高考数学（理科）一轮复习椭圆学案带答案。
一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助高中教师能够更轻松的上课教学。那么一篇好的高中教案要怎么才能写好呢？以下是小编为大家精心整理的“高考数学（理科）一轮复习椭圆学案带答案”，但愿对您的学习工作带来帮助。
学案51椭圆
导学目标：1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质．
自主梳理
1．椭圆的概念
在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a0，c0，且a，c为常数：
(1)若________，则集合P为椭圆；
(2)若________，则集合P为线段；
(3)若________，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程x2a2＋y2b2＝1
(ab0)y2a2＋x2b2＝1
(ab0)
图形
性
质范围－a≤x≤a
－b≤y≤b－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距|F1F2|＝2c
离心率e＝ca∈(0,1)
a，b，c
的关系c2＝a2－b2
自我检测
1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()
A．23B．6C．43D．12
2．(2011揭阳调研)“mn0”是方程“mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知椭圆x2sinα－y2cosα＝1(0≤α2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是()
A.3π4，πB.π4，3π4
C.π2，πD.π2，3π4
4．椭圆x212＋y23＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的()
A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍
5．(2011开封模拟)椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k等于()
A．－1B．1C.5D．－5
探究点一椭圆的定义及应用
例1(教材改编)一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．
变式迁移1求过点A(2,0)且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．
探究点二求椭圆的标准方程
例2求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)；
(2)经过两点A(0,2)和B12，3.
变式迁移2(1)已知椭圆过(3,0)，离心率e＝63，求椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，1)、P2(－3，－2)，求椭圆的标准方程．wWW.Jab88.Com
探究点三椭圆的几何性质
例3(2011安阳模拟)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
变式迁移3已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M(在x轴上方)向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，AB∥OM.
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围．
方程思想的应用
例(12分)(2011北京朝阳区模拟)已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为12，且经过点M(1，32)，过点P(2,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在直线l，满足PA→PB→＝PM→2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【答题模板】
解(1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，
由题意得1a2＋94b2＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2.解得a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为x24＋y23＝1.[4分]
(2)若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1，由x24＋y23＝1，y＝kx－2＋1，
得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.[6分]
因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)0.
整理得32(6k＋3)0，解得k－12.[7分]
又x1＋x2＝8k2k－13＋4k2，x1x2＝16k2－16k－83＋4k2，
且PA→PB→＝PM→2，
即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝54，
所以(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝54，
即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝54.[9分]
所以[16k2－16k－83＋4k2－2×8k2k－13＋4k2＋4](1＋k2)＝4＋4k23＋4k2＝54，
解得k＝±12.[11分]
所以k＝12.于是存在直线l满足条件，
其方程为y＝12x.[12分]
【突破思维障碍】
直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题．反映在代数上，就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题，它体现了方程思想的应用，当直线与椭圆相交时，要注意判别式大
于零这一隐含条件，它可以用来检验所求参数的值是否有意义，也可通过该不等式来求参数的范围．对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解，与向量相结合的题目，大都与共线、垂直和夹角有关，若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能，所以在复习过程中要格外重视．
1．求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为x2m＋y2n＝1(m0，n0且m≠n)，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1(A0，B0且A≠B)，这种形式在解题中更简便．
2．椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；另一类是与坐标系有关的性质，如：顶点坐标，焦点坐标等．第一类性质是常数，不因坐标系的变化而变化，第二类性质是随坐标系变化而相应改变．
3．直线与椭圆的位置关系问题．它是高考的热点，通常涉及椭圆的性质、最值的求法和直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等，分析此类问题时，要充分利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011温州模拟)若△ABC的两个顶点坐标分别为A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为()
A.x225＋y29＝1(y≠0)B.y225＋x29＝1(y≠0)
C.x216＋y29＝1(y≠0)D.y216＋x29＝1(y≠0)
2．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于()
A．4B．5C．7D．8
3．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是()
A.32B.22C.2－1D.2
4．(2011天门期末)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()
A．圆B．椭圆
C．双曲线D．抛物线
5．椭圆x225＋y29＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于()
A．2B．4C．8D.32
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．
7．(2011唐山调研)椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．
8.
如图，已知点P是以F1、F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率是______．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知方向向量为v＝(1，3)的直线l过点(0，－23)和椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点，且椭圆的离心率为63.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若已知点D(3,0)，点M，N是椭圆C上不重合的两点，且DM→＝λDN→，求实数λ的取值范围．
10．(12分)(2011烟台模拟)椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜率为22，求椭圆的方程．
11．(14分)(2010福建)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
学案51椭圆
自主梳理
1．椭圆焦点焦距(1)ac(2)a＝c(3)ac
自我检测
1．C2.C3.D4.A5.B
课堂活动区
例1解如图所示，设动圆的圆心为C，半径为r.
则由圆相切的性质知，
|CO1|＝1＋r，|CO2|＝9－r，
∴|CO1|＋|CO2|＝10，
而|O1O2|＝6，
∴点C的轨迹是以O1、O2为焦点的椭圆，其中2a＝10,2c＝6，b＝4.
∴动圆圆心的轨迹方程为
x225＋y216＝1.
变式迁移1解将圆的方程化为标准形式为：
(x＋2)2＋y2＝62，圆心B(－2,0)，r＝6.
设动圆圆心M的坐标为(x，y)，
动圆与已知圆的切点为C.
则|BC|－|MC|＝|BM|，
而|BC|＝6，
∴|BM|＋|CM|＝6.
又|CM|＝|AM|，
∴|BM|＋|AM|＝6|AB|＝4.
∴点M的轨迹是以点B(－2,0)、A(2,0)为焦点、线段AB中点(0,0)为中心的椭圆．
a＝3，c＝2，b＝5.
∴所求轨迹方程为x29＋y25＝1.
例2解题导引确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件(即确定焦点的位置)和两个定形条件(即确定a，b的大小)．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)或y2a2＋x2b2＝1(ab0)，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，且m≠n)．
解(1)若椭圆的焦点在x轴上，
设方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．
∵椭圆过点A(3,0)，∴9a2＝1，
∴a＝3，又2a＝32b，∴b＝1，∴方程为x29＋y2＝1.
若椭圆的焦点在y轴上，设方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．
∵椭圆过点A(3,0)，∴9b2＝1，
∴b＝3，又2a＝32b，
∴a＝9，∴方程为y281＋x29＝1.
综上可知椭圆的方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.
(2)设经过两点A(0,2)，B12，3的椭圆标准方程为mx2＋ny2＝1，将A，B坐标代入方程得4n＝114m＋3n＝1m＝1n＝14，∴所求椭圆方程为x2＋y24＝1.
变式迁移2解(1)当椭圆的焦点在x轴上时，∵a＝3，ca＝63，∴c＝6，从而b2＝a2－c2＝9－6＝3，
∴椭圆的标准方程为x29＋y23＝1.
当椭圆的焦点在y轴上时，
∵b＝3，ca＝63，∴a2－b2a＝63，∴a2＝27.
∴椭圆的标准方程为x29＋y227＝1.
∴所求椭圆的标准方程为x29＋y23＝1或x29＋y227＝1.
(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0且m≠n)．
∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程，
则6m＋n＝1，①3m＋2n＝1，②
①②两式联立，解得m＝19，n＝13.
∴所求椭圆方程为x29＋y23＝1.
例3解题导引(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a、c的关系．
(2)对△F1PF2的处理方法定义式的平方余弦定理面积公式
|PF1|＋|PF2|2＝2a2，4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ，S△＝12|PF1||PF2|sinθ.
(1)解设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，
|PF1|＝m，|PF2|＝n.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncos60°.
∵m＋n＝2a，∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn.
∴4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.
又mn≤m＋n22＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，
∴4a2－4c2≤3a2.∴c2a2≥14，即e≥12.
∴e的取值范围是12，1.
(2)证明由(1)知mn＝43b2，∴S△PF1F2＝12mnsin60°＝33b2，
即△PF1F2的面积只与短轴长有关．
变式迁移3解(1)∵F1(－c,0)，则xM＝－c，yM＝b2a，
∴kOM＝－b2ac.∵kAB＝－ba，OM∥AB，
∴－b2ac＝－ba，∴b＝c，故e＝ca＝22.
