指数函数的图像及性质。

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，作为高中教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助高中教师提前熟悉所教学的内容。怎么才能让高中教案写的更加全面呢？以下是小编收集整理的“指数函数的图像及性质”，希望对您的工作和生活有所帮助。

指数函数的图像及性质
一内容及其解析
（一）内容：指数函数的图像及性质
（二）解析：函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。
二目标及其解析
（一）目标：掌握指数函数的图像、性质及其简单应用；
（二）解析:回顾函数性质的一般研究方式，通过以前学过的对于函数图像的基本做法，作出指数函数的大致图像，使学生从函数图像的直观感受上观察、分析、归纳指数函数的基本性质，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般等学习数学的方法，增强识图用图的能力
三问题诊断分析
根据这一节课的内容特点以及学生对指数幂的掌握情况,指数函数的图像形成过程是学生缺乏感性认识的最重要的问题，因此，为解决这一问题，从最初始的函数图像做法（五点作图）入手，使学生对于图像的形成有一个很清楚的认识，在此基础上来分析、总结指数函数的简单性质，解决指数函数中值的分布问题以及由此来小结指数函数的图像和性质及指数函数图像与底的关系，并能够在基本问题的处理中回扣指数函数模型，利用性质解决基本问题。
四教学支持条件
五教学过程
问题一：指数函数有什么样的性质？
设计意图：明确本节课的学习目标，并且借此回顾函数的基本性质
师生活动：由学生回忆总结
问题二：对于函数性质的研究，一般方式是什么？
设计意图：将学生的思维由函数解析式上转变到函数图像上来
师生活动：由学生自己思考、提出函数图像的基本作法
问题三：指数函数的图像
设计意图：巩固函数图像的基本做法
师生活动：通过学生自己取点、在坐标系中描点、连线的过程中，让学生进一步体会函数图像的形成过程，让学生自己进行总结
1、指数函数的函数图像
列表
……-2-1012……
…124…

2、作出的函数图像
列表
……210-1-2……
…124…

3、通过上述实例，你能画出函数与的大致图像吗？
问题四：指数函数的性质
设计意图：在函数的基本图像的基础上，让学生观察、分析、归纳函数的基本性质
师生活动：从学生的回答中把握认识程度，从中进行引导：
1由此回顾函数的基本概念，函数学习过哪些基本性质？进一步巩固函数性质的概念、判断、和理解
2通过函数的图像观察函数的定义域及值域，加强识图，用图的能力
3通过函数的图像，认识指数函数中值的分布，体会数形结合和分类讨论的思想，加深函数定义域和值域之间的依存关系
4通过函数的图像，认识底数与图像之间的变换关系

小问题串

函数

图
象

性
质定义域

值域

定点

单调性在上是减函数
在上是增函数

取值若，则若，则
若，则若，则

对称性函数与的图象关于轴对称

问题五：例题及变式
变式训练1：
变式训练2：:函数，，，的图像如图所示，则的大小关系为；
变式训练：

六目标检测：
1已知按大小顺序排列.
七课堂小结
1、指数函数的图像及性质
2、指数函数图像和底的关系
3、指数幂大小比较过程中中间量的引入

八目标检测
A组
教材P597、8.
B组
1．函数与的图象关于下列那种图形对称()
A．轴B．轴C．直线D．原点中心对称
2.函数（a0,且a≠1）的图像恒过定点的坐标是什么？
C组
已知函数（x∈R），a为实数
1试证明对任意实数a，f(x)为增函数
2试确定a的值，使f(x)为奇函数

相关知识

2.1.2指数函数的图像与性质

2.1.2指数函数的图像与性质

课前预习学案
一．预习目标
了解指数函数的定义及其性质．
二．预习内容
１．一般地，函数叫做指数函数．
２．指数函数的定义域是，值域．
３．指数函数的图像必过特殊点．
４．指数函数，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数．
三．提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容

