数列的综合应用。
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课时29数列综合问题(2)
【教学目标】
1．掌握一些常见等差等比数列综合问题的求解方法；
2．培养学生分析问题和解决问题的能力。
【教学难点】
难点是解决数列中的一些综合问题。
【教学过程】
例1．等差数列的公差和等比数列的公比都是d(d≠1)，且，，，
⑴求和d的值；⑵是不是中的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。
例2．设等比数列的公比为,前项和为，若成等差数列，求的值．
例3．已知数列的前n项和为且满足．
(1)判断是否是等差数列，并说明理由；(2)求数列的通项；
例4．设是正数组成的数列，其前n项和为，且对于所有正整数n,与2的等差中项等于与2的等比中项。⑴写出的前3项；⑵求的通项公式（写出推理过程）;
⑶令，,求的值。
例5、已知数列，设，数列。（1）求证：是等差数列；（2）求数列的前n项和Sn；
（3）若一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。
例6．已知函数，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）令，求；（3）令对一切成立，求最小正整数m.
【课后作业】
1.设数列｜an｜是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是。
2.设等差数列的公差不为，．若是与的等比中项，则_________。
3.若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=_______。
4.已知等比数列的前项和为且。（1）求的值及数列的通项公式。（2）设求数列的前项和。
5.设数列的前项和为，已知（1）设，求数列的通项公式；（2）若，求的取值范围
6．设为数列的前项和，若（）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．（1）若数列是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列是否为“和等比数列”；（2）若数列是首项为，公差为的等差数列，且数列是“和等比数列”，试探究与之间的等量关系．
7.已知数列是首项，公比q0的等比数列，设且,。⑴求数列的通项公式,⑵设数列的前项和为，求证数列是等差数列；⑶设数列的前n项和为,当取最大值时,求n的值.
问题统计与分析
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专题三：数列
第二讲数列求和及综合应用
【最新考纲透析】
1．了解数列求和的基本方法。
2．能在具体问题情景中识别数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应问题。
3．了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。
【核心要点突破】
要点考向1：可转化为等差、等比数列的求和问题
考情聚焦：1．可转化为等差或等比数列的求和问题，已经成为高考考查的重点内容之一。
2．该类问题出题背景选择面广，易与函数方程、递推数列等知识综合，在知识交汇点处命题。
3．多以解答题的形式出现，属于中、高档题目。
考向链接：某些递推数列可转化为等差、等比数列解决，其转化途径有：
1．凑配、消项变换——如将递推公式（q、d为常数，q≠0，≠1）。通过凑配变成；或消常数转化为
2．倒数变换—如将递推公式（c、d为非零常数）取倒数得
3．对数变换——如将递推公式取对数得
4．换元变换——如将递推公式（q、d为非零常数，q≠1，d≠1）变换成，令，则转化为的形式。
例1：（2010福建高考文科Ｔ１7）数列{}中＝，前n项和满足-＝（n）.
(I)求数列{}的通项公式以及前n项和；
（II）若S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列，求实数t的值。
【命题立意】本题考查数列、等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数方程思想、化归转化思想。
【思路点拨】第一步先求的通项，可知为等比数列，利用等比数列的前n项和求解出；第二步利用等差中项列出方程求出t
【规范解答】(I)由得，又，故，从而
（II）由(I)从而由S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列可得解得。
【方法技巧】要求数列通项公式，由题目提供的是一个递推公式，如何通过递推公式来求数列的通项。题目要求的是项的问题，这就涉及有关“项”与“和”如何转化的问题。一般地，含有的递推关系式，一般利用化“和”为“项”。
要点考向2：错位相减法求和
考情聚焦：1．错位相减法求和，是高中数学中重要的数列求和方法，是近年来高考的重点考查内容。
2．该类问题背景选择面广，可与等差、等比数列、函数、不等式等知识综合，在知识交汇点处命题。
3．多以解答题的形式出现，属于中、高档题。
考向链接：几种求通项及求和方法
（1）已知，求可用叠加法，即
（2）已知，求可用叠乘法，即
（3）设{}为等差数列，为等比数列，求数列的前n项和可用错位相减法。
例2：（2010海南宁夏高考理科T17）设数列满足，
（Ⅰ)求数列的通项公式：
（Ⅱ）令，求数列的前n项和.
【命题立意】本题主要考查了数列通项公式以及前项和的求法，解决本题的关键是仔细观察形式，找到规律，利用等比数列的性质解题.
