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高中不等式教案

发表时间:2020-02-26

七年级数学上册《一元一次不等式》知识点归纳湘教版。

作为老师的任务写教案课件是少不了的,大家在认真写教案课件了。各行各业都在开始准备新的教案课件工作计划了,我们的工作会变得更加顺利!你们知道哪些教案课件的范文呢?为此,小编从网络上为大家精心整理了《七年级数学上册《一元一次不等式》知识点归纳湘教版》,供大家参考,希望能帮助到有需要的朋友。

七年级数学上册《一元一次不等式》知识点归纳湘教版
1、(1)不等式的概念:用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫做不等式,用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式.
(2)凡是用不等号连接的式子都叫做不等式.常用的不等号有“<”、“>”、“≤”、“≥”、“≠”.另外,不等式中可含未知数,也可不含未知数.
2、(1)不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变,即:
若a>b,那么a±m>b±m;
②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即:
若a>b,且m>0,那么am>bm或am>bm;
③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:
若a>b,且m<0,那么am<bm或am<bm;
(2)不等式的变形:①两边都加、减同一个数,具体体现为“移项”,此时不等号方向不变,但移项要变号;②两边都乘、除同一个数,要注意只有乘、除负数时,不等号方向才改变.
3、(1)不等式的解的定义:
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
(2)不等式的解集:
能使不等式成立的未知数的取值范围,叫做不等式的解的集合,简称解集.
(3)解不等式的定义:
求不等式的解集的过程叫做解不等式.
(4)不等式的解和解集的区别和联系
不等式的解是一些具体的值,有无数个,用符号表示;不等式的解集是一个范围,用不等号表示.不等式的每一个解都在它的解集的范围内.
4、用数轴表示不等式的解集时,要注意“两定”:
一是定界点,一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意,点是实心还是空心,若边界点含于解集为实心点,不含于解集即为空心点;
二是定方向,定方向的原则是:“小于向左,大于向右”.
5、(1)一元一次不等式的定义:
含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式.
(2)概念解析
一方面:它与一元一次方程相似,即都含一个未知数且未知项的次数都是一次,但也有不同,即它是用不等号连接,而一元一次方程是用等号连接.
另一方面:它与不等式有区别,不等式中可含、可不含未知数,而一元一次不等式必含未知数.但两者也有联系,即一元一次不等是属于不等式.
6、根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同,都有如下步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤化系数为1.
以上步骤中,只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3,即可能变不等号方向,其他都不会改变不等号方向.
注意:符号“≥”和“≤”分别比“>”和“<”各多了一层相等的含义,它们是不等号与等号合写形式.
7、解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集,然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件,再根据得到的条件进而求得不等式的整数解.可以借助数轴进行数形结合,得到需要的值,进而非常容易的解决问题.
8、用不等式表示不等关系时,要抓住题目中的关键词,如“大于(小于)、不超过(不低于)、是正数(负数)”“至少”、“最多”等等,正确选择不等号.
因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵,不同的词里蕴含这不同的不等关系.
9、(1)由实际问题中的不等关系列出不等式,建立解决问题的数学模型,通过解不等式可以得到实际问题的答案.
(2)列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系.因此,建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵.
(3)列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤:
①弄清题中数量关系,用字母表示未知数.
②根据题中的不等关系列出不等式.
③解不等式,求出解集.
④写出符合题意的解.

扩展阅读

一元一次不等式和一元一次不等式组导学案


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第二章一元一次不等式和一元一次不等式组
2.1不等关系
学习准备
1.“不大于”指的是“”,通常用符号“”表示.
2.“不小于”指的是“”,通常用符号“”表示.
3.一般地,用符号“”或(“”),“”或(“”)连接的式子叫做不等式.
二.合作探究
1.下列不等关系一定正确的是()
A.>0B.-x2<0C.(x+1)2≥0D.a2>0
2.a、b两数在数轴上的位置如图所示,
下列结论中正确的是()
A.a>0,b<0B.a<0,b>0C.ab>0D.以上均不对
3.(2007年安顺市)如图所示,对a,b,c三种物体的重量判断不正确的是()

