圆的方程。

作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，高中教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助高中教师缓解教学的压力，提高教学质量。那么如何写好我们的高中教案呢？以下是小编为大家精心整理的“圆的方程”，仅供参考，欢迎大家阅读。

圆的方程

教学目标

（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径．
（2）掌握圆的一般方程，了解圆的一般方程的结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一般方程之间的互化．
（3）了解参数方程的概念，理解圆的参数方程，能够进行圆的普通方程与参数方程之间的互化，能应用圆的参数方程解决有关的简单问题．
（4）掌握直线和圆的位置关系，会求圆的切线．
（5）进一步理解曲线方程的概念、熟悉求曲线方程的方法．

教学建议

教材分析
（1）知识结构

（2）重点、难点分析
①本节内容教学的重点是圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导，根据条件求圆的方程，用圆的方程解决相关问题．
②本节的难点是圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用．
教法建议
（1）圆是最简单的曲线．这节教材安排在学习了曲线方程概念和求曲线方程之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论，为后继学习做好准备．同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法．因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这一单元的知识和方法．
（2）在解决有关圆的问题的过程中多次用到配方法、待定系数法等思想方法，教学中应多总结．
（3）解决有关圆的问题，要经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识和前边学过的解析几何的基本知识，教师在教学中要注意多复习、多运用，培养学生运算能力和简化运算过程的意识．
（4）有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题．建议适当选择一些内容供学生研究．例如由过圆上一点的切线方程引申到切点弦方程就是一个很有价值的问题．类似的还有圆系方程等问题．

教学设计示例

圆的一般方程

教学目标：

（1）掌握圆的一般方程及其特点．

（2）能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径．

（3）能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程．

（4）通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数法．

教学重点：（1）用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径．

（2）用待定系数法求圆的方程．

教学难点：圆的一般方程特点的研究．

教学用具：计算机．

教学方法：启发引导法，讨论法．

教学过程（3edu.net）：

【引入】

前边已经学过了圆的标准方程

把它展开得

任何圆的方程都可以通过展开化成形如

①

的方程

【问题1】

形如①的方程的曲线是否都是圆？

师生共同讨论分析：

如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的．我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗？运用配方法，得

②Jab88.COM

显然②是不是圆方程与是什么样的数密切相关，具体如下：

（1）当时，②表示以为圆心、以为半径的圆；

（2）当时，②表示一个点；

（3）当时，②不表示任何曲线．

总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示．

圆的一般方程的定义：

当时，①表示以为圆心、以为半径的圆，

此时①称作圆的一般方程．

即称形如的方程为圆的一般方程．

【问题2】圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异同．

（1）和的系数相同，都不为0．

（2）没有形如的二次项．

圆的一般方程与一般的二元二次方程

③

相比较，上述（1）、（2）两个条件仅是③表示圆的必要条件，而不是充分条件或充要条件．

圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：

（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然．

（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用．

【实例分析】

例1：下列方程各表示什么图形．

（1）；

（2）；

（3）．

学生演算并回答

（1）表示点（0，0）；

（2）配方得，表示以为圆心，3为半径的圆；

（3）配方得，当、同时为0时，表示原点（0，0）；当、不同时为0时，表示以为圆心，为半径的圆．

例2：求过三点，，的圆的方程，并求出圆心坐标和半径．

分析：由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程，那么本题既可以用标准方程求解，也可以用一般方程求解．

解：设圆的方程为

因为、、三点在圆上，则有

解得：，，

所求圆的方程为

可化为

圆心为，半径为5．

请同学们再用标准方程求解，比较两种解法的区别．

【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：

（1）求圆的方程多用待定系数法．其步骤为：由题意设方程（标准方程或一般方程）；根据条件列出关于待定系数的方程组；解方程组求出系数，写出方程．

（2）如何选用圆的标准方程和圆的一般方程．一般地，易求圆心和半径时，选用标准方程；如果给出圆上已知点，可选用一般方程．

下面再看一个问题：

例3：经过点作圆的割线，交圆于、两点，求线段的中点的轨迹．

解：圆的方程可化为，其圆心为，半径为2．设是轨迹上任意一点．

∵

∴

即

化简得

点在曲线上，并且曲线为圆内部的一段圆弧．

【练习巩固】

（1）方程表示的曲线是以为圆心，4为半径的圆．求、、的值．（结果为4，－6，－3）

（2）求经过三点、、的圆的方程．

分析：用圆的一般方程，代入点的坐标，解方程组得圆的方程为．

（3）课本第79页练习1，2．

【小结】师生共同总结：

（1）圆的一般方程及其特点．

（2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程，求圆心坐标和半径．

（3）用待定系数法求圆的方程．

【作业】课本第82页5，6，7，8．

【板书设计】

圆的一般方程

圆的一般方程

例1：

例2：

例3：

练习：

小结：

作业：

扩展阅读

圆的标准方程

一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？下面的内容是小编为大家整理的圆的标准方程，希望对您的工作和生活有所帮助。

