复数的有关概念。
一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容，帮助高中教师能够更轻松的上课教学。你知道怎么写具体的高中教案内容吗？考虑到您的需要，小编特地编辑了“复数的有关概念”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。jAB88.com
复数的有关概念教学目标(1)把握复数的有关概念,如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
(2)正确对复数进行分类,把握数集之间的从属关系;
(3)理解复数的几何意义,初步把握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。
(4)培养学生数形结合的数学思想,练习学生条理的逻辑思维能力.
教学建议
(一)教材分析
1、知识结构
本节首先介绍了复数的有关概念,然后指出复数相等的充要条件,接着介绍了有关复数的几何表示,最后指出了有关共轭复数的概念.
2、重点、难点分析
(1)正确复数的实部与虚部
对于复数,实部是,虚部是.注重在说复数时,一定有,否则,不能说实部是,虚部是,复数的实部和虚部都是实数。
说明:对于复数的定义,非凡要抓住这一标准形式以及是实数这一概念,这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。
(2)正确地对复数进行分类,弄清数集之间的关系
分类要求不重复、不遗漏,同一级分类标准要统一。根据上述原则,复数集的分类如下:
注重分清复数分类中的界限:
①设,则为实数
②为虚数
③且。
④为纯虚数且
(3)不能乱用复数相等的条件解题.用复数相等的条件要注重:
①化为复数的标准形式
②实部、虚部中的字母为实数,即
(4)在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时,要注重:
①任何一个复数都可以由一个有序实数对()唯一确定.这就是说,复数的实质是有序实数对.一些书上就是把实数对()叫做复数的.
②复数用复平面内的点Z()表示.复平面内的点Z的坐标是(),而不是(),也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是.由于=0+1·,所以用复平面内的点(0,1)表示时,这点与原点的距离是1,等于纵轴上的单位长度.这就是说,当我们把纵轴上的点(0,1)标上虚数时,不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位,或者就是纵轴的单位长度.
③当时,对任何,是纯虚数,所以纵轴上的点()()都是表示纯虚数.但当时,是实数.所以,纵轴去掉原点后称为虚轴.
由此可见,复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点,而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点.
④复数z=a+bi中的z,书写时小写,复平面内点Z(a,b)中的Z,书写时大写.要学生注重.
(5)关于共轭复数的概念
设,则,即与的实部相等,虚部互为相反数(不能认为与或是共轭复数).
教师可以提一下当时的非凡情况,即实轴上的点关于实轴本身对称,例如:5和-5也是互为共轭复数.当时,与互为共轭虚数.可见,共轭虚数是共轭复数的非凡情行.
(6)复数能否比较大小
教材最后指出:“两个复数,假如不全是实数,就不能比较它们的大小”,要注重:
①根据两个复数相等地定义,可知在两式中,只要有一个不成立,那么.两个复数,假如不全是实数,只有相等与不等关系,而不能比较它们的大小.
②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指:“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘’,都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”:
(i)对于任意两个实数a,b来说,ab,a=b,ba这三种情形有且仅有一种成立;
(ii)假如ab,bc,那么ac;
(iii)假如ab,那么a+cb+c;
(iv)假如ab,c0,那么acbc.(不必向学生讲解)
(二)教法建议
1.要注重知识的连续性:复数是二维数,其几何意义是一个点,因而注重与平面解析几何的联系.
2.注重数形结合的数形思想:由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系,所以用“形”来解决“数”就成为可能,在本节要注重复数的几何意义的讲解,培养学生数形结合的数学思想.
3.注重分层次的教学:教材中最后对于“两个复数,假如不全是实数就不能本节它们的大小”没有证实,假如有学生提出来了,在课堂上不要给全体学生证实,可以在课下给学有余力的学生进行解答.
复数的有关概念
教学目标
1.了解复数的实部,虚部;
2.把握复数相等的意义;
3.了解并把握共轭复数,及在复平面内表示复数.