A.a<cB.a<bC.a>cD.b<c
4.(2012福建厦门)“x与y的和大于1”用不等式表示为____________;
5.(2013新疆乌鲁木齐)某次知识竞赛共有20道题,每一题答对得10分,答错或不答都扣5分,娜娜得分要超过90分,设她答对了x道题,则根据题意可列不等式;
6.的最小值是,的最大值是,则;
2.2不等式的基本性质
学习准备
1.不等式的基本性质1:不等式的两边都(或减去)同一个,
不等号的方向.
2.不等式的基本性质2:不等式的两边都(或除以)同一个,
不等号的方向.
3.不等式的基本性质3:不等式的两边都(或除以)同一个,
不等号的方向.
二.合作探究
1.(2012广东广州)已知,若是任意实数,则下列不等式中总是成立的是()A.B.C.D.
2.(2013广东)已知实数、,若,则下列结果正确的是()
A.B.C.D.
3.(2013山东济宁)已知,若,则的取值范围是()
A.B.C.D.
4.若a<0,则-____-
5.满足-2x>-12的非负整数有___________________.
6.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式:
(1)0.3x<-0.9(2)x<x-4

2.3不等式的解集
一.学习准备
1.能使不等式成立的的值,叫做不等式的解.
2.一个含有未知数的不等式的,组成这个不等式的解集.
3.求的过程叫做解不等式,也就是将含有未知数的不等式化为“”或“”的形式,其变形依据是不等式的三条基本性质.
4.不等式解集的表示方法:
(1)用不等式表示:一般地,一个含有未知数的不等式的解集是某个取值范围,这个范围可用一个最简单的不等式或(或或)的形式表示出来.
(2)用数轴表示不等式解集的步骤依次是:画数轴、定界点、定方向.其中,应当注意“定界点”和“定方向”两点:若这个不等式的解集中含有这个边界点的对应数值,则画成实心圆点;若解集中不含有边界点的对应数值,则画成空心圆圈;方向也是相对边界点而言的,大于边界点对应的数值向右画,小于边界点对应的数值向左画.
二.合作探究
1.在数轴上表示不等式的解集,正确的是()

ABCD
2.已知不等式的解集在数轴上表示如图所示,则不等式的解集是()

A.B.C.D.
3.(2013四川成都)不等式的解集为_______________.
4.(2013重庆)不等式的解集是______.
5.(2013贵州安顺)若关于的不等式可化为,则的取值
范围是.
6.在数轴上表示下列不等式的解集:
(1)x≥-3.5(2)-1≤x<2

2.4一元一次不等式(一)
一.学习准备
1.不等式的左右两边都是,只含有未知数,并且未知数
的,像这样的不等式,叫做一元一次不等式.
2.解方程的变形对于解不等式同样适用.
3.解一元一次不等式的一般步骤是:①;②;③;
④;⑤.
二合作探究
1.关于x的方程5-a(1-x)=8x-(3-a)x的解是负数,则a的取值范围是()
A.a<-4B.a>5C.a>-5D.a<-5
2.(2013甘肃白银)不等式的正整数解是.
3.下面解不等式的过程是否正确,如不正确,请找出错误之处,并改正.
解不等式:<判断:
解:去分母,得<①
去括号,得②
移项、合并,得5<21③
因为x不存在,所以原不等式无解.④
4.(2013四川)解不等式,并把它的解集表示在数轴上.

5.当x为何值时,代数式的值分别满足以下条件:
(1)是非负数;(2)不大于1。

6.若2(x+1)-5<3(x-1)+4的最小整数解是方程x-mx=5的解,求代数式的值.

2.4一元一次不等式(二)
一.学习准备
1.不等式的左右两边都是,只含有未知数,并且未知数
的,像这样的不等式,叫做一元一次不等式.
2.解一元一次不等式的一般步骤是:①;②;③;
④;⑤.
3.列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤是:①;②;③;④;⑤.
二.合作探究
1.(2007年佛山市)小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元,每个笔记本2元,她买了4个笔记本,则她最多还可以买()支笔.
A、1B、2C、3D、4
2.(2007年潍坊市)幼儿园把新购进的一批玩具分给小朋友.若每人3件,那么还剩余59件;若每人5件,那么最后一个小朋友分到玩具,但不足4件,这批玩具共有_____________件.
3.(2012陕西)小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶,已知甲饮料每瓶7元,乙饮料每瓶4元,则小红最多能买瓶甲饮料。
4.(2013江苏淮安)解下列不等式:,并把解集在数轴上表示出来.