(2)设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，
∴r1＋r2＝2a，|F1F2|＝2c，
cosθ＝r21＋r22－4c22r1r2＝r1＋r22－2r1r2－4c22r1r2
＝a2r1r2－1≥a2r1＋r222－1＝0，
当且仅当r1＝r2时，cosθ＝0，∴θ∈[0，π2]．
课后练习区
1．A2.D3.C4.B5.B
6.x236＋y29＝17.2120°8.53
9．解(1)∵直线l的方向向量为v＝(1，3)，
∴直线l的斜率为k＝3.
又∵直线l过点(0，－23)，
∴直线l的方程为y＋23＝3x.
∵ab，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点．
∴c＝2.又∵e＝ca＝63，∴a＝6.∴b2＝a2－c2＝2.
∴椭圆方程为x26＋y22＝1.(6分)
(2)若直线MN⊥y轴，则M、N是椭圆的左、右顶点，
λ＝3＋63－6或λ＝3－63＋6，即λ＝5＋26或5－26.
若MN与y轴不垂直，设直线MN的方程为x＝my＋3(m≠0)．由x26＋y22＝1，x＝my＋3得(m2＋3)y2＋6my＋3＝0.
设M、N坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则y1＋y2＝－6mm2＋3，①
y1y2＝3m2＋3，②
Δ＝36m2－12(m2＋3)＝24m2－360，∴m232.
∵DM→＝(x1－3，y1)，DN→＝(x2－3，y2)，DM→＝λDN→，显然λ0，且λ≠1，
∴(x1－3，y1)＝λ(x2－3，y2)．∴y1＝λy2.
代入①②，得λ＋1λ＝12m2m2＋3－2＝10－36m2＋3.
∵m232，得2λ＋1λ10，即λ2－2λ＋10，λ2－10λ＋10，
解得5－26λ5＋26且λ≠1.
综上所述，λ的取值范围是5－26≤λ≤5＋26，
且λ≠1.(12分)
10．解方法一设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
代入椭圆方程并作差得
a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
而y1－y2x1－x2＝－1，y1＋y2x1＋x2＝kOC＝22，
代入上式可得b＝2a.(4分)
由方程组ax2＋by2＝1x＋y－1＝0，得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，
∴x1＋x2＝2ba＋b，x1x2＝b－1a＋b，
再由|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝2|x2－x1|＝22，
得2ba＋b2－4b－1a＋b＝4，(8分)
将b＝2a代入得a＝13，∴b＝23.
∴所求椭圆的方程是x23＋2y23＝1.(12分)
方法二由ax2＋by2＝1，x＋y＝1
得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.(2分)
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则|AB|＝k2＋1x1－x22＝24b2－4a＋bb－1a＋b2.
∵|AB|＝22，∴a＋b－aba＋b＝1.①(6分)
设C(x，y)，则x＝x1＋x22＝ba＋b，y＝1－x＝aa＋b，
∵OC的斜率为22，∴ab＝22.(9分)
代入①，得a＝13，b＝23.
∴椭圆方程为x23＋2y23＝1.(12分)
11．解方法一(1)依题意，可设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，且可知其左焦点为F′(－2,0)．
从而有c＝2，2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，
解得c＝2，a＝4.又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故椭圆C的方程为x216＋y212＝1.(5分)
(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝32x＋t.
由y＝32x＋t，x216＋y212＝1，得3x2＋3tx＋t2－12＝0.(7分)
因为直线l与椭圆C有公共点，
所以Δ＝(3t)2－4×3×(t2－12)≥0，
解得－43≤t≤43.(9分)
另一方面，由直线OA与l的距离d＝4，
得|t|94＋1＝4，解得t＝±213.(12分)
由于±213[－43，43]，所以符合题意的直线l不存在．(14分)
方法二(1)依题意，可设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，
且有4a2＋9b2＝1，a2－b2＝4.解得b2＝12或b2＝－3(舍去)．
从而a2＝16.(3分)
所以椭圆C的方程为x216＋y212＝1.(5分)
(2)同方法一．
精选阅读
高考数学（理科）一轮复习函数及其表示学案带答案
第二章函数
学案4函数及其表示
导学目标：1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．
自主梳理
1．函数的基本概念
(1)函数定义
设A，B是非空的，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的,在集合B中，称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，x的取值范围A叫做函数的__________，__________________叫做函数的值域．
(2)函数的三要素
__________、________和____________．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有：________、________、________.
(4)函数相等
如果两个函数的定义域和__________完全一致，则这两个函数相等，这是判定两函数相等的依据．
(5)分段函数：在函数的________内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的____________，这样的函数通常叫做分段函数．
分段函数是一个函数，它的定义域是各段取值区间的________，值域是各段值域的________．
2．映射的概念
(1)映射的定义
设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的.?
（2）由映射的定义可以看出，映射是概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合，A、B必须是数集.
自我检测
1．(2011佛山模拟)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列4个图形，其中能表示集合M到N的函数关系的有()
A．0个B．1个
C．2个D．3个
2．(2010湖北)函数y＝1log0.54x－3的定义域为()
A．(34，1)B．(34，＋∞)
C．(1，＋∞)D．(34，1)∪(1，＋∞)
3．(2010湖北)已知函数f(x)＝log3x，x02x，x≤0，则f(f(19))等于()
A．4B.14
C．－4D．－14
4．下列函数中，与函数y＝x相同的函数是()
A．y＝x2xB．y＝(x)2
C．y＝lg10xD．y＝2log2x
5．(2011衡水月考)函数y＝lg(ax2－ax＋1)的定义域是R，求a的取值范围．
探究点一函数与映射的概念
例1(教材改编)下列对应关系是集合P上的函数的是________．
(1)P＝Z，Q＝N*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；
y＝x2，x∈P，y∈Q；
（2）P={-1,1,-2,2}，Q={1，4}，对应关系:f:x→y=x2,x∈P,y∈Q;?
(3)P={三角形}，Q={x|x0}，对应关系f:对P中三角形求面积与集合Q中元素对应.
变式迁移1已知映射f:A→B.其中B．其中A＝B＝R，对应关系f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是()
A．k1B．k≥1
C．k1D．k≤1
探究点二求函数的定义域
例2(1)求函数y＝x＋1＋x－10lg2－x的定义域；
(2)已知函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域．
变式迁移2已知函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，那么g(x)＝fx21＋lgx＋1的定义域是________________________________________________________________________．
探究点三求函数的解析式
例3(1)已知f(2x＋1)＝lgx，求f(x)；
(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)；
(3)已知f(x)满足2f(x)＋f(1x)＝3x，求f(x)．
变式迁移3(2011武汉模拟)给出下列两个条件：
(1)f(x＋1)＝x＋2x；
(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.试分别求出f(x)的解析式．
探究点四分段函数的应用
例4设函数f(x)＝x2＋bx＋c，x≤0，2，x0.若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为()
A．1B．2C．3D．4
变式迁移4(2010江苏)已知函数f(x)＝x2＋1，x≥0，1，x0，则满足不等式f(1－x2)f(2x)的x的范围是________________．
1．与定义域有关的几类问题
第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；
第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；
第三类是不给出函数的解析式，而由f(x)的定义域确定函数f[g(x)]的定义域或由f[g(x)]的定义域确定函数f(x)的定义域．
第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．
2．解析式的求法
求函数解析式的一般方法是待定系数法和换元法，除此还有代入法、拼凑法和方程组法．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列各组中的两个函数是同一函数的为()
(1)y1＝x＋3x－5x＋3，y2＝x－5；
(2)y1＝x＋1x－1，y2＝x＋1x－1；
(3)f(x)＝x，g(x)＝x2；
(4)f(x)＝3x4－x3，F(x)＝x3x－1；
(5)f1(x)＝(2x－5)2，f2(x)＝2x－5.