【思路点拨】由给出的递推关系，求出数列的通项公式，在求数列的前n项和.
【规范解答】（Ⅰ)由已知，当时，
而，满足上述公式，
所以的通项公式为.
（Ⅱ）由可知，
①
从而②
①②得
即
【方法技巧】利用累加法求数列的通项公式，利用错位相减法求数列的和.
要点考向3：裂项相消法求和
考情聚焦：1．裂项相消求和是高中数学中的一个重要的数列求和方法，是近年来高考的重点考查内容。
2．该类问题背景选择面广，可与等差、等比数列、函数、不等式等知识综合，在知识交汇点处命题。
3．多以解答题的形式出现，属中、高档题目。
考向链接：裂项求和的几种常见类型
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）若是公差为d的等差数列，则
；
（6）；
（7）
（8）。
例3：（2010山东高考理科Ｔ18）已知等差数列满足：，，的前n项和为．
（1）求及；
（2）令(nN*)，求数列的前n项和．
【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力.
【思路点拨】(1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出求及；(2)由(1)求出的通项公式，再根据通项的特点选择求和的方法.
【规范解答】（1）设等差数列的公差为d，因为，，所以有
，解得，
所以；==.
（2）由（1）知，所以bn===，
所以==，
即数列的前n项和=.
【方法技巧】数列求和的常用方法：
1、直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对公比的讨论.
2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.
3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
4、裂项相消法：主要用于通项为分式的形式，通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项，注意一般情况下剩下正负项个数相同.
5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广).
要点考向4：与不等式有关的数列问题
考情聚焦：1．数列综合问题，特别是数列与不等式的综合问题是高考中经常考查的重要内容。
2．该类问题可与函数的单调性、基本不等式、导数函数等知识交汇，综合命题。
3．多以解答题的形式出现，属高档题。
例4：（2010天津高考文科Ｔ22）在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.
（Ⅰ）证明成等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）记，证明.
【命题立意】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．
【思路点拨】（Ⅰ）（Ⅱ）应用定义法证明、求解；（Ⅲ）对n分奇数、偶数进行讨论．
【规范解答】（I）由题设可知，，，，，。从而，所以，，成等比数列．
（II）由题设可得
所以
.
由，得，从而.
所以数列的通项公式为或写为，．
（III）由（II）可知，，
以下分两种情况进行讨论：
当n为偶数时，设n=2m
若，则，
若，则
.
所以，从而
（２）当n为奇数时，设．
所以，从而
综合（1）和（2）可知，对任意有
【高考真题探究】
1．（2010天津高考理科Ｔ6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为()
（A）或5（B）或5（C）（D）
【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n项和公式．
【思路点拨】求出数列的通项公式是关键．
【规范解答】选C．设，则，
即，，．
2．（2010天津高考文科Ｔ１5）设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和．
记设为数列{}的最大项，则=．
【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n项和、均值不等式等基础知识．
【思路点拨】化简利用均值不等式求最值．
【规范解答】
∴
∵当且仅当即，所以当n=4，即时，最大．
【答案】4.
3．（2010安徽高考理科Ｔ20）设数列中的每一项都不为0．
证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有
．
【命题立意】本题主要考查等差数列与充要条件等知识，考查考生推理论证，运算求解能力．
【思路点拨】证明可分为两步，先证明必要性，适宜采用列项相消法，再证明充分性，可采用数学归纳法或综合法．
【规范解答】已知数列中的每一项都不为0，
先证
若数列为等差数列，设公差为，
当时，有，
即对任何，有成立；
当时，显然也成立．
再证
对任意，有①，
②，
由②-①得：-
上式两端同乘，得③，
同理可得④，
由③-④得：，所以为等差数列
【方法技巧】
1、在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的变形，如分组、裂项等，转化为常见的类型进行求和；
2、对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为或得到相关的式子，再进行化简变形处理；也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明.
4．（2010安徽高考文科Ｔ21）设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列.
(1)证明：为等比数列；
（2）设，求数列的前项和.
【命题立意】本题主要考查等比数列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察考生的抽象概括能力以及推理论证能力．
【思路点拨】（1）求直线倾斜角的正弦，设的圆心为，得，同理得，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即中与的关系，可证明为等比数列；
（2）利用（1）的结论求的通项公式，代入数列，然后采用错位相减法求和.