5.当x为何值时,代数式

6.(2013湖南益阳)“二广”高速在益阳境内的建设正在紧张地进行,现有大量的沙石需要运输。“益阳”车队有载重量为8吨、10吨的卡车共有12辆,全部车辆运输一次能运输110吨沙石.
(1)求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆?
(2)随着工程的进展,“益安”车队需要一次运输沙石165吨以上,为了完成任务,准备新增购这两种卡车共6辆,车队有多少购买方案,请你一一写出.

2.5一元一次不等式与一次函数(一)
一.学习准备
1.用图象法解一元一次不等式:由于任何一个一元一次不等式都可以转化为或(、为常数,)的形式,所以解一元一次不等式可以看作一次函数的值大于0(或小于0)时,求出相应的自变量的取值范围:当时,表示直线在轴上方的部分;当时,表示直线在轴下方的部分,当时,表示直线与轴的交点.
2.例如:在一次函数y=2x-5中,
当y=0时,有方程;当y>0时,有不等式;
当y<0时,有不等式.
由此可见,一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系,当函数值等于0时即为方程,当函数值大于或小于0时即为不等式.
二.合作探究
1.已知y1=x-5,y2=2x+1.当y1>y2时,x的取值范围是()
A.x>5B.x<C.x<-6D.x>-6
2.已知函数y=(m+2)x-3,要使函数值y随自变量x的增大而增大,则m的取值范围是()
A.m≥-2B.m-2C.m≤-2D.m-2
3.(2010龙岩)直线y=kx+b与两坐标轴的交点如图所示,当y0时,x的取值范围是()A.x2B.x2C.x-1D.x-1
4.如图,某航空公司托运行李的费用与托运行李的重量的关系
为一次函数,由图可知行李的重量只要不超过________千克,
就可以免费托运。
5.如图,已知函数y=3x+b和y=ax-3的图象交于点P(-2,-5),则根据图象可得不等式3x+b>ax-3的解集是_______________。
6.在同一坐标系中画出一次函数y1=-x+1与y2=2x-2的图象,并根据图象回答下列问题:
(1)写出直线y1=-x+1与y2=2x-2的交点P的坐标.
(2)直接写出:当x取何值时y1>y2;y1<y2

2.5一元一次不等式与一次函数(二)
一.学习准备
某学校计划购买若干台电脑,现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元,并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是:第一台按原价收费,其余每台优惠25%.乙商场的优惠条件是:每台优惠20%.
(1)分别写出两家商场的收费与所买电脑台数之间的关系式.
(2)什么情况下到甲商场购买更优惠?
(3)什么情况下到乙商场购买更优惠?
(4)什么情况下两家商场的收费相同?
解:设要买x台电脑,购买甲商场的电脑所需费用y1元,购买乙商场的电脑所需费用为y2元,由题意得:
(1)y1=6000+(1-25%)(x-1)×6000=;
y2=80%×6000x=;
(2)当y1<y2时,有;解得,;
即当所购买电脑台时,到甲商场购买更优惠;
(3)当y1>y2时,有;解得,;
即当所购买电脑台时,到乙商场买更优惠;
(4)当y1=y2时,即有;解得,;
即当所购买电脑为台时,两家商场的收费相同.
二.合作探究
1.某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一
家签订月租车合同,设汽车每月行驶x千米,个体车
主收费y1元,国营出租车公司收费为y2元,观察下列
图象可知(如图),当x________时,选用个体车较合算.
2.某单位要制作一批宣伟材料,甲公司提出每份材料收费20元,另收3000元设计费;乙公司提出:每份材料收费30元,不收设计费.
(1)什么情况下选择甲公司比较合算?(2)什么情况下选择乙公司比较合算?
(3)什么情况下两公司的收费相同?
解:设宣传材料有x份,则选择甲公司所需费用为y1元,选择乙公司所需费用为y2元,由题意得:
(1)y1=;
y2=;
(2)当y1<y2时,有;解得,;
(3)当y1>y2时,有;解得,;
(4)当y1=y2时,即有;解得,;
所以,当材料份时,选择甲公司比较合算.
当材料份时,选择乙公司比较合算.
当材料份时,两公司的收费相同.

