图形的旋转(第1课时)学案。

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第二十三章旋转
23.1图形的旋转
第1课时认识图形的旋转
出示目标
1.了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念.
2.了解旋转对应点的概念及应用它们解决一些实际问题.
3.通过观察具体实例认识旋转，探索它的基本性质.
4.了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制旋转后的几何图形.
预习导学1
知识准备
(学生活动)请同学们完成下面各题.
1.将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形.
2.如图，已知△ABC和直线l，请你画出△ABC关于l的对称图形△A′B′C′.
3.圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其他的吗？
(是；是；等腰梯形、长方形、正多边形等.)
(1)平移的有关概念及性质.
(2)如何画一个图形关于一条直线(对称轴)的对称图形并口述它有哪些性质.
(3)什么叫轴对称图形.
自学指导
自学教材第59页内容，思考和完成教材上的练习.
观察：让学生看转动的钟表和风车等.
(1)上面情景中的转动现象，有什么共同的特征？(指针、风车叶片分别绕中间轴旋转)
(2)钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？(形状、大小不变，位置发生变化)
问题：
①从3时到5时，时针转动了多少度？(60°)
②风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时，风车旋转了多少度？(90°)
③以上现象有什么共同特点？(物体绕固定点旋转)
思考：在数学中如何定义旋转？
知识探究
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.
如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.
自学反馈
1.下列物体的运动不是旋转的是(C)
A.坐在摩天轮里的小朋友B.正在走动的时针
C.骑自行车的人D.正在转动的风车叶片
2.下列现象中属于旋转的有4个.
地下水位逐年下降；传送带的移动；方向盘的转动；水龙头的转动；钟摆的运动；荡秋千运动.
3.如图，如果把钟表的指针看成四边形AOBC，它绕着O点旋转到四边形DOEF位置，在这个旋转过程中：旋转中心是O，旋转角是∠AOD(∠BOE)，经过旋转，点A转到D，点C转到F，点B转到E，线段OA、OB、BC、AC分别转到OD、OE、EF、DF，∠A、∠B、∠C分别与∠D、∠E、∠F是对应角.
旋转角指对应点与旋转中心的连线的夹角.
合作探究1
活动1小组讨论
例1如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形.
(1)这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？
(2)请画出旋转中心和旋转角.
(3)经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？
(1)可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的.(2)画图略.(3)点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H.
这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是不唯一的.
例2如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点A；旋转的度数是45°.
活动2跟踪训练
两个边长为1的正方形，如图所示，让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合，不难知道重合部分的面积为，现把其中一个正方形固定不动，另一个正方形绕其中心旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？说明理由.
设任转一角度，如图中的虚线部分，要说明旋转后正方形重叠部分面积不变，只要说明S△OEE′=S△ODD′，那么只要说明△OEE′≌△ODD′.
预习导学2
自学指导自学教材第60页内容，并完成教材第61页练习.
教师用几何画板演示
请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC)，然后围绕旋转中心O转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′)，移去硬纸板.
(分组讨论)根据图回答下面问题(一组推荐一人上台说明)
1.线段OA与OA′、OB与OB′、OC与OC′有什么关系？
2.∠AOA′、∠BOB′、∠COC′有什么关系？
3.△ABC与△A′B′C′形状和大小有什么关系？
1.OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，也就是对应点到旋转中心距离相等.
2.∠AOA′=∠BOB′=∠COC′，我们把这三个相等的角，即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角.
3.△ABC和△A′B′C′形状相同且大小相等，即全等.
知识探究
(1)对应点到旋转中心的距离相等；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等.
合作探究2
活动1小组讨论
例3如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.
关键是确定△ADE三个顶点的对应点的位置.
例4已知线段AB和点O，画出AB绕点O逆时针旋转100°后的图形.
作法：1.连接OA；2.在逆时针方向作∠AOC=100°在OC上截取OA′=OA；3.连接OB；4.在逆时针方向作∠BOD=100°在OD上截取OB′=OB；5.连接A′B′.
线段A′B′就是线段AB绕点O按逆时针方向旋转100°后的对应线段.
作图应满足三要素:旋转中心、旋转角、旋转方向.
活动2跟踪训练
1.如图，AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB=90°，BP=BQ，∠PBQ=90°.
①此图能否旋转某一部分得到一个正方形？
②若能，指出由哪一部分旋转而得到的？并说明理由.
③它的旋转角多大？并指出它们的对应点.
解：①能.②由△BCQ绕B点旋转得到.理由：连结AB，易证四边形ABCD为正方形.再证△ABP≌△CBQ.可知△QCB可绕B点旋转与△ABP重合，从而得到正方形ABCD.
③90°.点C对应点A，点Q对应点P.
2.如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B对应点的位置，以及旋转后的三角形.
解：(1)连接CD，
(2)以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD，
(3)在射线CE上截取CB′=CB，则B′即为所求的B的对应点.
(4)连结DB′，则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形.
绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′=∠ACD，又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB′，就可确定B′的位置，如图所示.
3.如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系.
解：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形，
∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM为旋转角且为90°.
∴△ADM是以A为旋转中心，∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成的.∴BK=DM.
要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明.
活动3课堂小结
1.旋转及其旋转中心、旋转角的概念.
2.旋转的对应点及其它们的应用.
3.本节课要掌握：
(1)旋转的基本性质.
(2)旋转变换与平移、轴对称两种变换有哪些共性与区别.
当堂训练
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.