【规范解答】
．
【方法技巧】
1、对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为或得到相关的式子，再进行化简变形处理；
2、在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的处理，如分组、列项相消、错位相减等，转化为常见的类型进行求和．
5．（2010江苏高考Ｔ１9）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列．
（1）求数列的通项公式（用表示）；
（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为．
【命题立意】本题主要考查等差数列的通项、求和、基本不等式以及不等式的恒成立问题等有关知识，考查探索、分析及论证的能力．
【思路点拨】（1）先求，然后利用的关系求解；（2）利用（1）中所求利用基本不等式解决．
【规范解答】（1）由题意知：，
，
化简，得：
，
当时，，适合情形．
故所求．
（2）（方法一）
，恒成立．
又，，
故，即的最大值为．
（方法二）由及，得，．
于是，对满足题设的，，有
．
所以的最大值．
另一方面，任取实数．设为偶数，令，则符合条件，且．
于是，只要，即当时，．
所以满足条件的，从而．
因此的最大值为．
6．（2010重庆高考理科Ｔ21）在数列中，=1，，其中实数。
（1）求的通项公式；
（2）若对一切有，求的取值范围。
【命题立意】本小题考查归纳、猜想解题，考查数学归纳法及其应用，考查数列的基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查分类讨论的思想.
【思路点拨】（1）先求出数列的前几项，归纳猜想得出结论，再用数学归纳法证明；（2）对恒成立问题进行等价转化，
【规范解答】（1）【方法1】：由，，
，
，猜测（），
下面用数学归纳法证明
当n=1时，等式成立；
假设当n=k时，等式成立，即，则当n=k+1时，
综上可知，对任何都成立.
【方法2】：由原式，
令，则，，因此对有
因此，，。又当n=1时上式成立。
因此，，。
（2）【方法1】：由，得
因，所以
解此不等式得：对一切，有或，其中
易知（因为的分子、分母的最高次项都是2，且系数都是8，所以极限值是）；用放缩法得：
，所以，
因此由对一切成立得；
又，易知单调递增，故对一切成立，因此由对一切成立得：
，从而c的取值范围为.
【方法2】：由，得，
因，所以对恒成立.
记，下分三种情况讨论。
（i）当即或时，代入验证可知只有满足要求
（ii）当时，抛物线开口向下，因此当正整数k充分大时，，不符合题意，此时无解。
（iii）当，即或时，抛物线开口向上，其对称轴必在直线的左侧，因此，在上是增函数。
所以要使对恒成立，只需即可。
由解得或
结合或得或
综合以上三种情况，的取值范围为.
【方法技巧】（1）第（1）问有两种方法解答：①归纳猜想并用数学归纳法证明；②数列的迭代法（或累加消项法）；（2）第（2）问中对条件“恒成立”进行等价转化，转化为一元二次不等式求解或转化为二次函数进行讨论；（3）放缩法的运用
【跟踪模拟训练】
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.已知{an}为等差数列，若-1,且它的前n项和Sn有最大值，那么使Sn0的n的最大值为()
(A)11(B)20(C)19(D)21
2.已知等比数列{an}中,a2=1,则其前3项的和S3的取值范围是()
(A)(-∞，-1］
(B)(-∞,0)∪(1,+∞)
(C)［3,+∞)
(D)(-∞,-1］∪［3,+∞)
3.首项为b,公比为a的等比数列{an}的前n项和为Sn,对任意的n∈N*，点(Sn，Sn+1)在()
(A)直线y=ax+b上
(B)直线y=bx+a上
(C)直线y=bx-a上
(D)直线y=ax-b上
4.在数列中，若存在非零整数，使得对于任意的正整数均成立，那么称数列为周期数列，其中叫做数列的周期.若数列满足，如，当数列的周期最小时，该数列的前2010项的和是（）
5.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：
他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是()
(A)289(B)1024(C)1225(D)1378
6.（2010届安徽省安庆市高三二模（文））已知实数、满足：(其中是虚数单位)，若用表示数列的前项和，则的最大值是()
A.12B.14C.15D.16
二、填空题（每小题6分，共18分）
7.已知等比数列满足，且，则当时，
________
8.类比是一个伟大的引路人。我们知道，等差数列和等比数列有许多相似的性质，请阅读下表并根据等差数列的结论，类似的得出等比数列的两个结论：，
9.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第_______行；第61行中1的个数是_______.
三、解答题(10、11题每题15分，12题16分，共46分)
10.已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）.
(1)证明数列{an+1}是等比数列；
(2)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn，求函数f(x)在点x=1处的导数f′(1).
11.已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)=6x-2.数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式；
12.在数列中，.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）求的最大值.