教学重点
复数的概念,复数相等的充要条件.
教学难点
用复平面内的点表示复数M.
教学用具:直尺
课时安排:1课时
教学过程:
一、复习提问:
1.复数的定义。
2.虚数单位。
二、讲授新课
1.复数的实部和虚部:
复数中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。
2.复数相等
假如两个复数与的实部与虚部分别相等,就说这两个复数相等。
即:的充要条件是且。
例如:的充要条件是且。
例1:已知其中,求x与y.
解:根据复数相等的意义,得方程组:
∴
例2:m是什么实数时,复数,
(1)是实数,(2)是虚数,(3)是纯虚数.
解:
(1)∵时,z是实数,
∴,或.
(2)∵时,z是虚数,
∴,且
(3)∵且时,
z是纯虚数.∴
3.用复平面(高斯平面)内的点表示复数
复平面的定义
建立了直角坐标系表示复数的平面,叫做复平面.
复数可用点来表示.(如图)其中x轴叫实轴,y轴除去原点的部分叫虚轴,表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上,不在虚轴上.
4.复数的几何意义:
复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的.
5.共轭复数
(1)当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数。(虚部不为零也叫做互为共轭复数)
(2)复数z的共轭复数用表示.若,则:;
(3)实数a的共轭复数仍是a本身,纯虚数的共轭复数是它的相反数.
(4)复平面内表示两个共轭复数的点z与关于实轴对称.
三、练习1,2,3,4.
四、小结:
1.在理解复数的有关概念时应注重:
(1)明确什么是复数的实部与虚部;
(2)弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求;
(3)弄清复平面与复数的几何意义;
(4)两个复数不全是实数就不能比较大小。
2.复数集与复平面上的点注重事项:
(1)复数中的z,书写时小写,复平面内点Z(a,b)中的Z,书写时大写。
(2)复平面内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a,bi),也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是i。
(3)表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在虚轴上。
(4)复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应:
五、作业1,2,3,4,
六、板书设计:
§8,2复数的有关概念
1定义:例13定义:4几何意义:
……………………
2定义:例25共轭复数:
……………………
相关知识
数系的扩充和复数的概念导学案
石油中学高二文科数学选修1-2导学案---复数
§3-1数系的扩充和复数的概念
学习目标：
1、了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i
2、理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律
3、理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念
学习重点：
复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.
学习难点：
虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立
自主学习
一、知识回顾：
数的概念是从实践中产生和发展起来的，由于计数的需要，就产生了1，2及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集
有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集
因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了复数
二、新课研究：
1、虚数单位:
(1)它的平方等于-1，即;
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
2.与－1的关系:就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－!
2、的周期性：4n+1=i,4n+2=-1,4n+3=-i,4n=1
3、复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*
4、复数的代数形式:复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式
5、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.
6、复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.
7、两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等
这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d
复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.
现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
例题讲解
例1请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数？
答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，－3，0，－;虚部分别是3，，－，－;－i是纯虚数.
例2复数－2i+3.14的实部和虚部是什么？
答：实部是3.14，虚部是－2.
易错为：实部是－2，虚部是3.14！
例3实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是:
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
［分析］因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值.
解：(1)当m－1=0，即m=1时，复数z是实数；
(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；
(3)当m+1=0，且m－1≠0时，即m=－1时，复数z是纯虚数.
例4已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y.
解：根据复数相等的定义，得方程组，所以x=，y=4
课堂巩固
1、设集合C=｛复数｝，A=｛实数｝，B=｛纯虚数｝，若全集S=C，则下列结论正确的是()
A.A∪B=CB.A=BC.A∩B=D.B∪B=C
2、复数(2x2+5x+2)+(x2+x－2)i为虚数，则实数x满足()
A.x=－B.x=－2或－C.x≠－2D.x≠1且x≠－2
3、复数z1=a+｜b｜i，z2=c+｜d｜i(a、b、c、d∈R)，则z1=z2的充要条件是______.
