反例与证明教案。

每个老师不可缺少的课件是教案课件，大家在仔细设想教案课件了。教案课件工作计划写好了之后，这样我们接下来的工作才会更加好！你们会写一段适合教案课件的范文吗？下面是小编帮大家编辑的《反例与证明教案》，仅供参考，大家一起来看看吧。

4.3反例与证明
一、教材、学情分析：
举反例和证明同样重要，注重反例教学以培养学生思维的缜密性、灵活性，以及注重反例构建培养学生思维的发散性、深刻性和创新性在数学教学中的重要性已越来越被人们重视和认可。反例构建还是诱发学生创造力的很好载体。教师在进行教学时，不但要适当地使用反例，更重要的是要善于引导学生构建反例，这实际上是为学生创设了一种探索情境。因此，构建反例的过程也是学生发散思维的充分发挥和训练过程。
二、教学目标：
（一）知识与技能
通过实际问题的分析，理解反例的意义和作用。掌握在简单情况下利用反例证明一个命题是错误的。
（二）教学思考
通过判定引入命题的真假培养学生的思维能力;在思考争论的过程中，学会合作，交流思想；通过独立思考与小组合作，小组竞赛培养学生独立自主精神、合作精神和竞争意识；
（三）解决问题
会利用一些简单的例子，对一个命题作出合理的解释判断与证明；提高他们处理问题和解决问题能力；
（四）情感与态度
通过数学知识的实际应用，渗透数学来源于生活又应用于生活的思想，体验学习数学的乐趣，从而激发他们的学习兴趣。
【教学重点、难点】
重点：用反例证明一个命题是错误的．
难点：如何构造一个反例去证明一个命题是错误的．因为要从条件出发又不能使其满足结论，要求学生对数学概念的理解能力较高。
【教学过程】
一、谈话引入，激发兴趣
读一读：
高斯说：“给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断地学习；不是已有的东西，而是不断地获取；不是已达到的高度，而是继续不断地攀登”。
师：高斯是伟大的数学家，他告诉我们要不断学习，学无止境，让我们继续不断地向上攀登吧！
（设计意图：师生交流，联络感情，通过一起学习名人名言可缩小师生之间的距离，使学生体会到师生之间是平等的，另一方面通过学习名言可对学生进行思想教育，希望他们能继续努力，永攀高峰。）
二、师生交流，引入新课
高斯是伟大的数学家吗？这句话是命题吗？
（通过它来复习命题的概念，请学生将这句话改成一个命题）
高斯是伟大的数学家。再问这个命题正确吗？（学生答）
我们再来判断下列命题的真假[
（1）会飞的动物都是鸟。
（学生会说是假命题。）
师问：为何是假命题？学生举出蝴蝶、苍蝇、蜻蜓等会飞，但不是鸟。
（设计意图：让学生能够分辨一个命题的真假，能够举出适当的反例。使学生初步有通过举反例可以说明一个命题是假命题的思想，以便在解决下面三题时能想出举出反例。）
（2）素数是奇数（学生答：假命题，举例2）
（3）黄皮肤、黑头发的人是中国人（学生答：假命题，举例韩国人，日本人等）
（4）在不同顶点上有两个外角是钝角的三角形是锐角三角形（学生答：假命题，等腰直角三角形等）
师：我们对真命题的证明，掌握了一定的方法和技能，那么如何来说明一个命题是假命题呢？如上述四个命题你是如何来说明它是假命题的？（学生能够答：举个例子说明）
今天我们将一起来探讨如何说明一个命题是假命题。从而引出课题——反例与证明
三、师生互动，学习新知
1、小组合作，共同进步
师生总结：从引例知道判断一个命题是假命题只要举出一个例子即可。
学生讨论：怎么样例子才能判断一个命题是假命题？
学生分小组讨论，教师巡回指导，每小组代表发言
师生总结：具备命题条件但不具备命题结论的例子，这样的例子称为反例。
师：如可以举2是素数，但不是奇数，从而证明“素数是奇数”是假命题.
韩国人，日本人也是黄皮肤、黑头发的人从而证明“黄皮肤、黑头发的人是中国人”是假命题。这些例子都符合命题的条件但不具备命题的结论。
（设计意图：让学生充分讨论我们所需要的反例有什么要求，因为举反例有时比较困难。通过学生激烈的争论可以给学生一个举反例的指导方向，学生在争论中更易接受正确的知识，使学生能在判定具体命题真假时举出适当反例。）[
2、比一比，赛一赛（小组竞赛）
判断下列命题是真命题还是假命题，是真命题请证明，是假命题请举反例.
（1）三角形的外角和等于360°
（2）三线两两相交,必有三个交点
（3）若ab＜0，则a＞0,b＜0
（4）任何三条线段都能组成一个三角形
（5）若x+y=0，则
（设计意图：通过学生竞赛，激发学生学习兴趣。趁热打铁，及时巩固，培养学生的动手能力和应用知识解决问题的能力，让学生能够分辨一个命题的真假，对真命题能够证明，对假命题能够举出适当的反例）
3、设置一个互动游戏：让一个学生出一个命题，另一学生判断真假。
（设计意图此处设置互动游戏，一方面是为了更好地以另一种方式促进学生的学习参与，另一方面也是为了调节课堂的气氛，因为这段时间学生在下午的学习总是感觉疲劳，兴趣不是很高，这样就可以更好地促进学生，调节气氛。）

