§1.2.2充分条件和必要条件。
一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，作为教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助教师能够井然有序的进行教学。那么怎么才能写出优秀的教案呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《§1.2.2充分条件和必要条件》，供大家参考，希望能帮助到有需要的朋友。
§1.2.2充分条件和必要条件
【学情分析】：
上一节课已学习了充分条件、必要条件、充要条件的概念,本一节课要继续通过讨论一些数学命题加深对以上定义的理解.若要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．由于原命题逆否命题，逆命题否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立．
【教学目标】：
（1）知识目标：
理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；掌握判断命题的条件的充要性的方法；
（2）过程与方法目标：
在充要条件的教学中，培养等价转化思想．
（3）情感与能力目标：
利用命题的等价性，培养他们的分析问题、解决问题的能力和逻辑思维能力。
【教学重点】：
理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断．
【教学难点】：
命题条件的充要性探求（较高要求）
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一、复习
回顾
①若，但，则是的_____________条件；
②若，但，则是的___________条件；
③若，且，则是的_________条件；
④若，且，则是的______条件
⑤若，且，则是的_____________条件
复习并巩固充分条件、必要条件、充要条件的概念；
二、学生
活动1．若都是C的充要条件，是的必要条件，是的必要条件，则是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知和是两个命题，如果是的充分条件，那么是的条件，是的条件
3．（1）若，则是的条件；
（2）若则是的条件；
进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；
三、典型
例题例1、已知p：；q：x、y不都是，p是q的什么条件？
分析：要考虑p是q的什么条件，就是判断“若p则q”及“若q则p”的真假性；从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性
“若p则q”的逆否命题是“若x、y都是，则”真的
“若q则p”的逆否命题是“若，则x、y都是”假的
故p是q的充分不必要条件
练习：已知p：；q：；p是q的什么条件？
例2、已知：；：．若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围．
点拨可以有两个思路：
（1）先求出和，然后根据，，求得的取值范围；
（2）若原命题为“若，则”，其逆否命题是“若则”，由于它们是等价的，可以把求是的必要而不充分条件等价转换为求是的充分而不必要条件．
解法一求出：或，
：或．由是的必要而不充分条件，知BA，它等价于
同样解得的取值范围是．
解法二根据思路二，是的必要而不充分条件，等价于是的充分而不必要条件．设
：；
：；
所以，AB，它等价于
同样解得的取值范围是．
引导学会逆向思考，引导学生对于正面较为断抽象的命题是否能用逆否命题的正难则反的方法。
四、体验与
运用例3已知：的半径为r，圆心到直线的距离为d，求证：d=r是直线和相切的充要条件。
练习：求证：是等边三角形的充要条件是，这里a,b,c是的三条边。
要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．
巩固知识，培养技能.
五：学生探究例4；求关于的方程有两个正根的充要条件．
练习：设关于的一元二次不等式，对一切实数均成立，求的取值范围．
通过多角度的练习，并对典型错误进行讨论与矫正，使学生巩固所学内容，同时完成对新知的迁移。
六、小结与反思1．充要条件的判断,重在“从定义出发”,利用命题“若p则q”的真假进行区分,
2．充要条件的判断,有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．若pq,则p是q的必要条件,q是p的充分条件．采取师生互动的形式完成。
课后练习
1、是的（）
A.充分不必要条件，B.必要不充分条件，
C.充要条件，D.既不充分又不必要条件。
2．“xy＞0”是“｜x+y｜=｜x｜+｜y｜”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
3．“A∩B=A”是A=B的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4、，是的（）
A.充分不必要条件，B.必要不充分条件，
C.充要条件，D.既不充分又不必要条件。
5、是成立的（）
A.充分不必要条件，B.必要不充分条件，
C.充要条件，D.既不充分又不必要条件。
6、已知p：，q：，则p是q的（）
A.充分不必要条件，B.必要不充分条件，
C.充要条件，D.既不充分又不必要条件。
7．在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的()
（A）充分必要条件（B）充分而不必要条件
（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件
9．在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：
如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；
如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；
如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；
如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；
10．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=2的充要条件是______________;
11．判断下列各题中条件是结论的什么条件：
(1)条件A∶ax2+ax+1＞0的解集为R，结论B∶0＜a＜4；
(2)条件p∶AB，结论q∶A∪B=B.
12．试寻求关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的一个充要条件.