4、已知m∈R，复数z=+(m2+2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R;(2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z=+4i.
归纳反思
课后探究
1、设复数z=log2(m2－3m－3)+ilog2(3－m)(m∈R)，如果z是纯虚数，求m的值.
2、若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值.
高一数学《函数的有关概念》知识点总结
作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，高中教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助高中教师缓解教学的压力，提高教学质量。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？以下是小编收集整理的“高一数学《函数的有关概念》知识点总结”，欢迎您参考，希望对您有所助益！
高一数学《函数的有关概念》知识点总结
二、函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
注意：
1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
u相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2．值域:先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3.函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.
(2)画法
A、描点法：
B、图象变换法
常用变换方法有三种
1)平移变换
2)伸缩变换
3)对称变换
4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示．
5．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”
对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。
高一数学《集合有关概念》知识点总结
俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容，帮助高中教师在教学期间更好的掌握节奏。那么，你知道高中教案要怎么写呢？下面是由小编为大家整理的“高一数学《集合有关概念》知识点总结”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！
高一数学《集合有关概念》知识点总结
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性：
(1)元素的确定性如：世界上最高的山
(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
u注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
1）列举法：{a,b,c……}
2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xR|x-32},{x|x-32}
3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4）Venn图:
4、集合的分类：
(1)有限集含有有限个元素的集合
(2)无限集含有无限个元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2．“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”
即：①任何一个集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)
③如果AB,BC,那么AC
④如果AB同时BA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
u有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
三、集合的运算
运算类型
交集
并集
补集
定义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB={x|xA，或xB})．
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
S
A
记作，即
CSA=
韦
恩
图
示
S
A
性
质
AA=A
AΦ=Φ
AB=BA
ABA
ABB
AA=A
AΦ=A
AB=BA
ABＡ
ABB
(CuA)(CuB)
=Cu(AB)
(CuA)(CuB)
=Cu(AB)
A(CuA)=U
A(CuA)=Φ．
例题：
1.下列四组对象，能构成集合的是（）
A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数
2.集合{a，b，c}的真子集共有个
3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，则M与N的关系是.
4.设集合A=，B=，若AB，则的取值范围是
5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，
两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。
6.用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=.
7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值
复数的运算
经验告诉我们，成功是留给有准备的人。作为高中教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，帮助高中教师提高自己的教学质量。那么，你知道高中教案要怎么写呢？下面是小编精心为您整理的“复数的运算”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！
人教版高中数学选修系列：4.2复数的运算(备课资料)备课资料
(一)补充例题?
［例1］已知f(z)=2z+z-3i,f(z+i)=6-3i,求f(-z)的值.?
分析：欲求f(-z)的值，说明z一定是一个常数，由已知所给的条件可观察出，实质上是通过复合函数的求法建立以z为变量的复数方程来求解z.?
解：∵f(z)=2z+-3i,?
∴f(+i)=2(+i)+-3i??
=2+z-2i,?
又f(+i)=6-3i,?
∴2+z-2i=6-3i,即2+z=6-i.?
设z=a+bi(a、b∈R),则将=a-bi代入上式得3a-bi=6-i.?
由两复数相等的充要条件得
∴z=2+i.故f(-z)=f(-2-i)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.?
解题回顾：本题是牵涉面较广的一道题，我们在学习过程中，一定要注意知识之间的横、纵联系.?
［例2］已知复数z1、z2满足｜z1｜=｜z2｜=1,z1+z2=,求z1、z2值.?
分析一：由已知｜z1｜=1可设出z1=a+bi(a、b∈R),代入z1+z2求出z2.再根据｜z2｜=1又得出一实数方程，联立即可求解.?
解法一：设z1=a+bi(a、b∈R),则a2+b2=1.①?
∵z1+z2=,?
∴z2=-a+(-b)i.?
∵｜z2｜=1,∴,?