A．(1)(2)B．(2)(3)
C．(4)D．(3)(5)
2．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点数目是()
A．1B．0
C．0或1D．1或2
3．(2011洛阳模拟)已知f(x)＝x＋2x≤－1，x2－1x2，2xx≥2，若f(x)＝3，则x的值是()
A．1B．1或32
C．1，32或±3D.3
4．(2009江西)函数y＝lnx＋1－x2－3x＋4的定义域为()
A．(－4，－1)B．(－4,1)
C．(－1,1)D．(－1,1]
5.（2011台州模拟）设f:x→x2是从集合A到集合B的映射，如果B={1，2}，则A∩B为()
A．B．{1}
C．或{2}D．或{1}
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．下列四个命题：(1)f(x)＝x－2＋1－x有意义；(2)函数是其定义域到值域的映射；(3)函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；(4)函数y＝x2，x≥0，－x2，x0的图象是抛物线．其中正确的命题个数是________．
7．设f(x)＝3x＋1x≥0x2x0，g(x)＝2－x2x≤12x1，
则f[g(3)]＝________，g[f(－12)]＝________.
8．(2010陕西)已知函数f(x)＝3x＋2，x1，x2＋ax，x≥1，若f(f(0))＝4a，则实数a＝______.
三、解答题(共38分)
9．(12分)(1)若f(x＋1)＝2x2＋1，求f(x)的表达式；
(2)若2f(x)－f(－x)＝x＋1，求f(x)的表达式；
(3)若函数f(x)＝xax＋b，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)的表达式．
10．(12分)已知f(x)＝x2＋2x－3，用图象法表示函数g(x)＝fx＋|fx|2，并写出g(x)的解析式．
11．(14分)(2011湛江模拟)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R(x)(万元)满足R(x)＝－0.4x2＋4.2x－0.8，0≤x≤5，10.2，x5.假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：
(1)要使工厂有盈利，产品x应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品的售价为多少？
答案自主梳理
1．(1)数集任意一个数x都有唯一确定的数f(x)和它对应定义域函数值的集合{f(x)|x∈A}(2)定义域值域对应关系(3)解析法列表法图象法(4)对应关系(5)定义域对应关系并集并集2.(1)都有唯一一个映射(2)函数非空
自我检测
1．B[对于题图(1)：M中属于(1,2]的元素，在N中没有象，不符合定义；
对于题图(2)：M中属于(43，2]的元素的象，不属于集合N，因此它不表示M到N的函数关系；对于题图(3)：符合M到N的函数关系；对于题图(4)：其象不唯一，因此也不表示M到N的函数关系．]
2．A3.B4.C
5．解函数y＝lg(ax2－ax＋1)的定义域是R，即ax2－ax＋10恒成立．
①当a＝0时，10恒成立；
②当a≠0时，应有a0，Δ＝a2－4a0，
∴0a4.
综上所述，a的取值范围为0≤a4.
课堂活动区
例1解题导引函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应关系是否给出；②根据给出的对应关系，自变量在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．
(2)
解析由于(1)中集合P中元素0在集合Q中没有对应元素，并且(3)中集合P不是数集，所以(1)和(3)都不是集合P上的函数．由题意知，(2)正确．
变式迁移1A[由题意知，方程－x2＋2x＝k无实数根，即x2－2x＋k＝0无实数根．∴Δ＝4(1－k)0，∴k1时满足题意．]
例2解题导引在(2)中函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)是指x的取值范围还是2x＋1的取值范围？f(x)中的x与f(2x＋1)中的2x＋1的取值范围有什么关系？
解(1)要使函数有意义，
应有x＋1≥0，x－1≠0，2－x0，2－x≠1，即x≥－1，x≠1，x2，
解得－1≤x2，x≠1.
所以函数的定义域是{x|－1≤x1或1x2}．
(2)∵f(2x＋1)的定义域为(0,1)，
∴12x＋13，
所以f(x)的定义域是(1,3)．
变式迁移2(－1，－910)∪(－910，2]
解析由0≤x2≤2x＋101＋lgx＋1≠0得－1x≤2且x≠－910.
即定义域为(－1，－910)∪(－910，2]．
例3解题导引函数解析式的类型与求法
(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．
(2)已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围．
(3)已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(－x)、f(1x)等，要根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
解(1)令2x＋1＝t，则x＝2t－1，
∴f(t)＝lg2t－1，
∴f(x)＝lg2x－1，x∈(1，＋∞)．
(2)设f(x)＝ax＋b，(a≠0)
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
＝ax＋b＋5a＝2x＋17，
∴a＝2，b＋5a＝17，
∴a＝2，b＝7，故f(x)＝2x＋7.
(3)2f(x)＋f(1x)＝3x，①
把①中的x换成1x，得
2f(1x)＋f(x)＝3x，②
①×2－②，得3f(x)＝6x－3x，
∴f(x)＝2x－1x.
变式迁移3解(1)令t＝x＋1，
∴t≥1，x＝(t－1)2.
则f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
即f(x)＝x2－1，x∈[1，＋∞)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∴f(x＋2)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c，
则f(x＋2)－f(x)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
∴4a＝4，4a＋2b＝2.∴a＝1，b＝－1.
又f(0)＝3，∴c＝3，∴f(x)＝x2－x＋3.
例4解题导引①本题可以先确定解析式，然后通过解方程f(x)＝x来确定解的个数；也可利用数形结合，更为简洁．
②对于分段函数，一定要明确自变量所属的范围，以便于选择与之相应的对应关系．
③分段函数体现了数学的分类讨论思想，相应的问题处理应分段解决．
C[方法一若x≤0，则f(x)＝x2＋bx＋c.
∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴－42＋b－4＋c＝c，－22＋b－2＋c＝－2，
解得b＝4，c＝2.∴f(x)＝x2＋4x＋2，x≤0，2，x0.
当x≤0，由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x，
解得x＝－2，或x＝－1；
当x0时，由f(x)＝x，得x＝2.
∴方程f(x)＝x有3个解．
方法二由f(－4)＝f(0)且f(－2)＝－2，可得f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴是x＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f(x)的简图(如图所示)．方程f(x)＝x的解的个数就是函数图象y＝f(x)与y＝x的图象的交点的个数，所以有3个解．]
变式迁移4(－1，2－1)
解析函数f(x)＝x2＋1，x≥0，1，x0的图象如图所示：
f(1－x2)f(2x)1－x22x1－x20，
解得－1x2－1.
课后练习区
1．C[(1)定义域不同；(2)定义域不同；(3)对应关系不同；(4)定义域相同，且对应关系相同；(5)定义域不同．]
2．C[有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于x＝1仅有一个函数值．]
3．D[该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)，∴f(x)＝x2＝3，x＝±3，而－1x2，∴x＝3.]
4．C
5．D[由已知x2＝1或x2＝2，解之得，x＝±1或x＝±2，若1∈A，则A∩B＝{1}，若1A，则A∩B＝，
故A∩B＝或{1}．]
6．1
解析(1)x≥2且x≤1，不存在；(2)函数是特殊的映射；(3)该图象是由离散的点组成的；(4)该图象是两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线．故只有(2)正确．
7．73116
8．2
9．解(1)令t＝x＋1，则x＝t－1，∴f(t)＝2(t－1)2＋1＝2t2－4t＋3，∴f(x)＝2x2－4x＋3.………………………………………………………………………………………………(4分)
(2)∵2f(x)－f(－x)＝x＋1，用－x去替换式子中的x，得2f(－x)－f(x)＝－x＋1，……(6分)
即有2fx－f－x＝x＋12f－x－fx＝－x＋1，
解方程组消去f(－x)，得f(x)＝x3＋1.……………………………………………………(8分)
(3)由f(2)＝1得22a＋b＝1，即2a＋b＝2；
由f(x)＝x得xax＋b＝x，变形得x(1ax＋b－1)＝0，解此方程得x＝0或x＝1－ba，…(10分)
又∵方程有唯一解，
∴1－ba＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝12，
∴f(x)＝2xx＋2.……………………………………………………………………………(12分)
10．解函数f(x)的图象如图所示，
……………………………………(6分)
g(x)＝x2＋2x－3x≤－3或x≥10－3x1…………………………………………………(12分)
11．解依题意，G(x)＝x＋2，设利润函数为f(x)，则
f(x)＝－0.4x2＋3.2x－2.8，0≤x≤5，8.2－x，x5.………………………………………………(4分)
(1)要使工厂赢利，则有f(x)0.
