高中立体几何教案
发表时间：2020-11-19高二数学几何解析法教案5。
俗话说，凡事预则立，不预则废。作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生更好的消化课堂内容，减轻教师们在教学时的教学压力。怎么才能让教案写的更加全面呢？小编特地为大家精心收集和整理了“高二数学几何解析法教案5”，欢迎大家与身边的朋友分享吧！
几何解析法
教学要求：更进一步熟练运用两点间的距离公式、定比分点的坐标公式、线段的中点坐标公式，掌握用解析法研究几何问题。
教学重点：解析法的运用。
教学难点：如何抓住几何特征建系、设点、列式。
教学过程：
一、复习准备：
1.λ＝＝＝；
2.定比分点、中点、重心G
AB
E
F
DC
二、讲授新课：
1.教学解析法例题：
①出示例：正方形ABCD中，过顶点D作DE∥CA，|CE|＝|CA|，且CE交边DA于F，求证：|AE|＝|AF|。
②分析：本题用解析法证明时，如何建立直角坐标系？如何设各点的坐标？
→由几何特点设A(0,1)、B(1,1)、C(1,0)，E(x，-x)后，如何求F点的坐标？（由所点E、C的坐标及F的x坐标，求出F分的定比，再求F的y坐标）
y
C
ABx
③师生共同写出证明过程。
④讨论：如何用几何方法证明？
2.练习：
用解析法证明：到三角形三个顶点的距离的平方和最小的点是三角形的重心。
解法：建系设点→列出距离平方和的式子→分拆成两个二次函数研究。
3、小结：
解析法步骤（建系设点→列式→求解）；注意抓住几何特征建系、设点、列式。
三、巩固练习：
1.已知A(-1,1)、B(2,-1)，求满足下列条件的点P：
①反向延长到P，使|BP|＝|AB|；
②点P在直线AB上，又在x轴上。
（解法关键：计算λ）
2.设P、A、B、C是同一直线上任意四点，求证：PA×BC＋PB×CA＋PC×AB＝0
3.课堂作业：书P47、1、3题。
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高二数学数学归纳法007
俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。高中教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助高中教师在教学期间更好的掌握节奏。那么一篇好的高中教案要怎么才能写好呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“高二数学数学归纳法007”，希望能对您有所帮助，请收藏。
数学归纳法教学目标
1.了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力．
2.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．
3.抽象思维和概括能力进一步得到提高．
教学重点与难点
重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析．
难点：数学归纳法中递推思想的理解．
教学过程设计
（一）引入
师：从今天开始，我们来学习数学归纳法．什么是数学归纳法呢?应该从认识什么是归纳法开始．
（板书课题．数学归纳法）
（二）什么是归纳法（板书）
师：请看下面几个问题，并由此思考什么是归纳法，归纳法有什么特点．
问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办?
（可准备一袋白球．问题用小黑板或投影幻灯片事先准备好）
生：把它例出来看一看就可以了．
师：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．顺序操作怎么做?
生：一个一个拿，拿一个看一个．
师：对．问题的结果是什么呢?
（演示操作过程）
第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．问题2：在数列｛an｝中，a1＝1，an+1＝（n∈N+），先计算a2，a3，a4的值，再推测通项an的公式．（问题由小黑板或投影幻灯片给出）
生：a2＝，a3＝，a4＝．由此得到：an＝（n∈N+）．
师：同学们解决以上两个问题用的都是归纳法，你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗?
生：归纳法是由一些特殊事例推出一般结论的推理方法．
特点是由特殊一般（板书）．
师：很好!其实在中学数学中，归纳法我们早就接触到了．例如，给出数列的前四项，求它的一个通项公式用的是归纳法，确定等差数列、等比数列项公式用的也是归纳法，今后的学高考￥资%源~网习还会看到归纳法的运用．
在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．
还应该指出，问题1和问题2运用的归纳法还是有区别的．问题1中，一共12个球，全看了，由此而得了结论．这种把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法．对于问题2，由于自然有无数个，用完全归纳法去推出结论就不可能，它是由前4项体现的规律，进行推测，得出结论的，这种归纳法称为不完全归纳法．
（三）归纳法的认识（板书）
归纳法分完全归纳法和不完全归纳法（板书）．
师；用不完全归纳法既然要推测，推测是要有点勇气的，请大家鼓起勇气研究问题3．
问题3：对于任意自然数n，比较7n-3与6（7n+9）的大小．（问题由小黑板或投影幻灯片给出）（给学生一定的计算、思考时间）
生：经过计算，我的结论是：对任意n∈N+，7n-3＜6（7n+9）．
师：你计算了几个数得到的结论?
