高一数学指数函数的概念及图像和性质教案。

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§3指数函数的概念及图像和性质（共3课时）
一.教学目标：
1．知识与技能
（1）理解指数函数的概念和意义；
（2）与的图象和性质；
（3）理解和掌握指数函数的图象和性质；
（4）指数函数底数a对图象的影响；
（5）底数a对指数函数单调性的影响，并利用它熟练比较几个指数幂的大小
（6）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；
2．情感、态度、价值观
（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.
（2）培养学生观察问题，分析问题的能力.
二．重、难点
重点：
（1）指数函数的概念和性质及其应用.
（2）指数函数底数a对图象的影响；
（3）利用指数函数单调性熟练比较几个指数幂的大小
难点：
（1）利用函数单调性比较指数幂的大小
（2）指数函数性质的归纳，概括及其应用.
三、教法与教具：
①学法：观察法、讲授法及讨论法.
②教具：多媒体.
四、教学过程
第一课时
讲授新课
指数函数的定义
一般地，函数（＞0且≠1）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R.
提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？
（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
（7）（8）（＞1，且）
小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为＞0，是任意一个实数时，是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.
若＜0，如在实数范围内的函数值不存在.
若=1,是一个常量，没有研究的意义，只有满足的形式才能称为指数函数，不符合
我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究.先来研究＞1的情况
下面我们通过用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数的图象
1/8124

再研究，0＜＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数的图象.
x
4211/21/4

从图中我们看出
通过图象看出实质是上的
讨论：的图象关于轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？
②利用电脑软件画出的函数图象.

练习p711,2
作业p76习题3-3A组2
课后反思：
第二课时
问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.
从图上看（＞1）与（0＜＜1）两函数图象的特征.
问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.
问题3：指数函数（＞0且≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.
图象特征函数性质
＞10＜＜1＞10＜＜1
向轴正负方向无限延伸函数的定义域为R
图象关于原点和轴不对称非奇非偶函数
函数图象都在轴上方函数的值域为R+
函数图象都过定点（0，1）=1
自左向右，
图象逐渐上升自左向右，
图象逐渐下降增函数减函数
在第一象限内的图
象纵坐标都大于1在第一象限内的图
象纵坐标都小于1＞0，＞1＞0，＜1
在第二象限内的图
象纵坐标都小于1在第二象限内的图
象纵坐标都大于1＜0，＜1＜0，＞1
5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在（＞0且≠1）值域是
（2）若
（3）对于指数函数（＞0且≠1），总有
（4）当＞1时，若＜，则＜；
指数函数的图象和性质Y=ax
图

像
a10a1

性

质定义域：R
值域：（0，+∞）
过点（0，1）
当x0时y1
当x0时0y1当x0时0y1
当x0时y1
是R上的增函数是R上的减函数
例题分析
例1比较下列各题中两个数的大小：
(1)30.8,30.7
(2)0.75-0.1,0.750.1
例2(1)求使4x32成立的x的集合；
(2)已知a4/5a,求实数a的取值范围.
练习p731,2
作业p77习题3-3A组4,5
课后反思：
第三课时

（1）提出问题
指数函数y=ax(a0,a≠1)底数a对函数图象的影响，
我们通过两个实例来讨论
a1和0a1两种情况。
（2）动手实践
动手实践一：
在同一直角坐标系下画出y=2x和y=3x的图象，
比较两个函数的增长快慢
一般地，ab1时，
（1）当x0时，总有axbx1；
（2）当x=0时，总ax=bx=1有；
（3）当x0时，总axbx1有；
（4）指数函数的底数a越大，当x0时，其函数值增长越快。
动手实践二：
分别画出底数为0.2,0.3,0.5,2,3,5的指数函数图象.
总结y=ax(a0,a≠1)，a对函数图象变化的影响。
结论：
（1）当X0时,a越大函数值越大；
当x0时,a越大函数值越小。
（2）当a1时指数函数是增函数，
当x逐渐增大时，
函数值增大得越来越快；
当0a1时指数函数是减函数，
当x逐渐增大时，
函数值减小得越来越快。
例题分析
例4比较下列各题中两个数的大小：
(1)1.80.6,0.81.6;(2)(1/3)-2/3,2-3/5.
(1)解由指数函数性质知1.80.61.80=1,
0.81.60.80=1,所以
1.80.60.81.6
(2)解由指数函数性质知(1/3)-2/31,
2-3/51,所以
(1/3)-2/32-3/5
例5已知-1x0，比较3-x,0.5-x的大小，
并说明理由。
解（法1）因为-1x0，所以0-x1。
而31，因此有3-x1
又00.51，因而有00.5-x1
故3-x0.5-x
（法2）设a=-x0,函数f(x)=xa当x0时
为增函数，而30.50,故f(3)f(0.5)
即3-x0.5-x
小结：
在比较两个指数幂大小时，常利用指数函数和幂函
数的单调性。相同底数比较指数，相同指数比较底数。
故常用到中间量“1”。
练习1，2
作业习题3-3B组1,2