师：我们已经能举出反例说明一个命题是假命题，如何在解题过程中将反例用数学语言规范的表述，请同学们尝试解决以下两题。
例题：判断下列命题的真假，并给出证明(第一题较简单学生易举出反例，第二题学生需要构造出图形较为困难，老师巡视时给予适当引导。)
（1）若2x+y=0，则x=y=0
（2）有一条边、两个角相等的两个三角形全等
学生先自主解决，然后小组内交流纠错。老师巡视发现学生的表述不规范之处，予以纠正。挑出学生解题中普遍存在问题，用投影仪集体纠错，规范解题步骤。
（设计意图：学生先尝试数学问题中反例的表述，使学生感觉到学习并不是一件很容易或很困难的事情。然后通过合作学习，为每位学生提供交流的空间，让他们能积极参与，勇于发表自己的观点，帮助其他同学修正错误，给学生以成就感。）
幻灯片给出具体解题过程
解（1）是假命题。
取x=-1,y=2，
则2x+y=2×（-1）+2=0
但x≠0且y≠0。
即x=-1，y=2具备2x+y=0的条件，
但不具备命题的结论，
所以此命题为假命题

（2）假命题。
如图：△ABC和△A’B’C’中，
∠C=∠A’=75°
∠B=∠C’=45°
AB=A’B’=2.5cm
但很明显△ABC和△A’B’C’不全等，
所以此命题为假命题