八年级数学上册知识点归纳:一元一次不等式的解法


八年级数学上册知识点归纳:一元一次不等式的解法

知识点总结
一.一元一次不等式的解法:
一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似,其步骤为:
1.去分母;
2.去括号;
3.移项;
4.合并同类项;
5.系数化为1。
二.不等式的基本性质:
1.不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变;
2.不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
3.不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
三.不等式的解:
能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
四.不等式的解集:
一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
五.解不等式的依据不等式的基本性质:
性质1:不等式两边加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变,
性质2:不等式两边乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,
性质3:不等式两边乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,
常见考法
(1)考查一元一次不等式的解法;
(2)考查不等式的性质。
误区提醒
忽略不等号变向问题。
【典型例题】(2010年铁岭加速度辅导学校)在四川抗震救灾中,某抢险地段需实行爆破。操作人员点燃导火线后,要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度是1.2厘米/秒,操作人员跑步的速度是5米/秒。为了保证操作人员的安全,导火线的长度要超过()
A.66厘米B.76厘米C.86厘米D.96厘米
【解析】设导火线的长度要超过x厘米,
故本题选择D。

一元一次不等式的解集:
一个有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。例如﹕
不等式x-5≤-1的解集为x≤4;
不等式x﹥0的解集是所有正实数。
求不等式解集的过程叫做解不等式。
将不等式化为axb的形式
(1)若a0,则解集为xb/a
(2)若a0,则解集为xb/a
一元一次不等式的特殊解:
不等式的解集一般是一个取值范围,但有时需要求未知数的某些特殊解,如求正数解、整数解、最大整数解等,解答这类问题关键是明确解的特征。
不等式的解与解集:
不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。如x=1是x+21的解
①不等式的解是指某一范围内的某个数,用它来代替不等式中的未知数,不等式成立。
②要判断某个未知数的值是不是不等式的解,可直接将该值代入等式的左、右两边,看不等式是否成立,若成立,则是;否则不是。
③一般地,一个不等式的解不止一个,往往有无数个,如所有大于3的数都是x3的解,但也存在特殊情况,如|x|≦0,就只有一个解,为x=0
不等式的解集和不等式的解是两个不同的概念。
①不等式的解集一般是一个取值范围,在这个范围内的每一个数值都是不等式的一个解,不等式一般有无数个解。
②不等式的解集包含两方面的意思:
解集中的任何一个数值,都能使不等式成立;解集外的任何一个数值,都不能使不等式成立。(即不等式不成立)
③不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来,如不等式x-12的解集是x3,可以用数轴上表示3的点左边部分来表示,在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈,表示不包括这一点。
一元一次不等式的解法

解一元一次不等式与解一元一次方程的方法步骤类似,只是在利用不等式基本性质3对不等式进行变形时,要改变不等式的符号。
有两种解题思路:
(1)可以利用不等式的基本性质,设法将未知数保留在不等式的一边,其他项在另一边;
(2)采用解一元一次方程的解题步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤。
解一元一次不等式的一般顺序:
(1)去分母(运用不等式性质2、3)
(2)去括号
(3)移项(运用不等式性质1)
(4)合并同类项。
(5)将未知数的系数化为1(运用不等式性质2、3)
(6)有些时候需要在数轴上表示不等式的解集
不等式解集的表示方法:
(1)用不等式表示:一般的,一个含未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式表达出来。
例如:x-1≤2的解集是x≤3。
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地说明不等式有无限多个解。
用数轴表示不等式的解集要注意两点:一是定边界线;二是定方向。
一元一次不等式的解法经典例题
若不等式(2m-3k)x>7m-5k的解集是x<
2
3
,则不等式(7m-3k)x>2m-5k的解集是______.
答案:
(2m-3k)x>7m-5k,
∵不等式(2m-3k)x>7m-5k的解集是x<
2
3

