5．解函数y＝lg(ax2－ax＋1)的定义域是R，即ax2－ax＋10恒成立．
①当a＝0时，10恒成立；
②当a≠0时，应有a0，Δ＝a2－4a0，
∴0a4.
综上所述，a的取值范围为0≤a4.
课堂活动区
例1解题导引函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应关系是否给出；②根据给出的对应关系，自变量在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．
(2)
解析由于(1)中集合P中元素0在集合Q中没有对应元素，并且(3)中集合P不是数集，所以(1)和(3)都不是集合P上的函数．由题意知，(2)正确．
变式迁移1A[由题意知，方程－x2＋2x＝k无实数根，即x2－2x＋k＝0无实数根．∴Δ＝4(1－k)0，∴k1时满足题意．]
例2解题导引在(2)中函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)是指x的取值范围还是2x＋1的取值范围？f(x)中的x与f(2x＋1)中的2x＋1的取值范围有什么关系？
解(1)要使函数有意义，
应有x＋1≥0，x－1≠0，2－x0，2－x≠1，即x≥－1，x≠1，x2，
解得－1≤x2，x≠1.
所以函数的定义域是{x|－1≤x1或1x2}．
(2)∵f(2x＋1)的定义域为(0,1)，
∴12x＋13，
所以f(x)的定义域是(1,3)．
变式迁移2(－1，－910)∪(－910，2]
解析由0≤x2≤2x＋101＋lgx＋1≠0得－1x≤2且x≠－910.
即定义域为(－1，－910)∪(－910，2]．
例3解题导引函数解析式的类型与求法
(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．
(2)已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围．
(3)已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(－x)、f(1x)等，要根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
解(1)令2x＋1＝t，则x＝2t－1，
∴f(t)＝lg2t－1，
∴f(x)＝lg2x－1，x∈(1，＋∞)．
(2)设f(x)＝ax＋b，(a≠0)
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
＝ax＋b＋5a＝2x＋17，
∴a＝2，b＋5a＝17，
∴a＝2，b＝7，故f(x)＝2x＋7.
(3)2f(x)＋f(1x)＝3x，①
把①中的x换成1x，得
2f(1x)＋f(x)＝3x，②
①×2－②，得3f(x)＝6x－3x，
∴f(x)＝2x－1x.
变式迁移3解(1)令t＝x＋1，
∴t≥1，x＝(t－1)2.
则f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
即f(x)＝x2－1，x∈[1，＋∞)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∴f(x＋2)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c，
则f(x＋2)－f(x)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
∴4a＝4，4a＋2b＝2.∴a＝1，b＝－1.
又f(0)＝3，∴c＝3，∴f(x)＝x2－x＋3.
例4解题导引①本题可以先确定解析式，然后通过解方程f(x)＝x来确定解的个数；也可利用数形结合，更为简洁．
②对于分段函数，一定要明确自变量所属的范围，以便于选择与之相应的对应关系．
③分段函数体现了数学的分类讨论思想，相应的问题处理应分段解决．
C[方法一若x≤0，则f(x)＝x2＋bx＋c.
∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴－42＋b－4＋c＝c，－22＋b－2＋c＝－2，
解得b＝4，c＝2.∴f(x)＝x2＋4x＋2，x≤0，2，x0.
当x≤0，由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x，
解得x＝－2，或x＝－1；
当x0时，由f(x)＝x，得x＝2.
∴方程f(x)＝x有3个解．
方法二由f(－4)＝f(0)且f(－2)＝－2，可得f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴是x＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f(x)的简图(如图所示)．方程f(x)＝x的解的个数就是函数图象y＝f(x)与y＝x的图象的交点的个数，所以有3个解．]
变式迁移4(－1，2－1)
解析函数f(x)＝x2＋1，x≥0，1，x0的图象如图所示：
f(1－x2)f(2x)1－x22x1－x20，
解得－1x2－1.
课后练习区
1．C[(1)定义域不同；(2)定义域不同；(3)对应关系不同；(4)定义域相同，且对应关系相同；(5)定义域不同．]
2．C[有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于x＝1仅有一个函数值．]
3．D[该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)，∴f(x)＝x2＝3，x＝±3，而－1x2，∴x＝3.]
4．C
5．D[由已知x2＝1或x2＝2，解之得，x＝±1或x＝±2，若1∈A，则A∩B＝{1}，若1A，则A∩B＝，
故A∩B＝或{1}．]
6．1
解析(1)x≥2且x≤1，不存在；(2)函数是特殊的映射；(3)该图象是由离散的点组成的；(4)该图象是两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线．故只有(2)正确．
7．73116
8．2
9．解(1)令t＝x＋1，则x＝t－1，∴f(t)＝2(t－1)2＋1＝2t2－4t＋3，∴f(x)＝2x2－4x＋3.………………………………………………………………………………………………(4分)
(2)∵2f(x)－f(－x)＝x＋1，用－x去替换式子中的x，得2f(－x)－f(x)＝－x＋1，……(6分)
即有2fx－f－x＝x＋12f－x－fx＝－x＋1，
解方程组消去f(－x)，得f(x)＝x3＋1.……………………………………………………(8分)
(3)由f(2)＝1得22a＋b＝1，即2a＋b＝2；
由f(x)＝x得xax＋b＝x，变形得x(1ax＋b－1)＝0，解此方程得x＝0或x＝1－ba，…(10分)
又∵方程有唯一解，
∴1－ba＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝12，
∴f(x)＝2xx＋2.……………………………………………………………………………(12分)
10．解函数f(x)的图象如图所示，
……………………………………(6分)
g(x)＝x2＋2x－3x≤－3或x≥10－3x1…………………………………………………(12分)
11．解依题意，G(x)＝x＋2，设利润函数为f(x)，则
f(x)＝－0.4x2＋3.2x－2.8，0≤x≤5，8.2－x，x5.………………………………………………(4分)
(1)要使工厂赢利，则有f(x)0.
当0≤x≤5时，有－0.4x2＋3.2x－2.80，
得1x7，所以1x≤5.………………………………………………………………(8分)
当x5时，有8.2－x0，
得x8.2，所以5x8.2.
综上所述，要使工厂赢利，应满足1x8.2，即产品应控制在大于100台小于820台的范围内．……………………………………………………………………………………(10分)
(2)当0≤x≤5时，f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6.
故当x＝4时，f(x)有最大值3.6.…………………………………………………………(12分)
而当x5时，f(x)8.2－5＝3.2.
所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，x＝4时，每台产品售价为R44＝2.4(万元/百台)＝240(元/台)．……………………………………………………………………………(14分)
延伸阅读
高考数学（理科）一轮复习直线及其方程学案带答案
第九章解析几何
学案47直线及其方程
导学目标：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系．
自主梳理
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴________与直线l________方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．
②倾斜角的范围为______________．
(2)直线的斜率
①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式：
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝______________________.
