高考数学（理科）一轮复习命题及其关系、充分条件与必要条件学案。

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助教师能够井然有序的进行教学。那么如何写好我们的教案呢？考虑到您的需要，小编特地编辑了“高考数学（理科）一轮复习命题及其关系、充分条件与必要条件学案”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

学案2命题及其关系、充分条件与必要条件

导学目标：
1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系.
2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．
自主梳理
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题
一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是
原命题：若p则q(pq)；
逆命题：若q则p(qp)；
否命题：若綈p则綈q(綈p綈q)；
逆否命题：若綈q则綈p(綈q綈p)．
(2)四种命题间的关系
(3)四种命题的真假性
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件与必要条件
若pq，则p叫做q的充分条件；若qp，则p叫做q的必要条件；如果pq，则p叫做q的充要条件．
自我检测
1．(2010湖南)下列命题中的假命题是()
A．x∈R，lgx＝0B．x∈R，tanx＝1
C．x∈R，x30D．x∈R,2x0
答案C
解析对于C选项，当x＝0时，03＝0，因此x∈R，x30是假命题．
2．(2010陕西)“a0”是“|a|0”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案A
解析a0|a|0，|a|0a0，∴“a0”是“|a|0”的充分不必要条件．
3．(2009浙江)“x0”是“x≠0”的()
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案A
解析对于“x0”“x≠0”，反之不一定成立，因此“x0”是“x≠0”的充分而不必要条件．
4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的()
A．逆否命题B．逆命题
C．否命题D．原命题
答案C
解析由四种命题逆否关系知，s是p的逆命题t的否命题．
5．(2011宜昌模拟)与命题“若a∈M，则bM”等价的命题是()
A．若aM，则bM
B．若bM，则a∈M
C．若aM，则b∈M
D．若b∈M，则aM
答案D
解析因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．

探究点一四种命题及其相互关系
例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)实数的平方是非负数；
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；
(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．
解题导引给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定．
解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．
否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．
逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．
否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．
(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．
逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．
变式迁移1有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．
其中真命题的序号为________．
答案①③
解析①的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；
④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．

探究点二充要条件的判断
例2给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件．
(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0.
(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．
(3)p：m－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．
(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．
解(1)∵x－2＝0(x－2)(x－3)＝0；
而(x－2)(x－3)＝0
x－2＝0.
∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵两个三角形相似两个三角形全等；
但两个三角形全等两个三角形相似．
∴p是q的必要不充分条件．
(3)∵m－2方程x2－x－m＝0无实根；
方程x2－x－m＝0无实根m－2.
∴p是q的充分不必要条件．
(4)∵矩形的对角线相等，∴pq；
而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴qp.
∴p是q的充分不必要条件．
变式迁移2(2011邯郸月考)下列各小题中，p是q的充要条件的是()
①p：m－2或m6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；
②p：f－xfx＝1；q：y＝f(x)是偶函数；
③p：cosα＝cosβ；q：tanα＝tanβ；
④p：A∩B＝A；q：UBUA.
A．①②B．②③C．③④D．①④
答案D
解析①q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点q：Δ＝m2－4(m＋3)0q：m－2或m6p；②当f(x)＝0时，由qp；③若α，β＝kπ＋π2，k∈Z时，显然cosα＝cosβ，但tanα≠tanβ；④p：A∩B＝Ap：ABq：UAUB.故①④符合题意．
探究点三充要条件的证明
例3设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
解题导引有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”“结论”是证明命题的充分性，由“结论”“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．
证明(1)必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，
则x20＋2ax0＋b2＝0，x20＋2cx0－b2＝0，
两式相减可得x0＝b2c－a，将此式代入x20＋2ax0＋b2＝0，
可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°，
(2)充分性：∵∠A＝90°，
∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.①
将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，
可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，
即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.
将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，
可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.
故两方程有公共根x＝－(a＋c)．
所以方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
变式迁移3已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
证明(1)必要性：∵a＋b＝1，∴a＋b－1＝0.
∴a3＋b3＋ab－a2－b2
＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)
＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
(2)充分性：
∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
又ab≠0，∴a≠0且b≠0.
∵a2－ab＋b2＝(a－b2)2＋34b20.
∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.