课内探究学案
一．学习目标
（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；
（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；
（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．
教学重点：指数函数的的概念和性质．
教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．
二、学习过程
1.（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．
我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．
○1按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？
○2到2050年我国的人口将达到多少？
○3你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？
2.上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？
3.一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？
上面的几个函数有什么共同特征？
探究一：指数函数的定义及特点：

例１：指出下列函数那些是指数函数：
（１）（２）（３）（４）（５）（6）（7）（８）

变式训练一：１．函数是指数函数，则有（）
Ａ．ａ＝１或ａ＝２Ｂ．ａ＝１Ｃ．ａ＝２Ｄ．ａ＞０且

探究二:指数函数的图像与性质
在同一坐标系中画出下列函数的图象：
（1）
（2）
（3）
（4）

例２：求下列函数的定义域
（１）（2）

变式训练二：的定义域

三．反思总结
四．当堂检测
1．关于指数函数和的图像，下列说法不正确的是（）
Ａ．它们的图像都过（０，１）点，并且都在ｘ轴的上方．
Ｂ．它们的图像关于ｙ轴对称，因此它们是偶函数．
Ｃ．它们的定义域都是Ｒ，值域都是（０，＋）．
Ｄ．自左向右看的图像是上升的，的图像是下降的．
2．函数在R上是减函数，则的取值范围是（）
A、B、C、D、
3．指数函数ｆ（ｘ）的图像恒过点（－３，），则ｆ（２）＝．

参考答案:1．Ｂ2．D3．４

课后练习与提高
１．下列关系式中正确的是（）
Ａ．＜＜Ｂ．＜＜
Ｃ．＜＜Ｄ．＜＜
2．下列函数中值域是（０，＋）的函数是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
3．函数在［０，１］上的最大值与最小值之和为３，则ａ等于（）
Ａ．０．５Ｂ．２Ｃ．４Ｄ．０．２５
4.函数的定义域是

5．已知ｆ（ｘ）＝，则ｆ［ｆ（－１）］＝．
6．设，解关于的不等式。

指数函数及其性质

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课题：§2.1.2指数函数及其性质
教学任务：（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；
（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；
（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．
教学重点：指数函数的的概念和性质．
教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．
教学过程：
一、引入课题
（备选引例）
1．（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．
我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．
○1按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？
○2到2050年我国的人口将达到多少？
○3你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？
2．上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？
3．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？
4．上面的几个函数有什么共同特征？
二、新课教学
（一）指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数（exponentialfunction），其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意：○1指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析；
○2注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1．
巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材P68例2、3）
（二）指数函数的图象和性质
问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？
研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
探索研究：
1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2．从画出的图象中你能发现函数的图象和函数的图象有什么关系？可否利用的图象画出的图象？
3．从画出的图象（、和）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？
4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？
图象特征函数性质

向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方函数的值域为R+
函数图象都过定点（0，1）

自左向右看，
图象逐渐上升自左向右看，
图象逐渐下降增函数减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1

在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1

图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；
5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或；
（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；
（3）对于指数函数，总有；
（4）当时，若，则；
（三）典型例题
例1．（教材P66例6）．
解：（略）
问题：你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗？
例2．（教材P66例7）
解：（略）
问题：你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小？
说明：规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式．
巩固练习：（教材P69习题A组第7题）
三、归纳小结，强化思想
本节主要学习了指数函数的图象，及利用图象研究函数性质的方法．
四、作业布置
1．必做题：教材P69习题2．1（A组）第5、6、8、12题．
2．选做题：教材P70习题2．1（B组）第1题．

指数函数的性质的应用

2.1.2.3指数函数的性质的应用
一、内容及其解析
（一）内容：指数函数的性质的应用。
（二）解析：通过进一步巩固指数函数的图象和性质，掌握由指数函数和其他简单函数组成的复合函数的性质：定义域、值域、单调性，最值等性质。

二、目标及其解析
（一）教学目标
指数函数的图象及其性质的应用；
（二）解析
通过进一步掌握指数函数的图象和性质，能够构建指数函数的模型来解决实际问题;体会指数函数在实际生活中的重要作用，感受数学建模在解题中的作用，提高学生分析问题与解决问题的能力。