2．直线的方向向量
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的一个方向向量为P1P2→，其坐标为________________，当斜率k存在时，方向向量的坐标可记为(1，k)．
3．直线的方程和方程的直线
已知二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和坐标平面上的直线l，如果直线l上任意一点的坐标都是方程____________的解，并且以方程Ax＋By＋C＝0的任意一个解作为点的坐标都在__________，就称直线l是方程Ax＋By＋C＝0的直线，称方程Ax＋By＋C＝0是直线l的方程．
4．直线方程的五种基本形式
名称方程适用范围
点斜式不含直线x＝x0
斜截式不含垂直于x轴的直线
两点式不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式平面直角坐标系内的直线都适用
5.线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则x＝，y＝，此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
自我检测
1．(2011银川调研)若A(－2,3)，B(3，－2)，C12，m三点共线，则m的值为()
A.12B．－12C．－2D．2
2．直线l与两条直线x－y－7＝0，y＝1分别交于P、Q两点，线段PQ的中点为(1，－1)，则直线l的斜率为()
A．－32B.32C.23D．－23
3．下列四个命题中，假命题是()
A．经过定点P(x0，y0)的直线不一定都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)来表示
C．与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程xa＋yb＝1表示
D．经过点Q(0，b)的直线都可以表示为y＝kx＋b
4．(2011商丘期末)如果AC0，且BC0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．已知直线l的方向向量与向量a＝(1,2)垂直，且直线l过点A(1,1)，则直线l的方程为()
A．x－2y－1＝0B．2x＋y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0D．x＋2y－3＝0
探究点一倾斜角与斜率
例1已知两点A(－1，－5)、B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求l的斜率．
变式迁移1直线xsinα－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是()
A.0，π2B．(0，π)
C.－π4，π4D.0，π4∪3π4，π
探究点二直线的方程
例2(2011武汉模拟)过点M(0,1)作直线，使它被两直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程．
变式迁移2求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；
(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．
探究点三直线方程的应用
例3过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：
(1)△AOB面积最小时l的方程；
(2)|PA||PB|最小时l的方程．
变式迁移3为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量|AB|＝100m，|BC|＝80m，|AE|＝30m，|AF|＝20m，应如何设计才能使草坪面积最大？
探究点四数形结合思想
例4已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)．
试求y＋3x＋2的最大值与最小值．
变式迁移4直线l过点M(－1,2)且与以点P(－2，－3)、Q(4,0)为端点的线段恒相交，则l的斜率范围是()
A．[－25，5]B．[－25，0)∪(0,5]
C．(－∞，－25]∪[5，＋∞)D．[－25，π2)∪(π2，5]
1．要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的范围为0°≤α180°，熟记斜率公式k＝y2－y1x2－x1，该公式与两点顺序无关．已知两点坐标(x1≠x2)，根据该公式可以求出经过两点的直线斜率，而x1＝x2，y1≠y2时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.
2．当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1求直线方程，但都可以写成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式．直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化成一般式，但是有些直线的一般式方程不能化成点斜式、斜截式、两点式或截距式．
3．使用直线方程时，一定要注意限制条件以免解题过程中丢解，如点斜式的使用条件是直线必须有斜率，截距式的使用条件是截距存在且不为零，两点式的使用条件是直线不与坐标轴垂直．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011临沂月考)已知直线l经过A(2,1)、B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是()
A．(0，π)B.0，π4∪π2，π
C.0，π4D.π4，π2∪π2，π
2．若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()
A.π6，π3B.π6，π2
C.π3，π2D.π6，π2
3．点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，那么2x＋4y的最小值是()
A．22B．42
C．16D．不存在
4．(2011宜昌调研)点A(a＋b，ab)在第一象限内，则直线bx＋ay－ab＝0不经过的象限是()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．(2011包头期末)经过点P(2，－1)，且在y轴上的截距等于它在x轴上的截距的2倍的直线l的方程为()
A．2x＋y＝2B．2x＋y＝4
C．2x＋y＝3D．2x＋y＝3或x＋2y＝0
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m)的直线l的倾斜角为45°，则m＝________.
7．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0(a∈R)的倾斜角的取值范围是________．
8．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是________________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知两点A(－1,2)，B(m,3)，求：
(1)直线AB的斜率k；
(2)求直线AB的方程；
(3)已知实数m∈－33－1，3－1，求直线AB的倾斜角α的范围．
10．(12分)(2011秦皇岛模拟)已知线段PQ两端点的坐标分别为(－1,1)、(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，求m的范围．
11．(14分)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．
学案47直线及其方程
自主梳理
1．(1)①正向向上0°②0°≤α180°(2)①正切值tanα②y2－y1x2－x12.(x2－x1，y2－y1)3.Ax＋By＋C＝0
直线l上4.y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋by－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1(a≠0，b≠0)Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)5.x1＋x22y1＋y22
自我检测
1．A2.D3.D4.C5.D
课堂活动区
例1解题导引斜率与倾斜角常与三角函数联系，本题需要挖掘隐含条件，判断角的范围．关键是熟练掌握好根据三角函数值确定角的范围这一类题型．
解设直线l的倾斜角为α，则直线AB的倾斜角为2α，
由题意可知：tan2α＝－2－－53－－1＝34，∴2tanα1－tan2α＝34.
整理得3tan2α＋8tanα－3＝0.
解得tanα＝13或tanα＝－3，∵tan2α＝340，
∴0°2α90°，∴0°α45°，∴tanα0，
故直线l的斜率为13.
变式迁移1D[直线xsinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα，
又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1.
当0≤k≤1时，倾斜角的范围是0，π4，
当－1≤k0时，倾斜角的范围是3π4，π.]
例2解题导引(1)对直线问题，要特别注意斜率不存在的情况．
(2)求直线方程常用方法——待定系数法．
待定系数法就是根据所求的具体直线设出方程，然后按照它们满足的条件求出参数．
解过点M且与x轴垂直的直线是y轴，它和两已知直线的交点分别是0，103和(0,8)，
显然不满足中点是点M(0,1)的条件．
故可设所求直线方程为y＝kx＋1，与两已知直线l1、l2分别交于A、B两点，联立方程组y＝kx＋1，x－3y＋10＝0，①
y＝kx＋1，2x＋y－8＝0，②
由①解得xA＝73k－1，由②解得xB＝7k＋2.
∵点M平分线段AB，∴xA＋xB＝2xM，
即73k－1＋7k＋2＝0，解得k＝－14.
故所求直线方程为x＋4y－4＝0.
变式迁移2解(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，
若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
∴l的方程为y＝23x，即2x－3y＝0.
若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，
∵l过点(3,2)，∴3a＋2a＝1，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，
则所求直线的倾斜角为2α.