转化与化归思想的应用
例(12分)已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且m∈Z.求两方程的根都是整数的充要条件．
【答题模板】
解∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，
∴m≠0.[2分]
另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，两方程都要有实根，
∴Δ1＝161－m≥0，Δ2＝16m2－44m2－4m－5≥0，
解得m∈[－54，1]．[6分]
∵两根为整数，故和与积也为整数，
∴4m∈Z4m∈Z4m2－4m－5∈Z，∴m为4的约数，[8分]
∴m＝－1或1，当m＝－1时，
第一个方程x2＋4x－4＝0的根为非整数，
而当m＝1时，两方程均为整数根，
∴两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.[12分]
【突破思维障碍】
本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想Δ≥0.求出m的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数．
【易错点剖析】
易忽略一元二次方程这个条件隐含着m≠0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数．

1．研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果……，那么……”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性．
2．在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出p与q是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是p对q而言，还是q对p而言．还要分清否命题与命题的否定的区别．
3．本节体现了转化与化归的数学思想．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010天津模拟)给出以下四个命题：
①若ab≤0，则a≤0或b≤0；②若ab，则am2bm2；③在△ABC中，若sinA＝sinB，则A＝B；④在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是()
A．①B．②C．③D．④
答案C
解析对命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对命题②，其原命题和逆否命题为假，但逆命题和否命题为真；对命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对命题④，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．
2．(2010浙江)设0xπ2，则“xsin2x1”是“xsinx1”的()
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案B
解析∵0xπ2，∴0sinx1.
∴xsinx1xsin2x1，而xsin2x1xsinx1.
故选B.
3．(2009北京)“α＝π6＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝12”的()
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案A
解析由α＝π6＋2kπ(k∈Z)可得到cos2α＝12.
由cos2α＝12得2α＝2kπ±π3(k∈Z)．
∴α＝kπ±π6(k∈Z)．
所以cos2α＝12不一定得到α＝π6＋2kπ(k∈Z)．
4．(2011威海模拟)关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c0}≠”的逆命题、否命题、逆否命题，下列结论成立的是()
A．都真B．都假
C．否命题真D．逆否命题真
答案D
解析本题考查四种命题之间的关系及真假判断．
对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c0}≠”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c0}≠，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c0的解集非空时，可以有a0，即抛物线的开口可以向上．因此否命题也是假命题．
5．(2011枣庄模拟)集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|xa}，则“AB”是“a5”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案B
解析A＝{x|－4≤x≤4}，若AB，则a4，a4a5，但a5a4.故选B.
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．“x10且x20”是“x1＋x20且x1x20”的________条件．
答案充要
7．(2011惠州模拟)已知p：(x－1)(y－2)＝0，q：(x－1)2＋(y－2)2＝0，则p是q的
____________条件．
答案必要不充分
解析由(x－1)(y－2)＝0得x＝1或y＝2，由(x－1)2＋(y－2)2＝0得x＝1且y＝2，所以由q能推出p，由p推不出q,所以填必要不充分条件．
8．已知p(x)：x2＋2x－m0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．
答案[3,8)
解析因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，
解得m≥3；又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m0，
解得m8.故实数m的取值范围是3≤m8.
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011许昌月考)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
(1)若q1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；
(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0；
(3)若x2＋y2＝0，则x、y全为零．
解(1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q1，为假命题．
否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，为假命题．
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，为真命题．(4分)
(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，为真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，为真命题．
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，为真命题．(8分)
(3)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，为真命题．
否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为零，为真命题．
逆否命题：若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，为真命题．(12分)
10．(12分)设p：实数x满足x2－4ax＋3a20，其中a0；q：实数x满足x2－x－6≤0，或x2＋2x－80，且綈p是綈q的必要不充分条件，求a的取值范围．
解设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a20，a0}＝{x|3axa，a0}，(2分)
B＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－80}＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－80}
＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x－4或x2}
＝{x|x－4或x≥－2}．(4分)
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴綈q綈p，且綈p綈q.
则{x|綈q}{x|綈p}，(6分)
而{x|綈q}＝RB＝{x|－4≤x－2}，
{x|綈p}＝RA＝{x|x≤3a或x≥a，a0}，
∴{x|－4≤x－2}{x|x≤3a或x≥a，a0}，
(10分)
则3a≥－2，a0或a≤－4，a0.(11分)
综上，可得－23≤a0或x≤－4.(12分)
11．(14分)已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
证明充分性：当q＝－1时，
a1＝S1＝p＋q＝p－1.(2分)
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
当n＝1时也成立．(4分)
于是an＋1an＝pnp－1pn－1p－1＝p(n∈N*)，
即数列{an}为等比数列．(6分)
必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
∵p≠0，p≠1，
∴an＋1an＝pnp－1pn－1p－1＝p.(10分)
∵{an}为等比数列，
∴a2a1＝an＋1an＝p，即pp－1p＋q＝p，
即p－1＝p＋q.∴q＝－1.(13分)
综上所述，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．(14分)

