高考数学圆锥曲线复习教案。

一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责，作为高中教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生更好的消化课堂内容，使高中教师有一个简单易懂的教学思路。你知道如何去写好一份优秀的高中教案呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“高考数学圆锥曲线复习教案”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

90题突破高中数学圆锥曲线
1.如图，已知直线L：的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线上的射影依次为点D、E。
（1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；
（2）（理）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。
（文）若为x轴上一点,求证:

2.如图所示，已知圆定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E。
（1）求曲线E的方程；
（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足的取值范围。
3.设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q，且
⑴求椭圆C的离心率；
⑵若过A、Q、F三点的圆恰好与直线
l：相切，求椭圆C的方程.
4.设椭圆的离心率为e=
（1）椭圆的左、右焦点分别为F1、F2、A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程.
（2）求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，而且OQ1⊥OQ2．
5.已知曲线上任意一点P到两个定点F1(-，0)和F2(，0)的距离之和为4．
（1）求曲线的方程；
（2）设过(0，-2)的直线与曲线交于C、D两点，且为坐标原点），求直线的方程．
6.已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．
（Ⅰ）当m＋n0时，求椭圆离心率的范围；
（Ⅱ）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．
7.有如下结论：“圆上一点处的切线方程为”，类比也有结论：“椭圆处的切线方程为”，过椭圆C：的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为A、B.
（1）求证：直线AB恒过一定点；（2）当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积
8.已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．
（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；
（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．
9.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为，右焦点与点的距离为。
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率的直线：，使直线与椭圆相交于不同的两点满足，若存在，求直线的倾斜角；若不存在，说明理由。
10.椭圆方程为的一个顶点为，离心率。
（1）求椭圆的方程；
（2）直线：与椭圆相交于不同的两点满足，求。
11.已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为．
(1)若椭圆的离心率，求的方程；
（2）若的圆心在直线上，求椭圆的方程．
12.已知直线与曲线交于不同的两点，为坐标原点．
（Ⅰ）若，求证：曲线是一个圆；
（Ⅱ）若，当且时，求曲线的离心率的取值范围．
13.设椭圆的左、右焦点分别为、，A是椭圆C上的一点，且，坐标原点O到直线的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点，较y轴于点M，若，求直线l的方程．
14.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点的切线方程为为常数）.
（I）求抛物线方程；
（II）斜率为的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为的直线PB与抛物线的另一交点为B（A、B两点不同），且满足，求证线段PM的中点在y轴上；
（III）在（II）的条件下，当时，若P的坐标为（1，－1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.
15.已知动点A、B分别在x轴、y轴上，且满足|AB|=2，点P在线段AB上，且
设点P的轨迹方程为c。
（1）求点P的轨迹方程C；
（2）若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点（M、N不在坐标轴上），点Q
坐标为求△QMN的面积S的最大值。
16.设上的两点，
已知，，若且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由
17.如图，F是椭圆(ab0)的一个焦点，A,B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为．点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线l1：相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程：
（Ⅱ）过点A的直线l2与圆M交于PQ两点，且，求直线l2的方程．
18.如图，椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由.
19.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点.直线交椭圆于两不同的点.
20.设，点在轴上，点在轴上，且
（1）当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）设是曲线上的点，且成等差数列，当的垂直平分线与轴交于点时，求点坐标.
21.已知点是平面上一动点，且满足
（1）求点的轨迹对应的方程；
（2）已知点在曲线上，过点作曲线的两条弦和，且，判断：直线是否过定点？试证明你的结论.
22.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．
（1）求椭圆的方程：
（2）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；
（3）若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上．
23.过直角坐标平面中的抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点。
（1）用表示A，B之间的距离；
（2）证明：的大小是与无关的定值，
并求出这个值。
24.设分别是椭圆C：的左右焦点
(1)设椭圆C上的点到两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标
(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点B的轨迹方程
(3)设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。
25.已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
（I）求椭圆的方程；