生：4个．
师：你算了n＝1，n＝2，n＝3，n＝4这4个数，而得到的结论，是吧?
生：对．
师：有没有不同意见?
生：我验了n＝8，这时有7n-3＞6（7n+9），而不是7n-3＜6（7n+9）．他的结论不对吧!师：那你的结论是什么呢?
（动员大家思考，纠正）
生：我的结论是：
当n＝1，2，3，4，5时，7n-3＜6（7n+9）；
当n＝6，7，8，…时，7n-3＞6（7n+9）．
师：由以上的研究过程，我们应该总结什么经验呢?
首先要仔细地占有准确的材料，不能随便算几个数，就作推测．请把你们计算结果填入下表内：
师：依据数据作推测，决不是乱猜．要注意对数据作出谨慎地分析．由上表可看到，当n依1，2，3，4，…变动时，相应的7n-3的值以后一个是前一个的7倍的速度在增加，而6（7n+9）相应值的增长速度还不到2倍．完全有理由确认，当n取较大值时，7n-3＞6（7n+9）会成立的．
师：对问题3推测有误的同学完全不必过于自责，接受教训就可以了．其实在数学史上，一些世界级的数学大师在运用归纳法时，也曾有过失误．
资料1（事先准备好，由学生阅读）
费马（Fermat）是17世纪法国著名数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的的创始者之一，他对数论也有许多贡献．
但是，费马曾认为，当n∈N+时，+1一定都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．
18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了+1＝4294967297＝6700417×641，从而否定了费马的推测．
师：有的同学说，费马为什么不再多算一个数呢?今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上!
再请看数学史上的另一个资料（仍由学生阅读）：
资料2
f（n）＝n2+n+41,当n∈N+时，f（n）是否都为质数?
f（0）=41,f（1）＝43,f（2）＝47,f（3）＝53,f（4）＝61,
f（5）＝71,f（6）＝83,f（7）＝97,f（8）＝113,f（9）＝131,
f（10）＝151，…f（39）＝1601．
但f（40）＝1681＝412是合数．
师：算了39个数不算少了吧，但还不行!我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来．
师：归纳法为什么会出错呢?
生：完全归纳法不会出错．
师：对!但运用不完全归纳法是不可避免的，它为什么会出错呢?
生：由于用不完全归纳法时，一般结论的得出带有猜测的成份．
师：完全同意．那么怎么办呢?
生：应该予以证明．
师：大家同意吧?对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准．对于数学问题，应寻求数学证明．
（四）归纳与证明（板书）
师：怎么证明呢?请结合以下问题1思考．
生：问题1共12个球，都看了，它的正确性不用证明了．
师：也可以换个角度看，12个球，一一验看了，这一一验看就可以看作证明．数学上称这种证法为穷举法．它体现了分类讨论的思想．
师：如果这里不是12个球，而是无数个球，我们用不完全归纳法得到，这袋球全是白球，那么怎么证明呢?（稍作酝酿，使学生把注意力更集中起来）
师：这类问题的证明确不是一个容易的课题，在数学史上也经历了多年的酝酿．第一个正式研究此课题的是意大利科学家莫罗利科．他运用递推的思想予以证明．
结合问题1来说，他首先确定第一次拿出来的是白球．
然后再构造一个命题予以证明．命题的条件是：“设某一次拿出来的是白球”，结论是“下一次拿出来的也是白球”．这个命题不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的到底是不是白球，而是研究若某一次是白球这个条件能保证下一次也是白球的逻辑必然性．
大家看，是否证明了上述两条，就使问题得到解决了呢?