三、问题诊断分析
解决实际问题本来就是学生的一个难点，并且学生对函数模型也不熟悉，所以在构建函数模型解决实际问题是学生的一个难点，解决的方法就是在实例中让学生加强理解，通过实例让学生感受到如何选择适当的函数模型。
四、教学过程设计
探究点一：平移指数函数的图像
例１：画出函数的图像，并根据图像指出它的单调区间．
解析：由函数的解析式可得：
＝
其图像分成两部分，一部分是将（ｘ＜－１）的图像作出，而它的图像可以看作的图像沿ｘ轴的负方向平移一个单位而得到的，另一部分是将的图像作出，而它的图像可以看作将的图像沿ｘ轴的负方向平移一个单位而得到的．
解：图像由老师们自己画出
单调递减区间［－，－１］，单调递增区间［－１，＋］．
点评：此类函数需要先去绝对值再根据平移变换画图，单调性由图像易知。
变式训练一：已知函数
(1)作出其图像；
(2)由图像指出其单调区间；
解：（１）的图像如下图：
(2)函数的增区间是(－∞，－2]，减区间是[－2，＋∞)．

探究点二：复合函数的性质
例2：已知函数
（１）求ｆ（ｘ）的定义域；
（２）讨论ｆ（ｘ）的奇偶性；
解析：求定义域注意分母的范围，判断奇偶性需要注意定义域是否关于原点对称。
解：（１）要使函数有意义，须－１，即ｘ１，所以，定义域为（－，０）（０，＋）．
（２）
则ｆ（－ｘ）＝=
所以，ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ）是偶函数．
点评：此问题难度不是太大，但是很多同学不敢尝试去化简，只要按照常规的方式去推理，此函数的奇偶性很容易判断出来。
变式训练二：已知函数,试判断函数的奇偶性；
简析：∵定义域为,且是奇函数；
探究点三应用问题
例3某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩留的质量是原来的
84%．写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式．
【解】
设该物质的质量是1,经过年后剩留量是.
经过1年,剩留量
经过2年,剩留量
…………………………
经过年,剩留量
点评:先考虑特殊情况，然后抽象到一般结论．
变式：储蓄按复利计算利息，若本金为元，每期利率为，设存期是，本利和（本金加上利息）为元．
（1）写出本利和随存期变化的函数关系式；
（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．
分析：复利要把本利和作为本金来计算下一年的利息．
【解】
(1)已知本金为元,利率为则:
1期后的本利和为
2期后的本利和为
……………………………
期后的本利和为
(2)将代入上式得
(元).
答:5期后的本利和为1117.68元
点评:审清题意是求函数关系式的关键；同时要能从具体的、特殊的结论出发，归纳、总结出一般结论．
六．小结
通过本节课的学习，本节课应用了指数函数的性质来解决了什么问题？如何构建指数函数模型，解决生活中的实际问题？

高一数学指数函数的概念及图像和性质教案

§3指数函数的概念及图像和性质（共3课时）
一.教学目标：
1．知识与技能
（1）理解指数函数的概念和意义；
（2）与的图象和性质；
（3）理解和掌握指数函数的图象和性质；
（4）指数函数底数a对图象的影响；
（5）底数a对指数函数单调性的影响，并利用它熟练比较几个指数幂的大小
（6）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；
2．情感、态度、价值观
（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.
（2）培养学生观察问题，分析问题的能力.
二．重、难点
重点：
（1）指数函数的概念和性质及其应用.
（2）指数函数底数a对图象的影响；
（3）利用指数函数单调性熟练比较几个指数幂的大小
难点：
（1）利用函数单调性比较指数幂的大小
（2）指数函数性质的归纳，概括及其应用.
三、教法与教具：
①学法：观察法、讲授法及讨论法.
②教具：多媒体.
四、教学过程
第一课时
讲授新课
指数函数的定义
一般地，函数（＞0且≠1）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R.
提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？
（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
（7）（8）（＞1，且）
小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为＞0，是任意一个实数时，是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.
若＜0，如在实数范围内的函数值不存在.
若=1,是一个常量，没有研究的意义，只有满足的形式才能称为指数函数，不符合
我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究.先来研究＞1的情况
下面我们通过用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数的图象
1/8124

再研究，0＜＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数的图象.
x
4211/21/4

从图中我们看出
通过图象看出实质是上的
讨论：的图象关于轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？
②利用电脑软件画出的函数图象.