当0≤x≤5时，有－0.4x2＋3.2x－2.80，
得1x7，所以1x≤5.………………………………………………………………(8分)
当x5时，有8.2－x0，
得x8.2，所以5x8.2.
综上所述，要使工厂赢利，应满足1x8.2，即产品应控制在大于100台小于820台的范围内．……………………………………………………………………………………(10分)
(2)当0≤x≤5时，f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6.
故当x＝4时，f(x)有最大值3.6.…………………………………………………………(12分)
而当x5时，f(x)8.2－5＝3.2.
所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，x＝4时，每台产品售价为R44＝2.4(万元/百台)＝240(元/台)．……………………………………………………………………………(14分)
高考数学（理科）一轮复习数学归纳法学案带答案
俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。作为高中教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以更好的帮助学生们打好基础，让高中教师能够快速的解决各种教学问题。那么如何写好我们的高中教案呢？下面是小编帮大家编辑的《高考数学（理科）一轮复习数学归纳法学案带答案》，欢迎您参考，希望对您有所助益！
学案39数学归纳法
导学目标：1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
自主梳理
1．归纳法
由一系列有限的特殊事例得出________的推理方法叫归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为____归纳法和________归纳法．
2．数学归纳法
设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题________(或________)成立；(2)在假设______成立的前提下，推出________也成立，那么可以断定{Pn}对一切正整数成立．
3．数学归纳法证题的步骤
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值__________时命题成立．
(2)(归纳递推)假设______________________________时命题成立，证明当________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
自我检测
1．用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为()
A．1B．1＋a
C．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3
2．如果命题P(n)对于n＝k(k∈N*)时成立，则它对n＝k＋2也成立，又若P(n)对于n＝2时成立，则下列结论正确的是()
A．P(n)对所有正整数n成立
B．P(n)对所有正偶数n成立
C．P(n)对所有正奇数n成立
D．P(n)对所有大于1的正整数n成立
3．(2011台州月考)证明n＋221＋12＋13＋14＋…＋12nn＋1(n1)，当n＝2时，中间式子等于()
A．1B．1＋12
C．1＋12＋13D．1＋12＋13＋14
4．用数学归纳法证明“2nn2＋1对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()
A．2B．3C．5D．6
5．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开()
A．(k＋3)3B．(k＋2)3
C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3
探究点一用数学归纳法证明等式
例1对于n∈N*，用数学归纳法证明：
1n＋2(n－1)＋3(n－2)＋…＋(n－1)2＋n1＝16n(n＋1)(n＋2)．
变式迁移1(2011金华月考)用数学归纳法证明：
对任意的n∈N*,1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.
探究点二用数学归纳法证明不等式
例2用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式1＋131＋15…1＋12n－12n＋12均成立．
变式迁移2已知m为正整数，用数学归纳法证明：当x－1时，(1＋x)m≥1＋mx.
探究点三用数学归纳法证明整除问题
例3用数学归纳法证明：当n∈N*时，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．
变式迁移3用数学归纳法证明：当n为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．
从特殊到一般的思想
例(14分)已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2、a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－12bn.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，试比较1bn与Sn＋1的大小，并说明理由．
【答题模板】
解(1)由已知得a2＋a5＝12a2a5＝27，又∵{an}的公差大于0，
∴a5a2，∴a2＝3，a5＝9.∴d＝a5－a23＝9－33＝2，a1＝1，
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.[2分]
∵Tn＝1－12bn，∴b1＝23，当n≥2时，Tn－1＝1－12bn－1，
∴bn＝Tn－Tn－1＝1－12bn－1－12bn－1，
化简，得bn＝13bn－1，[4分]
∴{bn}是首项为23，公比为13的等比数列，
即bn＝2313n－1＝23n，
∴an＝2n－1，bn＝23n.[6分]
(2)∵Sn＝1＋2n－12n＝n2，∴Sn＋1＝(n＋1)2，1bn＝3n2.
以下比较1bn与Sn＋1的大小：
当n＝1时，1b1＝32，S2＝4，∴1b1S2，当n＝2时，1b2＝92，S3＝9，∴1b2S3，
当n＝3时，1b3＝272，S4＝16，∴1b3S4，当n＝4时，1b4＝812，S5＝25，∴1b4S5.
猜想：n≥4时，1bnSn＋1.[9分]
下面用数学归纳法证明：
①当n＝4时，已证．
②假设当n＝k(k∈N*，k≥4)时，1bkSk＋1，即3k2(k＋1)2.[10分]
那么，n＝k＋1时，1bk＋1＝3k＋12＝33k23(k＋1)2＝3k2＋6k＋3＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1，∴n＝k＋1时，1bnSn＋1也成立．[12分]
由①②可知n∈N*，n≥4时，1bnSn＋1都成立．
综上所述，当n＝1,2,3时，1bnSn＋1，当n≥4时，1bnSn＋1.[14分]
【突破思维障碍】
1．归纳——猜想——证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．
2．数列是定义在N*上的函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决．
【易错点剖析】
1．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个(或两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础．
2．在进行n＝k＋1命题证明时，一定要用n＝k时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法．
1．数学归纳法：先证明当n取第一个值n0时命题成立，然后假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，并证明当n＝k＋1时命题也成立，那么就证明了这个命题成立．这是因为第一步首先证明了n取第一个值n0时，命题成立，这样假设就有了存在的基础，至少k＝n0时命题成立，由假设合理推证出n＝k＋1时命题也成立，这实质上是证明了一种循环，如验证了n0＝1成立，又证明了n＝k＋1也成立，这就一定有n＝2成立，n＝2成立，则n＝3成立，n＝3成立，则n＝4也成立，如此反复以至无穷，对所有n≥n0的整数就都成立了．
2．(1)第①步验证n＝n0使命题成立时n0不一定是1，是使命题成立的最小正整数．
(2)第②步证明n＝k＋1时命题也成立的过程中一定要用到归纳递推，否则就不是数学归纳法．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是()
A．假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1命题成立
B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1命题成立
C．假设n＝2k＋1(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1命题成立
D．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2命题成立
2．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则()
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14
3．如果命题P(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋1也成立，现已知P(n)对n＝4不成立，则下列结论正确的是()
A．P(n)对n∈N*成立
B．P(n)对n4且n∈N*成立
C．P(n)对n4且n∈N*成立
D．P(n)对n≤4且n∈N*不成立
4．(2011日照模拟)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.k＋14＋k＋122
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
5．(2011湛江月考)已知f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f(k)≥k2成立，则f(k＋1)≥(k＋1)2成立，下列命题成立的是()
A．若f(3)≥9成立，且对于任意的k≥1，均有f(k)≥k2成立
B．若f(4)≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f(k)k2成立
C．若f(7)≥49成立，则对于任意的k7，均有f(k)k2成立
D．若f(4)＝25成立，则对于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n2(n∈N*)”时，从n＝k到n＝k＋1时，该式左边应添加的代数式是________．
7．(2011南京模拟)用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n1324的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是______________．
8．凸n边形有f(n)条对角线，凸n＋1边形有f(n＋1)条对角线，则f(n＋1)＝f(n)＋________.
三、解答题(共38分)
9．(12分)用数学归纳法证明1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n(n∈N*)．
10．(12分)(2011新乡月考)数列{an}满足an0，Sn＝12(an＋1an)，求S1，S2，猜想Sn，并用数学归纳法证明．
11．(14分)(2011郑州月考)已知函数f(x)＝1x2e－1|x|(其中e为自然对数的底数)．
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)在(－∞，0)上求函数f(x)的极值；
(3)用数学归纳法证明：当x0时，对任意正整数n都有f(1x)n！x2－n.
学案39数学归纳法
自主梳理
1．一般结论完全不完全2.(1)P1P0(2)PkPk＋1
3．(1)n0(n0∈N*)(2)n＝k(k≥n0，k∈N*)n＝k＋1
自我检测
1．C[当n＝1时左端有n＋2项，∴左端＝1＋a＋a2.]
2．B[由n＝2成立，根据递推关系“P(n)对于n＝k时成立，则它对n＝k＋2也成立”，可以推出n＝4时成立，再推出n＝6时成立，…，依次类推，P(n)对所有正偶数n成立”．]
3．D[当n＝2时，中间的式子
1＋12＋13＋122＝1＋12＋13＋14.]