即a+b=1.②?
将a=1-b代入①,解得b=0或.?
将b=0代入②得a=1;?
将代入②得.?
∴或.?
分析二：从几何角度入手分析这个题，由于｜z1｜=｜z2｜=｜z1+z2｜=1，所以z1、z2、z1+z2所对应的点都在以原点为圆心，1为半径的圆上.再结合z1+z2实部、虚部的特殊性不难从图中直接观察出z1或z2.?
解法二：由｜z1｜=｜z2｜=｜z1+z2｜=1,故z1、z2、z1+z2均在
图4-5
单位圆上，如图,由z1+z2=+,不难找出相应点为Z.又因z1+z2实部是,故图中θ=6°.又｜z1｜=｜z2｜=1，z1+z2对应，又是和向量，所以可看出z1=1或z2=1,?
即或
解题回顾：（1）对本题的解法一，若是设z1=a+bi,z2=c+di,则a2+b2=1,c2+d2=1,再根据z1+z2=又得两个方程，这样，相当于解一个四元二次方程，变量设的太多，不利于解题，所以我们在解题时，注意巧设，尽量减少变量.?
(2)解法二由复数几何意义进行数形结合求解，是一种很重要的思维方法.?
［例3］（1）复数z满足｜z+5-12i｜=3,求z的轨迹；?
(2)复数z满足2｜z-3-3i｜=｜z｜,求z的轨迹；?
(3)已知｜z｜=2,试求z+3-4i对应点的轨迹.?
（1）解：由｜z-z0｜意义可知｜z+5-12i｜=3表示动点Z到定点Z0距离为定值3，故z轨迹为以（-5+12i）对应点为圆心，3为半径的圆.?
(2)解：本题由方程直接看不出z满足的条件，故可设
z=x+yi(x、y∈R)，代入2｜z-3-3i｜=｜z｜得?到方程为
(x-4)2+(y-4)2=8.故z轨迹为?以(4,4)为圆心，22为半径的圆.?
(3)解法一：设ω=z+3-4i,ω=x+yi(x,y∈R),z=a+bi(a、b∈R).?
∴x+yi=a+3+(b-4)i.?
∴即
∵a2+b2=4,?
∴(x-3)2+(y+4)2=4.?
故z轨迹为以(3,-4)为圆心，2为半径的圆.?
解法二：设ω=z+3-4i?,?
则z=ω-3+4i.?
∵｜z｜=2,∴｜ω-3+4i｜=2.?
故z轨迹为以3-4i对应点为圆心，2为半径的圆.?
解题回顾：（1）本题属于求轨迹问题.方法与我们解析几何中求轨迹方法一样，有直接法、代入法和消参法.?
（2）对于（3）题的两种解法均为代入法，从上述解法可看出，有时就用复数直接代入还是很方便的.?
［例4］已知｜｜z-(3-4i)｜-1｜=1且z≠3-4i.?
(1)求｜z｜的最大值和最小值；?
(2)求｜z-1｜2+｜z+1｜2的最大值和最小值.?
(1)分析：由｜z｜的几何意义可知，只需弄清z的轨迹即可.?
解法一：∵｜｜z-(3-4i)｜-1｜=1且z≠3-4i,??
∴｜z-(3-4)i｜=2,z轨迹如图46,以z0=3-4i为圆心，2为半径的圆.?
图4-6
故｜z｜max?=2+9+16=7,｜z｜min=5-2=3.?
分析：由模的性质｜｜z1｜-｜z2｜｜≤｜z1+z2｜≤｜z1｜+｜z2｜知，只要存在λ使得z-(3-4i)=λ(3-4i)(λ＞0有最大值，λ＜0有最小值)即可.?
解法二：｜z｜=｜［z-(3-4i)］+(3-4i)｜≤｜z-(3-4i)｜+｜3-4i｜≤2+5=7,当且仅当z-(3-4i)=λ(3-4i)(λ＞0)时，等号成立.?