延伸阅读

充分条件与必要条件教案

俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，减轻教师们在教学时的教学压力。教案的内容具体要怎样写呢？为此，小编从网络上为大家精心整理了《充分条件与必要条件教案》，仅供您在工作和学习中参考。

一.教学目标:
1.使学生初步掌握充要条件
2.培养学生理解、分析、归纳、解决问题的能力
二.教学重点:关于充要条件的判断
教学难点:关于充要条件的判断
三.教学过程
(一)复习提问
1.什么叫充分条件?什么叫必要条件?说出“”的含义
2.指出下列各组命题中,“pq”及“qp”是否成立
(1)p:内错角相等q:两直线平行
(2)p:三角形三边相等q:三角形三个角相等
(二)授新课
1.(通过复习提问直接引入课题)充要条件定义:
一般地,如果既有pq,又有qp,就记作:pq。
这时,p既是q的充分条件,又是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称充要条件
点明思路:判断p是q的什么条件,不仅要考查pq是否成立,即若p则q形式命题是否正确,还得考察qp是否成立,即若q则p形式命题是否正确。
2.辨析题:(学生讨论并解答,教师引导并归纳)
思考:下列各组命题中,p是q的什么条件:
1)p:x是6的倍数。q:x是2的倍数
2)p:x是2的倍数。q:x是6的倍数
3)p:x是2的倍数,也是3的倍数。q:x是6的倍数
4)p:x是4的倍数q:x是6的倍数
总结:1)pq且q≠p则p是q的充分而不必要条件
2)qp且p≠q则p是q的必要而不充分条件
3)pq且qp则q是p的充要条件
4)p≠q且q≠p则p是q的既不充分也不必要条件
强调:判断p是q的什么条件,不仅要考虑pq是否成立,同时还要考虑qp是否成立。
且p是q的什么条件,以上四种情况必具其一.
3巩固强化
例一:指出下列各命题中,p是q的什么条件:
1)p:x1q:x2
2)p:x5q:x-1
3)p:(x-2)(x-3)=0q:x-2=0
4)p:x=3q:=9
5)p:x=±1q:x-1=0

《充分条件、必要条件》教学反思

一名优秀的教师就要对每一课堂负责，教师要准备好教案，这是每个教师都不可缺少的。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助教师提前熟悉所教学的内容。那么如何写好我们的教案呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“《充分条件、必要条件》教学反思”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

《充分条件、必要条件》教学反思

长期以来，由于受应试教育的影响，不少教师在教学中重解题、轻概念，造成数学概念与解题脱节的现象。有些教师仅仅把数学概念看作一个形式而已，认为概念教学只要对概念作简单介绍就好，根本可以忽视概念的形成过程。数学教学的目的只要还是让学生记忆公式，然后模仿例题进行解题。事实上，像函数、充分条件等好多数学概念，概念本身及其形成过程的本质就是一种数学观念、一种数学方法。下面我就针对跟岗期间所上的一节汇报课——《充分条件、必要条件》，谈谈我的一些教学体会。

一、在体验数学概念形成的过程中认识概念

在引导学生形成数学概念、提炼概念中要注意贯彻“从具体到抽象”的原则，注重“体验过程的直观性、定义提炼的概括性、语言阐述的严谨性”。本节课首先给出两个“若p（条件）,则q(结论)。”形式的命题：（1）若xa^2+b^2，则x2ab；（2）若ab=0，则a=0。从原命题的真假，引导学生分析p对q的制约程度，从而得到充分条件的概念；从逆命题的真假角度看p对q的依赖程度，从而得到必要条件的概念。再提问学生，引导学生根据上述的分析过程逐步归纳完善定义。之后，从集合之间的包含关系这个角度来阐述理解充分条件、必要条件的概念，充分挖掘出概念的内涵和外延，进一步地帮助学生对概念的理解。