参考答案：
1．C2．A3．B4．D5．B6．B7.B8.B;
9．图(1)：充分但不必要条件；图(2)：必要但不充分条件；
图(3)：充要条件；图(4)：既不充分也不必要条件.
10．4a+b=0
11．解：(1)∵△=a2-4a＜0，即0＜a＜4
∴当0＜a＜4时，ax2+ax+1＞0恒成立.故BA.
而当a=0时，ax2+ax+1＞0恒成立，∴AB.
故A为B的必要不充分条件.
(2)∵ABA∪B=B，而当A=B时，A∪B=B，即qp，
∴p为q的充分不必要条件.
12．解法1：关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根方程在(0，1)内有实根.
解法2：
在(0，1)内有实根.
延伸阅读
充分条件与必要条件
充分条件与必要条件
教学目标
（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；
（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；
（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；
（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．
（一）教材分析
1．知识结构
首先给出推断符号“”，并引出充分条件与必要条件的意义，在此基础上讲述了充要条件的初步知识．
2．重点难点分析
本节的重点与难点是关于充要条件的判断．
（1）充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件和结论之间的因果关系．
（2）在判断条件和结论之间的因果关系中应该：
①首先分清条件是什么，结论是什么；
②然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件．推理方法可以是直接证法、间接证法（即反证法），也可以举反例说明其不成立；
③最后再指出条件是结论的什么条件．
（3）在讨论条件和条件的关系时，要注意：
①若，但，则是的充分但不必要条件；
②若，但，则是的必要但不充分条件；
③若，且，则是的充要条件；
④若，且，则是的充要条件；
⑤若，且，则是的既不充分也不必要条件．
（4）若条件以集合的形式出现，结论以集合的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．
①若，则是的充分条件；
显然，要使元素，只需就够了．类似地还有：
②若，则是的必要条件；
③若，则是的充要条件；
④若，且，则是的既不必要也不充分条件．
（5）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．由于原命题逆否命题，逆命题否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立．
（二）教法建议
1．学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系．充要条件中的，与四种命题中的，要求是一样的．它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若则”形式的复合命题．
2．由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”，去体会概念的本质属性．
3．由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而引入“必要条件”的概念．
4．教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性，在教学过程中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念．
教学设计示例
充要条件
教学目标：
（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；
（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；
（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；
（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．
教学重点难点：关于充要条件的判断
教学用具：幻灯机或实物投影仪
教学过程设计
1．复习引入
练习：判断下列命题是真命题还是假命题（用幻灯投影）：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）全等三角形的面积相等；
（4）对角线互相垂直的四边形是菱形；
（5）若，则；
（6）若方程有两个不等的实数解，则．
（学生口答，教师板书．）
（1）、（3）、（6）是真命题，（2）、（4）、（5）是假命题．
置疑：对于命题“若，则”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？
答：看能不能推出，如果能推出，则原命题是真命题，否则就是假命题．
对于命题“若，则”，如果由经过推理能推出，也就是说，如果成立，那么一定成立．换句话说，只要有条件就能充分地保证结论的成立，这时我们称条件是成立的充分条件，记作．
2．讲授新课
（板书充分条件的定义．）
一般地，如果已知，那么我们就说是成立的充分条件．
提问：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之间的关系．