∵tanα＝3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
例3解题导引先设出A、B所在的直线方程，再求出A、B两点的坐标，表示出△ABO的面积，然后利用相关的数学知识求最值．
确定直线方程可分为两个类型：一是根据题目条件确定点和斜率或确定两点，进而套用直线方程的几种形式，写出方程，此法称直接法；二是利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程(含参数或待定系数)，再确定参数值，然后写出方程，这种方法称为间接法．
解设直线的方程为xa＋yb＝1(a2，b1)，
由已知可得2a＋1b＝1.
(1)∵22a1b≤2a＋1b＝1，∴ab≥8.
∴S△AOB＝12ab≥4.
当且仅当2a＝1b＝12，
即a＝4，b＝2时，S△AOB取最小值4，
此时直线l的方程为x4＋y2＝1，
即x＋2y－4＝0.
(2)由2a＋1b＝1，得ab－a－2b＝0，变形得(a－2)(b－1)＝2，
|PA||PB|
＝2－a2＋1－022－02＋1－b2
＝[2－a2＋1][1－b2＋4]
≥2a－24b－1.
当且仅当a－2＝1，b－1＝2，
即a＝3，b＝3时，|PA||PB|取最小值4.
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
变式迁移3解如图所示建立直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，
∴线段EF的方程为x30＋y20＝1(0≤x≤30)．
在线段EF上取点P(m，n)，
作PQ⊥BC于点Q，
PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，
则S＝|PQ||PR|＝(100－m)(80－n)．
又m30＋n20＝1(0≤m≤30)，
∴n＝20(1－m30)．
∴S＝(100－m)(80－20＋23m)
＝－23(m－5)2＋180503(0≤m≤30)．
∴当m＝5时，S有最大值，这时|EP||PF|＝30－55＝5.
所以当矩形草坪的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成5∶1时，草坪面积最大．
例4解题导引解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义，借助数形结合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问题，简化了运算过程，收到事半功倍的效果．
解由y＋3x＋2的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k，由图可知：
kPA≤k≤kPB，由已知可得：
A(1,1)，B(－1,5)，
∴43≤k≤8，
故y＋3x＋2的最大值为8，最小值为43.
变式迁移4C
[如图，过点M作y轴的平行线与线段PQ相交于点N.
kMP＝5，kMQ＝－25.
当直线l从MP开始绕M按逆时针方向旋转到MN时，倾斜角在增大，斜率也在增大，这时，k≥5.当直线l从MN开始逆时针旋转到MQ时，
∵正切函数在(π2，π)上仍为增函数，
∴斜率从－∞开始增加，增大到kMQ＝－25，
故直线l的斜率范围是(－∞，－25]∪[5，＋∞)．]
课后练习区
1．B2.B3.B4.C5.D
6．－27.[34π，π)8.x＋y－5＝0
9．解(1)当m＝－1时，
直线AB的斜率不存在；(1分)
当m≠－1时，k＝1m＋1.(3分)
(2)当m＝－1时，AB的方程为x＝－1，(5分)
当m≠－1时，AB的方程为y－2＝1m＋1(x＋1)，
即y＝xm＋1＋2m＋3m＋1.(7分)
∴直线AB的方程为x＝－1或y＝xm＋1＋2m＋3m＋1.
(8分)
(3)①当m＝－1时，α＝π2；
②当m≠－1时，
∵k＝1m＋1∈(－∞，－3]∪33，＋∞，
∴α∈π6，π2∪π2，2π3.(10分)
综合①②，知直线AB的倾斜角
α∈π6，2π3.(12分)
10.
解直线x＋my＋m＝0恒过A(0，－1)点．(2分)
kAP＝－1－10＋1＝－2，
kAQ＝－1－20－2＝32，(5分)
则－1m≥32或－1m≤－2，
∴－23≤m≤12且m≠0.(9分)
又m＝0时直线x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，
∴所求m的范围是－23≤m≤12.(12分)
11．(1)证明直线l的方程是：k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令x＋2＝01－y＝0，解之得x＝－2y＝1，
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．(4分)
(2)解由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有－1＋2kk≤－21＋2k≥1，解之得k0；(7分)
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.(9分)
(3)解由l的方程，得A－1＋2kk，0，
B(0,1＋2k)．依题意得－1＋2kk0，1＋2k0，
解得k0.(11分)
∵S＝12|OA||OB|
＝121＋2kk|1＋2k|
＝121＋2k2k＝124k＋1k＋4≥12×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k0且4k＝1k，
即k＝12，
∴Smin＝4，此时l：x－2y＋4＝0.(14分)
高考数学（理科）一轮复习椭圆学案带答案
一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助高中教师能够更轻松的上课教学。那么一篇好的高中教案要怎么才能写好呢？以下是小编为大家精心整理的“高考数学（理科）一轮复习椭圆学案带答案”，但愿对您的学习工作带来帮助。
学案51椭圆
导学目标：1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质．
自主梳理
1．椭圆的概念
在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a0，c0，且a，c为常数：
(1)若________，则集合P为椭圆；
(2)若________，则集合P为线段；
(3)若________，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程x2a2＋y2b2＝1
(ab0)y2a2＋x2b2＝1
(ab0)
图形
性
质范围－a≤x≤a
－b≤y≤b－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距|F1F2|＝2c
离心率e＝ca∈(0,1)
a，b，c
的关系c2＝a2－b2
自我检测
1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()
A．23B．6C．43D．12
2．(2011揭阳调研)“mn0”是方程“mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知椭圆x2sinα－y2cosα＝1(0≤α2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是()
A.3π4，πB.π4，3π4
C.π2，πD.π2，3π4
4．椭圆x212＋y23＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的()
A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍
5．(2011开封模拟)椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k等于()
A．－1B．1C.5D．－5
探究点一椭圆的定义及应用
例1(教材改编)一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．
变式迁移1求过点A(2,0)且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．
探究点二求椭圆的标准方程
例2求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)；
(2)经过两点A(0,2)和B12，3.
变式迁移2(1)已知椭圆过(3,0)，离心率e＝63，求椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，1)、P2(－3，－2)，求椭圆的标准方程．
探究点三椭圆的几何性质
例3(2011安阳模拟)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
变式迁移3已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M(在x轴上方)向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，AB∥OM.
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围．
方程思想的应用
例(12分)(2011北京朝阳区模拟)已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为12，且经过点M(1，32)，过点P(2,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在直线l，满足PA→PB→＝PM→2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【答题模板】
解(1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，
由题意得1a2＋94b2＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2.解得a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为x24＋y23＝1.[4分]
(2)若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1，由x24＋y23＝1，y＝kx－2＋1，
得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.[6分]
因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)0.