（II）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；
（III）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足求的取值范围.
26.如图所示，已知椭圆：，、为
其左、右焦点，为右顶点，为左准线，过的直线：与椭圆相交于、
两点，且有：（为椭圆的半焦距）
（1）求椭圆的离心率的最小值；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若,，
求证：、两点的纵坐标之积为定值；
27.已知椭圆的左焦点为，左右顶点分别为，上顶点为，过三点作圆，其中圆心的坐标为
（1）当＞时，椭圆的离心率的取值范围
（2）直线能否和圆相切？证明你的结论
28.已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.
（I）证明:为定值;
（II）若△POM的面积为，求向量与的夹角；
(Ⅲ)证明直线PQ恒过一个定点.
29.已知椭圆C：上动点到定点,其中的距离的最小值为1.
（1）请确定M点的坐标
（2）试问是否存在经过M点的直线,使与椭圆C的两个交点A、B满足条件（O为原点）,若存在,求出的方程,若不存在请说是理由。
30.已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.
（Ⅰ）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；
（Ⅱ）在轴上是否存在点，使的值与无关？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
31.直线AB过抛物线的焦点F，并与其相交于A、B两点。Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点．O是坐标原点．
(I)求的取值范围；
(Ⅱ)过A、B两点分剐作此撒物线的切线，两切线相交于N点．求证：∥;
(Ⅲ)若P是不为1的正整数，当，△ABN的面积的取值范围为时，求该抛物线的方程．
32.如图，设抛物线（）的准线与轴交于，焦点为；以、为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为.
（Ⅰ）当时，求椭圆的方程及其右准线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线经过椭圆的右焦点，与抛物线交于、，如果以线段为直径作圆，试判断点与圆的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）是否存在实数，使得的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由．
33.已知点和动点满足：,且存在正常数，使得。
（1）求动点P的轨迹C的方程。
（2）设直线与曲线C相交于两点E，F，且与y轴的交点为D。若求的值。
34.已知椭圆的右准线与轴相交于点，右焦点到上顶点的距离为，点是线段上的一个动点.
（I）求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于、两点,使得,并说明理由.
35.已知椭圆C：(.
（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为，求椭圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下，设过定点的直线与椭圆C交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率k的取值范围;
（3）如图，过原点任意作两条互相垂直的直线与椭圆()相交于四点，设原点到四边形一边的距离为，试求时满足的条件.
36.已知若过定点、以()为法向量的直线与过点以为法向量的直线相交于动点．
(1)求直线和的方程;
(2)求直线和的斜率之积的值，并证明必存在两个定点使得恒为定值；
(3)在（2）的条件下，若是上的两个动点，且，试问当取最小值时，向量与是否平行，并说明理由。
37.已知点,点(其中)，直线、都是圆的切线．
（Ⅰ）若面积等于6，求过点的抛物线的方程；
（Ⅱ）若点在轴右边，求面积的最小值．
38.我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题。
（1）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，试求d1d2的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系。
（2）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线
（m、n不同时为0）的距离分别为d1、d2，且直线L与椭圆M相切，试求d1d2的值。
（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明。
（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）。
39.已知点为抛物线的焦点，点是准线上的动点，直线交抛物线于两点，若点的纵坐标为，点为准线与轴的交点．
（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）求的面积范围；
（Ⅲ）设，，求证为定值．
40.已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
（I）求椭圆的方程；
（II）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；
（III）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足求的取值范围.
41.已知以向量为方向向量的直线过点，抛物线：的顶点关于直线的对称点在该抛物线的准线上．
（1）求抛物线的方程；
（2）设、是抛物线上的两个动点，过作平行于轴的直线，直线与直线交于点，若（为坐标原点，、异于点），试求点的轨迹方程。
42.如图，设抛物线（）的准线与轴交于，焦点为；以、为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为.
（Ⅰ）当时，求椭圆的方程及其右准线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线经过椭圆的右焦点，
与抛物线交于、，如果以线段为直径作圆，
试判断点与圆的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）是否存在实数，使得的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由．
43.设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率且过椭圆右焦点的直线与椭圆C交于两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)是否存在直线，使得.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
(Ⅲ)若AB是椭圆C经过原点O的弦，MNAB，求证：为定值．
44.设是抛物线的焦点，过点M(－1，0)且以为方向向量的直线顺次交抛物线于两点。
（Ⅰ）当时，若与的夹角为，求抛物线的方程；
（Ⅱ）若点满足，证明为定值，并求此时△的面积
45.已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足.
（Ⅰ）当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设、为轨迹上两点，且1,0,，求实数，
使，且.
46.已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，P为C上任一点，MN是圆的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为的直线恰好与圆相切。
（1）已知椭圆的离心率；
（2）若的最大值为49，求椭圆C的方程.

