指数概念的扩充。

一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助高中教师能够更轻松的上课教学。优秀有创意的高中教案要怎样写呢？考虑到您的需要，小编特地编辑了“指数概念的扩充”，欢迎阅读，希望您能阅读并收藏。

3.2.1指数概念的扩充
【自学目标】
1.掌握正整数指数幂的概念和性质；
2.理解n次方根和n次根式的概念，能正确地运用根式表示一个正实数的算术根；
3.能熟练运用n次根式的概念和性质进行根式的化简与运算。
【知识要点】
1．方根的概念
若，则称x是a的平方根；若，则称x是a的立方根。
一般地，若一个实数x满足，则称x为a的n次实数方根。
当n是奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数n次实数方根是一个负数，这时a的n的次实数方根只有一个，记作；
当n是偶数时，正数的n次实数方根有二个，它们是相反数。这时a的正的n次实数方根用符号。
注意：0的n次实数方根等于0。
2．根式的概念
式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数。
求a的n次实数方根的运算叫做开方运算。
3．方根的性质
（1）；
（2）当n是奇数时，，当n是偶数时，
【预习自测】
例1．试根据n次方根的定义分别写出下列各数的n次方根。
⑴25的平方根；⑵27的三次方根；
⑶－32的五次方根；⑷的三次方根．

例2．求下列各式的值：
⑴；⑵；

例3．化简下列各式：
⑴；⑵；
⑶；

例4．化简下列各式：
⑴；
⑵。

【课堂练习】
1．填空：
⑴0的七次方根；⑵的四次方根。
2．化简：
⑴；⑵；
⑶；⑷。
3．计算：

【归纳反思】
1．在化简时，不仅要注意n是奇数还是偶数，还要注意a的正负；
2．配方和分母有理化是解决根式的求值和化简等问题常用的方法和技巧，而分类讨论则是不可忽视的数学思想。
【巩固提高】
1．的值为（）
A．B．C．D．
2．下列结论中，正确的命题的个数是（）
①当a0时，；②；
③函数的定义域为；④若与相同。
A．0B．1C．2D．3
3．化简的结果是()
A．1B．2a－1C．1或2a－1D．0
4．如果a，b都是实数，则下列实数一定成立的是（）
A．B．C．D．
5．当8x10时，。
6．若，则=。
7．若有意义，则x∈
8．计算的值

9．若，用a表示
10．求使等式成立的实数a的取值范围。

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指数函数的概念

课题：指数函数的定义

【教学目标】
1．通过实际问题了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义.
2．在学习的过程中体会研究具体函数的过程和方法.
3．让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活得哲理；培养学生观察问题、分析问题的能力.
【教学重点】
指数函数定义及其理解.
【教学难点】
指数函数的定义及其理解.
【教学步骤】
（一）引入课题
引例1任何有机体都是由细胞作为基本单位组成的，每个细胞每次分裂为2个，则1个细胞第一次分裂后变为2个细胞，第二次分裂就得到4个细胞，第三次分裂后就得到8个细胞……
问题：1个细胞分裂次后，得到的细胞个数与的关系式是什么？
分裂次数细胞个数
……
由上面的对应关系，我们可以归纳出，第次分裂后，细胞的个数为.
这个函数的定义域是非负整数集，由，任给一个值，我们就可以求出对应的值.
引例2一种放射性元素不断衰变为其他元素，每经过一年剩余的质量约为原来的84%.
问题：若设该放射性元素最初的质量为1，则年后的剩余量与的关系式是什么？
时间剩余质量
经过1年
经过2年
经过3年
……
由上面的对应关系，我们可以归纳出，经过年后，剩余量.
问题：上面两个实例得到的函数解析式有什么共同特征？
它们的自变量都出现在指数位置上，底数是一个大于0且不等于1的常量.我们称这样的函数为指数函数.
(二)讲授新课
1．指数函数的定义：
一般地，形如的函数，叫做指数函数，其中是自变量,是不等于1的正的常数．
说明：（1）由于我们已经将指数幂推广到实数指数幂，因此当＞0时，自变量可以取任意的实数，因此指数函数的定义域是R，即.
(2)为什么要规定底数呢.
因为当时，若，则恒为0；若≤0，则无意义.
而当时，不一定有意义，例如，时，显然没有意义.
若时，恒为1，没有研究的必要.
因此，为了避免上述情况，我们规定.注意：此解释只要能说明即可，不必深化，也可视学生情况决定是否向同学解释.
练一练：
下列函数中，哪些是指数函数？
，，，，，，，，.
分析：紧扣指数函数的定义，形如函数叫做指数函数，即前面的系数为1，是一个正常数，指数是.
解：，，，都是指数函数，其余都不是指数函数.
(三)典型例题
例1已知指数函数，求，，，的值.
解：；
；
；
.
例2已知指数函数，若，求自变量的值.
解：将代入，得
，
即，
所以.
例3设，若，求的值.
解：由已知，得
，
即，
因为，
所以.
(四)课堂练习
1．已知指数函数，求，，，的值.
2．已知指数函数，若，求自变量的值.
(五)课堂小结
1.指数函数的定义；
2.研究函数的方法.
(六)课后作业
教材P102练习1，2，3.