整理得32(6k＋3)0，解得k－12.[7分]
又x1＋x2＝8k2k－13＋4k2，x1x2＝16k2－16k－83＋4k2，
且PA→PB→＝PM→2，
即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝54，
所以(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝54，
即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝54.[9分]
所以[16k2－16k－83＋4k2－2×8k2k－13＋4k2＋4](1＋k2)＝4＋4k23＋4k2＝54，
解得k＝±12.[11分]
所以k＝12.于是存在直线l满足条件，
其方程为y＝12x.[12分]
【突破思维障碍】
直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题．反映在代数上，就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题，它体现了方程思想的应用，当直线与椭圆相交时，要注意判别式大
于零这一隐含条件，它可以用来检验所求参数的值是否有意义，也可通过该不等式来求参数的范围．对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解，与向量相结合的题目，大都与共线、垂直和夹角有关，若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能，所以在复习过程中要格外重视．
1．求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为x2m＋y2n＝1(m0，n0且m≠n)，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1(A0，B0且A≠B)，这种形式在解题中更简便．
2．椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；另一类是与坐标系有关的性质，如：顶点坐标，焦点坐标等．第一类性质是常数，不因坐标系的变化而变化，第二类性质是随坐标系变化而相应改变．
3．直线与椭圆的位置关系问题．它是高考的热点，通常涉及椭圆的性质、最值的求法和直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等，分析此类问题时，要充分利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011温州模拟)若△ABC的两个顶点坐标分别为A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为()
A.x225＋y29＝1(y≠0)B.y225＋x29＝1(y≠0)
C.x216＋y29＝1(y≠0)D.y216＋x29＝1(y≠0)
2．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于()
A．4B．5C．7D．8
3．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是()
A.32B.22C.2－1D.2
4．(2011天门期末)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()
A．圆B．椭圆
C．双曲线D．抛物线
5．椭圆x225＋y29＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于()
A．2B．4C．8D.32
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．
7．(2011唐山调研)椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．
8.
如图，已知点P是以F1、F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率是______．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知方向向量为v＝(1，3)的直线l过点(0，－23)和椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点，且椭圆的离心率为63.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若已知点D(3,0)，点M，N是椭圆C上不重合的两点，且DM→＝λDN→，求实数λ的取值范围．
10．(12分)(2011烟台模拟)椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜率为22，求椭圆的方程．
11．(14分)(2010福建)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
学案51椭圆
自主梳理
1．椭圆焦点焦距(1)ac(2)a＝c(3)ac
自我检测
1．C2.C3.D4.A5.B
课堂活动区
例1解如图所示，设动圆的圆心为C，半径为r.
则由圆相切的性质知，
|CO1|＝1＋r，|CO2|＝9－r，
∴|CO1|＋|CO2|＝10，
而|O1O2|＝6，
∴点C的轨迹是以O1、O2为焦点的椭圆，其中2a＝10,2c＝6，b＝4.
∴动圆圆心的轨迹方程为
x225＋y216＝1.
变式迁移1解将圆的方程化为标准形式为：
(x＋2)2＋y2＝62，圆心B(－2,0)，r＝6.
设动圆圆心M的坐标为(x，y)，
动圆与已知圆的切点为C.
则|BC|－|MC|＝|BM|，
而|BC|＝6，
∴|BM|＋|CM|＝6.
又|CM|＝|AM|，
∴|BM|＋|AM|＝6|AB|＝4.
∴点M的轨迹是以点B(－2,0)、A(2,0)为焦点、线段AB中点(0,0)为中心的椭圆．
a＝3，c＝2，b＝5.
∴所求轨迹方程为x29＋y25＝1.
例2解题导引确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件(即确定焦点的位置)和两个定形条件(即确定a，b的大小)．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)或y2a2＋x2b2＝1(ab0)，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，且m≠n)．
解(1)若椭圆的焦点在x轴上，
设方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．
∵椭圆过点A(3,0)，∴9a2＝1，
∴a＝3，又2a＝32b，∴b＝1，∴方程为x29＋y2＝1.
若椭圆的焦点在y轴上，设方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．
∵椭圆过点A(3,0)，∴9b2＝1，
∴b＝3，又2a＝32b，
∴a＝9，∴方程为y281＋x29＝1.
综上可知椭圆的方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.
(2)设经过两点A(0,2)，B12，3的椭圆标准方程为mx2＋ny2＝1，将A，B坐标代入方程得4n＝114m＋3n＝1m＝1n＝14，∴所求椭圆方程为x2＋y24＝1.
变式迁移2解(1)当椭圆的焦点在x轴上时，∵a＝3，ca＝63，∴c＝6，从而b2＝a2－c2＝9－6＝3，
∴椭圆的标准方程为x29＋y23＝1.
当椭圆的焦点在y轴上时，
∵b＝3，ca＝63，∴a2－b2a＝63，∴a2＝27.
∴椭圆的标准方程为x29＋y227＝1.
∴所求椭圆的标准方程为x29＋y23＝1或x29＋y227＝1.
(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0且m≠n)．
∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程，
则6m＋n＝1，①3m＋2n＝1，②
①②两式联立，解得m＝19，n＝13.
∴所求椭圆方程为x29＋y23＝1.
例3解题导引(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a、c的关系．
(2)对△F1PF2的处理方法定义式的平方余弦定理面积公式
|PF1|＋|PF2|2＝2a2，4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ，S△＝12|PF1||PF2|sinθ.
(1)解设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，
|PF1|＝m，|PF2|＝n.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncos60°.
∵m＋n＝2a，∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn.
∴4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.
又mn≤m＋n22＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，
∴4a2－4c2≤3a2.∴c2a2≥14，即e≥12.
∴e的取值范围是12，1.
(2)证明由(1)知mn＝43b2，∴S△PF1F2＝12mnsin60°＝33b2，
即△PF1F2的面积只与短轴长有关．
变式迁移3解(1)∵F1(－c,0)，则xM＝－c，yM＝b2a，
∴kOM＝－b2ac.∵kAB＝－ba，OM∥AB，
∴－b2ac＝－ba，∴b＝c，故e＝ca＝22.
(2)设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，
∴r1＋r2＝2a，|F1F2|＝2c，
cosθ＝r21＋r22－4c22r1r2＝r1＋r22－2r1r2－4c22r1r2
＝a2r1r2－1≥a2r1＋r222－1＝0，
当且仅当r1＝r2时，cosθ＝0，∴θ∈[0，π2]．
课后练习区
1．A2.D3.C4.B5.B
6.x236＋y29＝17.2120°8.53
9．解(1)∵直线l的方向向量为v＝(1，3)，
∴直线l的斜率为k＝3.
又∵直线l过点(0，－23)，
∴直线l的方程为y＋23＝3x.
∵ab，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点．
∴c＝2.又∵e＝ca＝63，∴a＝6.∴b2＝a2－c2＝2.
∴椭圆方程为x26＋y22＝1.(6分)
(2)若直线MN⊥y轴，则M、N是椭圆的左、右顶点，
λ＝3＋63－6或λ＝3－63＋6，即λ＝5＋26或5－26.
若MN与y轴不垂直，设直线MN的方程为x＝my＋3(m≠0)．由x26＋y22＝1，x＝my＋3得(m2＋3)y2＋6my＋3＝0.