例题小结：如果要证明或判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合题设而不符合结论的例子就可以了。涉及数的问题举出一些特殊值，一些几何问题可以构造出适当几何图形，构造的图形也是解题的步骤，需要辅助几何表述，才能成为解题过程。
四、应用新知，体验成功[
（设计意图：学生能够分辨一个命题的真假，对真命题能够证明，对假命题能够举出适当的反例。代数问题稍好解决，几何问题构造图形是学习中较为难解决的问题，予以适当强化。）
判断命题“两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”的真假，并给出证明。（学生小组讨论，构造反例。）
老师分析引导：这是一个假命题，要证明它是一个假命题，关键是看如何构造反例。
（老师巡视挑出解答较好的两个反例投影展示，请学生介绍解题思路。老师点评并做补充。）
本题可以从以下两方面考虑，如图4–4–4（1）三角形ABC中，AB=AC，在底边BC延长线上取点D，连DA，这样在△ADB和△ADC中，AD=AD，∠D=∠D，AB=AC，显然观察图形可知△ADB与△ADC不全等，或者，在BC上任取一点E（E不是中点），如图4-4-4（2），则在△ABE和△ACE中，AB=AC，∠B=∠C，AE=AE，显然它们不全等。
解这是一个假命题，证明如下：
如图4–4–4（1），在△ABC中，AB=AC，延长CB到D，连结AD。
则AB=AC，（已知）
AD=AD，（公共边）
∠D=∠D，（公共角）
但△ADB与△ADC不全等。
评注能举反例说明一个命题是假命题，反例不在于多，只要能找到一个说明即可。
五、课堂小结，形成系统
畅所欲言：通过这节课的学习，谈谈你的收获与体会。
（设计意图：让学生自己总结本堂课的得失，一方面培养学生善于总结反思的良好习惯；另一方面可以提高学生的语言表达能力，为自己和其他同学梳理了知识体系，使其系统化，起到画龙点睛的作用。）
老师给出本节知识点：1、判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可。[]
2、反例是具备命题条件但不具备命题结论的例子。
3、涉及数的问题举出一些特殊值，一些几何问题可以构造出适当几何图形，构造的图形也是解题的步骤，需要辅助几何表述，才能成为解题过程。
六、布置作业，深化提高
1、作业本作业。见《作业本》（分不同层次布置不同要求的作业，必做题，选做题）
2、探索与思考：
判断命题“一角和夹这角的一边对应相等，且这边上的中线对应相等的两个三角形全等”是真命题，还是假命题？请给出证明。

（设计意图：根据学生的不同层次布置不同的作业，真正体现因材施教原则。）

延伸阅读

折纸与证明

为了促进学生掌握上课知识点，老师需要提前准备教案，准备教案课件的时刻到来了。在写好了教案课件计划后，新的工作才会如鱼得水！你们知道哪些教案课件的范文呢？以下是小编为大家收集的“折纸与证明”但愿对您的学习工作带来帮助。

第一章数学活动：折纸与证明
一、学习目标：
1．充分给学生思考、探索折叠等边三角形、特殊四边形等的方法，并在折叠的基础上证明所折叠的图形满足条件．
2．培养学生动脑思考、动手操作及合作探究的能力．
二、学习重点与难点
重点：探索折叠等边三角形、特殊四边形等的方法．
难点：证明所折叠的图形是要求的等边三角形、特殊四边形等。
三、操作与思考：
活动一：请参阅课本34~35活动1、2：
应让学生充分活动，可让学生参照课本35页提供了的做法，也可让学生找出尽可能多的其它方法，重点在说明所折叠的图形符合要求

活动二：请参阅《数学综合与实践活动》P2活动2：
（1）让学生了解折出三角形高线的方法；
（2）进一步让学生了解折叠中位线的方法；
（3）可利用上面的方法证明三角形的中位线定理以及直角三角形的一些性质。

活动三：请参阅《数学综合与实践活动》P3活动3：
（1）点O是矩形的对称中心，两个图形全等，面积也相等。
（2）方法一：可以把余下的图形看成两个矩形拼成的，只要分别找出这两个矩形的中心相连即可；
方法二：可将剪掉的矩形补回，分别找出原矩形和剪掉的矩形的中心相连即可。

四、巩固反馈
课本35页数学活动3，证明较复杂，可灵活选用，让有兴趣的同学课后探索。

六、总结提升：
总结你本节课的收获或感受：

图形与证明（二）教学案(

每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件，大家在认真准备自己的教案课件了吧。写好教案课件工作计划，才能规范的完成工作！你们会写一段优秀的教案课件吗？考虑到您的需要，小编特地编辑了“图形与证明（二）教学案(”，相信能对大家有所帮助。

§1.1等腰三角形的性质和判定（1）

［学习目标］1、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。

［重点、难点］等腰三角形的性质及其证明。

［学习过程］

一、知识回顾：

在初中数学八（下）的第十一章中，我们学习了证明的相关知识，你还记得吗？不妨回忆一下。

1、用＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的过程，叫做证明。经过＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿称为定理。

2、证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些？

（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;

（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;