∵｜z-(3-4i)｜=2,∴｜λ(3-4i)｜=2.?
∴，?
即当时，｜z｜max=7.?
又∵｜z｜=｜［z-(3-4i)］+(3-4i)｜≥｜｜z-(3-4i)｜-｜3-4i｜｜=｜2-5｜=3,当且仅当z-(3-4i)=λ(3-4i)(λ＜0)时，等号成立，即.?
∴当时，｜z｜min=3.?
解题回顾：本题可拓宽到求｜z-z1｜的最值，相当于在圆上求一点到z1对应点距离的最值，此时，不论z1点与圆位置如何，均有?
｜z-z1｜max=｜z1-z0｜+r,?
｜z-z1｜min=｜｜z1-z0｜-r｜.?
(2)分析：此问题实质上是在圆上求一点P，使P到两点（-1，0）、（1，0）距离和最大.此问题，若用圆的参数方程解时较繁，此时可利用向量加、减法几何意义将问题转化为（1）来求解.?
图4-7
解：如图,设A（1，0），B（-1，0），在图上任取一点P，以PA、PB为邻边作平行四边形，则由模性质得?
｜PA｜2+｜PB｜2
=［｜AB｜2+(2｜OP｜)2］?
=［｜AB｜2+4｜OP｜2］,?
而｜AB｜2=4，欲求｜PA｜2+｜PB｜2的最值，只需求｜OP｜2最值即可.?
由（1）知｜OP｜max=7,｜OP｜min=3,?
故｜z-1｜2+｜z+1｜2最大值为100，最小值为20.?
解题回顾：本题可拓宽到求｜z-z1｜2+?｜z-z2｜2的最值.设z1、z2对应点仍为A、B，线段AB中点为C，则｜z-z1｜2+｜z-z2｜2=［｜AB｜+4｜PC｜2］,问题转化为在图上求点P到点C的最大、最小值.?
（二）名篇欣赏?
对挖掘数学课本知识的实践与思考?
方均斌（浙江温州师范学院325027）?
一个有经验的教师，应该对挖掘课本知识非常重视.笔者经常在各种中学数学杂志上看到诸如《谈课本某某知识的挖掘》《要重视课本知识的挖掘》《要挖掘数学知识的思想方法》等等之类的文章，笔者非常同意这些作者的观点.但在如何把握挖掘数学知识的度，挖掘的过程中应注意的事项以及挖掘课本知识的策略方面，谈得不多.为此，笔者想借贵刊一角谈谈自己的一点想法，供大家参考.?
1.“典型、适时、有度”地挖掘充分调动学生的积极性?
1.1“挖”得典型减轻负担?
要“挖”得典型，“挖”是为了教师今后“不挖”，重在教会学生“如何挖”.数学发展到现在，已经形成一门体系庞大的科学，就算经过长期实践和论证而纳入中学生必须学习的数学知识，如果教师处理不当，也会让学生负担过重而苦不堪言.例如对每一个定理、公式都进行推广和变形的挖掘,由于这种挖掘都是教师一厢情愿下进行的，对学生来说是被动的，这些经教师挖掘出来的内容，将成为学生的一种新的负担.挖掘课本知识的根本目的在于让学生学会探索性学习，培养他们的探索能力和创新精神，教师应教会学生掌握对问题采用诸如归纳、类比、演绎、映射与反演、普遍化和特殊化、开放性处理以及条件的变更等挖掘知识的方法,而并非是让学生掌握挖掘出来的知识，否则将增加学生的负担.因此，挖掘课本知识要选择典型的内容.那么到底哪些内容需要挖掘，哪些知识不需要挖掘呢？一般说来，这样的几个内容需要挖掘：（1）方法典型，培养学生的创新能力效果较好的内容；（2）思想蕴涵丰富的内容；（3）实际应用较广的内容；（4）对后续知识学习作用较大的内容.当然，教师应着重考虑课程标准（或大纲）范围内的内容.?