二、在运用数学概念解决问题的过程中巩固概念

数学概念形成后，通过具体例子，进一步认识概念，引导学生利用概念解决数学问题和发展概念在解决问题中的作用，是数学概念教学的一个重要环节。此环节操作成功与否，将直接影响学生对数学概念的巩固，以及解题能力的形成。本节课设置了一系列“若p,则q”的命题，通过师生互动，让学生分别判断p是q的什么条件？q是p的什么条件？在这个过程中不断强调解决这个问题的关键是先分清出条件和结论，以及突出“p是q的什么条件”和“p的什么条件是q”两种问法的区别，前者p是是条件，后者q是条件。学生通过对一系列问题的思考，尽快地投入到新概念的探索中去，从而激发了学生的好奇以及探索和创造的欲望，使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。除此之外，通过反例、错解等进行辨析，也进一步地帮助学生巩固了概念。

通过这节课的教学，学生理解并掌握了充分条件、必要条件的概念，并学会了怎样去判断充分条件、必要条件。由于对金山中学的学生不是很了解，我有很多的担心，所以课前做了细致的准备，充分的准备使我站在讲台上一点都没有紧张，学生的配合也使我很快地溶入了课堂氛围中。但从这节课来看，也有一些不足之处。例如，在讲解这节课的难点必要条件时，虽然有引导，但讲解还是不够仔细、不够到位。例如，当学生回答“xa^2+b^2，则x2ab”是个假命题时，我就没有充分地利用好这个的反例进行教学，充分展开。另外，由于课堂节奏前松后紧，导致原先设置的教学任务没有全部实施，教学目标没有全部实现，并且在仓促之中结束了这节课，这也是这节课我的遗憾之一。

1.2充分条件和必要条件（1）

§1．2.1充分条件与必要条件
【学情分析】：
充分条件、必要条件和充要条件是基本的数学逻辑用语，数学学科中大量的命题用它来叙述。是上一课时命题的真假的进一步的深化，也是高考的重点内容。在此引入概念，对于这几个概念的准确需要一定的时间的体会和思考，对于这些概念的运用和掌握有赖于后续的学习，学习中不要急于求成，而应该在后续的教学中经常借助于这些概念去表达、阐述和分析。
【教学目标】：
（1）知识目标：
正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；会判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件，充要条件。
（2）过程与方法目标：
利用多媒体教学，多让学生举例讨论，教学方法较灵活，学生参与意识强，培养他们的良好的思维品质。
（3）情感与能力目标：
通过学生的举例，培养他们的辨析能力；利用命题的等价性，培养他们的分析问题、解决问题的能力和逻辑思维能力。
【教学重点】：
理解充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的概念。
【教学难点】：
关于充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的判断。
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一．引入
课题
问题1：写出下列命题的条件和结论，并说明条件和结论有什么关系？
（1）若xa2+b2，则x2ab
（2）若ab=0，则a=0
（3）两直线平行，同位角相等。由问题引入概念.
二、知识
建构定义：命题“若p则q”为真命题，即p=q,就说p是q的充分条件；q是p必要条件。则有如下情况：
①若，但，则是的充分但不必要条件；②若，但，则是的必要但不充分条件；③若，且，则是的充要条件；
④若，且，则是的充要条件
⑤若，且，则是的既不充分也不必要条件．
由师生合作完成定义下的五种不同情况，培养学生分析和概括的能力。
三．体验与运用例1、指出下列各组命题中，是的什么条件（在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种）。
（1）：四边形对角线互相平分；：四边形是矩形
（2）：；：抛物线过原点。
（3）：；：。
（4）：方程有一根为1；
（5）：；：方程有实根。
解：（1）四边形对角线互相平分四边形是矩形。四边形是矩形四边形对角线互相平分。所以是的必要而不充分条件。
（2）抛物线过原点，抛物线过原点。所以是的充要条件。
（3）。
所以是的充分而不必要条件。
（4）方程有一根为。
方程有一根为1。
所以是的充要条件。
（5）方程有实根，方程有实根。所以是的充分而不必要条件。