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二次函数与图形面积第1课时学案

22.3实际问题与二次函数
第1课时二次函数与图形面积
出示目标
能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的图象和性质求出实际问题的答案.
预习导学
阅读教材第49至50页,自学“探究1”，能根据几何图形及相互关系建立二次函数关系式，体会二次函数这一模型的意义.
自学反馈学生独立完成后集体订正
①如图，点C是线段AB上的一点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A)
A.当C是AB的中点时，S最小
B.当C是AB的中点时，S最大
C.当C为AB的三等分点时，S最小
D.当C是AB的三等分点时，S最大
②用长8m的铝合金制成如图所示的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是m2.
第②题图第③题图
③如图所示，某村修一条水渠，横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰与下底的和为4cm，当水渠深x为时，横断面面积最大，最大面积是.
先列出函数的解析式，再根据其增减性确定最值.
合作探究1
活动1小组讨论
例1某建筑的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料长为15m(图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？
解:由题意可知4y+×2πx+7x=15.化简得y=.
设窗户的面积为Sm2，则S=πx2+2x×=-3.5x2+7.5x.
∵a=-3.50，∴S有最大值.∴当x=-=≈1.07(m)时，
S最大=≈4.02(m2).即当x≈1.07m时，窗户通过的光线最多.
此时，窗户的面积是4.02m2.
此题较复杂，特别要注意:中间线段用x的代数式来表示时，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内.
活动2跟踪训练(小组讨论解题思路共同完成并展示)
如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，两腰之间有两条竖直甬道，且它们的宽度相等，设甬道的宽为x米.
①用含x的式子表示横向甬道的面积；
②当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；
③根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
解：①150xm2；②5m；③当甬道宽度为6m时，所建花坛总费用最少，为238.44万元.
想象把所有的阴影部分拼在一起就是一个小梯形.
合作探究2
活动1小组讨论
例2如图，从一张矩形纸较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？
解:设矩形纸较短边长为a，设DE=x，则AE=a-x.
那么两个正方形的面积和y为y=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2.当x=a时，
y最小=2×(a)2-2a×a+a2=a2.即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小.
此题关键是充分利用几何关系建立二次函数模型，再利用二次函数性质求解.
活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
如图，有一块空地，空地外有一面长10m的围墙，为了美化生活环境，准备靠墙修建一个矩形花圃，用32m长的不锈钢作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为1m的通道及在左右花圃各放一个1m宽的门，花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？
解：当x=6.25m时，面积最大为56.25m2.
此题要结合函数图象求解，顶点不在取值范围内.
活动3课堂小结
学生试述:这节课你学到了些什么？
当堂训练
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.

八年级数学下《3.2图形的旋转》第1课时导学案（新版北师大版）

红星学校初中部______年级___________学科课堂导学案
第____课时备课：____月___日讲课：____月____日组长签批：____月____日
课题图形的旋转（一）授课教师
学习
目标1、记住旋转、旋转中心、旋转角的概念。
2、熟记旋转的性质并会应用解题。
学习
重难点学习重点：旋转、旋转中心、旋转角的概念。
学习难点：旋转的性质并会应用解题。
学法
指导讲练结合法多媒体演示法探究法尝试指导法
学习过程

独
立
尝
试学案导案
一、导入新课
下列现象哪些是平移？
平移的特点有哪些？
①平移是指整个图形平行移动，包括图形的每一条线段、每一个点、经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离。
②平移不改变图形的形状、大小，方向，只改变图形的位置。
日常生活中，我们经常见到（钟表、风扇、汽车方向盘，摩天轮，旋转木马……）钟表指针的转动、风扇扇叶的转动、汽车方向盘的转动等情景。
③上面情景中的转动现象，有什么共同特征？
④钟表的指针、钟摆在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生改变？风扇扇叶的转动、汽车方向盘的转动呢？
合作探究1、旋转
在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的大小和形状。
注意：“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上的每个点同时都按相同的方式转动相同的角度。在物体绕着一个定点转动时，它的形状和大小不变。因此，旋转具有不改变图形的大小和形状的特征。
2、旋转的性质
①对应点到旋转中心的距离相等。
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
③旋转前、后的图形全等。
④图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定。
自我挑战
堂清试题如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：
①旋转中心是什么？旋转角是什么？
②经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？
解：①旋转中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋转角。②经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的置。