（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

3、推理和证明的依据有哪几类？

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

4、我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实：

（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

（4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

（5）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

此外，还有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿也都看作是基本事实。

5、在八（下）的第十一章中，我们依据上述的基本事实，证明了哪些定理？你能一一列出来吗？

（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

（4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

（5）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

（6）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

（7）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

（8）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

（9）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

（10）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

二、情景创设：

以前，我们曾经学习过等腰三角形，你还记得吗？不妨我们来回忆一下下列几个问题：

1、什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

2、等腰三角形有哪些性质？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

3、上述性质你是怎么得到的？（不妨动手操作做一做）

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

4、这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

三、探索活动：

1、合作与讨论证明：等腰三角形的两个底角相等。

2、思考与讨论怎样证明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

3、通过上面两个问题的证明，我们得到了等腰三角形的性质定理。

定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，（简称：＿＿＿＿＿＿）

定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，（简称：＿＿＿＿＿＿）

4、你能写出上面两个定理的符号语言吗？（请完成下表）

文学语言图形符号语言

等边对等角在△ABC中

∵＿＿＿＿＿＿＿＿＿；∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

三线合一在△ABC中，AB＝AC

（1）∵∠BAD＝∠CAD∴＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。

（2）∵BD＝CD∴＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。

（3）∵AD⊥BC∴＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。

5、思考与探索

如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的？

要求：（1）写出它的逆命题：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。（2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明。

6、通过上面的证明，我们又得到了等腰三角形的判定定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

四、体会与交流

1、在本节课中，我们用基本事实又证明了哪些定理。

（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

2、实际上，我们以前曾学习过很多图形的知识，（如：直角三角形全等，平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等）。对于这些图形，我们通过动手操作也得到了它们的性质和判定，在今后的学习中，我们将进一步证明它们的正确性。

课题：§1.1等腰三角形的性质和判定（2）

［学习目标］在掌握了等腰三角形的性质定理和判定定理的基础上，探索等边三角形和其它相关知识的证明方法。

［学习过程］

一、知识回顾

上节课中，我们对等腰三角形的性质定理和判定定理进行了证明，请你写出这些定理。

等腰三角形性质定理：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

等腰三角形判定定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

二、典例分析

1、已知：如图∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC。求证：AB＝AC

2、在上图中，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平分∠EAC吗？如果结论成立，你能证明这个结论吗？

3、在上图中，你还能得到其他的结论吗？与同学交流。

三、思考与交流

1、证明：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（简写为“AAS”）

2、证明：（1）等边三角形的每个内角都等于60°。

（2）3个内角都相等的三角形是等边三角形。

3、证明：（1）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

（2）到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

四、体会与交流

本节课，我们又证明了哪些定理？（请写出来）你掌握了吗？

课题：§1.2直角三角形的全等判定（1）

［学习目标］掌握了直角三角形的全等判定定理和其它相关知识的证明方法。

［重点、难点］1、直角三角形的判定定理。2、直角三角形和其它相关知识的证明方法。

［学习过程］

一、知识回顾

我们已经学习过有关直角三角形的相关知识和全等三角形的判定方法，请你写出这些定理。直角三角形的定义：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

全等三角形判定定理：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（）

（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（）

（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（）

（4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（）

二、情景创设：

1．请大家要求作图：（同桌各作一个，别一个同学用表示，以示区另，其它相同）

⑴画∠PCQ

⑵在射线CP上取线断CA＝4厘米，

画弧交射线CQ于B使AB＝5厘米。

⑶连接AB

2．请同桌之间所画直角三角形是否全等？

由此得到什么结论？

三、典例分析

1、证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（简写为“HL”）

已知，在△ABC和△AˊBˊCˊ中，∠ACB=∠AˊCˊBˊ=90°，AB=AˊBˊ，AC=

AˊCˊ，求证：△ABC≌△AˊBˊCˊ

2.如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．

（1）若BC在DE的同侧（如图①）且AD=CE，说明：BA⊥AC．

（2）若BC在DE的两侧（如图②）其他条件不变，问AB与

AC仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由．

三、思考与交流

在上面的图（2）中，如果∠BAC=30°，那么BC=AB吗？并用文字语言叙述出来。

四、随堂练习

如图，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件_______或；若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件或