总课题圆与方程总课时第33课时
分课题圆的标准方程分课时第1课时
教学目标掌握圆的标准方程，并根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的基本量、、．

重点难点根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的基本量、、．

引入新课
问题1．在前面我们学习了直线的方程，只要给出适当的条件就可以写出直线的方程．那么，一个圆能不能用方程表示出来呢？

问题2．要求一个圆的方程需要哪些条件？如何求得呢？
1．圆的标准方程的推导过程：

2．圆的标准方程：_________________________________________________________．
例题剖析
例1求圆心是，且经过原点的圆的标准方程．

例2已知隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为，高为的货车能不能驶入这个隧道？

思考：假设货车的最大宽度为那么货车要驶入该隧道，限高为多少？
例3（1）已知圆的直径的两个端点是，．求该圆的标准方程．
（2）已知圆的直径的两个端点是，．求该圆的标准方程．

例4求过点，，且圆心在直线上的圆的标准方程．

巩固练习
1．圆：的圆心坐标和半径分别为__________；__________．
2．圆心为且与直线相切的圆的标准方程为．
3．以为圆心且过点的圆的标准方程为．
4．若点在圆外，则实数的取值范围是．
5．求过点且与轴切于原点的圆的标准方程．

课堂小结
圆的标准方程推导；根据圆的方程写出圆心坐标和半径；用代定系数法求圆的标准方程．
课后训练
一基础题
1．写出满足下列条件的圆的标准方程：
（1）圆心在原点，半径为：；
（2）经过点，圆心为：；
（3）经过点，圆心为：；
（4）与两坐标轴都相切，且圆心在直线上：；
（5）经过点和，且圆心在轴上：．
2．求以点为圆心，并与轴相切的圆的标准方程．

3．已知点和，求以线段为直径的圆的标准方程．

4．已知半径为的圆过点，且圆心在直线上，求圆的标准方程．

5．求过两点和，且圆心在直线上的圆的标准方程．
二提高题
6．已知点在圆的内部，求实数的取值范围．

7．若圆经过点且和直线相切，并且圆心在直线上，
求圆的标准方程．

2.2.1圆的标准方程

2.2.1圆的标准方程
一、三维目标：
知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
二、教学重点：圆的标准方程
教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
三、教学方法：学导式
四、教学过程
（一）、情境设置
在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？
探索研究：
（二）、探索研究
确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件①
化简可得：②
引导学生自己证明为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
（三）、知识应用与解题研究
例（1）：写出圆心为半径长等于5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点与圆的关系的判断方法：
（1），点在圆外
（2）=，点在圆上
（3），点在圆内
例（2）：的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程
师生共同分析：从圆的标准方程可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定三个参数.（学生自己运算解决）
例(3):已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程.
师生共同分析:如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为的圆经过点和,由于圆心与A,B两点的距离相等，所以圆心在险段AB的垂直平分线m上，又圆心在直线上，因此圆心是直线与直线m的交点，半径长等于或。
（教师板书解题过程。）
总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出外接圆的标准方程的两种求法：
1、根据题设条件，列出关于的方程组，解方程组得到得值，写出圆的标准方程.
2、根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.
练习：课本第1、3、4题
（四）、提炼小结：
1、圆的标准方程。
2、点与圆的位置关系的判断方法。
3、根据已知条件求圆的标准方程的方法。
（五）、作业：课本习题4.1第2、3、4题
五、教后反思：

圆的标准方程(1)

俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“圆的标准方程(1)”，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

教学目标

(一)知识目标

1.掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；

2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。

(二)能力目标

1．进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力；

2.通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑思维能力；

3.通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。

(三)情感目标

通过运用圆的知识解决实际问题的学习，理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。

教学重、难点

(一)教学重点

圆的标准方程的理解、掌握。

(二)教学难点

圆的标准方程的应用。

教学方法

选用引导―探究式的教学方法。

教学手段

借助多媒体进行辅助教学。

教学过程

Ⅰ.复习提问、引入课题

师：前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。请同学们考虑：如何求适合某种条件的点的轨迹？

生：①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标为(x，y)；②写出适合某种条件p的点M的集合P＝｛M︳p（M）｝；③用坐标表示条件，列出方程f(x,y)=0；④化简方程f(x,y)=0为最简形式。⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点（一般省略）。［多媒体演示］

师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲。用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程，今天我们来看圆这种曲线的方程。［给出标题］

师：前面我们曾证明过圆心在原点，半径为5的圆的方程：x2+y2=52即x2+y2=25.