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高考数学圆锥曲线最经典题型研究教案

圆锥曲线最经典题型研究
第一定义、第二定义、双曲线渐近线等考查

1、（2010辽宁理数）设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐
近线垂直，那么此双曲线的离心率为
(A)(B)(C)(D)
【答案】D
2、（2010辽宁理数）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|=
(A)(B)8(C)(D)16
【答案】B
3、（2010上海文数）8.动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为y28x。
4、（2010全国卷2理数）（15）已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则．
若双曲线-=1(b0)的渐近线方程式为y=，则ｂ等于。
【答案】1
5、已知椭圆的两焦点为,点满足,则||+|的取值范围为_______，直线与椭圆C的公共点个数_____。
6、已知点P是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，I为的内心，若成立，则双曲线的离心率为（▲）
A．4B．C．2D．

8、（2010重庆理数）（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是
A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线
解析：排除法轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B
9、（2010四川理数）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是
（A）（B）（C）（D）
解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，
即F点到P点与A点的距离相等
而|FA|＝
|PF|∈[a－c,a＋c]
于是∈[a－c,a＋c]
即ac－c2≤b2≤ac＋c2
∴
又e∈(0,1)
故e∈
答案：D
10、（2010福建理数）若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为()
A．B．C．D．
【答案】B
11、（北京市海淀区2010年4月高三第一次模拟考试理科试题）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形.若，双曲线的离心率的取值范围为.则该椭圆的离心率的取值范围是.
12、（2010年4月北京市西城区高三抽样测试理科）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则的最小值为___________.
13、（北京市东城区2010届高三第二学期综合练习理科）直线过双曲线的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若原点在以为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是．

14、（2010全国卷1文数）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠=，则
(A)2(B)4(C)6(D)8
15、（2010全国卷1理数）(9)已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则P到x轴的距离为
(A)(B)(C)(D)

16、（2010重庆理数）(14)已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,则弦AB的中点到准线的距离为___________.
解析：设BF=m,由抛物线的定义知
中，AC=2m,AB=4m,
直线AB方程为
与抛物线方程联立消y得
所以AB中点到准线距离为
17、（2010上海文数）已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点.
（1）若点满足，求点的坐标；
（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；
（3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆的两个交点、满足？令，，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标.
解析：(1)；
(2)由方程组，消y得方程，
因为直线交椭圆于、两点，
所以0，即，
设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，
则，
由方程组，消y得方程(k2k1)xp，
又因为，所以，
故E为CD的中点；
(3)因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率，从而得直线l的方程．
，直线OF的斜率，直线l的斜率，
解方程组，消y：x22x480，解得P1(6,4)、P2(8,3)．

18、（2010全国卷2理数）（21）（本小题满分12分）
己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．

19、（2010安徽文数）椭圆经过点，对称轴为坐标轴，
焦点在轴上，离心率。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程。
20、（2010全国卷1理数）（21）(本小题满分12分)
已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D.
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设，求的内切圆M的方程.

21、（2010江苏卷）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m0,。
（1）设动点P满足,求点P的轨迹；
（2）设，求点T的坐标；
（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。

22、在直角坐标系中，点M到点的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线与轨迹C交于不同的两点P和Q.
（I）求轨迹C的方程；
（II）当时，求k与b的关系，并证明直线过定点.
解：（1）的距离之和是4，
的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，
其方程为…………3分
（2）将，代入曲线C的方程，
整理得
…………5分
因为直线与曲线C交于不同的两点P和Q，
所以①
设，则
②…………7分
且③
显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A（-2，0），
所以
由
将②、③代入上式，整理得…………10分
所以
即经检验，都符合条件①
当b=2k时，直线的方程为
显然，此时直线经过定点（-2，0）点.
即直线经过点A，与题意不符.
当时，直线的方程为
显然，此时直线经过定点点，且不过点A.
综上，k与b的关系是：
且直线经过定点点…………13分