自我总结1、记住本节基本概念和旋转的性质是解题的关键点。
2、解题过程中要认真、仔细，同时注意做题的规范性。
预留作业课本第77页知识技能第1、2题。
板书设计图形的旋转（一）
一、旋转、旋转中心、旋转角的概念三、自学检测
二、典型例题分析四、堂清试题

导学反思

图形的旋转导学案

张家港市一中2014—2015学年度第二学期八年级数学导学案
初二班姓名学号
课题:9.1图形的旋转
教学目标:1.经历对生活中旋转现象的观察、分析过程，学会用数学的眼光看待生活中的有关问题；2.通过具体实例的认识旋转，研究、发现旋转的性质；3.经历对具有旋转特征的图形的观察、作图、操作等过程，掌握和熟悉作图的技能。
教学重点难点:探索发现旋转图形的定义以及性质，并能熟练的掌握。怎么样利用旋转的性质作一个图形的旋转图形。
一．课前预习与导学
1.（1）在平面内，将一个图形绕一个_______转动________的角度，这样的图形运动称为图形的旋转。这个定点成为______，旋转的角度称为_________.
（2）旋转前后的图形________（对应线段_____，对应角_______）。
（3）对应点到旋转中心的距离__________。
（4）每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此______。
（5）如图，画出⊿ABC绕点A逆时针旋转90°后的图形。
2.小组交流合作：
（1）举出生活有关旋转的例子。
（2）选择：①下列现象属于旋转的是（）
A.摩托车在急刹车时向前滑动;B.飞机起飞后冲向空中的过程
C.幸运大转盘转动的过程;D.笔直的铁轨上飞驰而过的火车
②在图形旋转中，下列说法错误的是（）
A.图形上各点的旋转角度相同;B.旋转不改变图形的大小、形状;
C.由旋转得到的图形也一定可以由平移得到;D.对应点到旋转中心距离相等
（3）指出下图中的旋转、旋转中心、旋转角?

二。课堂研讨：
1.如图，△ABC是等边三角形，点D是BC上一点，△ABD经过旋转后到达△ACD’的位置。（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？

2.下图是由正方形ABCD旋转而成。（1）旋转中心是______
（2）旋转的角度是______(3)若正方形的边长是1，则C′D=_____

3.旋转作图
（1）画出将线段AB绕点O按顺时针方向旋转1000后的图形。
（2）画出将△ABC绕点C按逆时针方向旋转1200后的对应三角形。
(3)画出△ＡＢＣ绕点C逆时针旋转90°后的图形．

4.如图，如果正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形
所在的平面上可以作为旋转中心的点共有______个。

5.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=1200，以BC为边向形外作等边三角形△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转600后得到△ECD，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数与AD的长.

6.如右上图：画出AB绕点O旋转后，线段AB的对应线段是A′B′,试确定旋转中心点O的位置.

7.探究：如图3.1-19，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
AC＝，BC＝1，将Rt△ABC绕C点旋转90°后
为Rt△A’B’C’，再将Rt△A’B’C’绕B点旋转
为Rt△A”B”C”使得A、C、B’、A”在同一直线上，
则A点运动到A”点所走的长度为.
三.课堂小结

教学后记：
图形旋转要有三个关键要素：一是旋转的中心，即绕着哪一个点旋转；二是旋转的方向，按顺时针还是逆时针方向旋转；三是旋转的角度。为了突破学生在方格纸上把简单图形按顺时针或逆时针旋转90°这个难点，笔者思考能否将静止的方格图形在学生手中活动起来，让学生看清楚它的完整旋转过程？再用“探究验证”法来检测自己的学习成果。在“操作——验证”这样的过程中逐步建构图形旋转的方法和关键点。

初二数学课堂练习班级姓名学号。
1.如图1所示图形旋转一定角度能与自身重合，则旋转的角度可能是（）
A．30°B．60°C．90°D．120°
2.如图2，△ABC按顺时针方向旋转一个角度后成为△A/B/C/，指出图中的旋转中心是（）A．A点B．B点C．C点D．B/点

图1

3.如图3，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，若将△ABD经过旋转后到△ACP位置，则旋转中心是__________，旋转角等于_________度，△ADP是___________三角形.
4.如图4，△ABC与△CDE都是等边三角形，图中的△________和△_______可以绕
点旋转_______度互相得到.
5.如图5，△ABC按逆时针方向转动了80°以后成为△A/B/C/，已知∠B=60度，∠C=55度，那么∠BAC/=度．
6.如图，在等腰直角△ABC中，∠C=900，BC=2cm，如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转1800，点B落在点B′处，求BB′的长度.

7.按要求分别画出旋转图形：
（1）画△ABC绕O点顺时针方向旋转90°后得到△
（2）把四边形ABCD绕O点逆时针方向旋转90°后得四边形。

8.王虎使一长为4，宽为3的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为