两圆方程作差所得方程对应的直线与两圆的位置关系。

俗话说，凡事预则立，不预则废。教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃，帮助教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。你知道如何去写好一份优秀的教案呢？小编特地为大家精心收集和整理了“两圆方程作差所得方程对应的直线与两圆的位置关系”，欢迎阅读，希望您能阅读并收藏。

两圆方程作差所得方程对应的直线与两圆的位置关系
简介：对于两个非同心圆的一般方程，若把它们作差，消去二次项后会得到一个二元一次方程，即得到一条直线的方程。所得直线在两圆的5种位置关系下的几何意义以及已知两圆、的位置关系如何？笔者针对以上问题探讨如下：
一、预备知识：圆幂定理:
二、预备知识：定义点到圆的幂与两圆的根轴
三、定理：根轴与两圆连心线垂直
四、两圆相交根轴的几何意义就是公共弦所在直线
五、两圆相切（内切或外切）根轴的几何意义就是公切线
六、两圆相离根轴的几何意义与位置
七、两圆内含根轴的几何意义与位置
八、结论：
正文
对于两个非同心圆的一般方程，若把它们作差，消去二次项后会得到一个二元一次方程，即得到一条直线的方程。设两圆，，把这两个圆的方程作差，消去二次项后，得到的一条直线方程为。现在我想探讨的问题是：所得直线在两圆的5种位置关系下的几何意义以及已知两圆、的位置关系如何？笔者针对以上问题探讨如下：
一、预备知识：圆幂定理:
1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
3.割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PAPB=PCPD。
统一归纳为圆幂定理：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PAPB=PCPD。
4．圆幂定理推论：设圆半径为r，圆心为O，
若P在圆外，则；
若P在圆内，。
（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）
二、预备知识：定义点到圆的幂与两圆的根轴
1．定义点到圆的幂：平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。这个值称为点P到圆O的幂。（若P在圆外，这个值就是切线长的平方）
2．定义两圆的根轴：两个非同心圆相减
总是得到一条直线：
因
由此可知：直线是到两圆幂相等的点的集合。
两圆的根轴定义：两圆方程相减所得的方程对应的直线叫两圆的根轴，即到两圆幂相等的点的集合。（不相交时，就是两圆切线长相等的点的集合）
三、定理：根轴与两圆连心线垂直
圆的圆心坐标是，圆的圆心坐标是。1。当时，两圆非同心，则得过两圆心的直线的斜率不存在，而直线的斜率为零，故直线与过两圆心的直线垂直；2。当时，两圆非同心，则得过两圆心的直线的斜率为零，而直线的斜率不存在，故直线与过两圆心的直线垂直；3。当且时，得过两圆心的直线的斜率是，而直线的斜率是，故直线与过两圆心的直线垂直。
四、两圆相交根轴的几何意义就是公共弦所在直线
设、是两圆的交点，则有和成立，即满足方程，
即；同理也满足它，所以直线表示两圆相交弦所在直线。
五、两圆相切（内切或外切）根轴的几何意义就是公切线
1.设是两圆的切点，则有和成立，即满足方程
，
即；
2.又由三知根轴与两圆连心线垂直
由1.2.知，根轴的几何意义就是公切线
六、两圆相离根轴的几何意义与位置
两圆相离根轴的几何意义是到两圆幂相等的点的轨迹（既到两圆切线长相等的轨迹），但是，结论比较抽象，具体直线在哪里？由三定理知根轴与两圆连心线垂直，因此只需探求根轴与两圆连心所在直线垂直的垂足位置即可
设两圆，，设两圆的圆心分别为半径为，以为圆心,为半径作圆,以为圆心,为半径作圆,满足，|那么,新得到的两圆是外切的；再令显然,原来两圆方程相减所得的方程和新得到的两圆方程相减所得的方程一样,为同一直线,即为新得两圆的公切线.；所以,只需解方程组:解得:
内分所称比内分点
又
=；
同理；故K在两圆连心线上两圆之间的线段上且时，垂足在
圆心与线段中点连线的延长线上；时，垂足在圆心与线段中点连线的延长线上。
由以上可知：垂足的求法与位置已明朗化，抽象的直线的位置也已明朗化。举例如下：
设，
直线斜率为1，所以所求根轴方程为：此结果验证与直接相减结果一致。
七、两圆内含根轴的几何意义与位置
同样两圆内含根轴的几何意义是到两圆幂相等的点的轨迹（既到两圆切线长相等的轨迹）
结论同样抽象，具体直线在哪里？根轴与两圆连心线垂直，仍需探求根轴与两圆连心所在直线垂直的垂足的位置。
圆方程、圆心、半径设法同上，同样以为圆心,为半径作圆,以为圆心,为半径作圆,满足，|那么,新得到的两圆是内切的；再令显然,原来两圆方程相减所得的方程和新得到的两圆方程相减所得的方程一样为同一直线,即为新得两圆的公切线.；所以，只需解方程组不妨设（既）时：方程组等价于
外分所称比
）；又
故垂足在圆心的延长线上且在圆外部；
由以上可知：垂足的求法与位置已明朗化，抽象的直线的位置也已明朗化。举例如下：
设，
，直线斜率为1，所以所求根轴方程为：，此结果验证与直接相减结果一致。
八、结论：
1.根轴与两圆连心线垂直
2.两圆相交根轴的几何意义就是公共弦所在直线
3.两圆相切（内切或外切）根轴的几何意义就是公切线
4.两圆相离根轴的几何意义，根轴与两圆连心线所在直线垂直，它的垂足K
内分所称比
5.两圆内含根轴的几何意义，根轴与两圆连心线所在直线垂直，它的垂足外分所称比
由以上知：所得直线在两圆的5种位置关系下抽象的几何意义被直观确定。