23、（北京市朝阳区2010年4月高三年级第二学期统一考试理科）（本小题满分13分）
已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C的离心率为，且经过点，过点P（2，1）的直线与椭圆C在第一象限相切于点M.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求直线的方程以及点M的坐标；
（3））是否存过点P的直线与椭圆C相交于不同的两点A、B，满足？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由.
解（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由题意得
解得，故椭圆C的方程为.……………………4分
（Ⅱ）因为过点P（2，1）的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可调直线l的议程为
由得.①
因为直线与椭圆相切，所以
整理，得解得[
所以直线l方程为
将代入①式，可以解得M点横坐标为1，故切点M坐标为…………9分
（Ⅲ）若存在直线l1满足条件，的方程为，代入椭圆C的方程得
因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为
所以
所以.
又，
因为即，
所以.
即
所以，解得
因为A，B为不同的两点，所以.
于是存在直线1满足条件，其方程为………………………………13分
24、直线的右支交于不同的两点A、B.
（I）求实数k的取值范围；
（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
答案：.解：（Ⅰ）将直线
……①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得
……②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）.
则由FA⊥FB得：
整理得
……③
把②式及代入③式化简得
解得
可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.

圆锥曲线

古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教师要准备好教案，这是高中教师的任务之一。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，让高中教师能够快速的解决各种教学问题。优秀有创意的高中教案要怎样写呢？下面是小编为大家整理的“圆锥曲线”，希望能对您有所帮助，请收藏。

一、的最值
若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离心率，求的最小值。
例1.已知椭圆内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。
分析：注意到式中的数值“”恰为，则可由椭圆的第二定义知等于椭圆上的点P到左准线的距离。这种方法在本期《椭圆中减少运算量的主要方法》一文中已经介绍过，这里不再重复，答案为。
二、的最值
若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。
例2.已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。
解：如图1，设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0）
图1
由椭圆的第一定义得：
可知，当P为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为，当P为的延长线与椭圆的交点时，最小，最小值为。
故的最大值为，最小值为。
三、的最值
若A为椭圆C外一定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到的距离为d，求的最小值。
例3.已知椭圆外一点A（5，6），为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。
解：如图2，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为
图2
根据椭圆的第二定义有：，即
可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时，最小，最小值。
故的最小值为10。
四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值
例4.定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。
解：设F为椭圆的右焦点，如图3，作于A”，BB”⊥于B”，MM”⊥于M”
图3
则
当且仅当AB过焦点F时等号成立。
故M到椭圆右准线的最短距离为。
评注：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，是AB能过焦点的充要条件。

高考数学圆锥曲线经典例题及总结教案

圆锥曲线
1.圆锥曲线的两定义：
第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
（1）椭圆：焦点在轴上时（），焦点在轴上时＝1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。
（2）双曲线：焦点在轴上：=1，焦点在轴上：＝1（）。方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。
（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
提醒：在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。

4.圆锥曲线的几何性质：
（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。
（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线；⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：。
（3）抛物线（以为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线；⑤离心率：，抛物线。
5、点和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上＝1；（3）点在椭圆内

6．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：直线与椭圆相交；直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
（2）相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；
（3）相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。

提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。
7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：，当即为短轴端点时，的最大值为bc；对于双曲线。如（1）短轴长为，
8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦，M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。

9、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，若弦AB所在直线方程设为，则＝。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
抛物线：
在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。
提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！

11．了解下列结论
（1）双曲线的渐近线方程为；
（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，≠0）。
（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；
（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为；
（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；
（6）若抛物线的焦点弦为AB，，则①；②
（7）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点

12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1）给出直线的方向向量或；
（2）给出与相交,等于已知过的中点;
（3）给出,等于已知是的中点;
（4）给出,等于已知与的中点三点共线;
（5）给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.
（6）给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角,给出,等于已知是锐角,
（8）给出,等于已知是的平分线/
（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;
（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;
（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（14）在中，给出等于已知通过的内心；
（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（16）在中，给出,等于已知是中边的中线;
（3）已知A,B为抛物线x2=2py(p0)上异于原点的两点，，点C坐标为（0，2p）
（1）求证：A,B,C三点共线；
（2）若＝（）且试求点M的轨迹方程。
（1）证明：设，由得
，又
，，即A,B,C三点共线。
（2）由（1）知直线AB过定点C，又由及＝（）知OMAB，垂足为M，所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x0，y0)。