(七)板书设计
指数函数的定义
一、指数函数的定义：二、例题：三、练习：四、小结：
例11、
练一练:例22、五、作业：
例3
【教学设计说明】
1．本节课的教学，首先从实际问题引入指数函数的概念，这样既说明指数函数的概念来源于生活实际，也便于学生接受和培养学生用数学的意识.由于本节课是指数函数的起始课，只介绍了指数函数的定义，因此应让学生在理解概念的基础上，落实所学知识.在例题方面，选取紧密联系函数解析式的三种类型题目.例1，已知自变量求函数值；例2，已知函数值求自变量，例3，已知指数函数经过某点确定底数.通过这三方面例题的讲授，使学生对指数函数的解析式有一个较全面的理解，同时为后面指数函数的图像与性质的学习奠定基础.
2．本节课的教学过程：
（1）从实际问题引入，得到指数函数的概念；
（2）对指数函数的进一步理解；
（3）例题、练习、小结、作业.

数系的扩充与复数的概念

3.1.1数系的扩充与复数的概念
【教学目标】
（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念
（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件
（3）了解复数的代数表示方法
【教学重难点】
重点：引进虚数单位i的必要性、对i的规定、复数的有关概念
难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数概念的理解
【教学过程】
一、创设情景、提出问题
问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？

问题2：类比引进，就可以解决方程在有理数集中无解的问题，怎么解决在实数集中无解的问题呢？

问题3：把实数和新引进的数i像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？
二、学生活动
1.复数的概念：
⑴虚数单位：数＿＿叫做虚数单位，具有下面的性质：
①＿＿＿＿＿＿＿＿＿
②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
⑵复数：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做复数，常用字母＿＿＿表示，全体复数构成的集合叫做＿＿＿＿＿＿，常用字母＿＿＿表示．
⑶复数的代数形式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中＿＿＿＿叫做复数的实部，＿＿＿叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都是＿＿＿数．
(4)对于复数a+bi(a,b∈R),
当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数;
当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数0;
当＿＿＿＿＿＿＿时,叫做虚数;
当＿＿＿＿＿＿＿时,叫做纯虚数;
2.学生分组讨论
⑴复数集C和实数集R之间有什么关系?

⑵如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?

⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用韦恩图表示出来吗？
3.练习：
(1).下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？
2+2i,0.618,2i/7,0,
5i+8,3-9i
(2)、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z=a一定不是虚数
三、归纳总结、提升拓展
例1实数m分别取什么值时，复数
z＝m+1＋(m-1)i
是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解：

归纳总结：
确定复数z＝a＋bi是实数、虚数、纯虚数的条件是：练习：实数m分别取什么值时，复数
z＝m2+m-2＋(m2-1)i
是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
两个复数相等，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是
a+bi=c+di_______________________（a、b、c、d为实数）
由此容易出：a+bi=0_______________________
例2已知x+2y+(2x+6)i=3x-2,其中，x,y为实数，求x与y．

四、反馈训练、巩固落实
1、若x,y为实数，且2x-2y+(x+y)i=x-2i
求x与y.

2、若x为实数，且(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0，求x的值.