扩展阅读

指数函数的图像及性质

指数函数的图像及性质
一内容及其解析
（一）内容：指数函数的图像及性质
（二）解析：函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。
二目标及其解析
（一）目标：掌握指数函数的图像、性质及其简单应用；
（二）解析:回顾函数性质的一般研究方式，通过以前学过的对于函数图像的基本做法，作出指数函数的大致图像，使学生从函数图像的直观感受上观察、分析、归纳指数函数的基本性质，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般等学习数学的方法，增强识图用图的能力
三问题诊断分析
根据这一节课的内容特点以及学生对指数幂的掌握情况,指数函数的图像形成过程是学生缺乏感性认识的最重要的问题，因此，为解决这一问题，从最初始的函数图像做法（五点作图）入手，使学生对于图像的形成有一个很清楚的认识，在此基础上来分析、总结指数函数的简单性质，解决指数函数中值的分布问题以及由此来小结指数函数的图像和性质及指数函数图像与底的关系，并能够在基本问题的处理中回扣指数函数模型，利用性质解决基本问题。
四教学支持条件
五教学过程
问题一：指数函数有什么样的性质？
设计意图：明确本节课的学习目标，并且借此回顾函数的基本性质
师生活动：由学生回忆总结
问题二：对于函数性质的研究，一般方式是什么？
设计意图：将学生的思维由函数解析式上转变到函数图像上来
师生活动：由学生自己思考、提出函数图像的基本作法
问题三：指数函数的图像
设计意图：巩固函数图像的基本做法
师生活动：通过学生自己取点、在坐标系中描点、连线的过程中，让学生进一步体会函数图像的形成过程，让学生自己进行总结
1、指数函数的函数图像
列表
……-2-1012……
…124…

2、作出的函数图像
列表
……210-1-2……
…124…

3、通过上述实例，你能画出函数与的大致图像吗？
问题四：指数函数的性质
设计意图：在函数的基本图像的基础上，让学生观察、分析、归纳函数的基本性质
师生活动：从学生的回答中把握认识程度，从中进行引导：
1由此回顾函数的基本概念，函数学习过哪些基本性质？进一步巩固函数性质的概念、判断、和理解
2通过函数的图像观察函数的定义域及值域，加强识图，用图的能力
3通过函数的图像，认识指数函数中值的分布，体会数形结合和分类讨论的思想，加深函数定义域和值域之间的依存关系
4通过函数的图像，认识底数与图像之间的变换关系

小问题串

函数

图
象

性
质定义域

值域

定点

单调性在上是减函数
在上是增函数

取值若，则若，则
若，则若，则

对称性函数与的图象关于轴对称

问题五：例题及变式
变式训练1：
变式训练2：:函数，，，的图像如图所示，则的大小关系为；
变式训练：

六目标检测：
1已知按大小顺序排列.
七课堂小结
1、指数函数的图像及性质
2、指数函数图像和底的关系
3、指数幂大小比较过程中中间量的引入

八目标检测
A组
教材P597、8.
B组
1．函数与的图象关于下列那种图形对称()
A．轴B．轴C．直线D．原点中心对称
2.函数（a0,且a≠1）的图像恒过定点的坐标是什么？
C组
已知函数（x∈R），a为实数
1试证明对任意实数a，f(x)为增函数
2试确定a的值，使f(x)为奇函数

高一数学《指数函数》学案

高一数学《指数函数》学案
.2.2指数函数（一）的教学设计
教材分析:
.2.2“指数函数”是在学生系统地学习了函数概念及性质，掌握了指数与指数幂的运算性质的基础上展开研究的．作为重要的基本初等函数之一，指数函数既是函数近代定义及性质的第一次应用，也为今后研究其他函数提供了方法和模式，为后续的学习奠定基础．指数函数在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以指数函数应重点研究．
学情分析:
通过初中阶段的学习和高中对函数、指数的运算等知识的系统学习，学生对函数已经有了一定的认识，学生对用“描点法”描绘出函数图象的方法已基本掌握，已初步了解数形结合的思想．另外，学生对由特殊到一般再到特殊的数学活动过程已有一定的体会．
教学目标：
知识与技能：理解指数函数的概念和意义，能正确作出其图象，掌握指数函数的性质并能自觉、灵活地应用其性质（单调性、中介值）比较大小．
过程与方法：
(1)体会从特殊到一般再到特殊的研究问题的方法，培养学生观察、归纳、猜想、概括的能力，让学生了解数学来源于生活又在生活中有广泛的应用；理解并掌握探求函数性质的一般方法；
(2)从数和形两方面理解指数函数的性质，体会数形结合、分类讨论的数学思想方法，提高思维的灵活性，培养学生直观、严谨的思维品质．
情感、态度与价值观：
(1)体验从特殊到一般再到特殊的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题，激发学生自主探究的精神，在探究过程中体验合作学习的乐趣；
(2)让学生在数形结合中感悟数学的统一美、和谐美，进一步培养学生的学习兴趣．
教学重点：指数函数的图象和性质