设M、N坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则y1＋y2＝－6mm2＋3，①
y1y2＝3m2＋3，②
Δ＝36m2－12(m2＋3)＝24m2－360，∴m232.
∵DM→＝(x1－3，y1)，DN→＝(x2－3，y2)，DM→＝λDN→，显然λ0，且λ≠1，
∴(x1－3，y1)＝λ(x2－3，y2)．∴y1＝λy2.
代入①②，得λ＋1λ＝12m2m2＋3－2＝10－36m2＋3.
∵m232，得2λ＋1λ10，即λ2－2λ＋10，λ2－10λ＋10，
解得5－26λ5＋26且λ≠1.
综上所述，λ的取值范围是5－26≤λ≤5＋26，
且λ≠1.(12分)
10．解方法一设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
代入椭圆方程并作差得
a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
而y1－y2x1－x2＝－1，y1＋y2x1＋x2＝kOC＝22，
代入上式可得b＝2a.(4分)
由方程组ax2＋by2＝1x＋y－1＝0，得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，
∴x1＋x2＝2ba＋b，x1x2＝b－1a＋b，
再由|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝2|x2－x1|＝22，
得2ba＋b2－4b－1a＋b＝4，(8分)
将b＝2a代入得a＝13，∴b＝23.
∴所求椭圆的方程是x23＋2y23＝1.(12分)
方法二由ax2＋by2＝1，x＋y＝1
得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.(2分)
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则|AB|＝k2＋1x1－x22＝24b2－4a＋bb－1a＋b2.
∵|AB|＝22，∴a＋b－aba＋b＝1.①(6分)
设C(x，y)，则x＝x1＋x22＝ba＋b，y＝1－x＝aa＋b，
∵OC的斜率为22，∴ab＝22.(9分)
代入①，得a＝13，b＝23.
∴椭圆方程为x23＋2y23＝1.(12分)
11．解方法一(1)依题意，可设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，且可知其左焦点为F′(－2,0)．
从而有c＝2，2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，
解得c＝2，a＝4.又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故椭圆C的方程为x216＋y212＝1.(5分)
(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝32x＋t.
由y＝32x＋t，x216＋y212＝1，得3x2＋3tx＋t2－12＝0.(7分)
因为直线l与椭圆C有公共点，
所以Δ＝(3t)2－4×3×(t2－12)≥0，
解得－43≤t≤43.(9分)
另一方面，由直线OA与l的距离d＝4，
得|t|94＋1＝4，解得t＝±213.(12分)
由于±213[－43，43]，所以符合题意的直线l不存在．(14分)
方法二(1)依题意，可设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，
且有4a2＋9b2＝1，a2－b2＝4.解得b2＝12或b2＝－3(舍去)．
从而a2＝16.(3分)
所以椭圆C的方程为x216＋y212＝1.(5分)
(2)同方法一．
高考数学（理科）一轮复习对数与对数函数学案带答案
俗话说，凡事预则立，不预则废。作为教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。教案的内容要写些什么更好呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“高考数学（理科）一轮复习对数与对数函数学案带答案”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！
学案8对数与对数函数
导学目标：1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a0，a≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型．
自主梳理
1．对数的定义
如果________________，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，______叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的性质(a0且a≠1)
①＝____；②＝____；
③＝____；④＝____.
(2)对数的重要公式
①换底公式：logbN＝________________(a，b均大于零且不等于1)；
②＝，推广＝________.
(3)对数的运算法则
如果a0且a≠1，M0，N0，那么
①loga(MN)＝___________________________；
②logaMN＝______________________；
③logaMn＝__________(n∈R)；
④＝nmlogaM.
3．对数函数的图象与性质
a10a1
图
象
性
质(1)定义域：______
(2)值域：______
(3)过点______，即x＝____时，y＝____
(4)当x1时，______
当0x1时，______(5)当x1时，______当0x1时，______
(6)是(0，＋∞)上的______函数(7)是(0，＋∞)上的______函数
4.反函数
指数函数y＝ax与对数函数____________互为反函数，它们的图象关于直线______对称．
自我检测
1．(2010四川)2log510＋log50.25的值为()
A．0B．1C．2D．4
2．(2010辽宁)设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m的值为()
A.10B．10C．20D．100
3．(2009辽宁)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝12x；当x4时，f(x)＝f(x＋1)．则f(2＋log23)的值为()
A.124B.112C.18D.38
4．(2010安庆模拟)定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上递增，f(13)＝0，则满足0的x的取值范围是()
A．(0，＋∞)B．(0，12)∪(2，＋∞)
C．(0，18)∪(12，2)D．(0，12)
5．(2011台州期末)已知0ab1c，m＝logac，n＝logbc，则m与n的大小关系是______.
探究点一对数式的化简与求值
例1计算：(1)；
(2)12lg3249－43lg8＋lg245；
(3)已知2lgx－y2＝lgx＋lgy，求.
变式迁移1计算：
(1)log2748＋log212－12log242－1；
(2)(lg2)2＋lg2lg50＋lg25.
探究点二含对数式的大小比较
例2(1)比较下列各组数的大小．
①log323与log565；
②log1.10.7与log1.20.7.
(2)已知log12blog12alog12c，比较2b,2a,2c的大小关系．
变式迁移2(1)(2009全国Ⅱ)设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则()
A．abcB．acb
C．bacD．bca
(2)设a，b，c均为正数，且2a＝，(12)b＝，(12)c＝log2c，则()
A．abcB．cba0
C．cabD．bac
探究点三对数函数的图象与性质
例3已知f(x)＝logax(a0且a≠1)，如果对于任意的x∈[13，2]都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．
变式迁移3(2010全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|lgx|，若0ab，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是()
A．(22，＋∞)B．[22，＋∞)
C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)
分类讨论思想的应用
例(12分)已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a0，a≠1)．
(1)解关于x的不等式：loga(1－ax)f(1)；
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是f(x)图象上的两点，求证：直线AB的斜率小于0.
【答题模板】
(1)解∵f(x)＝loga(1－ax)，
∴f(1)＝loga(1－a)．∴1－a0.∴0a1.
∴不等式可化为loga(1－ax)loga(1－a)．
∴1－ax0，1－ax1－a.，即ax1，axa.∴0x1.
∴不等式的解集为(0,1)．[4分]
(2)证明设x1x2，则f(x2)－f(x1)＝－＝.
∵1－ax0，∴ax1.
∴a1时，f(x)的定义域为(－∞，0)；[6分]
0a1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)．
当0a1时，∵x2x10，∴.
∴1.∴0.
∴f(x2)f(x1)，即y2y1.
同理可证，当a1时，也有y2y1.[10分]
综上：y2y1，即y2－y10.∴kAB＝y2－y1x2－x10.