4．C[当n＝1时，21＝12＋1；
当n＝2时，2222＋1；当n＝3时，2332＋1；
当n＝4时，2442＋1.而当n＝5时，2552＋1，∴n0＝5.]
5．A[假设当n＝k时，原式能被9整除，
即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．
当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．]
课堂活动区
例1解题导引用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于弄清等式两边的构成规律：等式的两边各有多少项，由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
证明设f(n)＝1n＋2(n－1)＋3(n－2)＋…＋(n－1)2＋n1.
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；
(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时等式成立，
即1k＋2(k－1)＋3(k－2)＋…＋(k－1)2＋k1
＝16k(k＋1)(k＋2)，
则当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝1(k＋1)＋2[(k＋1)－1]＋3[(k＋1)－2]＋…＋[(k＋1)－1]2＋(k＋1)1
＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)
＝16k(k＋1)(k＋2)＋12(k＋1)(k＋1＋1)
＝16(k＋1)(k＋2)(k＋3)．
由(1)(2)可知当n∈N*时等式都成立．
变式迁移1证明(1)当n＝1时，
左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边，
∴等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即
1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k
＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k.
则当n＝k＋1时，
1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2
＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋2
＝1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋12k＋12k＋1＋1k＋1－12k＋2
＝1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋1，
即当n＝k＋1时，等式也成立，
所以由(1)(2)知对任意的n∈N*等式都成立．
例2解题导引用数学归纳法证明不等式问题时，从n＝k到n＝k＋1的推证过程中，证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．
证明(1)当n＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.
∵左边右边，∴不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，
即1＋131＋15…1＋12k－12k＋12.
则当n＝k＋1时，
1＋131＋15…1＋12k－11＋12k＋1－1
2k＋122k＋22k＋1＝2k＋222k＋1＝4k2＋8k＋422k＋1
4k2＋8k＋322k＋1＝2k＋32k＋122k＋1＝2k＋1＋12.
∴当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．
变式迁移2证明(1)当m＝1时，原不等式成立；
当m＝2时，左边＝1＋2x＋x2，右边＝1＋2x，
因为x2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；
(2)假设当m＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，
即(1＋x)k≥1＋kx，则当m＝k＋1时，
∵x－1，∴1＋x0.
于是在不等式(1＋x)k≥1＋kx两边同时乘以1＋x得，
(1＋x)k(1＋x)≥(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2
≥1＋(k＋1)x.
所以(1＋x)k＋1≥1＋(k＋1)x，
即当m＝k＋1时，不等式也成立．
综合(1)(2)知，对一切正整数m，不等式都成立．
例3解题导引用数学归纳法证明整除问题，由k过渡到k＋1时常使用“配凑法”．在证明n＝k＋1成立时，先将n＝k＋1时的原式进行分拆、重组或者添加项等方式进行整理，最终将其变成一个或多个部分的和，其中每个部分都能被约定的数(或式子)整除，从而由部分的整除性得出整体的整除性，最终证得n＝k＋1时也成立．
证明(1)当n＝1时，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除．
(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，
ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，
则当n＝k＋1时，
ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝aak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1
＝aak＋1＋a(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1
＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，
由假设可知a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除，
∴ak＋2＋(a＋1)2k＋1也能被a2＋a＋1整除，
即n＝k＋1时命题也成立．
综合(1)(2)知，对任意的n∈N*命题都成立．
变式迁移3证明(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，
命题显然成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，
f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．
则当n＝k＋1时，
32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋98k＋99－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)
即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)
∴n＝k＋1时命题也成立．
综合(1)(2)可知，对任意的n∈N*，命题都成立．
课后练习区
1．D[A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．]
2．D
3．D[由题意可知，P(n)对n＝3不成立(否则P(n)对n＝4也成立)．同理可推P(n)对n＝2，n＝1也不成立．]
4．D[∵当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，
当n＝k＋1时，
左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，
∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上
(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.]
5．D[f(4)＝2542，∴k≥4，均有f(k)≥k2.
仅有D选项符合题意．]
6．2k＋1
解析∵当n＝k＋1时，
左边＝1＋2＋…＋k＋(k＋1)＋k＋…＋2＋1，
∴从n＝k到n＝k＋1时，应添加的代数式为(k＋1)＋k＝2k＋1.
7.12k＋12k＋2
解析不等式的左边增加的式子是
12k＋1＋12k＋2－1k＋1＝12k＋12k＋2.
8．n－1
解析∵f(4)＝f(3)＋2，f(5)＝f(4)＋3，
f(6)＝f(5)＋4，…，∴f(n＋1)＝f(n)＋n－1.
9．证明(1)当n＝1时，左边＝1＋12，右边＝12＋1，
∴32≤1＋12≤32，命题成立．(2分)
当n＝2时，左边＝1＋22＝2；右边＝12＋2＝52，
∴21＋12＋13＋1452，命题成立．(4分)
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，
即1＋k21＋12＋13＋…＋12k12＋k，(6分)
则当n＝k＋1时，
1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k1＋k2＋2k12k＋1＝1＋k＋12.(8分)
又1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k12＋k＋2k12k＝12＋(k＋1)，
即n＝k＋1时，命题也成立．(10分)
由(1)(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．(12分)
10．解∵an0，∴Sn0，
由S1＝12(a1＋1a1)，变形整理得S21＝1，
取正根得S1＝1.
由S2＝12(a2＋1a2)及a2＝S2－S1＝S2－1得
S2＝12(S2－1＋1S2－1)，
变形整理得S22＝2，取正根得S2＝2.
同理可求得S3＝3.由此猜想Sn＝n.(4分)
用数学归纳法证明如下：
(1)当n＝1时，上面已求出S1＝1，结论成立．
(6分)
(2)假设当n＝k时，结论成立，即Sk＝k.
那么，当n＝k＋1时，
Sk＋1＝12(ak＋1＋1ak＋1)＝12(Sk＋1－Sk＋1Sk＋1－Sk)
＝12(Sk＋1－k＋1Sk＋1－k)．
整理得S2k＋1＝k＋1，取正根得Sk＋1＝k＋1.
故当n＝k＋1时，结论成立．(11分)
由(1)、(2)可知，对一切n∈N*，Sn＝n都成立．
(12分)
11．(1)解∵函数f(x)定义域为{x∈R|x≠0}
且f(－x)＝1－x2＝1x2＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．(4分)
(2)解当x0时，f(x)＝1x2，
f′(x)＝－2x3＋1x2(－1x2)
＝－1x4(2x＋1)，(6分)
令f′(x)＝0有x＝－12，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x(－∞，－12)
－12
(－12，0)
f′(x)＋0－
f(x)增极大值减
由表可知：当x＝－12时，f(x)取极大值4e－2，
无极小值．(8分)
(3)证明当x0时f(x)＝1x2，∴f(1x)＝x2e－x.
考虑到：x0时，不等式f(1x)n！x2－n等价于x2e－xn！x2－nxnn！ex(ⅰ)(9分)
所以只要用数学归纳法证明不等式(ⅰ)对一切n∈N*都成立即可．
①当n＝1时，设g(x)＝ex－x(x0)，
∵x0时，g′(x)＝ex－10，∴g(x)是增函数，
故g(x)g(0)＝10，即exx(x0)．
所以当n＝1时，不等式(ⅰ)成立．(10分)
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式(ⅰ)成立，
即xkk！ex，
当n＝k＋1时，设h(x)＝(k＋1)！ex－xk＋1(x0)，
h′(x)＝(k＋1)！ex－(k＋1)xk＝(k＋1)(k！ex－xk)0，
故h(x)＝(k＋1)！ex－xk＋1(x0)为增函数，
∴h(x)h(0)＝(k＋1)！0，
∴xk＋1(k＋1)！ex，
即n＝k＋1时，不等式(ⅰ)也成立，(13分)
由①②知不等式(ⅰ)对一切n∈N*都成立，
故当x0时，原不等式对n∈N*都成立．(14分)
高考数学（理科）一轮复习空间的平行关系学案带答案
学案43空间的平行关系
导学目标：1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系．
自主梳理
1．直线a和平面α的位置关系有________、________、__________，其中________与________统称直线在平面外．
2．直线和平面平行的判定：
(1)定义：直线和平面没有____________，则称直线和平面平行．
(2)判定定理：aα，bα，且a∥b________；
(3)其他判定方法：α∥β，aα________.