延伸阅读

圆与圆的位置关系

总课题圆与方程总课时第36课时
分课题圆与圆的位置关系分课时第2课时
教学目标掌握圆心距和半径的大小关系；判断圆和圆的位置关系．
重点难点根据两圆的方程判断两圆的位置关系，会求相交两圆的公共弦所在直线方程及弦长．
引入新课
圆与圆有哪些位置关系？怎样进行判断呢？需要哪些步骤呢？
第一步：

第二步：

第三步：

外离外切相交内切内含

例题剖析
例1判断下列两圆的位置关系：
（1）与；
（2）与．

例2求过点且与圆切于原点的圆的方程．

变式训练：求过点且与圆切于点的
圆的方程．
例3已知两圆与：
（1）判断两圆的位置关系；（2）求两圆的公切线．
巩固练习
1．判断下列两圆的位置关系：
（1）与；
（2）与．

2．已知圆与圆相交，求实数的取值范围．

3．已知以为圆心的圆与圆相切，求圆的方程．

4．已知一圆经过直线与圆的两个
交点，并且有最小面积，求此圆的方程．

课堂小结
利用圆心距和半径的大小关系判断圆和圆的位置关系．根据两圆的方程判断两圆的位置关系，会求相交两圆是公共弦所在的直线方程及弦长．
课后训练
一基础题
1．圆与圆的位置关
系是．
2．圆和与圆的交点坐标为．
3．圆与圆的公共弦所在直线方
程为．
4．已知动圆恒过定点，则点的坐标是．
二提高题
5．求圆心在直线上，且经过圆与圆
交点的圆的方程．

6．求圆与圆的公共弦所在
直线方程．
三能力题
7．已知一圆经过圆与圆的两个交
点，且圆心在直线上，求该圆的方程．

直线与圆的方程的应用

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来，帮助高中教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？小编特地为大家精心收集和整理了“直线与圆的方程的应用”，供大家参考，希望能帮助到有需要的朋友。

2.2.5直线与圆的方程的应用
一、教学目标
1、知识与技能：（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题。
2、过程与方法：用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论。
3、情态与价值观：让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．
二、教学重点、难点：重点与难点：直线与圆的方程的应用．
三、教学方法：学导式
四、教学过程
问题设计意图师生活动
1．你能说出直线与圆的位置关系吗？启发并引导学生回顾直线与圆的位置关系，从而引入新课．师：启发学生回顾直线与圆的位置关系，导入新课．
生：回顾，说出自己的看法．
2．解决直线与圆的位置关系，你将采用什么方法？
理解并掌握直线与圆的位置关系的解决办法与数学思想．师：引导学生通过观察图形，回顾所学过的知识，说出解决问题的方法．
生：回顾、思考、讨论、交流，得到解决问题的方法．
问题设计意图师生活动
3．阅读并思考教科书上的例4，你将选择什么方法解决例4的问题？指导学生从直观认识过渡到数学思想方法的选择．师：指导学生观察教科书上的图形特征，利用平面直角坐标系求解．
生：自学例4，并完成练习题1、2．
师：分析例4并展示解题过程，启发学生利用坐标法求，注意给学生留有总结思考的时间．
4．你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？使学生加深对圆的方程的认识．教师引导学生分析圆的方程中，若横坐标确定，如何求出纵坐标的值．
5．你能利用“坐标法”解决例5吗？巩固“坐标法”，培养学生分析问题与解决问题的能力．师：引导学生建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题．
生：建立适当的直角坐标系，探求解决问题的方法．
6．完成教科书第140页的练习题2、3、4．使学生熟悉平面几何问题与代数问题的转化，加深“坐标法”的解题步骤．教师指导学生阅读教材，并解决课本第140页的练习题2、3、4．教师要注意引导学生思考平面几何问题与代数问题相互转化的依据．
7．你能说出练习题蕴含了什么思想方法吗？反馈学生掌握“坐标法”解决问题的情况，巩固所学知识．学生独立解决第141页习题4．2A第8题，教师组织学生讨论交流．
8．小结：
（1）利用“坐标法”解决问对知识进行归纳概括，体会利师：指导学生完成练习题．
生：阅读教科书的例3，并完成第
问题设计意图师生活动
题的需要准备什么工作？
（2）如何建立直角坐标系，才能易于解决平面几何问题？
（3）你认为学好“坐标法”解决问题的关键是什么？
（4）建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有什么直接的影响呢？用“坐标法”解决实际问题的作用．教师引导学生自己归纳总结所学过的知识，组织学生讨论、交流、探究．
作业：习题4．2B组：1、2．
五、教后反思：