∴直线AB的斜率小于0.[12分]
【突破思维障碍】
解决含参数的对数问题，不可忽视对底数a的分类讨论，即a1或0a1，其次要看定义域，如果将函数变换，务必保证等价性．
1．求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤：
(1)确定定义域；
(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)；
(3)分别确定这两个函数的单调区间；
(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f(g(x))为增函数，若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”．
2．用对数函数的性质比较大小
(1)同底数的两个对数值的大小比较
例如，比较logaf(x)与logag(x)的大小，
其中a0且a≠1.
①若a1，则logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0.
②若0a1，则logaf(x)logag(x)0f(x)g(x)．
(2)同真数的对数值大小关系如图：
图象在x轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0cd1ab.
3．常见对数方程式或对数不等式的解法
(1)形如logaf(x)＝logag(x)(a0且a≠1)等价于f(x)＝g(x)，但要注意验根．对于logaf(x)logag(x)等价于0a1时，a1时，
(2)形如F(logax)＝0、F(logax)0或F(logax)0，一般采用换元法求解．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010北京市丰台区高三一调)设M＝{y|y＝(12)x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N等于()
A．(－∞，0)∪[1，＋∞)B．[0，＋∞)
C．(－∞，1]D．(－∞，0)∪(0,1)
2．(2010全国Ⅰ)设a＝log32，b＝ln2，c＝5－12，则()
A．abcB．bca
C．cabD．cba
3．(2010天津)若函数f(x)＝log2x，x0，log12(－x)，x0，若f(a)f(－a)，则实数a的取值范围是()
A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)
4．(2011济南模拟)设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝lnx，则有()
A．f(13)f(2)f(12)
B．f(12)f(2)f(13)
C．f(12)f(13)f(2)
D．f(2)f(12)f(13)
5．(2011青岛模拟)已知函数f(x)＝ax＋logax(a0，a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为()
A.12B.14C．2D．4
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．2lg5＋23lg8＋lg5lg20＋lg22＝________.
7．(2011湖南师大附中检测)已知函数f(x)＝lgax＋a－2x在区间[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围是____________．
8．已知f(3x)＝4xlog23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝________.
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及y取最大值时x的值．
10．(12分)(2011北京东城1月检测)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)若a1时，求使f(x)0的x的解集．
11．(14分)(2011郑州模拟)已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a1b0)．
(1)求y＝f(x)的定义域；
(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；
(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．
答案自主梳理
1．ax＝N(a0，且a≠1)x＝logaNaN2.(1)①N②0③N④1(2)①logaNlogab②logad(3)①logaM＋logaN②logaM－logaN③nlogaM3.(1)(0，＋∞)(2)R(3)(1,0)10(4)y0y0(5)y0y0(6)增(7)减4.y＝logaxy＝x
自我检测
1．C2.A
3．A[因为32＋log234，故f(2＋log23)＝f(2＋log23＋1)＝f(3＋log23)．又3＋log234，故f(3＋log23)＝123＋log23＝12313＝124.]
4．B[由题意可得：f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，f(|log18x|)f(13)，f(x)在[0，＋∞)上递增，于是|log18x|13，解得x的取值范围是(0，12)∪(2，＋∞)．]
5．mn
解析∵m0，n0，∵mn＝logaclogcb＝logablogaa＝1，∴mn.
课堂活动区
例1解题导引在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化．
解(1)方法一利用对数定义求值：
设＝x，
则(2＋3)x＝2－3＝12＋3＝(2＋3)－1，
∴x＝－1.
方法二利用对数的运算性质求解：
＝
＝＝－1.
(2)原式＝12(lg32－lg49)－43lg812＋
12lg245＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)
＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5
＝12lg2＋12lg5
＝12lg(2×5)＝12lg10＝12.
(3)由已知得lg(x－y2)2＝lgxy，
∴(x－y2)2＝xy，即x2－6xy＋y2＝0.
∴(xy)2－6(xy)＋1＝0.∴xy＝3±22.
∵x－y0，x0，y0，∴xy1，∴xy＝3＋22，
∴log(3－22)xy＝log(3－22)(3＋22)
＝log3－2213－22＝－1.
变式迁移1解(1)原式＝log2748＋log212－log242－log22
＝log27×1248×42×2＝log2122＝log22－32＝－32.
(2)原式＝lg2(lg2＋lg50)＋lg25
＝21g2＋lg25＝lg100＝2.
例2解题导引比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较．
解(1)①∵log323log31＝0，
而log565log51＝0，∴log323log565.
②方法一∵00.71,1.11.2，
∴0log0.71.1log0.71.2.
∴1log0.71.11log0.71.2，
由换底公式可得log1.10.7log1.20.7.
方法二作出y＝log1.1x与y＝log1.2x的图象，
如图所示，两图象与x＝0.7相交可知log1.10.7log1.20.7.
(2)∵y＝log12x为减函数，
且log12blog12alog12c，∴bac.
而y＝2x是增函数，∴2b2a2c.
变式迁移2(1)A[a＝log3π1，b＝12log23，则12b1，c＝12log3212，∴abc.]
(2)A[∵a，b，c均为正，
∴log12a＝2a1，log12b＝(12)b∈(0,1)，
log2c＝(12)c∈(0,1)．
∴0a12，12b1,1c2.
故abc.]
例3解题导引本题属于函数恒成立问题，即对于x∈[13，2]时，|f(x)|恒小于等于1，恒成立问题一般有两种思路：一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题．由于本题底数a为参数，需对a分类讨论．
解∵f(x)＝logax，
则y＝|f(x)|的图象如右图．
由图示，可使x∈[13，2]时恒有|f(x)|≤1，
只需|f(13)|≤1，即－1≤loga13≤1，
即logaa－1≤loga13≤logaa，
亦当a1时，得a－1≤13≤a，即a≥3；
当0a1时，得a－1≥13≥a，得0a≤13.
综上所述，a的取值范围是(0，13]∪[3，＋∞)．
变式迁移3C
[画出函数f(x)＝|lgx|的图象如图所示．∵0ab，f(a)＝f(b)，∴0a1，b1，∴lga0，lgb0.由f(a)＝f(b)，
∴－lga＝lgb，ab＝1.
∴b＝1a，∴a＋2b＝a＋2a，
又0a1，函数t＝a＋2a在(0,1)上是减函数，
∴a＋2a1＋21＝3，即a＋2b3.]
课后练习区
1．C[∵x≥0，∴y＝(12)x∈(0,1]，∴M＝(0,1]．
当0x≤1时，y＝log2x∈(－∞，0]，即N＝(－∞，0]．∴M∪N＝(－∞，1]．]
2．C[∵1a＝log231，1b＝log2e1，log23log2e.
∴1a1b1，∴0ab1.
∵a＝log32log33＝12，∴a12.
b＝ln2lne＝12，∴b12.
c＝5－12＝1512，∴cab.]
3．C[①当a0时，f(a)＝log2a，f(－a)＝，
f(a)f(－a)，即log2a＝log21a，
∴a1a，解得a1.
②当a0时，f(a)＝，f(－a)＝log2(－a)，
f(a)f(－a)，即log2(－a)＝，
∴－a1－a，解得－1a0，
由①②得－1a0或a1.]