生：是．第一次拿出的是白球已确认，反复运用上述构造的命题，可得第二次、第三次、第四次、……拿出的都是白球．
师：对．它使一个原来无法作出一一验证的命题，用一个推一个的递推思想得到了证明．生活上，体现这种递推思想的例子也是不少的，你能举出例子来吗?
生：一排排放很近的自行车，只要碰倒一辆，就会倒下一排．
生：再例如多米诺骨牌游戏．
（有条件可放一段此种游戏的录相）
师：多米诺骨牌游戏要取得成功，必须靠两条：
（1）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒；
（2）第一张牌被推倒．
用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法．
（五）数学归纳法（板书）
师：用数学归纳法证明以上推测问题而得的命题，应该证明什么呢?
生：先证n＝1时，公式成立（第一步）；
再证明：若对某个自然数（n＝k）公式成立，则对下一个自然数（n＝k+1）公式也成立（第二步）．
师：这两步的证明自己会进行吗?请先证明第一步．
生：当n＝1时，左式＝a1＝1，右式＝＝1．此时公式成立．
（应追问各步计算推理的依据）
师：再证明第二步．先明确要证明什么?
生：设n＝k时，公式成立，即ak＝．以此为条件来证明n＝k+1时，公式也成立，即ak+1＝也成立．
师：应注意，这里是证明递推关系成立，证明ak+1＝成立时，必须用到ak＝这个条件生：依已知条件，ak+1＝．
师：于是由上述两步，命题得到了证明．这就是用数学归纳法进行的证明的基本要求．
师：请小结一下用数学归纳法作证明应有的基本步骤．
生：共两步（学生说，教师板书）：
（1）n＝1时，命题成立；
（2）设n＝k时命题成立，则当n＝k+1时，命题也成立．
师：其实第一步一般来说，是证明开头者命题成立．例如，对于问题3推测得的命题：当n＝6，7，8，…时，7n-3＞6（7n+9）．第一步应证明n＝6时，不等式成立．
（若有时间还可讨论此不等关系证明的第二步，若无时间可布置学生课下思考）
（六）小结
师：把本节课内容归纳一下：
（1）本节的中心内容是归纳法和数学归纳法．
（2）归纳法是一种由特殊到一般的推理方法．分完全归纳法和不完全归纳法二种．
（3）由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确，因而必须作出证明，证明可用数学归纳法进行．
（4）数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推（递归）思想，它的操作步骤必须是二步．
数学归纳法在数学中有广泛的应用，将从下节课开始学习．
（七）课外作业
（1）阅读课本
（2）书面作业课堂教学设计说明
1.数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢?于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n＝k时命题成立呢?教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．
数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．
把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试．
2.在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是在于加强学生对教学过程的参与程度．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，尽快提出适当的问题，并提出思维要求，让学生尽快投入到思维活动中来，是十分重要的．这就要求教师把每节课的课题作出层次分明的分解，并选择适当的问题，把课题的研究内容落于问题中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得新的发展．本节课的教学设计也想在这方面作些研究．3.理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n＝k+1命题成立时必须用到n＝k时命题成立这个条件．
例如用数学归纳法证明：（n∈N+）时，其中第二步采用下面证法：
设n＝k时，等式成立，即，则当n＝k+1时，
，
即n＝k+1时等式也成立．
这是不正确的．因为递推思想要求的不是n＝k，n＝k+1时命题到底成立不成立，而是n＝k时命题成立作为条件能否保证n＝k+1时命题成立这个结论正确，即要求的这种逻辑关系是否成立．证明的主要部分应改为
以下理解不仅是正确认识数学归纳法的需要，也为第二步证明过程的设计指明了正确的思维方向
高三数学解析几何综合问题
高考数学专题复习解析几何综合问题
一．高考要求
解析几何历来是高考的重要内容之一，所占分值在30分以上，大题小题同时有，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题．