［例1］判断下列函数是否具有奇偶性：（高中数学第一册（上）试验修订本必修P61例4）
（1）f(x)=x3+2x;(2)f(x)=2x4+3x2.?
该题教师要不要对奇偶函数经过四则运算后的函数奇偶性判断的一般规律进行挖掘？笔者认为，需要挖掘.因为挖掘过程可以培养学生运用一般化的思想方法，而且学生也容易得出结论，对提高判断函数的奇偶性的速度大有好处.但是要让学生记住“非空公共定义域内非零奇函数与非零偶函数的和为非奇非偶函数”“非空公共定义域内奇函数和为奇函数”等等，恐怕就可能增加学生的不必要负担了.其实学生如果记不住，只要简单推导一下就可以了.至于是否在讲解该例时就马上进行挖掘，恐怕还为时过早.笔者认为，应该在学生完成习题2.3第7题后的作业评讲或在小结课时进行总结和挖掘较好.如何把握好挖掘课本知识的时机是本文要讨论的另一个话题.?
［例2］求下列两条直线的交点：（高中数学第二册（上）修订本必修P50例8）?
l1:3x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0.?
有的教师感觉每一次都要求两条直线的交点较麻烦，干脆将一般化的方程组：?
(A1B2-A2B1≠0)的通解告诉学生，让学生记住结论.虽然这样做可以避免每一次都要解二元一次方程组的麻烦,但是增加了学生记忆公式的负担（因为该公式容易记混，尽管有些教师采用行列式帮助学生记忆），而且会削弱学生解一次方程组的变形能力.当然，学生如果自己产生挖掘的需要，那就另当别论了.教师应积极鼓励学生去挖掘，不要以高考不作要求为由，阻止学生对课本知识的挖掘.因为学生探索新知识的兴趣和欲望是至关重要的.只要教师正确引导，相信一定能培养出具有强烈好奇心和探索能力的创新人才.?
1.2把握时机恰到好处?
判断哪些知识需要挖掘，需要较多的经验积累，而如何在恰当的时机进行挖掘，更需要教师有一个实践的过程.一般说来，刚传授的新知识不宜马上进行挖掘，需要学生有一个接触和熟悉新知识的过程.这些新知识对学生来说是一片未开发的处女地，让学生在学习和熟悉新知识的过程中去感悟，给学生一点自由的开发时间和空间，教师最多只能做一些暗示、表扬等一些外围工作.此外，教师应充分感悟教材编者的意图，课本中的例题、练习、习题等陆续重复出现的类似问题和结论，很可能是编者有意识地安排并暗示学生进行挖掘的内容，以培养学生的创新和发现能力.教师切勿在学生刚开始学习或在学习中途就一挖到底，来个赶尽杀绝！?
［例3］如何处理以下来自教材（高中数学第二册（上）试验修订本必修）的类题？?
1.求证：+2.（P12例6）?
2.求证：（1）+4；?
(2)-2.(P17习题6.3第4题)?
3.已知a≥3,求证：--.(P17习题6.3第5题)?
4.已知ab0,求证：-.(P30复习参考题六A组第6题)?
5.求证：+1+.(P30复习参考题六A组第7题)?
这些都是“若ab≥cd0,且a+d=b+c，则++”的推论和变形.如果教师“一眼洞穿”，刚开始或在中途将一般规律给学生，并且给予证明，那么很可能将课本编者的意图付诸东流，对培养学生的探索和发现能力是一个败笔之举.如果有学生发现这些问题的共同性，教师应个别表扬，鼓励这些学生作更多的探索，不应惊动其他学生，给其他学生一个探索和发现的时间和空间.等到整章学习完毕以及学生已经完成全部的练习后，教师在总复习或习题总评时，提示学生对整章例题、习题进行归纳和分类（题型和方法分类），鼓励学生去发现和探索，激发学生的学习兴趣.?