高三数学点、直线、圆与圆的位置关系

一名优秀的教师就要对每一课堂负责，高中教师要准备好教案，这是每个高中教师都不可缺少的。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，让高中教师能够快速的解决各种教学问题。那么，你知道高中教案要怎么写呢？下面的内容是小编为大家整理的高三数学点、直线、圆与圆的位置关系，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

例1、(优化设计P114例1)已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P,Q两点，O为原点，且OPOQ，求该圆的圆心坐标及半径。解法一设P(x1,y1),Q(x2,y2)，由OPOQ,得:kOPkOQ=-1即y1x1y2x2=-1即x1x2+y1y2=0①另一方面(x1,y1),(x2,y2)是方程组x+2y-3=0x2+y2+x-6y+m=0的实数解，即x1,x2是5x2+10x+4m-27=0②的两个实数根，∴x1+x2=-2,x1x2=4m-275③又P,Q在直线x+2y-3=0上，∴y1y2=14(3-x1)(3-x2)=14[9-3(x1+x2)+x1x2]将③代入得y1y2=m+125④将③④代入①知：m=3.代入方程②检验＞０成立．∴m=3圆心坐标为，半径为解法二将3=x+2y代入圆的方程知：x2+y2+13(x+2y)(x-6y)+m9(x+2y)2=0,整理得：(12+m)x2+4(m-3)xy+(4m-27)y2=0由于x≠0可得(4m-27)(yx)2+4(m-3)yx+12+m=0，∴kOP,kOQ是上方程的两根,由kOPkOQ=-1知:m+124m-27=-1,解得:m=3.检验知m=3满足.＞０∴圆心坐标为，半径为

2.2.4圆与圆的位置关系

2.2.4圆与圆的位置关系
一、教学目标
1、知识与技能：（1）理解圆与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；（3）会用连心线长判断两圆的位置关系。
2、过程与方法：设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当时，圆与圆相离；（2）当时，圆与圆外切；（3）当时，圆与圆相交；（4）当时，圆与圆内切；（5）当时，圆与圆内含。
3、情态与价值观：让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想。
二、教学重点、难点：重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系．
三、教学方法：学导式
四、教学过程
问题设计意图师生活动
1．初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？结合学生已有知识以验，启发学生思考，激发学生学习兴趣．教师引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时，可互相交流．
2．判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？
引导学生明确两圆的位置关系，并发现判断和解决两圆的位置教师引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解答学生疑难，并引导学生自己总结解题的方法．
问题设计意图师生活动
关系的方法．学生观察图形并思考，发表自己的解题方法．
3．例3
你能根据题目，在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？你从中发现了什么？培养学生“数形结合”的意识．教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求，对这些学生应该给予表扬．同时强调，解析几何是一门数与形结合的学科．
4．根据你所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系．如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？进一步培养学生解决问题、分析问题的能力．
利用判别式来探求两圆的位置关系．师：启发学生利用图形的特征，用代数的方法来解决几何问题．
生：观察图形，并通过思考，指出两圆的交点，可以转化为两个圆的方程联立方程组后是否有实数根，进而利用判别式求解．
5．从上面你所画出的图形，你能发现解决两个圆的位置的其它方法吗？进一步激发学生探求新知的精神，培养学生师：指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置．
生：互相探讨、交流，寻找解决问题的方法，并能通过图形的直观性，利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径．
6．如何判断两个圆的位置关系呢？从具体到一般地总结判断两个圆的位置关系的一般方法．师：对于两个圆的方程，我们应当如何判断它们的位置关系呢？
引导学生讨论、交流，说出各自的想法，并进行分析、评价，补充完善判断两个圆的位置关系的方法．
7．阅读例3的两种解法，解决第137页的练习题．巩固方法，并培养学生解决问题的能力．师：指导学生完成练习题．
生：阅读教科书的例3，并完成第137页的练习题．
问题设计意图师生活动
8．若将两个圆的方程相减，你发现了什么？得出两个圆的相交弦所在直线的方程．师：引导并启发学生相交弦所在直线的方程的求法．
生：通过判断、分析，得出相交弦所在直线的方程．
9．两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢？进一步验证相交弦的方程．师：引导学生验证结论．
生：互相讨论、交流，验证结论．
10．课堂小结：
教师提出下列问题让学生思考：
（1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？
（2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？
（3）如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？
作业：习题4．2A组：4、7．
五、教后反思：