二．两点解读
重点：①运用方程（组）求圆锥曲线的基本量；②运用函数、不等式研究圆锥曲线有关量的范围；③运用“计算”的方法证明圆锥曲线的有关性质．
难点：①对称性问题；②解析几何中的开放题、探索题、证明题；③数学思想的运用．
三．课前训练
1．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值（D）
（A）（B）（C）（D）
2．已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是(C)
（A）（B）6（C）（D）12
3．椭圆的内接矩形的面积最大值为
4．两点，动点P在线段AB上运动，则xy的最大值为3
四．典型例题
例1和圆关于直线对称的圆的方程是（）(A)(B)
(C)(D)
解：只要求圆心关于直线的对称点的坐标为，半径不变，故选A
例2椭圆的一个焦点是，那么
解：椭圆化为，解得：
例3直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为（）
（A）（B）（C）（D）
解：由得，，
，中点
，选B
例4设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使的面积为1的点P的个数为()
（A）1(B)2(C)3(D)4
解：直线为，观察图形可知在直线右侧不可能存在点，在左侧有两个点，故选B
例5已知三点P（5，2）、（-6，0）、（6，0）
（Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程．
解：（I）由题意，可设所求椭圆的标准方程为+，其半焦距
，∴，
，故所求椭圆的标准方程为+；
（II）点P（5，2）、（-6，0）、（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：
、（0，-6）、（0，6）
设所求双曲线的标准方程为-，由题意知半焦距，
，∴，
，故所求双曲线的标准方程为
例6如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若点P在直线上运动，求∠F1PF2的最大值．
解：解：(Ⅰ)设椭圆方程为，半焦距为，则
高二数学数学归纳法的应用008
一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助教师能够井然有序的进行教学。写好一份优质的教案要怎么做呢？以下是小编为大家收集的“高二数学数学归纳法的应用008”仅供您在工作和学习中参考。
7.5数学归纳法的应用一、教学内容分析
1．本小节的重点是用数学归纳法证明等式、证明数或式的整除.教学时应对书写与表达提出严格的要求.尤其是在证明数或式的整除性时，更要注意说理清楚，并以此作为培养学生逻辑推理能力的一个抓手.
2．本小节的难点是用数学归纳法证明数或式的整除性.突破难点的关键是在授课时要重点分析“补项法”的证明思路：通过补项为运用归纳假设创造条件.不要让学生单纯机械地模仿.另外还常用作差方法，通过相减后，证明差能被某数（或某式）整除,再利用归纳假设可得当n=k+1时命题成立.
二、教学目标设计
1．会用数学归纳法证明等式；
2．会用数学归纳法证明数或式的整除；
3．进一步掌握数学归纳法的证明步骤与数学归纳法的实质.
三、教学重点及难点：
用数学归纳法证明等式、证明数或式的整除.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
1．复习回顾：
用数学归纳法证明命题的两个步骤，是缺一不可的.如果只完成步骤（i）而缺少步骤（ii）不能说明命题对从n0开始的一切正整数n都成立.
如+1，当n=0、1、2、3、4时都是素数，而n=5时，+1=641×6700417不是素数.
同样只有步骤（ii）而缺少步骤（i），步骤（ii）的归纳假设就没有根据，递推就没有基础，就可能得出不正确的结论.
如2+4+6+…+2k=k2+k+a（a为任何数）
2．讲授新课:
用数学归纳证明等式
例1:用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）2
例2：用数学归纳法证明：12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）.
[说明]上述两例师生共同讨论完成.完成两例讨论后向学生指出：
(1)由于证明当n=k+1等式成立时，需证明的￥资%源~网结论形式是已知的，只要将原等式中的n换成k+1即得，因此学生在证明过程中，证明步骤必须完整，不能跳步骤；（2）有些等式证明题在证明当n=k+1正确时，需用恒等变形，技巧较高，对基础较差的学生来说完成很困难，这时可通过左、右边的多项式乘法来完成.
如求证：…（nN*）.
证明：
（1）当n=1时，左边=1，右边=×1×（4-1）=1等式成立.