参考答案
一、选择题
1.【解析】选C.∵等差数列{an}中，-1且它的前n项和Sn有最大值，∴a100,a110,故a11-a10.
即a11+a100,而a10+a100,
∴使Sn0的n的最大值为19.
2.
3.
4.D
5.【解析】选C.从图中观察知
图1中an=1+2+…+n=
图2中bn=n2,
显然1225在an中n=49,
在bn中n=35.
6.D
二、填空题
7.
8.，
9.【解析】①第1次全行的数都是1的是第1行，
第2次全行的数都是1的是第3行，
第3次全行的数都是1的是第7行，
……
第n次全行的数都是1的是第2n-1行，
②由上面结论知第63行有64个1，
则1100……0011……61行
1010……101……62行
1111……11……63行
从上面几行可知第61行数的特点是两个1两个0交替出现，最后两个为1，
∴在第61行的62个数中有32个1.
答案：2n-132
三、解答题
10.【解析】（1）由已知Sn+1=2Sn+n+5,
∴n≥2时，Sn=2Sn-1+n+4，
两式相减，得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1，
即an+1=2an+1.
从而an+1+1=2(an+1).
当n=1时，S2=2S1+1+5,
∴a1+a2=2a1+6,
又a1=5,∴a2=11,
∴a2+1=2(a1+1)，故总有an+1+1=2(an+1),n∈N*.
又∵a1=5,∴an+1≠0，
即{an+1}是以a1+1=6为首项，2为公比的等比数列.
（2）由(1)知an=3×2n-1.
∵f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,
∴f′(x)=a1+2a2x+…+nanxn-1.
11.【解析】(1)依题意可设f(x)=ax2+bx(a≠0)，
则f′(x)=2ax+b.
由f′(x)=6x-2得a=3,b=-2,
所以f(x)=3x2-2x.
又由点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上得Sn=3n2-2n.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=(3n2-2n)-［3(n-1)2-2(n-1)］=6n-5;
当n=1时，a1=S1=3×12-2×1=1=6×1-5.
所以an=6n-5(n∈N*).
12.【解析】（1）由且…）
得．
（2）由变形得
，
是首项为公比为的等比数列
即（）
（3）①当是偶数时
随增大而减少
当为偶数时，最大值是．
②当是奇数时
随增大而增大且
综上最大值为
【备课资源】
1.已知等比数列{an}的公比q0，前n项的和为Sn,则S4a5与S5a4的大小关系是()
(A)S4a5=S5a4(B)S4a5S5a4
(C)S4a5S5a4(D)不能确定
高考数学（理科）一轮复习数列的综合应用学案（有答案）
学案32数列的综合应用
导学目标：1.通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题.2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、生活中的应用．
自主梳理
1．数列的综合应用
数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题．解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会．
(1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法．
(2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题．
(3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想．已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的．
(4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由Sn求an时，要对______________进行分类讨论．
2．数列的实际应用
数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型．
(1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是求an还是求Sn.
(2)分期付款中的有关规定
①在分期付款中，每月的利息均按复利计算；
②在分期付款中规定每期所付款额相同；
③在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值；
④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最后一次付款的利息之和．
自我检测
1．(原创题)若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8－S3＝10，则S11的值为()
A．12B．18
C．22D．44
2．(2011汕头模拟)在等比数列{an}中，anan＋1，且a7a11＝6，a4＋a14＝5，则a6a16等于()
A.23B.32
C．－16D．－56
3．若{an}是首项为1，公比为3的等比数列，把{an}的每一项都减去2后，得到一个新数列{bn}，设{bn}的前n项和为Sn，对于任意的n∈N*，下列结论正确的是()
A．bn＋1＝3bn，且Sn＝12(3n－1)
B．bn＋1＝3bn－2，且Sn＝12(3n－1)
C．bn＋1＝3bn＋4，且Sn＝12(3n－1)－2n
D．bn＋1＝3bn－4，且Sn＝12(3n－1)－2n
4．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程都增加2km，在达到离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是()
A．10秒钟B．13秒钟
C．15秒钟D．20秒钟
5．(2011台州月考)已知数列{an}的通项为an＝nn2＋58，则数列{an}的最大项为()
A．第7项B．第8项
C．第7项或第8项D．不存在
6．(2011南京模拟)设数列{an}，{bn}都是正项等比数列，Sn，Tn分别为数列{lgan}与{lgbn}的前n项和，且SnTn＝n2n＋1，则logb5a5＝________.