所以是的充分而不必要条件。
由例1通过师生的共同合作加深对定义的理解。引导学生对于较为抽象的命题应转化条件或结论的等价形式。

四、巩固
练习练习、下列命题中，p是q的什么条件？
(2)p:m,n是偶数q:两个整数的和是偶数
（3）p：x=y，q:x2=y2
（4）p：两个三角形全等，q:这两个三角形的面积相等；
（5）p：ab,q:acbc
(7)p:两条直线不平行,q:这两条直线是异面直线.

及时运用新知识，巩固练习，让学生体验成功，为了使学生实现从掌握知识到运用知识的转化，使知识教育与能力培养结合起来，设计分层练习
五、学生
探究问题2：P是q的什么条件？从中能发现什么规律？
p

练习：P12，第2题。
例2、若甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，丁是乙的必要条件，问甲是丙的什么条件？乙是丁的什么条件？
解：由题意，分析如下图所示。
根据图示得：甲是丙的充分条件，乙是丁的充要条件．

若条件以集合的形式出现，结论以集合的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断
六、小结与反思1充分、必要、充要条件的定义。
在“若p则q”中
（1）pq，（p为q的充分条件，q为p的必要条件）
（2）qp，（p为q的充要条件，q为p的充要条件）
2给定两个条件p,q，要判断p是q的什么条件，也可考虑集合：A={X|X满足条件q},B={X|X满足条件p}
①若，则是的充分条件；
②若，则是的必要条件；
③若，则是的充要条件；
④若，且，则是的既不必要也不充分条件．
通过学生自己的小结，将新知识系统化、重点化。通过学生的反思，使学生意识重点和难点，提高学习效率。

课后练习
1．在如图的电路图中，“开关A的闭合”是“灯泡B亮”的________条件（）
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分又非必要
2．设a∈R，则a1是1（）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（）
A．m1,n－1B．mn0
C．m0,n0D．m0,n0
4、四边形为菱形的必要条件是（）
A．对角线相等，B．对角线互相垂直，
C．对角线相等且垂直，D．对角线互相垂直且平分。
5．设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6、如果都是实数，那么p：，是q：关于的方程有一正根和一负根的（）
A．充分不必要条件，B．必要不充分条件，
C．充要条件，D．既不充分又不必要条件。
7．若a、b、c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．若条件p:a＞4，q:5＜a＜6，则p是q的______________．
9若p:f(x)=x，q:f(x)为增函数则p是q的______________．
10．用充分、必要条件填空：
①x≠1且y≠2是x+y≠3的
②x≠1或y≠2是x+y≠3的
11．已知p∶x2-8x-20＞0，q∶x2-2x+1-a2＞0。若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围.
12：已知命题p:{x|-2x10},q:x2—2x+1—m20(mo)，若﹁p是﹁q的必要不充分条件,求实数m的范围
参考答案：
1．B2．A3．B4．B5．A6．C7.A;
8必要但不充分条件;
9.充分不必要条件
10．①既不充分也不必要条件，②必要但不充分条件（提示：画出集合图或考虑逆否命题）.

11．解：p∶A=｛x｜x＜-2，或x＞10｝，q∶B=｛x｜x＜1-a，或x＞1+a，a＞0
如图，依题意，pq，但q不能推出p，说明AB，则有
解得0＜a≤3.
12.解：由于是的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件
于是有

§1.2.2充分条件和必要条件

§1.2.2充分条件和必要条件
【学情分析】：
上一节课已学习了充分条件、必要条件、充要条件的概念,本一节课要继续通过讨论一些数学命题加深对以上定义的理解.若要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．由于原命题逆否命题，逆命题否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立．
【教学目标】：
（1）知识目标：
理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；掌握判断命题的条件的充要性的方法；
（2）过程与方法目标：
在充要条件的教学中，培养等价转化思想．
（3）情感与能力目标：
利用命题的等价性，培养他们的分析问题、解决问题的能力和逻辑思维能力。
【教学重点】：
理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断．
【教学难点】：
命题条件的充要性探求（较高要求）
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一、复习
回顾
①若，但，则是的_____________条件；
②若，但，则是的___________条件；
③若，且，则是的_________条件；
④若，且，则是的______条件