4．C[由f(2－x)＝f(x)知f(x)的图象关于直线x＝2－x＋x2＝1对称，又当x≥1时，f(x)＝lnx，所以离对称轴x＝1距离大的x的函数值大，
∵|2－1||13－1||12－1|，
∴f(12)f(13)f(2)．]
5．C[当x0时，函数ax，logax的单调性相同，因此函数f(x)＝ax＋logax是(0，＋∞)上的单调函数，f(x)在[1,2]上的最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a2＋a＋loga2，由题意得a2＋a＋loga2＝6＋loga2.即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)．]
6．3
7．(1,2)
解析因为f(x)＝lga＋a－2x在区间[1,2]上是增函数，所以g(x)＝a＋a－2x在区间[1,2]上是增函数，且g(1)0，于是a－20，且2a－20，即1a2.
8．2008
解析令3x＝t，f(t)＝4log2t＋233，
∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4×(1＋2＋…＋8)＋8×233＝4×36＋1864＝2008.
9．解∵f(x)＝2＋log3x，
∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝log23x＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.……(4分)
∵函数f(x)的定义域为[1,9]，
∴要使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有意义，必须1≤x2≤9，1≤x≤9，∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，(8分)
∴6≤(log3x＋3)2－3≤13.
当log3x＝1，即x＝3时，ymax＝13.
∴当x＝3时，函数y＝[f(x)]2＋f(x2)取最大值13.………………………………………(12分)
10．解(1)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，则x＋10，1－x0，解得－1x1.
故所求函数f(x)的定义域为{x|－1x1}．………………………………………………(4分)
(2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1x1}，
且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]
＝－f(x)，故f(x)为奇函数．………………………………………………………………(8分)
(3)因为当a1时，f(x)在定义域{x|－1x1}内是增函数，所以f(x)0x＋11－x1.
解得0x1.所以使f(x)0的x的解集是{x|0x1}．…………………………………(12分)
11．解(1)由ax－bx0，得(ab)x1，且a1b0，得ab1，所以x0，即f(x)的定义域为(0，＋∞)．…………………………………………………………………………………………(4分)
(2)任取x1x20，a1b0，则0，，所以0，
即．故f(x1)f(x2)．
所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．………………………………………………………(8分)
假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使直线平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f(x)是增函数矛盾．
故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴．…………(10分)
(3)因为f(x)是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)f(1)．这样只需f(1)＝lg(a－b)≥0，即当a≥b＋1时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．……………………………………………(14分)
高考数学（理科）一轮复习幂函数学案含答案
学案9幂函数
导学目标：1.了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，了解它们的变化情况．
自主梳理
1．幂函数的概念
形如______的函数叫做幂函数，其中____是自变量，____是常数．
2．幂函数的性质
(1)五种常见幂函数的性质，列表如下：
定义域值域奇偶性单调性过定点
y＝xRR奇?↗(1,1)
y＝x2R[0，＋∞)偶[0，＋∞)↗
(－∞，0]↙
y＝x3RR奇?↗
y＝
[0，＋∞)[0，＋∞)非奇
非偶[0，＋∞)↗
y＝x－1(－∞，0)
∪(0，＋∞)(－∞，0)
∪(0，＋∞)奇(－∞，0)↙
(0，＋∞)↙
(2)所有幂函数在________上都有定义，并且图象都过点(1,1)，且在第____象限无图象．
(3)α0时，幂函数的图象通过点________________，并且在区间(0，＋∞)上是________，α0时，幂函数在(0，＋∞)上是减函数，图象________原点．
自我检测
1．(2011石家庄月考)如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±12四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为()
A．－2，－12，12，2
B．2，12，－12，－2
C．－12，－2,2，12
D．2，12，－2，－12
2．已知函数：①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x－1；④y＝.则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是()
A．②①③④B．②③①④
C．④①③②D．④③①②
3．(2011沧州模拟)设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为()
A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3
4．与函数y＝xx＋1的图象形状一样的是()
A．y＝2xB．y＝log2xC．y＝1xD．y＝x＋1
5．已知点(33，33)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式是()
A．f(x)＝x3B．f(x)＝x－3
C．f(x)＝D．f(x)＝
探究点一幂函数的定义与图象
例1已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点(2，14)．
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)求当x为何值时：①f(x)g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)g(x)．
变式迁移1若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，14)在幂函数g(x)的图象上，定义h(x)＝f(x)，f(x)≤g(x)，g(x)，f(x)g(x)，
试求函数h(x)的最大值以及单调区间．
探究点二幂函数的单调性
例2比较下列各题中值的大小．
(1)，；(2)，；
(3)，；(4)，和.
变式迁移2(1)比较下列各组值的大小：
①________；
②0.20.5________0.40.3.
(2)已知(0.71.3)m(1.30.7)m，则m的取值范围是__________________________．
探究点三幂函数的综合应用
例3(2011葫芦岛模拟)已知函数f(x)＝(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足的a的范围．
变式迁移3已知幂函数f(x)＝(m∈N*)
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)f(a－1)的实数a的取值范围．
1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．
2．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．右图是函数y＝(m，n∈N*，m、n互质)的图象，则()
A．m，n是奇数，且mn1
B．m是偶数，n是奇数，且mn1
C．m是偶数，n是奇数，且mn1
D．m是奇数，n是偶数，且mn1
2．(2010陕西)下列四类函数中，具有性质“对任意的x0，y0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是()
A．幂函数B．对数函数
C．指数函数D．余弦函数
3．下列函数图象中，正确的是()
4．(2010安徽)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是()
A．acbB．abc
C．cabD．bca
5．下列命题中正确的是()
①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；
②幂函数的图象不可能在第四象限；
③当n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；
④幂函数y＝xn当n0时是增函数；
⑤幂函数y＝xn当n0时在第一象限内函数值随x值的增大而减小．
A．①和④B．④和⑤
C．②和③D．②和⑤
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2011邯郸模拟)若幂函数y＝的图象不经过原点，则实数m的值为________．
7．已知a＝xα，b＝，c＝，x∈(0,1)，α∈(0,1)，则a，b，c的大小顺序是________．
8．已知函数f(x)＝xα(0α1)，对于下列命题：①若x1，则f(x)1；②若0x1，则0f(x)1；③当x0时，若f(x1)f(x2)，则x1x2；④若0x1x2，则f(x1)x1f(x2)x2.
其中正确的命题序号是________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)设f(x)是定义在R上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x1时，y＝f(x)的表达式是幂函数，且经过点(12，18)．求函数在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的表达式．
10．(12分)已知f(x)＝(n＝2k，k∈Z)的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x2－x)f(x＋3)．
11．(14分)(2011荆州模拟)已知函数f(x)＝(k∈Z)满足f(2)f(3)．
(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式；
(2)对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q0，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在区间[－1,2]上的值域为[－4，178]？若存在，求出q；若不存在，请说明理由．
答案自主梳理
1．y＝xαxα2.(2)(0，＋∞)四(3)(0,0)，(1,1)增函数不过
自我检测
1．B[方法一由幂函数的图象与性质，n0时不过原点，故C3，C4对应的n值均为负，C1，C2对应的n值均为正；
由增(减)快慢知n(C1)n(C2)n(C3)n(C4)．
故C1，C2，C3，C4的n值依次为
2，12，－12，－2.
