常见的数列求和及应用。

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助教师掌握上课时的教学节奏。怎么才能让教案写的更加全面呢？下面的内容是小编为大家整理的常见的数列求和及应用，供您参考，希望能够帮助到大家。

常见的数列求和及应用
一、自主探究
1、等差数列的前n项和公式：
=。
2、等比数列的前n项和公式：
①当时，；
②当时，=。
3、常见求和公式有：
①1+2+3+4+…+n=
②1+3+5+…+（2n-1）=
※③=
※④
二、典例剖析
（一）、分组求和法：某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用公式分别求和，从而得出原数列的和。
例1已知，求数列｛｝的前n项和。

变式练习：已知，求数列｛｝的前n项和。

（二）、裂项求和法：如果数列的通项公式可转化为形式，常采用裂项求和的方法。特别地，当数列形如，其中是等差数列，可采用此法
例2求和：（）

变式练习：已知数列的通项公式，求数列｛｝的前n项和。

（三）、奇偶并项法：当数列通项中出现时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论。
例3求和：

（四）、倒序相加法：此法主要适用数列前后具有“对称性”，即“首末两项之和相等”的形式。
例4求在区间内分母是3的所有不可约分数之和。

变式练习：已知且.求

（五）错位相减法：一般地，如果数列时等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用此法，在等式的两边乘以或，再错一位相减。
例5求和：
变式练习：求和：

三、提炼总结：数列的求和是数列的一个重要内容,它往往是数列知识的综合体现，求和题在试题中更是常见，它常用来考察我们的基础知识，分析问题和解决问题的能力。任何一个数列的前n项和都是从第1项一直加到第n项。数列的求和主要有以下几种方法。⑴公式法；⑵分组求和法；⑶裂项求和法；拆项成差求和经常用到下列拆项公式，请补充完整：①=；
②=；
③=；
④=；
⑷奇偶并项法；⑸倒序相加法；⑹错位相减法。
四、课堂检测：
1、已知数列的通项，由所确定的数列的前项之和是（）
A.B.C.D.
2、已知数列为等比数列，前三项为则等于（）
A.B.C.D.
3、设数列，（1+2+4），…，（）的前m项和为2036，则m的值为（）
A.8B.9C.10D.11
4、在50和350之间所有末位数是1的整数之和是（）
A.5880B.5539C.5280D.4872
5、
6、若,则n=
7、设正项等比数列的首项，前n项和为，且
①求的通项；
②求的前n项和
8、数列中，且满足,
①求数列的通项公式；
②设是否存在最大的整数m，使得任意的n均有＞总成立。

相关知识

数列求和

一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，教师要准备好教案，这是教师需要精心准备的。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容，帮助授课经验少的教师教学。写好一份优质的教案要怎么做呢？小编经过搜集和处理，为您提供数列求和，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

数列的求和
教学目的：小结数列求和的常用方法，尤其是要求学生初步掌握用拆项法、裂项法和错位法求一些特殊的数列。
教学过程：
基本公式：
1.等差数列的前项和公式：
，
2．等比数列的前n项和公式：
当时，①或②
当q=1时，
一、特殊数列求和－－常用数列的前n项和及其应用：
例1设等差数列{an}的前n项和为Sn，且，
求数列{an}的前n项和
——由题和等差数列的前n项和公式先求通项公式an，再sn
例3求和S=1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)．
——关键是处理好通项：n(n+1)(n+2)=n+3n+2n，
应用特殊公式和分组求解的方法。
二、拆项法(分组求和法)：
例4求数列
的前n项和。
——拆成等比数和列等差数列{3n-2},应用公式求和，注意分a=1和两类讨论.
三、裂项（相消）法：
例5求数列前n项和
——关键是处理好通项（裂项）.设数列的通项为bn，则
例6求数列前n项和
解：
四、错位法：
例7求数列前n项和
解：①
②
两式相减：
五、作业：
1.求数列前n项和
2.求数列前n项和
3.求和：(5050)
4.求和：1×4+2×5+3×6+……+n×(n+1)
5.求数列1，(1+a)，(1+a+a2)，……，(1+a+a2+……+an1)，……前n项和

等差数列求和公式的

俗话说，凡事预则立，不预则废。作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助教师更好的完成实现教学目标。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢？下面是小编为大家整理的“等差数列求和公式的”，仅供参考，欢迎大家阅读。

问题1：著名数学家高斯10岁时，曾解过一道题：1+2+3+…+100=?你们知道怎么解吗？

问题2：1+2+3+…+n=?

在探求中有学生问：n是偶数还是奇数？教师反问：能否避免奇偶讨论呢？并引导学生从问题1感悟问题的实质：大小搭配，以求平衡

设=1+2+3+…+n,又有=+++…+1

=+++…+，得=

问题3：等差数列=？

学生容易从问题2中获得方法（倒序相加法）。但遇到===…=呢？利用等差数列的定义容易理解这层等量关系，进一步的推广可得重要结论：m+n=p+q

问题4：还有新的方法吗？

（引导学生利用问题2的结论），经过讨论有学生有解法：设等差数列的公差为d，则=+（）+（）+…+[]