1.如图在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，求证△ABC是等腰三角形。

3．如图AD⊥DB，BC⊥CA，AC、BD相交于点O，如果AD＝BC，那么图中还有哪些相等的线断，请证明。（DB＝AC就不要证明了）

五、体会与交流

本节课，我们又证明了哪些定理？你掌握了吗？

分解组合―――――――将困难问题转化为可行性问题（转化思想）

课题：§1.2直角三角形的全等判定（2）

［学习目标］运用直角三角形的全等判定定理和其它相关知识的证明角平分线的性质和判定。

［重点、难点］1、角平分线的性质和判定。2、角平分线的性质和判定的证明和运用。

［学习过程］

一、知识回顾

我们已经学习过有关直角三角形全等的判定方法，请你写出这些定理。

直角三角形全等的判定定理：

定义：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（）

（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（）

（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（）

（4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（）

（5）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（）

二、典例分析

1、证明：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

已知，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，求证：PD=PE

2、证明：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

已知，如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE，求证：点P在∠AOB的平分线上。

三、思考与交流

1、“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上。”

你认为这个结论正确吗？如果正确，你能证明吗？（反证法）

2、如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点O，点O到△ABC各边的距离相等吗？点O在∠C的平分线上吗？

定理：三角形的3条角平分线交于一点。

四、随堂练习

1、如图在△ABC中，∠C=90度，点D在BC上，DE垂直平分AB，且DE=DC求∠B的度数。

2、(2004四川)如图，已知点C是∠AOB平分线上一点，点P、P分别在边OA、OB上。如果要得到PO=OP，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号。

①∠OCP=∠OCP；②∠OPC=∠OPC；③PC=PC；④PP⊥OC

3、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，

求证：点F在∠DAE的平分线上．

五、体会与交流

本节课，我们又证明了哪些定理？你掌握了吗？

课题：§1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（1）

总课时第5课时

[学习目标]1、会证明平行四边形的性质定理及其相关结论

2、能运用平行四边形的性质定理进行计算与证明

3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力

[教学重、难点]重点：平行四边形的性质证明表达格式的逻辑性完整性精炼性

难点：分析综合思考的方法

[教学过程]

一、情境创设

根据我们曾经探索得到的平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，填写下表：

平行四边形矩形菱形正方形

对边平行

对边相等

四边相等

对角相等

4个角是直角

对角线互相平分

对角线相等

对角线互相垂直

两条对角线平分两组对角

从上面的几种特殊四边形的性质中，你能说说它们之间有什么联系与区别吗？

如图，图中有______个平行四边形。

二、合作交流

活动1、上表中平行四边形的性质中，你能证明哪些性质？

活动2、你认为平行四边形性质中，可以先证明哪一个？为什么?

活动3、证明定理“平行四边形对角线互相平分”。

已知，如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，

求证：AO=CO，BO=DO

由此证明过程，同时也证明了定理“平行四边形对边相等”、“平行四边形对角相等”，这样我们可得平行四边形的三条性质定理：平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分。

三．典型例题：

例1：已知：如图，□ABCD中，E、F分别是DC、AB的中点。求证：AE=CF

若将例1中的“E、F分别是AD、BC的中点”改为“AE=AD，CF=BC”，是否还能得到同样的结论？

例2、证明“夹在两条平行线之间的平行线段相等”

分析：根据命题先画出相应图形，再由命题与所画图形写出已知、求证，最后根据已知条件写出证明过程。

例3如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连结CF交于AD点E．

求证：(1)△CDE∽△FAE

(2)当E是AD的中点，且BC=2CD时，求证：∠F=∠BCF

点评：平行四边形能带来平行线、等角，从而为得到比例线段、相似三角形创造了条件，也就为利用相似解决问题带来了方便.