若半径发生变化，圆的方程又是怎样的？能否写出圆心在原点，半径为r的圆的方程？

生：x2+y2=r2.

师：你是怎样得到的？（引导启发）圆上的点满足什么条件？

生：圆上的任一点到圆心的距离等于半径。即，亦即x2+y2=r2.

师：x2+y2=r2表示的圆的位置比较特殊：圆心在原点，半径为r.有时圆心不在原点，若此圆的圆心移至C（a,b）点（如图），方程又是怎样的？

生：此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合，

由两点间的距离公式得

即：（x-a）2+(y-b)2=r2

Ⅱ.讲授新课、尝试练习

师：方程（x-a）2+(y-b)2=r2叫做圆的标准方程.

特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2.

师：圆的标准方程由哪些量决定？

生：由圆心坐标（a,b）及半径r决定。

师：很好！实际上圆心和半径分别决定圆的位置和大小。由此可见，要确定圆的方程，只需确定a、b、r这三个独立变量即可。

1、写出下列各圆的标准方程：［多媒体演示］

①圆心在原点，半径是3：________________________

②圆心在点C（3，4），半径是：______________________

③经过点P（5，1），圆心在点C（8，－3）：_______________________

2、变式题［多媒体演示］

①求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。

答案：(x-1)2+(y-3)2=

②已知圆的方程是(x-a)2+y2=a2,写出圆心坐标和半径。

答案：C（a,0）,r=|a|

Ⅲ.例题分析、巩固应用

师：下面我们通过例题来看看圆的标准方程的应用.

［例1］已知圆的方程是x2+y2=17，求经过圆上一点P（，）的切线的方程。

师：你打算怎样求过P点的切线方程？

生：要求经过一点的直线方程，可利用直线的点斜式来求。

师：斜率怎样求？

生：。。。。。。

师：已知条件有哪些？能利用吗？不妨结合图形来看看（如图）

生：切线与过切点的半径垂直，故斜率互为负倒数

半径OP的斜率K1＝，所以切线的斜率K＝－＝－

所以所求切线方程：y-=－(x-)

即：x+y=17(教师板书)

师：对照圆的方程x2+y2=17和经过点P（，）的切线方程x+y=17，你能作出怎样的猜想？

生：。。。。。。

师：由x2+y2=17怎样写出切线方程x+y=17,与已知点P（，）有何关系？

（若看不出来，再看一例）

［例1/］圆的方程是x2+y2=13，求过此圆上一点（2，3）的切线方程。

答案：2x+3y=13即：2x+3y－13＝0

师：发现规律了吗？（学生纷纷举手回答）

生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y，便得到了切线方程。

师：若将已知条件中圆半径改为r，点改为圆上任一点（xo,yo）,则结论将会发生怎样的变化？大胆地猜一猜！

生：xox+yoy=r2.

师：这个猜想对不对？若对，可否给出证明？

生：。。。。。。

［例2］已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点P（xo,yo）的切线的方程。

解：如图(上一页)，因为切线与过切点的半径垂直，故半径OP的斜率与切线的斜率互为负倒数

∵半径OP的斜率K1＝，∴切线的斜率K＝－＝－

∴所求切线方程：y-yo=－(x-xo)

即：xox+yoy=xo2+yo2亦即：xox+yoy=r2.(教师板书)

当点P在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用。

归纳总结：圆的方程可看成x.x+y.y=r2,将其中一个x、y用切点的坐标xo、yo替换，可得到切线方程

［例3］右图为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB＝20M，拱高OP＝4M，在建造时每隔4M需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度。（精确到0.01M）

引导学生分析，共同完成解答。

师生分析：①建系；②设圆的标准方程（待定系数）；③求系数（求出圆的标准方程）；④利用方程求A2P2的长度。

解：以AB所在直线为X轴，O为坐标原点，建立如图所示的坐标系。则圆心在Y轴上，设为

（0，b）,半径为r，那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2.

∵P(0,4),B(10,0)都在圆上，于是得到方程组：

解得：b=-10.5,r2=14.52

∴圆的方程为x2+(y＋10.5)2=14.52.