教学难点：指数函数概念的引入及指数函数性质的应用
教法研究:
本节课准备由实际问题引入指数函数的概念，这样可以让学生知道指数函数的概念来源于客观实际，便于学生接受并有利于培养学生用数学的意识.
利用函数图象来研究函数性质是函数中的一个非常重要的思想，本节课将是利用特殊的指数函数图象归纳总结指数函数的性质，这样便于学生研究其变化规律，理解其性质并掌握一般地探求函数性质的方法同时运用现代信息技术学习、探索和解决问题，帮助学生理解新知识
本节课使用的教学方法有：直观教学法、启发引导法、发现法
教学过程：
一、问题情境：
问题1：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，以此类推，一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么？
问题2：一种放射性物质不断变化为其它物质，每经过一年剩余质量约是原来的，设该物质的初始质量为1，经过年后的剩余质量为，你能写出之间的函数关系式吗？
分析可知，函数的关系式分别是与
问题3：在问题1和2中，两个函数的自变量都是正整数，但在实际问题中自变量不一定都是正整数，比如在问题2中，我们除了关心1年、2年、3年后该物质的剩余量外，还想知道3个月、一年半后该物质的剩余量，怎么办？
这就需要对函数的定义域进行扩充，结合指数概念的的扩充，我们也可以将函数的定义域扩充至全体实数，这样就得到了一个新的函数──指数函数．
二、数学建构：
1]定义：
一般地，函数叫做指数函数，其中．
问题4：为什么规定？

问题5：你能举出指数函数的例子吗？
阅读材料（“放射性碳法”测定古物的年代）：
在动植物体内均含有微量的放射性，动植物死亡后，停止了新陈代谢，不在产生，且原有的会自动衰变.经过5740年（的半衰期），它的残余量为原来的一半.经过科学测定，若的原始含量为1，则经过x年后的残留量为=.
这种方法经常用来推算古物的年代.
练习1：判断下列函数是否为指数函数．
（1）（2）
（3）（4）

说明：指数函数的解析式y=中，的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=+k(a0且a1，kZ)；
有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=(a0,且a1)，因为它可以化为y=，其中0，且1
2]通过图象探究指数函数的性质及其简单应用：利用几何画板及其他多媒体软件和学生一起完成
问题6:我们研究函数的性质，通常都研究哪些性质？一般如何去研究？
函数的定义域，值域，单调性，奇偶性等；
利用函数图象研究函数的性质
问题7:作函数图象的一般步骤是什么？
列表，描点，作图
探究活动1:用列表描点法作出，的图像（借助几何画板演示），观察、比较这两个函数的图像，我们可以得到这两个函数哪些共同的性质？请同学们仔细观察.
引导学生分析图象并总结此时指数函数的性质（底数大于1）：
（1）定义域？R
（2）值域？函数的值域为
（3）过哪个定点？恒过点，即
（4）单调性？时，为上的增函数
（5）何时函数值大于1？小于1？当时，；当时，
问题8:：是否所有的指数函数都是这样的性质？你能找出与刚才的函数性质不一样的指数函数吗？
（引导学生自我分析和反思，培养学生的反思能力和解决问题的能力）.
根据学生的发现，再总结当底数小于1时指数函数的相关性质并作比较.
问题9:到现在，你能自制一份表格，比较及两种不同情况下的图象和性质吗？
（学生完成表格的设计，教师适当引导）