⑤若，且，则是的_____________条件
复习并巩固充分条件、必要条件、充要条件的概念；
二、学生
活动1．若都是C的充要条件，是的必要条件，是的必要条件，则是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知和是两个命题，如果是的充分条件，那么是的条件，是的条件
3．（1）若，则是的条件；
（2）若则是的条件；
进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；
三、典型
例题例1、已知p：；q：x、y不都是，p是q的什么条件？
分析：要考虑p是q的什么条件，就是判断“若p则q”及“若q则p”的真假性；从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性
“若p则q”的逆否命题是“若x、y都是，则”真的
“若q则p”的逆否命题是“若，则x、y都是”假的
故p是q的充分不必要条件
练习：已知p：；q：；p是q的什么条件？
例2、已知：；：．若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围．
点拨可以有两个思路：
（1）先求出和，然后根据，，求得的取值范围；
（2）若原命题为“若，则”，其逆否命题是“若则”，由于它们是等价的，可以把求是的必要而不充分条件等价转换为求是的充分而不必要条件．
解法一求出：或，
：或．由是的必要而不充分条件，知BA，它等价于
同样解得的取值范围是．
解法二根据思路二，是的必要而不充分条件，等价于是的充分而不必要条件．设
：；
：；
所以，AB，它等价于
同样解得的取值范围是．

引导学会逆向思考，引导学生对于正面较为断抽象的命题是否能用逆否命题的正难则反的方法。

四、体验与
运用例3已知：的半径为r，圆心到直线的距离为d，求证：d=r是直线和相切的充要条件。

练习：求证：是等边三角形的充要条件是，这里a,b,c是的三条边。
要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．
巩固知识，培养技能.
五：学生探究例4；求关于的方程有两个正根的充要条件．
练习：设关于的一元二次不等式，对一切实数均成立，求的取值范围．
通过多角度的练习，并对典型错误进行讨论与矫正，使学生巩固所学内容，同时完成对新知的迁移。
六、小结与反思1．充要条件的判断,重在“从定义出发”,利用命题“若p则q”的真假进行区分,
2．充要条件的判断,有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．若pq,则p是q的必要条件,q是p的充分条件．采取师生互动的形式完成。
课后练习
1、是的（）
A.充分不必要条件，B.必要不充分条件，
C.充要条件，D.既不充分又不必要条件。
2．“xy＞0”是“｜x+y｜=｜x｜+｜y｜”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
3．“A∩B=A”是A=B的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4、，是的（）
A.充分不必要条件，B.必要不充分条件，
C.充要条件，D.既不充分又不必要条件。
5、是成立的（）
A.充分不必要条件，B.必要不充分条件，
C.充要条件，D.既不充分又不必要条件。
6、已知p：，q：，则p是q的（）
A.充分不必要条件，B.必要不充分条件，
C.充要条件，D.既不充分又不必要条件。
7．在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的()
（A）充分必要条件（B）充分而不必要条件
（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件
9．在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：
如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；
如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；
如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；
如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；
10．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=2的充要条件是______________;
11．判断下列各题中条件是结论的什么条件：
(1)条件A∶ax2+ax+1＞0的解集为R，结论B∶0＜a＜4；
(2)条件p∶AB，结论q∶A∪B=B.
12．试寻求关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的一个充要条件.
参考答案：
1．C2．A3．B4．D5．B6．B7.B8.B;
9．图(1)：充分但不必要条件；图(2)：必要但不充分条件；
图(3)：充要条件；图(4)：既不充分也不必要条件.
10．4a+b=0
11．解：(1)∵△=a2-4a＜0，即0＜a＜4
∴当0＜a＜4时，ax2+ax+1＞0恒成立.故BA.
而当a=0时，ax2+ax+1＞0恒成立，∴AB.
故A为B的必要不充分条件.
(2)∵ABA∪B=B，而当A=B时，A∪B=B，即qp，
∴p为q的充分不必要条件.
12．解法1：关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根方程在(0，1)内有实根.
解法2：
在(0，1)内有实根.