数系的扩充和复数的概念导学案

石油中学高二文科数学选修1-2导学案---复数
§3-1数系的扩充和复数的概念
学习目标：
1、了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i
2、理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律
3、理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念
学习重点：
复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.
学习难点：
虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立
自主学习
一、知识回顾：
数的概念是从实践中产生和发展起来的，由于计数的需要，就产生了1，2及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集
有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集
因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了复数
二、新课研究：
1、虚数单位:
(1)它的平方等于-1，即;
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
2.与－1的关系:就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－!
2、的周期性：4n+1=i,4n+2=-1,4n+3=-i,4n=1
3、复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*
4、复数的代数形式:复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式
5、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.
6、复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.
7、两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等
这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d
复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.
现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

例题讲解
例1请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数？
答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，－3，0，－;虚部分别是3，，－，－;－i是纯虚数.
例2复数－2i+3.14的实部和虚部是什么？
答：实部是3.14，虚部是－2.
易错为：实部是－2，虚部是3.14！
例3实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是:
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
［分析］因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值.
解：(1)当m－1=0，即m=1时，复数z是实数；
(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；
(3)当m+1=0，且m－1≠0时，即m=－1时，复数z是纯虚数.
例4已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y.
解：根据复数相等的定义，得方程组，所以x=，y=4
课堂巩固
1、设集合C=｛复数｝，A=｛实数｝，B=｛纯虚数｝，若全集S=C，则下列结论正确的是()
A.A∪B=CB.A=BC.A∩B=D.B∪B=C
2、复数(2x2+5x+2)+(x2+x－2)i为虚数，则实数x满足()
A.x=－B.x=－2或－C.x≠－2D.x≠1且x≠－2
3、复数z1=a+｜b｜i，z2=c+｜d｜i(a、b、c、d∈R)，则z1=z2的充要条件是______.
4、已知m∈R，复数z=+(m2+2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R;(2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z=+4i.
归纳反思

课后探究
1、设复数z=log2(m2－3m－3)+ilog2(3－m)(m∈R)，如果z是纯虚数，求m的值.
2、若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值.

2.1.2-1指数函数的概念学案

2.1.2-1指数函数的概念学案
课前预习学案
一．预习目标
1.通过预习理解指数函数的概念
2.简单掌握指数函数的性质
二．预习内容
１．一般地，函数叫做指数函数．
２．指数函数的定义域是，值域．
３．指数函数的图像必过特殊点．
４．指数函数，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数．
三．提出疑惑
通过以上自我预习你还有什么疑惑请写在下面的横线上
课内探究学案
一．学习目标
1.理解指数函数的概念能画出具体的指数函数图象
2.在理解指数函数概念、性质的基础上，能运用所学知识解决简单的数学问题
学习重点：指数函数概念、图象和性质
学习难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质
二．学习过程
探究一
１．函数是指数函数，则有（）
Ａ．ａ＝１或ａ＝２Ｂ．ａ＝１Ｃ．ａ＝２Ｄ．ａ＞０且
２．关于指数函数和的图像，下列说法不正确的是（）
Ａ．它们的图像都过（０，１）点，并且都在ｘ轴的上方．
Ｂ．它们的图像关于ｙ轴对称，因此它们是偶函数．
Ｃ．它们的定义域都是Ｒ，值域都是（０，＋）．
Ｄ．自左向右看的图像是上升的，的图像是下降的．
３．函数在R上是减函数，则的取值范围是（）
A、B、C、D、
４．指数函数ｆ（ｘ）的图像恒过点（－３，），则ｆ（２）＝．
５．函数的单调递增区间是。
探究二
例１：指出下列函数那些是指数函数：
（１）（２）（３）（４）（５）（６）（7）（8）
例２：求下列函数的定义域与值域：
（１）（２）（３）
（４）
例３：将下列各数从小到大排列起来：
三．当堂检测
１．下列关系式中正确的是（）
Ａ．＜＜Ｂ．＜＜
Ｃ．＜＜Ｄ．＜＜
２．若－１＜ｘ＜０，则下列不等式中正确的是（）
Ａ．＜＜Ｂ．＜＜
Ｃ．＜＜Ｄ．＜＜
３．下列函数中值域是（０，＋）的函数是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
４．函数的值域是（）
A、B、C、D、
课后练习与提高
１．函数图像在不在第二象限且不过原点，则ｍ的取值范围是（）
Ａ．ａ＞１ｂ．ａ＞１且ｍ＜０Ｃ．０＜ａ＜１且ｍ＜０Ｄ．０＜ａ＜１
２．设０＜ａ＜ｂ＜１，则下列不等式中正确的是（）
Ａ．＜Ｂ．＜Ｃ．＞Ｄ．＜
３．已知x＞0，函数y=(a2－8)x的值恒大于1，则实数a的取值范围是________．
４．若，则。
5．已知函数
（１）求ｆ（ｘ）的定义域；
（２）讨论ｆ（ｘ）的奇偶性；