==（这里应用了问题2的结论）

问题5：==？

学生容易从问题4中得到联想：==。显然，这又是一个等差数列的求和公式。

等差数列的求和对初学数列求和的离学生的现有发展水平较远，教师通过“弱化”的问题1和问题2将问题转化到学生的最近发展区内，由于学生的最近发展区是不断变化的，学生解决了问题2，就说明学生的潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在新的现有发展水平基础上教师提出了问题3，学生解决了问题3，他们潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在此基础上教师提出了问题4，这个案例的设计体现教师搭“脚手架”的作用不可低估,教师自始至终都应坚持“道而弗牵,强而弗抑,开而弗达”(《礼记·学记》),诱导学生自己探究数学结论,处理好“放”与“扶”的关系。

常见合金的组成及应用

第一单元应用广泛的金属材料
第二节常见的合金的组成及应用
铝合金和铝锂合金
金属材料分为黑色金属和有色金属两大类，除了铁、锰、铬之外，周期表中其他金属都归于有色金属。有色金属又可分为轻金属如Li，Be，Mg，Al，Ti；重金属如Cu，Zn，Cd，Hg，Pb；高熔点金属或难熔金属如W，Mo，Zr，V；稀土金属如La，Ce，Pr，Nd等；稀散金属如Ga，In，Ge；贵金属如Au，Ag，Pt，Pd等。但作为结构材料的有色金属，主要有铝合金、镁合金、铜合金、钛合金、镍合金和锌合金等。我们主要介绍铝合金。
铝是自然界含量最多的金属元素，在地壳中以复硅酸盐形式存在。主要的矿石有铝土矿（Al2O3nH2O）、粘土[H2Al2（SiO4）2H2O]、长石（KAlSi3O8）、云母[H2KAl3（SiO4）3]、冰晶石（Na3AlF6）等。
制备金属铝常用电解法。在矿石中铝和氧结合形成Al2O3，它是非常稳定的化合物。在高温下对熔融的氧化铝进行电解，氧化铝被还原为金属铝并在阴极上析出，其反应如下：

熔融的金属铝冷却后成为铝锭。
铝是银白色金属，熔点为659.8℃，沸点为2270℃，密度为2.702gcm-3，仅为铁的三分之一。铝的导电、导热性好，可代替铜做导线。在大气中金属铝表面与氧作用形成一层致密的氧化膜保护层，所以有很好的抗蚀性。金属铝中铝原子是面心立方堆积，层与层之间可以滑动，因此铝有优良的延展性，可拉伸抽成丝，也可捶打成铝箔。铝的主要用途是做铝合金，大量用于航空工业、汽车工业及建筑业。
铝合金金属铝的强度和弹性模量较低，硬度和耐磨性较差，不适宜制造承受大载荷及强烈磨损的构件。为了提高铝的强度，常加入一些其他元素，如镁、铜、锌、锰、硅等。这些元素与铝形成铝合金后，不但提高了强度，而且还具有良好的塑性和压力加工性能，如铝镁合金、铝锰合金。常见的铝铜镁合金称为硬铝，铝锌镁铜合金称为超硬铝。铝合金强度高、相对密度小、易成型，广泛用于飞机制造业。
铝锂合金若把锂掺入铝中，就可生成铝锂合金。由于锂的密度比铝还低（0.535gcm-3），如果加入1%锂，可使合金密度下降3%，弹性模量提高6%。
近年来发展了一种铝锂合金，含锂2%～3%，这种铝锂合金比一般铝合金强度提高20%～24%，刚度提高19%～30%，相对密度降低到2.5～2.6。因此用铝锂合金制造飞机，可使飞机质量减轻15%～20%，并能降低油耗和提高飞机性能。铝锂合金是很有发展前途的合金

数列的综合应用

课时29数列综合问题(2)
【教学目标】
1．掌握一些常见等差等比数列综合问题的求解方法；
2．培养学生分析问题和解决问题的能力。
【教学难点】
难点是解决数列中的一些综合问题。
【教学过程】
例1．等差数列的公差和等比数列的公比都是d(d≠1)，且，，，
⑴求和d的值；⑵是不是中的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。

例2．设等比数列的公比为,前项和为，若成等差数列，求的值．

例3．已知数列的前n项和为且满足．
(1)判断是否是等差数列，并说明理由；(2)求数列的通项；

例4．设是正数组成的数列，其前n项和为，且对于所有正整数n,与2的等差中项等于与2的等比中项。⑴写出的前3项；⑵求的通项公式（写出推理过程）;
⑶令，,求的值。

例5、已知数列，设，数列。（1）求证：是等差数列；（2）求数列的前n项和Sn；
（3）若一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。

例6．已知函数，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）令，求；（3）令对一切成立，求最小正整数m.

【课后作业】
1.设数列｜an｜是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是。
2.设等差数列的公差不为，．若是与的等比中项，则_________。
3.若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=_______。
4.已知等比数列的前项和为且。（1）求的值及数列的通项公式。（2）设求数列的前项和。

5.设数列的前项和为，已知（1）设，求数列的通项公式；（2）若，求的取值范围

6．设为数列的前项和，若（）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．（1）若数列是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列是否为“和等比数列”；（2）若数列是首项为，公差为的等差数列，且数列是“和等比数列”，试探究与之间的等量关系．

7.已知数列是首项，公比q0的等比数列，设且,。⑴求数列的通项公式,⑵设数列的前项和为，求证数列是等差数列；⑶设数列的前n项和为,当取最大值时,求n的值.

问题统计与分析