探究点一等差、等比数列的综合问题
例1设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．
(1)求数列{an}的通项；
(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.
变式迁移1假设a1，a2，a3，a4是一个等差数列，且满足0a12，a3＝4.若bn＝2an(n＝1,2,3,4)．给出以下命题：
①数列{bn}是等比数列；②b24；③b432；④b2b4＝256.其中正确命题的个数是()
A．1B．2C．3D．4
探究点二数列与方程、函数、不等式的综合问题
例2(2011温州月考)已知函数f(x)＝2x＋33x，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f1an，n∈N*，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn；
(3)令bn＝1an－1an(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Snm－20012对一切n∈N*成立，求最小正整数m.
变式迁移2已知单调递增的等比数列{an}满足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝anlog12an，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，对任意正整数n，Sn＋(n＋m)an＋10恒成立，试求m的取值范围．
探究点三数列在实际问题中的应用
例3(2011福州模拟)有一个下岗职工，1月份向银行贷款10000元，作为启动资金开店，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳所得税为该月月利润的10%，每月的生活费为300元，余款作为资金全部投入下个月的经营，如此继续，问到这年年底这个职工有多少资金？若贷款年利息为25%，问这个职工还清银行贷款后纯收入多少元？
变式迁移3假设某市2011年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2011年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)
1．数列实际应用问题：(1)数学应用问题已成为中学数学教学与研究的一个重要内容，解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型．(2)在试题中常用的数学模型有①构造等差、等比数列的模型，然
后再去应用数列的通项公式求解；②通过归纳得到结论，用数列知识求解．
2．解决数列综合问题应体会以下思想及方法：(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)．(2)数列与不等式结合时需注意放缩．(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010湖北)已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，12a3,2a2成等差数列，则a9＋a10a7＋a8的值为()
A．1＋2B．1－2
C．3＋22D．3－22
2．(2011漳州模拟)数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有()
A．a3＋a9≤b4＋b10B．a3＋a9≥b4＋b10
C．a3＋a9≠b4＋b10D．a3＋a9与b4＋b10的大小不确定
3．有限数列A：a1，a2，…，an，Sn为其前n项和，定义S1＋S2＋…＋Snn为A的“凯森和”，若有99项的数列a1，a2，…，a99的“凯森和”为1000，则有100项的数列1，a1，a2，…，a99的“凯森和”为()
A．1001B．991C．999D．990
4．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()
A．6秒B．7秒C．8秒D．9秒
5．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于()
A．24B．32C．48D．64
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2011丽水月考)若数列{an}的通项公式an＝5252n－2－425n－1，数列{an}的最大项为第x项，最小项为第y项，则x＋y＝________.
7．(2010江苏)函数y＝x2(x0)的图象在点(ak，a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.
8．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为________．
1
24
357
681012
911131517
141618202224
……………………………………
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011湘潭模拟)已知点(1，13)是函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，数列{bn}(bn0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝Sn＋Sn－1(n≥2)．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若数列{1bnbn＋1}的前n项和为Tn，问满足Tn10002009的最小正整数n是多少？
10．(12分)沿海地区甲公司响应国家开发西部的号召，对西部地区乙企业进行扶持性技术改造．乙企业的经营现状是：每月收入为45万元，但因设备老化，从下月开始需付设备维修费，第一个月为3万元，以后每月递增2万元．甲公司决定投资400万元扶持改造乙企业．据预测，改造后乙企业第一个月收入为16万元，在以后的4个月中，每月收入都比上个月增长50%，而后每个月收入都稳定在第5个月的水平上．若设备改造时间可忽略不计，那么从下个月开始至少经过多少个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益？
11．(14分)(2011广东执信中学模拟)已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)且f(1)＝12.
(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式；
(2)设an＝nf(n)，n∈N*，求证：a1＋a2＋a3＋…＋an2；
(3)设bn＝(9－n)fn＋1fn，n∈N*，Sn为{bn}的前n项和，当Sn最大时，求n的值．
答案自主梳理
1．(4)n＝1或n≥2
自我检测
1．C2.B3.C4.C5.B
6.919
课堂活动区
例1解题导引1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．
2．利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值．同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的思维难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解．
解(1)由已知得
a1＋a2＋a3＝7(a1＋3)＋(a3＋4)2＝3a2，解得a2＝2.
设数列{an}的公比为q，由a2＝2，
可得a1＝2q，a3＝2q.