13.圆锥曲线中线段的最值问题：
例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点P的坐标为______________
(2)抛物线C:y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。
分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。
（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。解：（1）（2，）（2）（）
1、已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足(其中O为原点)，求k的取值范围。
解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为，则
故C2的方程为（II）将
由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得
即①
.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得
解此不等式得③
由①、②、③得
故k的取值范围为
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y=-3上，M点满足MB//OA，MAAB=MBBA，M点的轨迹为曲线C。
（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。
(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=（-x,-1-y）,=(0,-3-y),=(x,-2).再由愿意得知（+）=0,即（-x,-4-2y）(x,-2)=0.
所以曲线C的方程式为y=x-2.(Ⅱ)设P(x,y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x因此直线的方程为，即。
则O点到的距离.又，所以
当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.
设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于()
设双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为().
过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为
已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则＝()0

已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则()

已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（）

设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为_____________.
椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则；的大小为.

过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则________________
【解析】设切点，则切线的斜率为.由题意有又解得:
双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,
由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且或.不妨去，则，.
∴＝
【解析】设抛物线的准线为直线
恒过定点P.如图过分别作于,于,由,则,点B为AP的中点.连结,则,
点的横坐标为,故点的坐标为
,故选D
1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
6.若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
7.椭圆(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.
8.椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：
,(,).
9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
11.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，
即。
12.若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.
13.若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.
二、双曲线
1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）
5.若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.
6.若在双曲线（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
7.双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.
8.双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(,
当在右支上时，,.
当在左支上时，,
9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
11.AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。
12.若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.
13.若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
椭圆
1.椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
2.过椭圆(a＞0,b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
3.若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,,，则.
4.设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记,,，则有.
5.若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6.P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.
7.椭圆与直线有公共点的充要条件是.
8.已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.
9.过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.
10.已知椭圆（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则.
11.设P点是椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2).
12.设A、B是椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，,,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2).(3).
13.已知椭圆（a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF的中点.
14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
双曲线
1.双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
2.过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
3.若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,,，则（或）.
4.设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记,,，则有.
5.若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6.P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.
7.双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.
8.已知双曲线（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.
（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.
9.过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.
10.已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则或.
11.设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2).
12.设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，,,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).
(2).(3).
13.已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF的中点.
14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

其他常用公式：
1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：
2、直线的一般式方程：任何直线均可写成(A,B不同时为0)的形式。
3、知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)
与直线垂直的直线可表示为。
4、两平行线间的距离为。
5、若直线与直线平行
则（斜率）且（在轴上截距）（充要条件）
6、圆的一般方程：，特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆。二元二次方程表示圆的充要条件是且且。
7、圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元：；
8、为直径端点的圆方程
切线长：过圆（）外一点所引圆的切线的长为（）
9、弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；②过两圆、交点的圆(公共弦)系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.。