3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，aβ，α∩β＝l________.
4．两个平面的位置关系有________、________.
5．两个平面平行的判定：
(1)定义：两个平面没有________，称这两个平面平行；
(2)判定定理：aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥αβ∥α；
(3)推论：a∩b＝P，a，bα，a′∩b′＝P′，a′，b′β，a∥a′，b∥b′________.
6．两个平面平行的性质定理：
α∥β，aα________；
α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b________.
7．与垂直相关的平行的判定：
(1)a⊥α，b⊥α________；(2)a⊥α，a⊥β________.
自我检测
1．(2011湖南四县调研)平面α∥平面β的一个充分条件是()
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，aα，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，aα，a∥β，bβ，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α
2．(2011烟台模拟)一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()
A．l∥αB．l⊥α
C．l与α相交但不垂直D．l∥α或lα
3．下列各命题中：
①平行于同一直线的两个平面平行；
②平行于同一平面的两个平面平行；
③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；
④垂直于同一直线的两个平面平行．
不正确的命题个数是()
A．1B．2C．3D．4
4．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作()
A．0个B．1个
C．0个或1个D．1个或2个
5．(2011南京模拟)在四面体ABCD中，M、N分别是△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________________.
探究点一线面平行的判定
例1已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.
变式迁移1(2011长沙调研)在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面PAD.
探究点二面面平行的判定
例2在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.
变式迁移2已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心．
(1)求证：平面G1G2G3∥平面ABC；
(2)求S△G1G2G3∶S△ABC.
探究点三平行中的探索性问题
例3(2011惠州月考)如图所示，在四棱锥P—ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，
AD＝DC＝12AB，BC⊥PC.
(1)求证：PA⊥BC；
(2)试在线段PB上找一点M，使CM∥平面PAD，并说明理由．
变式迁移3
如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
转化与化归思想综合应用
例(12分)一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M、N分别是AB、SC的中点，P是SD上的一动点．
(1)求证：BP⊥AC；
(2)当点P落在什么位置时，AP∥平面SMC?
(3)求三棱锥B—NMC的体积．
多角度审题第(1)问的关键是根据三视图得到SD⊥平面ABCD，第(2)问是一个开放型问题，可有两种思维方式：一是猜想P是SD的中点，二是从结论“AP平行于平面SMC”出发找P满足的条件．
【答题模板】
(1)证明连接BD，∵ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，又SD⊥底面ABCD，
∴SD⊥AC，∵BD∩SD＝D，∴AC⊥平面SDB，∵BP平面SDB，
∴AC⊥BP，即BP⊥AC.[4分]
(2)解取SD的中点P，连接PN，AP，MN.
则PN∥DC且PN＝12DC.[6分]
∵底面ABCD为正方形，∴AM∥DC且AM＝12DC，
∴四边形AMNP为平行四边形，∴AP∥MN.
又AP平面SMC，MN平面SMC，∴AP∥平面SMC.[8分]
(3)解VB—NMC＝VN—MBC＝13S△MBC12SD＝1312BCMB12SD＝16×1×12×12×2＝112.[12分]
【突破思维障碍】
1．本题综合考查三视图、体积计算及线面平行、垂直等位置关系，首先要根据三视图想象直观图，尤其是其中的平行、垂直及长度关系，第(1)问的关键是根据三视图得到SD⊥平面ABCD，第(2)问是一个开放型问题，开放型问题能充分考查学生的思维能力和创新精神，近年来在高考试题中频繁出现这类题目．结合空间平行关系，利用平行的性质，设计开放型试题是新课标高考命题的一个动向．
2．线线平行与线面平行之间的转化体现了化归的思想方法．
1.直线与平面平行的重要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质定理．
2.平面与平面平行的重要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)利用结论：a⊥α，a⊥βα∥β.
3.线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化：
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.(2011开封月考)下列命题中真命题的个数为()
①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，直线bα，则a∥α；
④若直线a∥b，bα，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．
A.1B．2C．3D．4
2.已知直线a、b、c和平面m，则直线a∥直线b的一个必要不充分的条件是()
A.a⊥m且b⊥mB．a∥m且b∥m
C.a∥c且b∥cD．a，b与m所成的角相等
3.在空间中，下列命题正确的是()
A.若a∥α，b∥a，则b∥α
B.若a∥α，b∥α，aβ，bβ，则β∥α
C.若α∥β，b∥α，则b∥β
D.若α∥β，aα，则a∥β
4.设l1、l2是两条直线，α、β是两个平面，A为一点，有下列四个命题，其中正确命题的个数是()
①若l1α，l2∩α＝A，则l1与l2必为异面直线；
②若l1∥α，l2∥l1，则l2∥α；
③若l1α，l2β，l1∥β，l2∥α，则α∥β；
④若α⊥β，l1α，则l1⊥β.
A.0B．1C．2D．3
5.若直线a，b为异面直线，则分别经过直线a，b的平面中，相互平行的有()
A.1对B．2对
C.无数对D．1或2对
二、填空题(每小题4分，共12分)
6.(2011秦皇岛月考)下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．
,
7.(2011大连模拟)过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的有______条．
8.
如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
三、解答题(共38分)
9．(12分)
如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点．
求证：MN∥平面AA1C1C.
10．(12分)(2010湖南改编)
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
11．(14分)
(2011济宁模拟)如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE，且点F在CE上．
(1)求证：AE⊥BE；
(2)求三棱锥D—AEC的体积；
(3)设点M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.
学案43空间的平行关系
自主梳理
1．平行相交在平面内平行相交2.(1)公共点(2)a∥α(3)a∥β3.a∥l4.平行相交5.(1)公共点
(3)α∥β6.a∥βa∥b7.(1)a∥b(2)α∥β
自我检测
1．D2.D3.A4.C
5．面ABC和面ABD
课堂活动区
例1解题导引证明线面平行问题一般可考虑证线线平行或证面面平行，要充分利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化．
证明
如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.
∵矩形ABCD和矩形ABEF全等且有公共边AB，∴AE＝BD.
又∵AP＝DQ，∴PE＝QB，
又∵PM∥AB∥QN，
∴PMAB＝EPEA，QNDC＝BQBD，∴PMAB＝QNDC.
∴PM綊QN，∴四边形PQNM为平行四边形，
∴PQ∥MN
又MN平面BCE，PQ平面BCE，
∴PQ∥平面BCE.
变式迁移1证明取PD中点F，连接AF、NF、NM.
∵M、N分别为AB、PC的中点，
∴NF綊12CD，AM綊12CD，∴AM綊NF.
∴四边形AMNF为平行四边形，∴MN∥AF.
又AF平面PAD，MN平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
例2解题导引面面平行的常用判断方法有：
(1)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；关键是利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．
证明方法一
如图所示，连接B1D1、B1C.
∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，
∴PN∥B1D1.
又B1D1∥BD，
∴PN∥BD.
又PN面A1BD，
∴PN∥平面A1BD.
同理MN∥平面A1BD.又PN∩MN＝N，
∴平面MNP∥平面A1BD.
方法二
如图所示，连接AC1、AC.
∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，
∴AC⊥BD.
又CC1⊥面ABCD，
BD面ABCD，
∴CC1⊥BD，∴BD⊥面ACC1，
又∵AC1面ACC1，∴AC1⊥BD.
同理可证AC1⊥A1B，
∴AC1⊥平面A1BD.
同理可证AC1⊥平面PMN，
∴平面PMN∥平面A1BD.
变式迁移2
(1)证明如图所示，连接PG1、PG2、PG3并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F，连接DE、EF、FD，则有PG1∶PD＝2∶3，
PG2∶PE＝2∶3，∴G1G2∥DE.
又G1G2不在平面ABC内，DE在平面ABC内，
∴G1G2∥平面ABC.
同理G2G3∥平面ABC.
又因为G1G2∩G2G3＝G2，
∴平面G1G2G3∥平面ABC.
(2)解由(1)知PG1PD＝PG2PE＝23，∴G1G2＝23DE.
又DE＝12AC，∴G1G2＝13AC.