又S3＝7，可知2q＋2＋2q＝7，
即2q2－5q＋2＝0.解得q1＝2，q2＝12.
由题意得q1，∴q＝2，∴a1＝1.
故数列{an}的通项为an＝2n－1.
(2)由(1)得a3n＋1＝23n，
∴bn＝lna3n＋1＝ln23n＝3nln2.
又bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差数列，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝n(b1＋bn)2＝3n(n＋1)2ln2.
故Tn＝3n(n＋1)2ln2.
变式迁移1D[设a1，a2，a3，a4的公差为d，则a1＋2d＝4，又0a12，所以1d2.易知数列{bn}是等比数列，故(1)正确；a2＝a3－d∈(2,3)，所以b2＝2a24，故(2)正确；a4＝a3＋d5，所以b4＝2a432，故(3)正确；又a2＋a4＝2a3＝8，所以b2b4＝2a2＋a4＝28＝256，故(4)正确．]
例2解题导引这是一道数列、函数、不等式的综合题，利用函数关系式求通项an，观察Tn特点，求出Tn.由an再求bn从而求Sn，最后利用不等式知识求出m.
解(1)∵an＋1＝f1an＝2an＋33an＝2＋3an3＝an＋23，
∴{an}是以23为公差的等差数列．
又a1＝1，∴an＝23n＋13.
(2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1
＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)
＝－43(a2＋a4＋…＋a2n)＝－43n53＋4n3＋132
＝－49(2n2＋3n)．
(3)当n≥2时，bn＝1an－1an＝123n－1323n＋13
＝9212n－1－12n＋1，
又b1＝3＝92×1－13，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝92×1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1
＝921－12n＋1＝9n2n＋1，
∵Snm－20012对一切n∈N*成立．
即9n2n＋1m－20012，
又∵9n2n＋1＝921－12n＋1递增，
且9n2n＋192.∴m－20012≥92，
即m≥2010.∴最小正整数m＝2010.
变式迁移2解(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
依题意，有2(a3＋2)＝a2＋a4，
代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8.
∴a2＋a4＝20.∴a1q＋a1q3＝20，a3＝a1q2＝8，
解之，得q＝2，a1＝2或q＝12，a1＝32.
又{an}单调递增，∴q＝2，a1＝2.∴an＝2n.
(2)bn＝2nlog122n＝－n2n，
∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.①
∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.②
∴①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n2n＋1
＝2(1－2n)1－2－n2n＋1＝2n＋1－n2n＋1－2.
由Sn＋(n＋m)an＋10，
即2n＋1－n2n＋1－2＋n2n＋1＋m2n＋10对任意正整数n恒成立，
∴m2n＋12－2n＋1对任意正整数n，m12n－1恒成立．
∵12n－1－1，∴m≤－1，
即m的取值范围是(－∞，－1]．
例3解依题意，第1个月月余款为
a1＝10000(1＋20%)－10000×20%×10%－300
＝11500，
第2个月月底余款为a2＝a1(1＋20%)－a1×20%×10%－300，
依此类推下去，设第n个月月底的余款为an元，
第n＋1个月月底的余款为an＋1元，则an＋1＝an(1＋20%)－an×20%×10%－300＝1.18an－300.
下面构造一等比数列．
设an＋1＋xan＋x＝1.18，则an＋1＋x＝1.18an＋1.18x，
∴an＋1＝1.18an＋0.18x.
∴0.18x＝－300.
∴x＝－50003，即an＋1－50003an－50003＝1.18.
∴数列{an－50003}是一个等比数列，公比为1.18，首项a1－50003＝11500－50003＝295003.
∴an－50003＝295003×1.18n－1，
∴a12－50003＝295003×1.1811，
∴a12＝50003＋295003×1.1811≈62396.6(元)，
即到年底该职工共有资金62396.6元．
纯收入有a12－10000(1＋25%)
＝62396.6－12500＝49896.6(元)．
变式迁移3解(1)设中低价房的面积形成的数列为{an}，
由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，
则an＝250＋(n－1)50＝50n＋200，
Sn＝250n＋n(n－1)2×50＝25n2＋225n，
令25n2＋225n≥4750，
即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10.
∴到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．
(2)设新建住房面积形成数列{bn}，
由题意可知{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，
则bn＝400(1.08)n－1.
由题意可知an0.85bn，
即50n＋200400(1.08)n－10.85.
当n＝5时，a50.85b5，
当n＝6时，a60.85b6，
∴满足上述不等式的最小正整数n为6.