图

象
性
质

（1）定义域：R
值域：
（1）定义域：R
值域：

(2)是R上的增函数(2)是R上的减函数
（3）过（0，1），
即x＝0时，y＝1（3）过（0，1），
即x＝0时，y＝1
（4）当x0时，y1;
当x0时，y1.（4）当x0时，0y1;
当x0时，y1.
问题10:在画图过程中，你还发现了指数函数图象间的其他关系吗？
比如与的图象间具有怎样的关系？可否得出进一步的一般性的结论？
结论：图像关于轴对称
三、数学运用：
例1、比较下列各组数中两个值的
分析：充分利用指数函数的单调性来研究，注意对底数的判定以及“第三者”的介入（充当中间角色）.
（解题过程板书，强调规范）
探究活动2:两个指数函数的自变量相等时，如何比较函数值的大小？比如之间的大小关系？
如右图，作一条直线分别与、图像交与、两点，则，结合图象很容易发现：．
你还能举出一个这样的例子吗？（引导学生分析得出结论既与底数和1的关系有关，又与自变量和0的关系有关）
那么两个指数函数的函数值相等时，自变量大小又该如何比较？
练习2：若，试比较、的大小．
若，试比较、的大小．
你还能举出这样的例子吗？
例2（1）已知，求实数x的取值范围；
（2）已知，求实数x的取值范围.
分析：充分利用单调性解指数不等式，注意化为同底.
探究活动3:探究下列函数的图象与指数函数的图象的关系.
（1）；（2）
思考探究：（1）与，且，图象之间有何关系？
（2）受该结论启发，课后思考研究函数与，图象之间的关系.
四、回顾反思（由学生总结提炼本节课知识与方法及数学思想）：
1.本节课学习了哪些知识，指数函数的概念、图象和性质你掌握了吗?
2.指数函数的性质是怎么被我们大家发现的，有哪些应用？在应用的时候，我们应该考虑哪些性质?
3.重视归纳概括、数形结合、分类讨论等数学思想方法.
五、课后作业：
1.阅读课本有关内容，搜集指数函数在实际生活中的应用实例；
2.课本52页第1-5题；54-55页1-4题，8、9题：
3.思考题:
（1）研究函数的定义域.
（2）与，图象之间的关系？
板书设计：
板书内容：课题、指数函数的概念、指数函数的性质及（仅是标题，具体性质不板书）、例1及例2部分内容规范解题格式的书写、回顾反思等.
教后反思：
针对课堂教学实际反思教法和学法，进一步完善本设计.

2.1.2指数函数的图像与性质

2.1.2指数函数的图像与性质

课前预习学案
一．预习目标
了解指数函数的定义及其性质．
二．预习内容
１．一般地，函数叫做指数函数．
２．指数函数的定义域是，值域．
３．指数函数的图像必过特殊点．
４．指数函数，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数．
三．提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容

课内探究学案
一．学习目标
（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；
（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；
（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．
教学重点：指数函数的的概念和性质．
教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．
二、学习过程
1.（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．
我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．
○1按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？
○2到2050年我国的人口将达到多少？
○3你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？
2.上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？
3.一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？
上面的几个函数有什么共同特征？
探究一：指数函数的定义及特点：

例１：指出下列函数那些是指数函数：
（１）（２）（３）（４）（５）（6）（7）（８）

变式训练一：１．函数是指数函数，则有（）
Ａ．ａ＝１或ａ＝２Ｂ．ａ＝１Ｃ．ａ＝２Ｄ．ａ＞０且

探究二:指数函数的图像与性质
在同一坐标系中画出下列函数的图象：
（1）
（2）
（3）
（4）

例２：求下列函数的定义域
（１）（2）

变式训练二：的定义域

三．反思总结
四．当堂检测
1．关于指数函数和的图像，下列说法不正确的是（）
Ａ．它们的图像都过（０，１）点，并且都在ｘ轴的上方．
Ｂ．它们的图像关于ｙ轴对称，因此它们是偶函数．
Ｃ．它们的定义域都是Ｒ，值域都是（０，＋）．
Ｄ．自左向右看的图像是上升的，的图像是下降的．
2．函数在R上是减函数，则的取值范围是（）
A、B、C、D、
3．指数函数ｆ（ｘ）的图像恒过点（－３，），则ｆ（２）＝．

参考答案:1．Ｂ2．D3．４

课后练习与提高
１．下列关系式中正确的是（）
Ａ．＜＜Ｂ．＜＜
Ｃ．＜＜Ｄ．＜＜
2．下列函数中值域是（０，＋）的函数是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
3．函数在［０，１］上的最大值与最小值之和为３，则ａ等于（）
Ａ．０．５Ｂ．２Ｃ．４Ｄ．０．２５
4.函数的定义域是

5．已知ｆ（ｘ）＝，则ｆ［ｆ（－１）］＝．
6．设，解关于的不等式。

高一数学教案：《指数函数及其性质》教学设计

高一数学教案：《指数函数及其性质》教学设计

教学目标：

使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质.

教学重点：掌握指数函数的的性质．

教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．

教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：零指数、负指数、分数指数幂是怎样定义的？

2. 提问：有理指数幂的运算法则可归纳为几条？

二、讲授新课：

1.教学指数函数模型思想及指数函数概念：

①探究两个实例：

A．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？

B．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？

②讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？

③ 定义：一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R.

④讨论：为什么规定＞0且≠1呢？否则会出现什么情况呢？→ 举例：生活中其它指数模型？

2. 教学指数函数的图象和性质：

① 讨论：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？

② 回顾：研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．