同理G2G3＝13AB，G1G3＝13BC.
∴△G1G2G3∽△CAB，其相似比为1∶3，
∴S△G1G2G3∶S△ABC＝1∶9.
例3解题导引近几年探索性问题在高考中时有出现，解答此类问题时先以特殊位置尝试探究，找到符合要求的点后再给出严格证明．
(1)证明连接AC，过点C作CE⊥AB，垂足为E.
在四边形ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，AD＝DC，
∴四边形ADCE为正方形．
∴∠ACD＝∠ACE＝45°.
∵AE＝CD＝12AB，∴BE＝AE＝CE.∴∠BCE＝45°.
∴∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝45°＋45°＝90°.
∴AC⊥BC.
又∵BC⊥PC，AC平面PAC，PC平面PAC，AC∩PC＝C，
∴BC⊥平面PAC.∵PA平面PAC，∴PA⊥BC.
(2)解当M为PB的中点时，CM∥平面PAD.
取AP的中点F，连接CM，FM，DF.
则FM綊12AB.
∵CD∥AB，CD＝12AB，
∴FM綊CD.
∴四边形CDFM为平行四边形．∴CM∥DF.
∵DF平面PAD，CM平面PAD，
∴CM∥平面PAD.
变式迁移3解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.
∵P、O为DD1、DB的中点，
∴D1B∥PO.
又PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，
∴平面D1BQ∥平面PAO.
课后练习区
1．A[①、②、③错，④对．]
2．D[注意命题之间的相互推出关系；易知选项D中，若两直线平行，则其与m所成的角相等，反之却不一定成立，故a、b与m所成的角相等是两直线平行的必要不充分条件．]
3．D[A不正确，由直线与平面平行的判定定理的条件知缺少条件bα；B不正确，由两个平面平行的判定定理的条件，因a、b未必相交，而可能为两条平行直线，则α、β未必平行；C不正确，因有可能bβ；D正确，由两个平面平行的定义及直线与平面平行的定义知正确．]
4．A[①错，l1α，l2∩α＝A，l1与l2可能相交．
②错，l2有可能在平面α内．
③错，α有可能与β相交．
④错，l1有可能与平面β相交或平行或在平面内．]
5．A
[如图，a，b为异面直线，过b上一点作a′∥a，直线a′，b确定一个平面β，过a上一点作b′∥b，b与b′确定一个平面α，则α∥β.因为α，β是惟一的，所以相互平行的平面仅有一对．]
6．①③
解析①∵面AB∥面MNP，∴AB∥面MNP，
②过N作AB的平行线交于底面正方形的中心O，
NO面MNP，
∴AB与面MNP不平行．
③易知AB∥MP，
∴AB∥面MNP；
④过点P作PC∥AB，
∵PC面MNP，
∴AB与面MNP不平行．
7.
6
解析如图，EF∥E1F1∥AB，
EE1∥FF1∥BB1，F1E∥A1D，
E1F∥B1D，
∴EF、E1F1、EE1、FF1、F1E、E1F都平行于平面ABB1A1，共6条．
8.223a
解析
如图所示，连接AC，
易知MN∥平面ABCD，
又∵PQ为平面ABCD与平面MNQP的交线，
∴MN∥PQ.
又∵MN∥AC，∴PQ∥AC，
又∵AP＝a3，
∴DPAD＝DQCD＝PQAC＝23，∴PQ＝23AC＝223a.
9．证明设A1C1中点为F，连接NF，FC，
∵N为A1B1中点，
∴NF∥B1C1，且NF＝12B1C1，
又由棱柱性质知B1C1綊BC，(4分)
又M是BC的中点，
∴NF綊MC，
∴四边形NFCM为平行四边形．
∴MN∥CF，(8分)
又CF平面AA1C1C，
MN平面AA1C1C，
∴MN∥平面AA1C1C.(12分)
10．解在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.证明如下：
如图所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接B1F，EG，BG，CD1，FG.因为A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四
边形，因此D1C∥A1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B.这说明A1，B，G，E四点共面，所以BG平面A1BE.(6分)
因为四边形C1CDD1与B1BCC1都是正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B，因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1F∥BG.而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.(12分)
11．(1)证明由AD⊥平面ABE及AD∥BC，
得BC⊥平面ABE，BC⊥AE，(1分)
而BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE，(2分)
又BC∩BF＝B，所以AE⊥平面BCE，
又BE平面BCE，故AE⊥BE.(4分)
(2)解在△ABE中，过点E作EH⊥AB于点H，
则EH⊥平面ACD.
由已知及(1)得EH＝12AB＝2，S△ADC＝22.
(6分)
故VD—AEC＝VE—ADC＝13×22×2＝43.(8分)
(3)解在△ABE中，过点M作MG∥AE交BE于点G，在△BEC中过点G作GN∥BC交EC于点N，
连接MN，则由CNCE＝BGBE＝MBAB＝13，得CN＝13CE.
由MG∥AE，AE平面ADE，
MG平面ADE，则MG∥平面ADE.(10分)
再由GN∥BC，BC∥AD，AD平面ADE，GN平面ADE，
得GN∥平面ADE，所以平面MGN∥平面ADE.
又MN平面MGN，则MN∥平面ADE.(12分)
故当点N为线段CE上靠近点C的一个三等分点时，
MN∥平面ADE.(14分)
高考数学（理科）一轮复习函数模型及其应用学案带答案
学案12函数模型及其应用
导学目标：1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
自主梳理
1．三种增长型函数模型的图象与性质
函数
性质y＝ax(a1)y＝logax
(a1)y＝xn(n0)
在(0，＋∞)上的单调性
增长速度
图象的变化随x增大逐渐表现为与____平行随x增大逐渐表现为与____平行随n值变化而不同
2.三种增长型函数之间增长速度的比较
(1)指数函数y＝ax(a1)与幂函数y＝xn(n0)
在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y＝ax的增长速度________y＝xn的增长速度，因而总存在一个x0，当xx0时有________．
(2)对数函数y＝logax(a1)与幂函数y＝xn(n0)
对数函数y＝logax(a1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会________y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使xx0时有____________．
由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使xx0时有_____________________．
3．函数模型的应用实例的基本题型
(1)给定函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
4．函数建模的基本程序
自我检测
1．下列函数中随x的增大而增大速度最快的是()
A．v＝1100exB．v＝100lnx
C．v＝x100D．v＝100×2x
2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()
A．45.606B．45.6
C．45.56D．45.51
3．(2010陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()
A．y＝[x10]B．y＝[x＋310]
C．y＝[x＋410]D．y＝[x＋510]
4．(2011湘潭月考)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()
5．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时，才能开车？(精确到1小时)
探究点一一次函数、二次函数模型
例1(2011阳江模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
变式迁移1某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
探究点二分段函数模型
例2据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)
的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．
(1)当t＝4时，求s的值；
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．
变式迁移2某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
探究点三指数函数模型
例3诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖发放后基金总额约为19800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推)
(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；
(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．
(参考数据：1.03129＝1.32)
变式迁移3(2011商丘模拟)现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？
(参考数据：lg3＝0.477，lg2＝0.301)
1．解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义．
2．考查函数模型的知识表现在以下几个方面：
(1)利用函数模型的单调性比较数的大小；
(2)比较几种函数图象的变化规律，证明不等式或求解不等式；
(3)函数性质与图象相结合，运用“数形结合”解答一些综合问题．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()
X1.953.003.945.106.12
Y0.971.591.982.352.61
A.y＝2xB．y＝log2x
C．y＝12(x2－1)D．y＝2.61cosx
2．拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)＝1.06×(0.5×[m]＋1)(单位：元)，其中m0，[m]表示不大于m的最大整数(如[3.72])＝3，[4]＝4)，当m∈[0.5,3.1]时，函数f(m)的值域是
()
A．{1.06,2.12,3.18,4.24}
B．{1.06,1.59,2.12,2.65}
C．{1.06,1.59,2.12,2.65,3.18}
D．{1.59,2.12,2.65}
3．(2011秦皇岛模拟)某商店出售A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时的情况比较，商店盈利情况是()
A．多赚约6元B．少赚约6元
C．多赚约2元D．盈利相同
4．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为()
A．4000元B．3800元
C．4200元D．3600元
5．(2011沧州月考)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()
A．18万件B．20万件
C．16万件D．8万件
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009年产生的垃圾量为at，由此预测，该区下一年的垃圾量为__________t,2014年的垃圾量为__________t.