攻克圆锥曲线解答题的策略
摘要:为帮助高三学生学好圆锥曲线解答题，提高成绩，战胜高考，可从四个方面着手：知识储备、方法储备、思维训练、强化训练。
关键词：知识储备方法储备思维训练强化训练
第一、知识储备：
1.直线方程的形式
（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
（2）与直线相关的重要内容
①倾斜角与斜率
②点到直线的距离③夹角公式：
（3）弦长公式
直线上两点间的距离：
或
（4）两条直线的位置关系
①=-1②
2、圆锥曲线方程及性质
(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）
标准方程：
距离式方程：
参数方程：
(2)、双曲线的方程的形式有两种
标准方程：
距离式方程：
(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？
(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？
如：已知是椭圆的两个焦点，平面内一个动点M满足则动点M的轨迹是（）
A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线
(5)、焦点三角形面积公式：
（其中）
(6)、记住焦半径公式：（1），可简记为“左加右减，上加下减”。
（2）
（3）
(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？
第二、方法储备
1、点差法（中点弦问题）
设、，为椭圆的弦中点则有
，；两式相减得
=
2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？
设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为，就意味着k存在。
例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.
（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;
（2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.
分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为可得出AB⊥AC，从而得，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；
解：（1）设B（,）,C(,),BC中点为(),F(2,0)则有
两式作差有(1)
F(2,0)为三角形重心，所以由，得，由得，代入（1）得
直线BC的方程为
2)由AB⊥AC得（2）
设直线BC方程为，得
，
代入（2）式得
，解得或
直线过定点（0，，设D（x,y），则，即
所以所求点D的轨迹方程是。
4、设而不求法
例2、如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围。
分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系，如图，若设C，代入，求得，进而求得再代入，建立目标函数，整理，此运算量可见是难上加难.我们对可采取设而不求的解题策略,
建立目标函数，整理,化繁为简.
解法一：如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则CD⊥轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称
依题意，记A，C，E，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得
，
设双曲线的方程为，则离心率
由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得
，①
②
由①式得，③
将③式代入②式，整理得
，
故
由题设得，
解得
所以双曲线的离心率的取值范围为
分析：考虑为焦半径,可用焦半径公式,用的横坐标表示，回避的计算,达到设而不求的解题策略．
解法二：建系同解法一，，
，又，代入整理，由题设得，
解得
所以双曲线的离心率的取值范围为
5、判别式法
例3已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标。
分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与平行的直线，必与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式.由此出发，可设计如下解题思路：
解题过程略.
分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路：

简解：设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为：
于是，问题即可转化为如上关于的方程.
由于，所以，从而有
于是关于的方程
由可知：
方程的二根同正，故恒成立，于是等价于
.
由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得.
点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.
例4已知椭圆C:和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.
分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.
由于点的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率作为参数，如何将与联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到，要建立与的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.
通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.

在得到之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于的方程（不含k），则可由解得，直接代入即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。
简解：设，则由可得：，
解之得：（1）
设直线AB的方程为：，代入椭圆C的方程，消去得出关于x的一元二次方程：
（2）
∴
代入（1），化简得：(3)
与联立，消去得：
在（2）中，由，解得，结合（3）可求得
故知点Q的轨迹方程为：（）.
点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到.这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.
6、求根公式法
例5设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.
分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展,问题的根源在于对题目的整体把握不够.事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.
分析1:从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k.问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.

简解1：当直线垂直于x轴时，可求得;
当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得
解之得
因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.
当时，，，
所以===.
由,解得，
所以，
综上.
分析2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式.原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.

简解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得
（*）
则
令，则，
在（*）中，由判别式可得，
从而有，所以，解得.
结合得.
综上，.
点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.
解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.
第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。
例6椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由。
思维流程：

解题过程：
（Ⅰ）如图建系，设椭圆方程为,则
又∵即，∴
故椭圆方程为
（Ⅱ）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则
设，∵，故，
于是设直线为，由得，
∵又
得即
由韦达定理得
解得或（舍）经检验符合条件．
点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零．
例7、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．
（Ⅰ）求椭圆的方程：
（Ⅱ）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当Δ内切圆的面积最大时，求Δ内心的坐标；
思维流程：
（Ⅰ）