∴到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
课后练习区
1．C2.B3.B4.B5.D
6．37.218.107
9．解(1)∵f(1)＝a＝13，∴f(x)＝13x.…………………………………………………(1分)
a1＝f(1)－c＝13－c，
a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－29，
a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－227；
又数列{an}成等比数列，a1＝a22a3＝481－227＝－23＝13－c，
∴c＝1；……………………………………………………………………………………(2分)
公比q＝a2a1＝13，an＝－23×13n－1＝－2×13n，n∈N*；………………………………(3分)
∵Sn－Sn－1＝Sn－Sn－1Sn＋Sn－1
＝Sn＋Sn－1(n2)，……………………………………………………………………(4分)
又bn0，Sn0，∴Sn－Sn－1＝1.
数列{Sn}构成一个首项为1、公差为1的等差数列，
Sn＝1＋(n－1)×1＝n，Sn＝n2.
当n≥2，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1；
又当n＝1时，也适合上式，
∴bn＝2n－1，n∈N*.……………………………………………………………………(6分)
(2)Tn＝1b1b2＋1b2b3＋1b3b4＋…＋1bnbn＋1
＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n－1)×(2n＋1)
＝121－13＋1213－15＋1215－17＋…＋
1212n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋1.……………………………………………(10分)
由Tn＝n2n＋110002009，得n10009，
∴满足Tn10002009的最小正整数为112.…………………………………………………(12分)
10．解设乙企业仍按现状生产至第n个月所带来的总收益为An(万元)，技术改造后生产至第n个月所带来的总收益为Bn(万元)．依题意得
An＝45n－[3＋5＋…＋(2n＋1)]
＝43n－n2，………………………………………………………………………………(4分)
当n≥5时，Bn＝16325－132－1＋
16324(n－5)－400＝81n－594，…………………………………………………………(8分)
∴当n≥5时，Bn－An＝n2＋38n－594，
令n2＋38n－5940，即(n＋19)2955，解得n≥12，
∴至少经过12个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益．……………………………………………………………………………………………(12分)
11．解(1)令x＝n，y＝1，
得到f(n＋1)＝f(n)f(1)＝12f(n)，……………………………………………………………(2分)
∴{f(n)}是首项为12，公比为12的等比数列，
即f(n)＝(12)n.………………………………………………………………………………(5分)
(2)记Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，
∵an＝nf(n)＝n(12)n，……………………………………………………………………(6分)
∴Sn＝12＋2×(12)2＋3×(12)3＋…＋n×(12)n，
12Sn＝(12)2＋2×(12)3＋3×(12)4＋…＋(n－1)×(12)n＋n×(12)n＋1，
两式相减得12Sn＝12＋(12)2＋…＋(12)n－n×(12)n＋1，
整理得Sn＝2－(12)n－1－n(12)n2.…………………………………………………………(9分)
(3)∵f(n)＝(12)n，而bn＝(9－n)f(n＋1)f(n)
＝(9－n)(12)n＋1(12)n＝9－n2.…………………………………………………………………(11分)
当n≤8时，bn0；
当n＝9时，bn＝0；
当n9时，bn0，
∴n＝8或9时，Sn取到最大值．……………………………………………………(14分)
数列应用题
一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，作为教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，让教师能够快速的解决各种教学问题。那么，你知道教案要怎么写呢？经过搜索和整理，小编为大家呈现“数列应用题”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！
课时28数列应用题
【教学目标】
1．综合运用等差、等比数列的知识解决有关一些实际应用问题，其中函数的观点，化归的方法常常在解题过程中起重要作用。
2．培养学生分析问题和解决问题的能力。
【教学难点】
难点是解决数列应用题的建摸
【教学过程】
例1填空题：
⑴一个剧场设置了20排座位，第一排有38个座位，往后每一排比前一排多2个座位，这个剧场共有个座位。
⑵某厂产值的月平均增长率为P，则年平均增长率为。
⑶某种汽车购车时费用为10万元，每年的保险、养路、汽油费共9千元，汽车的年维修费逐年以等差数列递增，第一年为2千元，第2年为4千元，第3年为6千元，……问这种汽车使用年后报废合算？（即汽车的年平均费用最底）