将P2的横坐标x=-2代入圆的标准方程

且取y0

得：y=

≈14.36-10.5=3.86(M)

答：支柱A2P2的长度约为3.86M。

Ⅳ.课堂练习、课时小结

课本Ｐ77练习2，3

师：通过本节学习，要求大家掌握圆的标准方程，理解并掌握切线方程的探求过程和方法，能运用圆的方程解决实际问题.

Ⅴ.问题延伸、课后作业

(一)若P（xo,yo）在圆（x-a）2+(y-b)2=r2上时，試求过P点的圆的切线方程。

课本Ｐ81习题7.7:1，2，3，4

(二)预习课本Ｐ77～Ｐ79

教学设计说明

设计思想：

在教学过程中，教师遵循数学发展规律，并依据建构主义教育理论，创设一系列数学实验环境，在情境中让学生观察、类比、猜想、尝试、探索、归纳并引导加以证明，强调主动建构，从深层次加强学生对知识的感知度，使学生能更好地理解和掌握圆的标准方程。

设计理念：

设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，共同提高。

设计思路：

本节课的设计与教材的呈现方式有所不同，教材只是教学的蓝本，教师在理解教材编写意图的基础上，应发挥主观能动作用，对教材资源进行再加工、再创造，这样教学有利于认知结构与知识结构的有机结合，也有利于学生从深层次理解和掌握圆的标准方程。鉴于此，本节在给出圆的标准方程的过程中，运用简单、特殊的到复杂、一般的数学思想，使用了观察、猜测、经验归纳等方法进行合情地推理，同时引导学生对照圆的几何形状，观察和欣赏圆的方程，体会数学中的美——对称、简洁。圆的标准方程的应用是本节的难点。为了突破难点，设计三个例题。第一、二个例题，从特殊到一般给出切线方程，培养学生探究问题的兴趣，不断完善自己的认知结构。第三个例题，充分利用多媒体的动感演示，刺激学生的感官，引起更强的注意，从而使学生理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，增强应用意识；同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。最后设计了“问题延伸”，让学生带着问题走进课堂，又带着问题走出课堂，激发学生不断求知、不断探索的欲望。

在整个教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来，教师的每项措施都是为了力求给学生创造一种思维情境，一种动手、动脑、动口并且主动参与学习的机会，激发学生求知的欲望，促使学生掌握知识，解决问题。

媒体设计：

采用powerpoint媒体。本节知识容量大，同时又有图形。为了在短时间内完成教学内容，故采用演示文稿的方式，增加信息量，节省时间。同时动态演示图形，刺激学生的感官，引起更强的注意，提高课堂教学效率。

圆的参数方程学案

第02课时
2.1.2圆的参数方程
学习目标
1．通过求做匀速圆周运动的质点的参数方程，掌握求一般曲线的参数方程的基本步骤.
2.熟悉圆的参数方程，进一步体会参数的意义。
学习过程
一、学前准备
1.在直角坐标系中圆的标准方程和一般方程是什么？
二、新课导学
◆探究新知（预习教材P12～P16，找出疑惑之处）
如图：设圆的半径是，
点从初始位置（时的位置）出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，点绕点转动的角速度为，以圆心为原点，所在的直线为轴，建立直角坐标系。显然，点的位置由时刻惟一确定，因此可以取为参数。如果在时刻，点转过的角度是，坐标是，那么。设，那么由三角函数定义，有
即
这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中参数有明确的物理意义（质点作匀速圆周运动的时刻）。考虑到，也可以取为参数，于是有

◆应用示例
例1．圆的半径为2，是圆上的动点，是轴上的定点，是的中点，当点绕作匀速圆周运动时，求点的轨迹的参数方程.
（教材P24例2）
解：

◆反馈练习
1．下列参数方程中，表示圆心在，半径为1的圆的参数方程为（）
A、B、
C、D、
2、如图，设ABM为一钢体直杆，，A点沿轴滑动，B点沿轴滑动，则端点M的运动轨迹的参数方程为（）（提示：取为参数）
A、B、
C、D、

三、总结提升
◆本节小结
1．本节学习了哪些内容？
答：熟悉圆的参数方程，进一步体会参数的意义
学习评价
一、自我评价
你完成本节导学案的情况为（）
A．很好B．较好C．一般D．较差

课后作业
1．曲线上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（D）
A．B．C．1D．

2、动点M作匀速直线运动，它在轴和轴方向的分速度分别为和，直角坐标系的单位长度是，点M的起始位置在点处，求点M的轨迹的参数方程。

3、已知M是正三角形ABC的外接圆上的任意一点，求证为定值。

4.（选做题）已知是圆心在，半径为2的圆上任意一点，求的最大值和最小值。