（学生口答）
（1）“，”是“”成立的充分条件；
（2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件；
（3）“方程的有两个不等的实数解”是“”成立的充分条件．
从另一个角度看，如果成立，那么其逆否命题也成立，即如果没有，也就没有，亦即是成立的必须要有的条件，也就是必要条件．
（板书必要条件的定义．）
提出问题：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题．
（学生口答）．
（1）因为，所以是的充分条件，是的必要条件；
（2）因为，所以是的必要条件，是的充分条件；
（3）因为“两三角形全等”“两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件；
（4）因为“四边形的对角线互相垂直”“四边形是菱形”，所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件，“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件；
（5）因为，所以是的必要条件，是的充分条件；
（6）因为“方程的有两个不等的实根”“”，而且“方程的有两个不等的实根”“”，所以“方程的有两个不等的实根”是“”充分条件，而且是必要条件．
总结：如果是的充分条件，又是的必要条件，则称是的充分必要条件，简称充要条件，记作．
（板书充要条件的定义．）
3．巩固新课
例1（用投影仪投影．）
B
A是B的什么条件
B是的什么条件
是有理数
是实数
、是奇数
是偶数
是4的倍数
是6的倍数
（学生活动，教师引导学生作出下面回答．）
①因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；
②一定能推出，而不一定推出，所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；
③、是奇数，那么一定是偶数；是偶数，、不一定都是奇数（可能都为偶数），所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；
④表示或，所以是成立的必要非充分条件；
⑤由交集的定义可知且是成立的充要条件；
⑥由知且，所以是成立的充分非必要条件；
⑦由知或，所以是，成立的必要非充分条件；
⑧易知“是4的倍数”是“是6的倍数”成立的既非充分又非必要条件；
（通过对上述问题的交流、思辩，在争论中得到了正确答案，并加深了对充分条件、必要条件的认识．）
例2已知是的充要条件，是的必要条件同时又是的充分条件，试与的关系．（投影）
解：由已知得
，
所以是的充分条件，或是的必要条件．
4．小结回授
今天我们学习了充分条件、必要条件和充要条件的概念，并学会了判断条件A是B的什么条件，这为我们今后解决数学问题打下了等价转化的基础．
课内练习：课本（人教版，试验修订本，第一册（上））第35页练习l、2；第36页练习l、2．
（通过练习，检查学生掌握情况，有针对性的进行讲评．）
5．课外作业：教材第36页习题1.81、2、3．
《充分条件、必要条件》教学反思
一名优秀的教师就要对每一课堂负责，教师要准备好教案，这是每个教师都不可缺少的。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助教师提前熟悉所教学的内容。那么如何写好我们的教案呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“《充分条件、必要条件》教学反思”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！
《充分条件、必要条件》教学反思
长期以来，由于受应试教育的影响，不少教师在教学中重解题、轻概念，造成数学概念与解题脱节的现象。有些教师仅仅把数学概念看作一个形式而已，认为概念教学只要对概念作简单介绍就好，根本可以忽视概念的形成过程。数学教学的目的只要还是让学生记忆公式，然后模仿例题进行解题。事实上，像函数、充分条件等好多数学概念，概念本身及其形成过程的本质就是一种数学观念、一种数学方法。下面我就针对跟岗期间所上的一节汇报课——《充分条件、必要条件》，谈谈我的一些教学体会。
一、在体验数学概念形成的过程中认识概念
在引导学生形成数学概念、提炼概念中要注意贯彻“从具体到抽象”的原则，注重“体验过程的直观性、定义提炼的概括性、语言阐述的严谨性”。本节课首先给出两个“若p（条件）,则q(结论)。”形式的命题：（1）若xa^2+b^2，则x2ab；（2）若ab=0，则a=0。从原命题的真假，引导学生分析p对q的制约程度，从而得到充分条件的概念；从逆命题的真假角度看p对q的依赖程度，从而得到必要条件的概念。再提问学生，引导学生根据上述的分析过程逐步归纳完善定义。之后，从集合之间的包含关系这个角度来阐述理解充分条件、必要条件的概念，充分挖掘出概念的内涵和外延，进一步地帮助学生对概念的理解。
二、在运用数学概念解决问题的过程中巩固概念
数学概念形成后，通过具体例子，进一步认识概念，引导学生利用概念解决数学问题和发展概念在解决问题中的作用，是数学概念教学的一个重要环节。此环节操作成功与否，将直接影响学生对数学概念的巩固，以及解题能力的形成。本节课设置了一系列“若p,则q”的命题，通过师生互动，让学生分别判断p是q的什么条件？q是p的什么条件？在这个过程中不断强调解决这个问题的关键是先分清出条件和结论，以及突出“p是q的什么条件”和“p的什么条件是q”两种问法的区别，前者p是是条件，后者q是条件。学生通过对一系列问题的思考，尽快地投入到新概念的探索中去，从而激发了学生的好奇以及探索和创造的欲望，使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。除此之外，通过反例、错解等进行辨析，也进一步地帮助学生巩固了概念。