解题过程：（Ⅰ）设椭圆方程为，将、、代入椭圆E的方程，得
解得.∴椭圆的方程．
（Ⅱ），设Δ边上的高为
当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以的最大值为．
设Δ的内切圆的半径为，因为Δ的周长为定值6．所以，
所以的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为.
点石成金：
例8、已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.
（Ⅰ）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；
（Ⅱ）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
思维流程：
（Ⅰ）解：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，
将代入，消去整理得
设
则
由线段中点的横坐标是，得，解得，符合题意。
所以直线的方程为，或.
（Ⅱ）解：假设在轴上存在点，使为常数.
①当直线与轴不垂直时，由（Ⅰ）知
所以
将代入，整理得
注意到是与无关的常数，从而有，此时
②当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为，当时，亦有
综上，在轴上存在定点，使为常数.
点石成金：
例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m（m≠0），交椭圆于A、B两个不同点。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
思维流程：
解：（1）设椭圆方程为
则∴椭圆方程为
（Ⅱ）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m
又KOM=
由
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
（Ⅲ）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可
设
则
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
点石成金：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形
例10、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.
思维流程：
解：∵（1）原点到直线AB：的距离.
故所求双曲线方程为
（2）把中消去y，整理得.
设的中点是，则
即
故所求k=±.
点石成金:C，D都在以B为圆心的圆上BC=BDBE⊥CD;
例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（II）若直线y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
思维流程：
解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，
由已知得：，
椭圆的标准方程为．
（II）设．
联立
得，则
又．
因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，
，即.．
．．
解得：，且均满足．
当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；
当时，的方程为，直线过定点．
所以，直线过定点，定点坐标为．
点石成金：以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点CA⊥CB;
例12、已知双曲线的左右两个焦点分别为,点P在双曲线右支上.
（Ⅰ）若当点P的坐标为时,,求双曲线的方程；
（Ⅱ）若,求双曲线离心率的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.
思维流程：
解：（Ⅰ）(法一)由题意知,,,
,（1分）
解得.由双曲线定义得:
,
所求双曲线的方程为:
(法二)因,由斜率之积为,可得解.
（Ⅱ）设,
(法一)设P的坐标为,由焦半径公式得,,，
的最大值为2,无最小值.此时,
此时双曲线的渐进线方程为
(法二)设,.
(1)当时,,
此时.
(2)当,由余弦定理得:
,
,,综上,的最大值为2,但无最小值.(以下法一)

几何圆锥曲线

第十章圆锥曲线
★知识网络★

第1讲椭圆
★知识梳理★
1.椭圆定义：
（1）第一定义：平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.
当时,的轨迹为椭圆;;
当时,的轨迹不存在;
当时,的轨迹为以为端点的线段
（2）椭圆的第二定义:平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为椭圆
（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.