方法二作直线x＝2分别交C1，C2，C3，C4于点A1，A2，A3，A4，则其对应点的纵坐标显然为22,，，2－2，故n值分别为2，12，－12，－2.]
2．D[第一个图象过点(0,0)，与④对应；第二个图象为反比例函数图象，表达式为y＝kx，③y＝x－1恰好符合，
∴第二个图象对应③；
第三个图象为指数函数图象，表达式为y＝ax，且a1，①y＝2x恰好符合，∴第三个图象对应①；
第四个图象为对数函数图象，表达式为y＝logax，且a1，②y＝log2x恰好符合，∴第四个图象对应②.
∴四个函数图象与函数序号的对应顺序为④③①②.]
3．A4.C5.B
课堂活动区
例1解(1)设f(x)＝xα，
∵图象过点(2，2)，故2＝(2)α，
解得α＝2，∴f(x)＝x2.
设g(x)＝xβ，∵图象过点(2，14)，
∴14＝2β，解得β＝－2.
∴g(x)＝x－2.
(2)在同一坐标系下作出f(x)＝x2与g(x)＝x－2的图象，如图所示．
由图象可知，f(x)，g(x)的图象均过点(－1，1)和(1,1)．
∴①当x1，或x－1时，f(x)g(x)；
②当x＝1，或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
③当－1x1且x≠0时，f(x)g(x)．
变式迁移1解求f(x)，g(x)解析式及作出f(x)，g(x)的图象同例1，
如例1图所示，
则有：h(x)＝x－2，x－1或x1，x2，－1≤x≤1.
根据图象可知函数h(x)的最大值为1，单调增区间为(－∞，－1)和(0,1)；单调减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．
例2解题导引比较两个幂的大小关键是搞清楚是底数相同，还是指数相同，若底数相同，利用指数函数的性质；若指数相同，利用幂函数的性质；若底数、指数皆不相同，考虑用中间值法，常用0和1“搭桥”进行分组．
解(1)函数y＝3x是增函数，∴30.830.7.
(2)函数y＝x3是增函数，∴0.2130.233.
(3)∵，
∴.
(4)＝1；0＝1；
0，∴.
变式迁移2(1)①②
(2)m0
解析根据幂函数y＝x1.3的图象，
当0x1时，0y1，∴00.71.31.
又根据幂函数y＝x0.7的图象，
当x1时，y1，∴1.30.71.
于是有0.71.31.30.7.
对于幂函数y＝xm，由(0.71.3)m(1.30.7)m知，当x0时，随着x的增大，函数值也增大，∴m0.
例3解∵函数f(x)在(0，＋∞)上递减，
∴m2－2m－30，解得－1m3.
∵m∈N*，∴m＝1,2.
又函数的图象关于y轴对称，
∴m2－2m－3是偶数，
而22－2×2－3＝－3为奇数，
12－2×1－3＝－4为偶数，
∴m＝1.
而y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，
∴等价于a＋13－2a0，
或0a＋13－2a，或a＋103－2a，
解得a－1或23a32.
故a的范围为{a|a－1或23a32}．
变式迁移3解(1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，
而m与m＋1中必有一个为偶数，
∴m(m＋1)为偶数．
∴函数f(x)＝(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
(2)∵函数f(x)经过点(2，2)，
∴2＝，即.
∴m2＋m＝2.
解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1.
由f(2－a)f(a－1)得2－a≥0，a－1≥02－aa－1.
解得1≤a32.
∴a的取值范围为[1，32)．
课后练习区
1．C[由图象知，函数为偶函数，
∴m为偶数，n为奇数．
又函数图象在第一限内上凸，∴mn1.]
2．C[∵(x＋y)α≠xαyα，
∴幂函数f(x)＝xα不具有此性质．
∵loga(x＋y)≠logaxlogay，
∴对数函数f(x)＝logax不具有此性质．
∵ax＋y＝axay，∴指数函数f(x)＝ax具有此性质．
∵cos(x＋y)≠cosxcosy，
∴余弦函数y＝cosx不具有此性质．]
3．C[对A、B，由y＝x＋a知a1，可知A、B图象不正确；
D中由y＝x＋a知0a1，∴y＝logax应为减函数，D错．]
4．A[∵y＝在x∈(0，＋∞)递增，
∴，即ac，
∵y＝(25)x在x∈(－∞，＋∞)递减，
∴，即cb，
∴acb.]
5．D
6．1或2
解析由m2－3m＋3＝1m2－m－2≤0解得m＝1或2.
经检验m＝1或2都适合．
7．cab
解析∵α∈(0,1)，∴1ααα2.
又∵x∈(0,1)，∴xα，即cab.
8．①②③
解析作出y＝xα(0α1)在第一象限内的图象，如图所示，
可判定①②③正确，
又fxx表示图象上的点与原点连线的斜率，
当0x1x2时应有fx1x1fx2x2，故④错．
9．解设在[－1,1)中，f(x)＝xn，
由点(12，18)在函数图象上，求得n＝3.……………………………………………………(4分)
令x∈[2k－1,2k＋1)，则x－2k∈[－1,1)，
∴f(x－2k)＝(x－2k)3.……………………………………………………………………(8分)
又f(x)周期为2，∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3.
即f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)．………………………………………………………………(12分)
10．解由条件知1－n2＋2n＋30，
－n2＋2n＋30，解得－1n3.…………………………………………………………(4分)
又n＝2k，k∈Z，∴n＝0,2.
当n＝0,2时，f(x)＝x13，
∴f(x)在R上单调递增．…………………………………………………………………(8分)
∴f(x2－x)f(x＋3)转化为x2－xx＋3.
解得x－1或x3.
∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．………………………………………(12分)
11．解(1)∵f(2)f(3)，
∴f(x)在第一象限是增函数．
故－k2＋k＋20，解得－1k2.
又∵k∈Z，∴k＝0或k＝1.
当k＝0或k＝1时，－k2＋k＋2＝2，
∴f(x)＝x2.…………………………………………………………………………………(6分)
(2)假设存在q0满足题设，由(1)知
g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]．
∵g(2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点(2q－12q，4q2＋14q)处取得．
……………………………………………………………………………………………(8分)
而4q2＋14q－g(－1)＝4q2＋14q－(2－3q)＝4q－124q≥0，
∴g(x)max＝4q2＋14q＝178，…………………………………………………………………(12分)
g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.
解得q＝2.∴存在q＝2满足题意．……………………………………………………(14分)