(4)一幢大楼共有n层，现每层指定一人到第k层去开会，问k为______________时，使n层楼的开会人员上、下楼梯所走的台阶和最小？（假设每层楼梯的台阶数都相同）
例2某人2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷，如果10年还清，那么每月应还贷多少元？
例3某地现有耕地面积10000公顷，计划10年后粮食单产比现在提高22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口的年增长率为1%，那么平均每年最多只能减少耕地面积多少公顷（精确到1公顷）？(注：粮食单产=，人均粮食占有量=)
【课后作业】
1、某林场年初有森林木材存量Sm3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量为xm3。为实现经过2次砍伐以后木材存量增长50%，则x的值应是。
2、1991年，某内河可供船只航行的河段长为1000千米，但由于水资源的过度使用，促使河水断流，从1992年起，该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的，则到2000年，该内河可行驶的河段长度为。
3、如图（图见课本P.56第4题）设正三角形△ABC的边长为20cm，取BC边的中点E，作正三角形BDE；取边DE的中点G，作正三角形DFG；如此继续下去，可得到一列三角形△ABC，△BDE，△DFG，…，求前20个正三角形的面积和。
4、李刚从2011年1月开始，用零存整取的方式每月在10日发工资时存入银行200元，按银行规定，这种储蓄用单利计算利息，年利率为1.98%，且在取息时需扣除20%的利息税，则到2012年1月10日，李刚由这些存款可以到银行取出多少钱？
5、资料表明，2000年我国工业废弃垃圾达7.4×108t,每吨占地1m2,环保部门每回收或处理1t废旧物资,相当于消灭4t工业废弃垃圾.如果某环保部门2002年共回收处理了104t废旧物资,且以后每年的回收量递增20％。⑴2010年能回收多少吨废旧物资？（结果保留两位有效数字）
⑵从2002年初起到2010年底，可节约土地多少平方米？
6、社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年的投入将比上一年减少，本年度估计旅游业收入为400万元，由于该项目的建设对旅游业的促进作用，预计今后旅游业收入每年比上年增加，
⑴设n年（本年度为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出和的表达式；
⑵至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
问题统计与分析
常见的数列求和及应用
一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助教师掌握上课时的教学节奏。怎么才能让教案写的更加全面呢？下面的内容是小编为大家整理的常见的数列求和及应用，供您参考，希望能够帮助到大家。
常见的数列求和及应用
一、自主探究
1、等差数列的前n项和公式：
=。
2、等比数列的前n项和公式：
①当时，；
②当时，=。
3、常见求和公式有：
①1+2+3+4+…+n=
②1+3+5+…+（2n-1）=
※③=
※④
二、典例剖析
（一）、分组求和法：某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用公式分别求和，从而得出原数列的和。
例1已知，求数列｛｝的前n项和。
变式练习：已知，求数列｛｝的前n项和。
（二）、裂项求和法：如果数列的通项公式可转化为形式，常采用裂项求和的方法。特别地，当数列形如，其中是等差数列，可采用此法
例2求和：（）
变式练习：已知数列的通项公式，求数列｛｝的前n项和。
（三）、奇偶并项法：当数列通项中出现时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论。
例3求和：
（四）、倒序相加法：此法主要适用数列前后具有“对称性”，即“首末两项之和相等”的形式。
例4求在区间内分母是3的所有不可约分数之和。
变式练习：已知且.求
（五）错位相减法：一般地，如果数列时等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用此法，在等式的两边乘以或，再错一位相减。
例5求和：
变式练习：求和：
三、提炼总结：数列的求和是数列的一个重要内容,它往往是数列知识的综合体现，求和题在试题中更是常见，它常用来考察我们的基础知识，分析问题和解决问题的能力。任何一个数列的前n项和都是从第1项一直加到第n项。数列的求和主要有以下几种方法。⑴公式法；⑵分组求和法；⑶裂项求和法；拆项成差求和经常用到下列拆项公式，请补充完整：①=；
②=；
③=；
④=；
⑷奇偶并项法；⑸倒序相加法；⑹错位相减法。
四、课堂检测：
1、已知数列的通项，由所确定的数列的前项之和是（）
A.B.C.D.
2、已知数列为等比数列，前三项为则等于（）
A.B.C.D.
3、设数列，（1+2+4），…，（）的前m项和为2036，则m的值为（）
A.8B.9C.10D.11
4、在50和350之间所有末位数是1的整数之和是（）
A.5880B.5539C.5280D.4872
5、
6、若,则n=
7、设正项等比数列的首项，前n项和为，且
①求的通项；
②求的前n项和
8、数列中，且满足,
①求数列的通项公式；
②设是否存在最大的整数m，使得任意的n均有＞总成立。