∴2m-3k<0,

7m-5k
2m-3k
=
2
3

解得:17m=9k,
3k=
17m
3
,k=
17m
9

∵2m-3k<0,
∴2m<
17m
3

∴m>0,
∴(7m-3k)x>2m-5k的解集是x>-
67
12

故答案为:x>-
67
12

解不等式,并把它的解集在数轴上表示出来;
1+
1
2
x>
x-13

答案:
去分母得,6+3x>2(x-1),
取括号得,6+3x>2x-2,
移项得,3x-2x>-2-8,
合并同类项得,x>-8,
∴不等式的解集是x>-8.
把不等式的解集在数轴上表示如下:
解不等式
5x-1
3
-x<1,并将解集在数轴上表示出来,写出它的正整数解.
答案:
去分母得:5x-1-3x<3,(1分)
移项得:5x-3x<3+1,(2分)
合并同类项得:2x<4,
把x的系数化为1得;x<2,(3分)
它的解集在数轴上表示如下:
(5分)
所以这个不等式的正整数解为x=1.(6分)
不等式3x>5x-6的正整数解是()
A.0,1,2B.1,2C.1,2,3D.0,1,2,3
答案:
∵3x>5x-6,
∴x-5x>-6,
∴-2x>-6,
∴x<3,
∴不等式3x>5x-6的正整数解是1,2,
故选B.
解不等式:
x-1
2
+1≤x,并把它的解集在数轴上表示出来.
答案:
去分母得,x-1+2≤2x,
移项、合并同类项得,-x≤-1,
系数化为1得,x≥1.
在数轴上表示为:
一元一次不等式
x+1
2
>x+
43
的最大整数解是______.
答案:
去分母得:3x+3>6x+8,
移项得:3x<-5,
解得:x<-
5
3

即最大整数解为:-2.
故答案为:-2.

八年级数学下册《一元一次不等式和一元一次不等式组》知识点归纳北师大版


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第一章一元一次不等式和一元一次不等式组

一、不等关系

1、一般地,用符号(或≤),(或≥)连接的式子叫做不等式.

2、要区别方程与不等式:方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.

3、准确翻译不等式,正确理解非负数、不小于等数学术语.

非负数===大于等于0(≥0)===0和正数===不小于0

非正数===小于等于0(≤0)===0和负数===不大于0

二、不等式的基本性质

1、掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:

(1)不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:

如果ab,那么a+cb+c,a-cb-c.

(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即

如果ab,并且c0,那么acbc,.

(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:

如果ab,并且c0,那么ac

2、比较大小:(a、b分别表示两个实数或整式)

一般地:

如果ab,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是正数,那么ab;

如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b;

如果a

即:

ab===a-b0

a=b===a-b=0

aa-b0

(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.

三、不等式的解集:

1、能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.

2、不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.

3、不等式的解集在数轴上的表示:

用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:

①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;

②方向:大向右,小向左

四、一元一次不等式:

1、只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1.像这样的不等式叫做一元一次不等式.

2、解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.

3、解一元一次不等式的步骤:

①去分母;

②去括号;

③移项;

④合并同类项;

⑤系数化为1(不等号的改变问题)

4、一元一次不等式基本情形为axb(或ax

①当a0时,解为;

②当a=0时,且b0,则x取一切实数;

当a=0时,且b≥0,则无解;

③当a0时,解为;

5、不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)

列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:

①审:认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如大于、小于、不大于、不小于等含义;

②设:设出适当的未知数;

③列:根据题中的不等关系,列出不等式;

④解:解出所列的不等式的解集;

⑤答:写出答案,并检验答案是否符合题意.

五、一元一次不等式与一次函数

六、一元一次不等式组

1、定义:由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.

2、一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.

几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.

3、解一元一次不等式组的步骤:

(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;

(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.

两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且a

一元一次不等式解集图示叙述语言表达

xb两大取较大

xa两小取小

a

无解在大小分离没有解

(是空集)

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