7．(2010金华十校3月联考)有一批材料可以建成200m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．
8．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：
型号小包装大包装
重量100克300克
包装费0.5元0.7元
销售价格3.00元8.4元
则下列说法中正确的是________(填序号)
①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2010湖南师大附中仿真)设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m(万元)与总支出n(万元)近似地满足下列关系：m＝92x－14，n＝－14x2＋5x＋74，当m－n≥0时，称不亏损企业；当m－n0时，称亏损企业，且n－m为亏损额．
(1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？
(2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？
10．(12分)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)
11．(14分)(2011鄂州模拟)某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床价(即每张床每天的租金)不超过10元时，床位可以全部租出，当床位高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件是：①要方便结账，床价应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用x表示床价，用y表示该宾馆一天出租床位的净收入(即除去每日的费用支出后的收入)．
(1)把y表示成x的函数，并求出其定义域；
(2)试确定该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？
答案自主梳理
1．增函数增函数增函数越来越快越来越慢相对平稳y轴x轴2.(1)快于axxn(2)慢于logaxxnaxxnlogax
自我检测
1．A[由e2，知当x增大时，1100ex增大更快．]
2．B[依题意，可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，
∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．
∴当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．]
3．B[每10个人可以推选1个，(xmod10)6可以再推选一个，即如果余数(xmod10)≥7相当于给x多加了3，所以可以多一个10出来．]
4．A
5．5
解析设x小时后，血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL，
则有0.334x≤0.09，即34x≤0.3.
估算或取对数计算，得5小时后，可以开车．
课堂活动区
例1解(1)每吨平均成本为yx(万元)．
则yx＝x5＋8000x－48
≥2x58000x－48＝32，
当且仅当x5＝8000x，即x＝200时取等号．
∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．
(2)设年获得总利润为R(x)万元，
则R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8000
＝－x25＋88x－8000
＝－15(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上是增函数，
∴x＝210时，R(x)有最大值为－15×(210－220)2＋1680＝1660.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．
变式迁移1解(1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆．
(2)设每辆车的月租金为x元(x≥3000)，租赁公司的月收益为y元，
则y＝x100－x－300050－x－300050×50
－100－x－300050×150
＝－x250＋162x－21000
＝－150(x－4050)2＋307050，
当x＝4050时，ymax＝307050.
答当每辆车月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大为307050.
例2解(1)由图象可知：
当t＝4时，v＝3×4＝12(km/h)，
∴s＝12×4×12＝24(km)．
(2)当0≤t≤10时，s＝12t3t＝32t2，
当10t≤20时，s＝12×10×30＋30(t－10)＝30t－150；
当20t≤35时，s＝12×10×30＋10×30＋(t－20)×30－12×(t－20)×2(t－20)＝－t2＋70t－550.
综上，可知S＝32t2，t∈[0，10]，30t－150，t∈10，20]，－t2＋70t－550，t∈20，35].
(3)∵t∈[0,10]时，smax＝32×102＝150650，
t∈(10,20]时，smax＝30×20－150＝450650，
∴当t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650.
解得t1＝30，t2＝40.∵20t≤35，∴t＝30.
∴沙尘暴发生30h后将侵袭到N城．
变式迁移2解(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，
y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x4时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.
当乙的用水量超过4吨，即3x4时，
y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.
所以y＝14.4x，0≤x≤45，20.4x－4.8，45x≤43，24x－9.6，x43.
(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增，
当x∈0，45时，y≤f4526.4；
当x∈45，43时，y≤f4326.4；
当x∈43，＋∞时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5.
所以甲户用水量为5x＝7.5吨，
付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；
乙户用水量为3x＝4.5吨，
付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．
例3解题导引指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增长率相结合进行考查．在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示．通常可表示为y＝a(1＋p)x(其中a为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
解(1)由题意知：f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－12f(1)6.24%＝f(1)×(1＋3.12%)，
f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)－12f(2)×6.24%
＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2，
∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x－1(x∈N*)．
(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136，
故2009年度诺贝尔奖各项奖金为1612f(10)6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．
变式迁移3解现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数，
1小时后，细胞总数为
12×100＋12×100×2＝32×100；
2小时后，细胞总数为
12×32×100＋12×32×100×2＝94×100；
3小时后，细胞总数为
12×94×100＋12×94×100×2＝278×100；
4小时后，细胞总数为
12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100；
可见，细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为：
y＝100×(32)x，x∈N*，
由100×(32)x1010，得(32)x108，
两边取以10为底的对数，
得xlg328，∴x8lg3－lg2，
∵8lg3－lg2＝80.477－0.301≈45.45，
∴x45.45.
答经过46小时，细胞总数超过1010个．
课后练习区
1．B[通过检验可知，y＝log2x较为接近．]
2．B[当0.5≤m1时，[m]＝0，f(m)＝1.06；
当1≤m2时，[m]＝1，f(m)＝1.59；
当2≤m3时，[m]＝2，f(m)＝2.12；
当3≤m≤3.1时，[m]＝3，f(m)＝2.65.]
3．B[设A、B两种商品的原价为a、b，
则a(1＋20%)2＝b(1－20%)2＝23
a＝23×2536，b＝23×2516，a＋b－46≈6元．]
4．B[设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y＝00x≤800，x－800×14%800x≤4000，11%xx4000.
如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4000元之间，
∴(x－800)×14%＝420，∴x＝3800.]
5．A[利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，
当x＝18时，L(x)有最大值．]
6．a(1＋b)a(1＋b)5
解析由于2009年的垃圾量为at，年增长率为b，故下一年的垃圾量为a＋ab＝a(1＋b)t，同理可知2011年的垃圾量为a(1＋b)2t，…，2014年的垃圾量为a(1＋b)5t.
7．2500m2
解析设所围场地的长为x，则宽为200－x4，其中0x200，场地的面积为x×200－x4≤14x＋200－x22
＝2500m2，
等号当且仅当x＝100时成立．
8．②④
9．解(1)由已知，
m－n＝92x－14－－14x2＋5x＋74
＝14x2－12x－2.……………………………………………………………………………(3分)
由m－n≥0，得x2－2x－8≥0，解得x≤－2或x≥4.
据题意，x0，所以x≥4.
故企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机．………………………………(6分)
(2)若企业亏损最严重，则n－m取最大值．
因为n－m＝－14x2＋5x＋74－92x＋14
＝－14x－12－9＝94－14(x－1)2.………………………………………………………(9分)
所以当x＝1时，n－m取最大值94，
此时m＝92－14＝174.
故当月总产值为174万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为94万元．………………(12分)
10．解设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，
则f(x)＝(560＋48x)＋2160×100002000x＝560＋48x＋10800x(x≥10，x∈N*)．…………(5分)
∵f(x)＝560＋48(x＋225x)≥560＋482x225x＝560＋48×30＝2000.……………(10分)
当且仅当x＝225x时，上式取等号，即x＝15时，f(x)min＝2000.
所以楼房应建15层．……………………………………………………………………(12分)
11．解(1)依题意有
y＝100x－575x≤10，[100－x－10×3]x－575x10，……………………………………………(4分)
由于y0且x∈N*，
由100x－5750，x≤10.得6≤x≤10，x∈N*.
由x10，[100－x－10×3]x－5750
得10x≤38，x∈N*，
所以函数为
y＝100x－575x∈N*，且6≤x≤10，－3x2＋130x－575x∈N*，且10x≤38，
定义域为{x|6≤x≤38，x∈N*}．…………………………………………………………(6分)
(2)当x＝10时，y＝100x－575(6≤x≤10，x∈N*)取得最大值425元，……………(8分)
当x10时，y＝－3x2＋130x－575，当且仅当x＝－1302×－3＝653时，y取最大值，但x∈N*，所以当x＝22时，y＝－3x2＋130x－575(10x≤38，x∈N*)取得最大值833元．(12分)
比较两种情况，可知当床位定价为22元时净收入最多．……………………………(14分)