（2）假设当n=k（kN*）时等式成立，即,
则n=k+1时，
又
即等式成立.
由（1）（2）知，等式对任何nN*都成立.
(3)用数学归纳法证明恒等式成立时，在逆推过程中应注意等式左右的项数的变化.由当n=k到n=k+1时项数的增加量可能多于一项，各项也因n的变化而变化,因此要根据等式的特点仔细分析项数及各项的变化情况.
例如：求证：
（*）.
例3（补充）在1与9之间插入2n-1个正数数，使1，，9成等比数列，在1与9之间又插入2n-1个正数，使1，，9成等差数列.设，,
（1）求、
（2）设，是否存在最大自然数m，使对于nN*都有被m整除，试说明理由.
解：（1）
（2）
当n=1时，=64
当n=2时，=320=5×64
当n=3时，=36×64
由此猜想：最大自然数m=64
用数学归纳法证明上述猜想：
1.当n=1时，猜想显然成立;
2.假设当n=k（kN*）时成立，即能被64整除，
则当n=k+1时，
由归纳假设知能被64整除，又也能被64整除，所以也能被64整除.
由1、2知，能被64整除（nN*）.
又因为，所以存在最大自然数64，使能被64整除（nN*）.
[说明]本例是较难的数列与数学归纳法的综合题.在第（1）小题的解题过程中充分利用了等差、等比数列的性质，起到了对等差、等比数列知识的复习作用.本例也可以先将等差、等比数列的公差d、公比q用n表示，然后求出、（可让学生完成），同时本例的第（2）小题既复习了用数学归纳法证明数式的整除性，又为进一步掌握归纳—猜测—论证的问题提供了保证，是否选用本题教师可根据学校学生的实际数学学习水平决定.
3.巩固练习:
练习7.6(2)1,2,3
4．课后习题：
习题7.5A组习题7.5B组
5.课堂小结:
（1）本节中心内容是数学归纳法的应用，数学归纳法适用的范围是：证明某些与连续自然数有关的命题；
（2）归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分类是完全归纳法和不完全归纳法二种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明;归纳法是有一系列特殊事例得出一边结论的推理方法，它属于归纳推理.而数学归纳法它是一种演绎推理方法，是一种证明命题的方法！因此，它不属于“不完全归纳法”！甚至连“归纳法”都不是！
(3)学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推(递归)思想，它的证明步骤必须是两步，最后还要总结；数学归纳法证题的步骤：
①验证P()成立.
②假设P(k)成立(k∈N*且k≥)，推证P(k+1)成立.
数学归纳法的核心，是在验证P()正确的基础上，证明P(n)的正确具有递推性(n≥).第一步是递推的基础或起点，第二步是递推的依据.因此，两步缺一不可，证明中，恰当地运用归纳假设是关键.
(4)本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、分类讨论思想、函数与方程思想从这节课的学习中你有何感想？你能否体会到数学归纳法的魅力？
六．教学设计说明
1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．
数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．
把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试．
2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是在于加强学生对教学过程的参与程度．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，尽快提出适当的问题，并提出思维要求，让学生尽快投入到思维活动中来，是十分重要的．这就要求教师把每节课的课题作出层次分明的分解，并选择适当的问题，把课题的研究内容落于问题中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得新的发展．本节课的教学设计也想在这方面作些研究．
3．理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k时命题成立这个条件．
即n=k+1时等式也成立．
这是不正确的．因为递推思想要求的不是n=k，n=k+1时命题到底成立不成立，而是n=k时命题成立作为条件能否保证n=k+1时命题成立这个结论正确，即要求的这种逻辑关系是否成立．证明的主要部分应改为
以上理解不仅是正确认识数学归纳法的需要，也为第二步证明过程的设计指明了正确的思维方向．
高二数学《导数的几何意义》学案