通过这节课的教学，学生理解并掌握了充分条件、必要条件的概念，并学会了怎样去判断充分条件、必要条件。由于对金山中学的学生不是很了解，我有很多的担心，所以课前做了细致的准备，充分的准备使我站在讲台上一点都没有紧张，学生的配合也使我很快地溶入了课堂氛围中。但从这节课来看，也有一些不足之处。例如，在讲解这节课的难点必要条件时，虽然有引导，但讲解还是不够仔细、不够到位。例如，当学生回答“xa^2+b^2，则x2ab”是个假命题时，我就没有充分地利用好这个的反例进行教学，充分展开。另外，由于课堂节奏前松后紧，导致原先设置的教学任务没有全部实施，教学目标没有全部实现，并且在仓促之中结束了这节课，这也是这节课我的遗憾之一。
充分条件与必要条件教案
俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，减轻教师们在教学时的教学压力。教案的内容具体要怎样写呢？为此，小编从网络上为大家精心整理了《充分条件与必要条件教案》，仅供您在工作和学习中参考。
一.教学目标:1.使学生初步掌握充要条件
2.培养学生理解、分析、归纳、解决问题的能力
二.教学重点:关于充要条件的判断
教学难点:关于充要条件的判断
三.教学过程
(一)复习提问
1.什么叫充分条件?什么叫必要条件?说出“”的含义
2.指出下列各组命题中,“pq”及“qp”是否成立
(1)p:内错角相等q:两直线平行
(2)p:三角形三边相等q:三角形三个角相等
(二)授新课
1.(通过复习提问直接引入课题)充要条件定义:
一般地,如果既有pq,又有qp,就记作:pq。
这时,p既是q的充分条件,又是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称充要条件
点明思路:判断p是q的什么条件,不仅要考查pq是否成立,即若p则q形式命题是否正确,还得考察qp是否成立,即若q则p形式命题是否正确。
2.辨析题:(学生讨论并解答,教师引导并归纳)
思考:下列各组命题中,p是q的什么条件:
1)p:x是6的倍数。q:x是2的倍数
2)p:x是2的倍数。q:x是6的倍数
3)p:x是2的倍数,也是3的倍数。q:x是6的倍数
4)p:x是4的倍数q:x是6的倍数
总结:1)pq且q≠p则p是q的充分而不必要条件
2)qp且p≠q则p是q的必要而不充分条件
3)pq且qp则q是p的充要条件
4)p≠q且q≠p则p是q的既不充分也不必要条件
强调:判断p是q的什么条件,不仅要考虑pq是否成立,同时还要考虑qp是否成立。
且p是q的什么条件,以上四种情况必具其一.
3巩固强化
例一:指出下列各命题中,p是q的什么条件:
1)p:x1q:x2
2)p:x5q:x-1
3)p:(x-2)(x-3)=0q:x-2=0
4)p:x=3q:=9
5)p:x=±1q:x-1=0
1.8充分条件与必要条件（2课时）
一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助高中教师能够更轻松的上课教学。优秀有创意的高中教案要怎样写呢？考虑到您的需要，小编特地编辑了“1.8充分条件与必要条件（2课时）”，欢迎阅读，希望您能阅读并收藏。
1.8充分条件与必要条件（2课时）
教学目的：1.使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用.
2.增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础.
教学重点：正确理解三个概念，并在分析中正确判断。
教学难点：。充分性与必要性的推导顺序
教学过程：
第一课时
一、复习回顾：判断下列命题的真假：
（1）若ab,则acbc；（2）若ab,则a+cb+c；
（3）若x≥0,则x2≥0；（4）若两三角形全等，则两三角形的面积相等。
二、讲授新课
1、推断符号“”的含义
如果p成立，那么q一定成立，此时可记作“pq”。
如果p成立，推不出q成立，此时可记作“pq”。
2、充分条件与必要条件
定义：如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件。
应注意条件和结论是相对而言的。由“pq”等价命题是“┐q┐p”，即若q不成立，则p就不成立，故q就是p成立的必要条件了。但还必须注意，q成立时，p可能成立，也可能不成立，即q成立不保证p一定成立。
讨论上述问题（2）、（3）、（4）中的条件关系：
3、例题讲解
例：指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：
（1）p：x=y；q：x2=y2;
（2）p:三角形的三条边相等；q:三角形的三个角相等；
（3）p：x=1或x=2,q:x2-3x+2=0；（4）p：x=2或x=3,q:x-3=.
命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：（1）充分不必要条件，即pq,而qp;(2)必要不充分条件，即pq,而qp;(3)既充分又必要条件，即pq，又有qp;(4)既不充分也不必要条件，即pq，又有qp。
三、课堂练习：课本P351、2四、课时小结：
五、课后作业：书面作业：课本P36，习题1.8:1（1）、（2）；2：（1）、（2）、（3）；
预习提纲：充分必要条件的意义是什么？怎样判断命题的充要条件？