四、小结：

1、平行四边形对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。

2、是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。

3、平行线之间的距离处处相等。

课题：§1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（2）

总课时第6课时

教学目标：1.使学生能应用矩形定义、性质等知识，解决有关问题,进一步培养学生的逻辑推理能力。2.能将矩形的判定定理和性质定理综合应用,激发学生的探索精神

教学重点：矩形的本质属性

教学难点：矩形性质定理的综合应用

教学过程：

一、知识回顾：

1、__________________________________________________叫矩形，(八上P117)由此可见矩形是特殊的____________________________因而它且有上节课我们证明过的平行四边形性质

①______________________②____________________③____________________这三个性质。

2、证明：矩形的四个角都是直角

如图：已知__________________________________________________________

求证：__________________________________

图形：画在下面方框内

2、证明：矩形对角线相等

如图：已知_____________________________________________________________

求证：__________________________________

图形：画在下面方框内

二、探索活动：

如图矩形ABCD，对角线相交于E，图中全等三角形有哪些？准备说说看。

将目光锁定在Rt△ABC中，你能看到并想到它有什么特殊的性质吗？现在我们借助于矩形来证明

“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。”（如何证明？）

例1、已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，且AC=2AB.求证：△AOB是等边三角形

本题若将“AC=2AB”改为“∠BOC=120°”，你能获得有关这个矩形的哪些结论？

例2、如图在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，交CD于点E，点F在边BC上，

①如果FE⊥AE，求证FE=AE。

②如果FE=AE你能证明FE⊥AE吗？

练习：1、已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，求矩形对角线的长？

2、如图BD，CE是△ABC的两条高，M是BC的中点，求证ME=MD

四、小结

从位置、形状、大小等不同的角度，观察和比较平行四边形、矩形的对角线把它们分成的三角形的异同，发现并应用直角三角形的判定证明矩形的特殊性质；反过来，我们又利用矩形的性质证明“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”。

课题：§1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（3）

总课时第7课时

教学目标1、会归纳菱形的特性并进行证明；2、能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明

3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力，进一步体会证明的必要性

教学重、难点重点：菱形的性质定理证明

难点：性质定理的运用生活数学与理论数学的相互转化

教学过程：

一、情境创设

1．将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形?

2．探索。

请你作该菱形的对角线，探索菱形有哪些特征，并填空。(从边、对角线入手。)

(1)边：都相等；(2)对角线：互相垂直。问题：你怎样发现的?又是怎样验证的?

3．概括。

菱形特征1：菱形的四条边都相等。

菱形特征2：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。

矩形与菱形的区别：

矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分；菱形的四条边都相等，对边平行，对角相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分它的一组对角。

4．请你折—折，观察并填空。

(1)菱形是不是中心对称图形?对称中心是_______。

(2)是不是轴对称图形?对称轴有几条?_______。

二、合作交流

问题一观察平行四边形和菱形的对角线把它们所分成的三角形，你有何发现？

问题二证明：菱形的4条边都相等。

问题三证明：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

练习：已知菱形的两条对角线长分别为6和8，由此你能获得有关这个菱形的哪些结论？（可得到边长为5；面积为24）

你认为菱形的面积与菱形的两条对角线的长有关吗？如果有关，怎样根据菱形的对角线的计算它的面积？

由此可得：菱形的面积等于它的两条对角线长的积的面积。

三、典例分析

例1、如图3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离(比如AC两点可以自由上下活动)，若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？

例2、已知：如图，四边形ABCD是菱形，G是AB上任一点，DF交AC于点E。

求证：∠AGD=∠CBE

四、体会与交流：

菱形的对角线把菱形分成等腰三角形和直角三角形，所以解决菱形问题，常常可以转化为等腰三角形或直角三角形问题。

课题：§1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（4）

总课时第8课时

教学目标1、会归纳正方形的特性并进行证明；2、能运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明；3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；4、在比较、归纳、总结的过程中，进一步体会特殊与一般之间的辩证关系