高二数学《导数的几何意义》学案
教学目标
知识与技能目标：
本节的中心任务是研究导数的几何意义及其应用，概念的形成分为三个层次：
(1)通过复习旧知“求导数的两个步骤”以及“平均变化率与割线斜率的关系”，解决了平均变化率的几何意义后，明确探究导数的几何意义可以依据导数概念的形成寻求解决问题的途径。
(2)从圆中割线和切线的变化联系，推广到一般曲线中用割线逼近的方法直观定义切线。
(3)依据割线与切线的变化联系，数形结合探究函数导数的几何意义教案在导数的几何意义教案处的导数导数的几何意义教案的几何意义，使学生认识到导数导数的几何意义教案就是函数导数的几何意义教案的图象在导数的几何意义教案处的切线的斜率。即：
导数的几何意义教案＝曲线在导数的几何意义教案处切线的斜率k
在此基础上，通过例题和练习使学生学会利用导数的几何意义解释实际生活问题，加深对导数内涵的理解。在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法。
过程与方法目标：
(1)学生通过观察感知、动手探究，培养学生的动手和感知发现的能力。
(2)学生通过对圆的切线和割线联系的认识，再类比探索一般曲线的情况，完善对切线的认知，感受逼近的思想，体会相切是种局部性质的本质，有助于数学思维能力的提高。
(3)结合分层的探究问题和分层练习，期望各种层次的学生都可以凭借自己的能力尽力走在教师的前面，独立解决问题和发现新知、应用新知。
情感、态度、价值观：
(1)通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系；通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值；
(2)在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。
教学重点与难点
重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数形结合、以直代曲的思想方法。
难点：发现、理解及应用导数的几何意义。
教学过程
一、复习提问
1．导数的定义是什么？求导数的三个步骤是什么？求函数y＝x2在x＝2处的导数．
定义：函数在导数的几何意义教案处的导数导数的几何意义教案就是函数在该点处的瞬时变化率。
求导数的步骤：
第一步：求平均变化率导数的几何意义教案；
第二步：求瞬时变化率导数的几何意义教案.
（即导数的几何意义教案，平均变化率趋近于的确定常数就是该点导数）
2.观察函数导数的几何意义教案的图象，平均变化率导数的几何意义教案在图形中表示什么？
生：平均变化率表示的是割线PQ的斜率.导数的几何意义教案
师：这就是平均变化率(导数的几何意义教案)的几何意义，
3．瞬时变化率(导数的几何意义教案)在图中又表示什么呢？
如图2－1，设曲线C是函数y=f(x)的图象，点P(x0，y0)是曲线C上一点．点Q(x0＋Δx，y0＋Δy)是曲线C上与点P邻近的任一点，作割线PQ，当点Q沿着曲线C无限地趋近于点P，割线PQ便无限地趋近于某一极限位置PT，我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线C在点P处的切线．
导数的几何意义教案
追问：怎样确定曲线C在点P的切线呢？因为P是给定的，根据平面解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了．设割线PQ的倾斜角为导数的几何意义教案，切线PT的倾斜角为导数的几何意义教案，易知割线PQ的斜率为导数的几何意义教案。既然割线PQ的极限位置上的直线PT是切线，所以割线PQ斜率的极限就是切线PT的斜率导数的几何意义教案，即导数的几何意义教案。
由导数的定义知导数的几何意义教案导数的几何意义教案。
导数的几何意义教案
由上式可知：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率就是y＝f(x)在点x0处的导数f(x0)．今天我们就来探究导数的几何意义。
Ｃ类学生回答第1题，Ａ，Ｂ类学生回答第２题在学生回答基础上教师重点讲评第3题，然后逐步引入导数的几何意义．
二、新课
1、导数的几何意义：
函数y＝f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率．
即：导数的几何意义教案
口答练习：
（1）如果函数y＝f(x)在已知点x0处的导数分别为下列情况f(x0)=1，f(x0)=1，f(x0)=-1，f(x0)=2.试求函数图像在对应点的切线的倾斜角，并说明切线各有什么特征。
（Ｃ层学生做）
(2)已知函数y＝f(x)的图象(如图2－2)，分别为以下三种情况的直线，通过观察确定函数在各点的导数．（Ａ、Ｂ层学生做）