练习p711,2
作业p76习题3-3A组2
课后反思：
第二课时
问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.
从图上看（＞1）与（0＜＜1）两函数图象的特征.
问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.
问题3：指数函数（＞0且≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.
图象特征函数性质
＞10＜＜1＞10＜＜1
向轴正负方向无限延伸函数的定义域为R
图象关于原点和轴不对称非奇非偶函数
函数图象都在轴上方函数的值域为R+
函数图象都过定点（0，1）=1
自左向右，
图象逐渐上升自左向右，
图象逐渐下降增函数减函数
在第一象限内的图
象纵坐标都大于1在第一象限内的图
象纵坐标都小于1＞0，＞1＞0，＜1
在第二象限内的图
象纵坐标都小于1在第二象限内的图
象纵坐标都大于1＜0，＜1＜0，＞1
5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在（＞0且≠1）值域是
（2）若
（3）对于指数函数（＞0且≠1），总有
（4）当＞1时，若＜，则＜；
指数函数的图象和性质Y=ax
图

像
a10a1

性

质定义域：R
值域：（0，+∞）
过点（0，1）
当x0时y1
当x0时0y1当x0时0y1
当x0时y1
是R上的增函数是R上的减函数
例题分析
例1比较下列各题中两个数的大小：
(1)30.8,30.7
(2)0.75-0.1,0.750.1
例2(1)求使4x32成立的x的集合；
(2)已知a4/5a,求实数a的取值范围.
练习p731,2
作业p77习题3-3A组4,5
课后反思：
第三课时

（1）提出问题
指数函数y=ax(a0,a≠1)底数a对函数图象的影响，
我们通过两个实例来讨论
a1和0a1两种情况。
（2）动手实践
动手实践一：
在同一直角坐标系下画出y=2x和y=3x的图象，
比较两个函数的增长快慢
一般地，ab1时，
（1）当x0时，总有axbx1；
（2）当x=0时，总ax=bx=1有；
（3）当x0时，总axbx1有；
（4）指数函数的底数a越大，当x0时，其函数值增长越快。
动手实践二：
分别画出底数为0.2,0.3,0.5,2,3,5的指数函数图象.
总结y=ax(a0,a≠1)，a对函数图象变化的影响。
结论：
（1）当X0时,a越大函数值越大；
当x0时,a越大函数值越小。
（2）当a1时指数函数是增函数，
当x逐渐增大时，
函数值增大得越来越快；
当0a1时指数函数是减函数，
当x逐渐增大时，
函数值减小得越来越快。
例题分析
例4比较下列各题中两个数的大小：
(1)1.80.6,0.81.6;(2)(1/3)-2/3,2-3/5.
(1)解由指数函数性质知1.80.61.80=1,
0.81.60.80=1,所以
1.80.60.81.6
(2)解由指数函数性质知(1/3)-2/31,
2-3/51,所以
(1/3)-2/32-3/5
例5已知-1x0，比较3-x,0.5-x的大小，
并说明理由。
解（法1）因为-1x0，所以0-x1。
而31，因此有3-x1
又00.51，因而有00.5-x1
故3-x0.5-x
（法2）设a=-x0,函数f(x)=xa当x0时
为增函数，而30.50,故f(3)f(0.5)
即3-x0.5-x
小结：
在比较两个指数幂大小时，常利用指数函数和幂函
数的单调性。相同底数比较指数，相同指数比较底数。
故常用到中间量“1”。
练习1，2
作业习题3-3B组1,2