2.椭圆的方程与几何性质:
标准方程

性

质参数关系

焦点

焦距

范围

顶点

对称性关于x轴、y轴和原点对称
离心率

准线

3.点与椭圆的位置关系:
当时,点在椭圆外;当时,点在椭圆内;当时,点在椭圆上;
4.直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆相交;直线与椭圆相切;直线与椭圆相离
★重难点突破★
重点:掌握椭圆的定义标准方程，会用定义和求椭圆的标准方程，能通过方程研究椭圆的几何性质及其应用
难点:椭圆的几何元素与参数的转换
重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究椭圆的性质，把握几何元素转换成参数的关系
1.要有用定义的意识
问题1已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=______________。
[解析]的周长为，=8
2.求标准方程要注意焦点的定位
问题2椭圆的离心率为，则
[解析]当焦点在轴上时，；
当焦点在轴上时，，
综上或3
★热点考点题型探析★
考点1椭圆定义及标准方程
题型1:椭圆定义的运用
[例1](湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是
A．4aB．2(a－c)C．2(a+c)D．以上答案均有可能
[解析]按小球的运行路径分三种情况:
(1),此时小球经过的路程为2(a－c);
(2),此时小球经过的路程为2(a+c);
(3)此时小球经过的路程为4a,故选D
【名师指引】考虑小球的运行路径要全面
【新题导练】
1.（2007佛山南海）短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（）
A.3B.6C.12D.24
[解析]C.长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=12
2.(广雅中学2008—2009学年度上学期期中考)已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（）
A．5B．7C．13D．15
[解析]B.两圆心C、D恰为椭圆的焦点，，的最小值为10-1-2=7
题型2求椭圆的标准方程
[例2]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程.
【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来
[解析]设椭圆的方程为或，
则，
解之得：，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为或.
【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数的数量关系．
［警示］易漏焦点在y轴上的情况．
【新题导练】
3.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.
[解析](0,1).椭圆方程化为+=1.焦点在y轴上，则2，即k1.
又k0，∴0k1.
4.已知方程,讨论方程表示的曲线的形状
[解析]当时，，方程表示焦点在y轴上的椭圆，
当时，，方程表示圆心在原点的圆，
当时，，方程表示焦点在x轴上的椭圆
5.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程.
[解析]，，所求方程为+=1或+=1.
考点2椭圆的几何性质
题型1:求椭圆的离心率（或范围）
[例3]在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．
【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率
[解析]，
，
【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定
（2）只要列出的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）
（3）“焦点三角形”应给予足够关注
【新题导练】
6.(执信中学2008-2009学年度第一学期高三期中考试)如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为
....
[解析]选
7.（江苏盐城市三星级高中2009届第一协作片联考）已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆的离心率为
[解析]由，椭圆的离心率为
8.(山东济宁2007—2008学年度高三第一阶段质量检测)
我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球。嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆。若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m，远地点到地心的距离为n，第二次变轨后两距离分别为2m、2n（近地点是指卫星距离地面最近的点，远地点是距离地面最远的点），则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率（）
A．不变B.变小C.变大D.无法确定
[解析]，，选A
题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）
[例4]已知实数满足,求的最大值与最小值
【解题思路】把看作的函数
[解析]由得,
当时,取得最小值,当时,取得最大值6
【名师指引】注意曲线的范围，才能在求最值时不出差错
【新题导练】
9.已知点是椭圆（，）上两点,且,则=
[解析]由知点共线,因椭圆关于原点对称,
10.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点
则________________
［解析］由椭圆的对称性知：．
考点3椭圆的最值问题
题型:动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值
[例5]椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为___________．
【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数
[解析]在椭圆上任取一点P,设P().那么点P到直线l的距离为：
【名师指引】也可以直接设点，用表示后，把动点到直线的距离表示为的函数，关键是要具有“函数思想”
【新题导练】
11.椭圆的内接矩形的面积的最大值为
[解析]设内接矩形的一个顶点为，
矩形的面积
12.是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，求的最大值与最小值
[解析]
当时，取得最大值，
当时，取得最小值
13.（2007惠州）已知点是椭圆上的在第一象限内的点，又、，
是原点，则四边形的面积的最大值是_________．
[解析]设，则
考点4椭圆的综合应用
题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题
[例6]已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴端点为,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．
（1）求椭圆方程；
（2）求m的取值范围．
【解题思路】通过，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式
[解析]（1）由题意可知椭圆为焦点在轴上的椭圆，可设
由条件知且，又有，解得
故椭圆的离心率为，其标准方程为：
（2）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）
y＝kx＋m2x2＋y2＝1得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0
Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）0（*）
x1＋x2＝－2kmk2＋2，x1x2＝m2－1k2＋2
∵AP＝3PB∴－x1＝3x2∴x1＋x2＝－2x2x1x2＝－3x22
消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（－2kmk2＋2）2＋4m2－1k2＋2＝0
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0
m2＝14时，上式不成立；m2≠14时，k2＝2－2m24m2－1，
因λ＝3∴k≠0∴k2＝2－2m24m2－10，∴－1m－12或12m1
容易验证k22m2－2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范围为（－1，－12）∪（12，1）
【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能
【新题导练】
14.(2007广州四校联考)设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（）
A.B.
C.D.
[解析]，选A.
15.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围。

解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0）
由题设可得
∴动点P的轨迹方程为，
则
∴曲线E方程为
（2）直线MN的方程为
由
∴方程有两个不等的实数根
∵∠MBN是钝角
即
解得：
又M、B、N三点不共线
综上所述，k的取值范围是
★～～抢分频道★
基础巩固训练
1.如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为()
ABCD
[解析]B.
2.（广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试）设F1、F2为椭圆+y2=1的两焦点，P在椭圆上，当△F1PF2面积为1时，的值为
A、0B、1C、2D、3
[解析]A.，P的纵坐标为，从而P的坐标为，0，
3.(广东广雅中学2008—2009学年度上学期期中考)椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是
A．B．C．D．
[解析]D.,,两式相减得：，，
4.在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．
[解析]
5.已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若,则此椭圆的离心率为_________.
[解析][三角形三边的比是]
6.(2008江苏)在平面直角坐标系中，椭圆1(0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=．
[解析]
综合提高训练
7、已知椭圆与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率．求椭圆方程
[解析]直线l的方程为：
由已知①
由得：
∴，即②
由①②得：
故椭圆E方程为
8.(广东省汕头市金山中学2008－2009学年高三第一次月考)
已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求的值。
[解析]（1）∵点是线段的中点
∴是△的中位线
又∴
∴
∴椭圆的标准方程为=1
（2）∵点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点
∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2

在△ABC中，由正弦定理，
∴＝
9.(海珠区2009届高三综合测试二)已知长方形ABCD,AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.
(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.