导数的几何意义教案
2、如何用导数研究函数的增减？
小结：附近：瞬时，增减：变化率，即研究函数在该点处的瞬时变化率，也就是导数。导数的正负即对应函数的增减。作出该点处的切线，可由切线的升降趋势，得切线斜率的正负即导数的正负，就可以判断函数的增减性，体会导数是研究函数增减、变化快慢的有效工具。
同时，结合以直代曲的思想，在某点附近的切线的变化情况与曲线的变化情况一样，也可以判断函数的增减性。都反应了导数是研究函数增减、变化快慢的有效工具。
例1函数导数的几何意义教案上有一点导数的几何意义教案，求该点处的导数导数的几何意义教案，并由此解释函数的增减情况。
导数的几何意义教案
函数在定义域上任意点处的瞬时变化率都是3，函数在定义域内单调递增。(此时任意点处的切线就是直线本身，斜率就是变化率)
3、利用导数求曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程．
例2求曲线y＝x2在点M(2，4)处的切线方程．
解：导数的几何意义教案
∴y|x=2=2×2=4．
∴点M(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4=0．
由上例可归纳出求切线方程的两个步骤：
(1)先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f(x0)．
(2)根据直线方程的点斜式，得切线方程为y－y0=f(x0)(x－x0)．
提问：若在点(x0，f(x0))处切线ＰＴ的倾斜角为导数的几何意义教案导数的几何意义教案，求切线方程。（因为这时切线平行于ｙ轴，而导数不存在，不能用上面方法求切线方程。根据切线定义可直接得切线方程导数的几何意义教案）
(先由Ｃ类学生来回答，再由Ａ，Ｂ补充．)
例3已知曲线导数的几何意义教案上一点导数的几何意义教案，求：（１）过Ｐ点的切线的斜率；
（２）过Ｐ点的切线的方程。
解：（1）导数的几何意义教案，
导数的几何意义教案
y|x=2=22=4．∴在点P处的切线的斜率等于4．
（２）在点Ｐ处的切线方程为导数的几何意义教案即12x－3y－16＝0．
练习：求抛物线y＝x2＋2在点M(2，6)处的切线方程．
(答案：y＝2x，y|x=2＝4切线方程为4x－y－2=0)．
B类学生做题，A类学生纠错。
三、小结
1．导数的几何意义．（C组学生回答）
2．利用导数求曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程的步骤．
（B组学生回答）
四、布置作业
1．求抛物线导数的几何意义教案在点（1,1）处的切线方程。
2．求抛物线y=4x－x2在点A(4，0)和点B(2，4)处的切线的斜率，切线的方程．
3.求曲线y＝2x－x3在点(－1，－1)处的切线的倾斜角
*4．已知抛物线y=x2－4及直线y＝x＋2，求：（1）直线与抛物线交点的坐标；(2)抛物线在交点处的切线方程；
（C组学生完成1,2题；B组学生完成1,2,3题；A组学生完成2,3，4题）
教学反思：
本节内容是在学习了“变化率问题、导数的概念”等知识的基础上，研究导数的几何意义,由于新教材未设计极限,于是我尽量采用形象直观的方式,让学生通过动手作图,自我感受整个逼近的过程，让学生更加深刻地体会导数的几何意义及“以直代曲”的思想。
本节课主要围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数的几何意义解释实际问题”两个教学重心展开。先回忆导数的实际意义、数值意义，由数到形，自然引出从图形的角度研究导数的几何意义；然后，类比“平均变化率——瞬时变化率”的研究思路，运用逼近的思想定义了曲线上某点的切线，再引导学生从数形结合的角度思考，获得导数的几何意义——“导数是曲线上某点处切线的斜率”。
完成本节课第一阶段的内容学习后，教师点明，利用导数的几何意义，在研究实际问题时，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”，从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的，并通过两个例题的研究，让学生从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的关系，并感受导数应用的广泛性。本节课注重以学生为主体,每一个知识、每一个发现，总设法由学生自己得出，课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生在动手操作、动笔演算等活动后，再组织讨论，本教师只是在关键处加以引导。从学生的作业看来，效果较好。