教学重、难点

重点：经历观察、实验、猜想、证明等活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力

难点：有条理地、清晰地阐述自己的观点

教学过程：

一、情境创设

这是一个流传在世界各地的故事，三姐妹的父亲是一位慈祥的阿拉伯老人。一天，老人不幸去世，临终，老人留给三个女儿一件珍贵的传家宝——一块五色斑斓的正方形地毯，深爱父亲的女儿们都想得这块地毯，以作纪念。大姐想出了一个好办法：“把它裁成三个小正方形地毯，为了不使地毯剪得过于零碎，最好只剪成4块，其中两块是正方形，另外两块可以拼成一个正方形。”聪明的你能想出一个巧妙的剪法，符合大姐的设想吗？

二、合作交流

探索正方形的性质（1）边的性质：；

（2）角的性质：；

（3）对角线的性质：；

（4）对称性：。

三、典例分析

例1、已知：如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O；正方形A’B’C’D’的顶点A’与点O重合，A’B’交BC于点E，A’D’交CD于点F，E是BC的中点。

（1）求证：F是CD的中点

（2）若正方形A’B’C’D’绕点O任意旋转某个角度后，OE=OF吗？

练习：如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（）

A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2

例2、已知，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE﹦∠BAE.

求证：AF﹦BC+FC.

例3、求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

例4、已知正方形ABCD。

（1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：BE＝GH；

（2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD、BC于点E、F，交AB、CD于点G、H，EF与GH相等吗？请写出你的结论；

（3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m、n，m与AD、BC的延长线分别交于点E、F，n与AB、DC的延长线分别交于点G、H，试就该图对你的结论加以证明。

四、小结

（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如下图。（请填写它们之间的关系）

（2）正方形的性质：①正方形对边平行；②正方形四边相等；③正方形四个角都是直角。

④正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；⑤正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对

（3）本节课我们把探索和解决问题的思路、方法、结论，从特殊情形逐步推广到一般的情形，从而得到一般的结论，这也是我们获得数学结论的一种重要的思想方法。

证明

4.2证明（3）
【教学目标】
1、继续学习证明的方法和表述
2、通过探求，让学生归纳和掌握证明的两种思考方法。
【教学重点、难点】
重点：本节教学重点是如何分析证明的途径．
难点：难点是例6的证明，要用逆向思维的思考方法．
【教学过程】
教师活动教学内容学生活动
一、引例显示引例在RtΔABC中，∠ACB=Rt∠,CD⊥AB于D。
和老师一起读题，并要求能根据题意准确画图。

二、回顾图形中，有几个锐角4个回答问题
提问：通过观察,图形中这4个锐角大小有什么关系？两两分别相等学生思考，然后个别提问
提出问题，提问学生时帮助总结证明方法。问题：求证：∠ACD=∠A
证明：∵∠ACB=Rt∠
∴∠ACD+∠BCD=90°
∵CD⊥AB
∴∠A+∠ACD=90°
∴∠BCD=∠A(其它证法亦可)同学们思考，然后让一学生归纳方法。
板书：课题§4.2证明（3）
三、新课讲解
例51、指导学生，理解题意已知：如图，AD是ΔABC的高，E是AD上一点，若AD=BD，DE=DC，求证：∠1=∠C

审题，认真思考并且积极回答老师的提问
2、思考：证明两个角相等的方法有哪些？证明两个角的方法较多，如两条直线平行，同位角相等或内错角相等，在本题总结的过程中帮助学生引导∠1和∠C在两个三角形有什么特点。学生讨论，然后提问总结。
三、新课讲解
例53、教师帮助总结通过证明∠1与∠C所在的三角形全等通过提问学生总结方法
4、问：如何证明？在全等的证明过程中，已知两条件：AD=BD，DE=DC
通过AD是ΔABC的高，可证出∠ADC=∠BDE=Rt∠学生找已知条件和需证条件
5、给出解题步骤证明：∵AD是ΔABC的高
∴∠BDE=∠ADC=Rt∠
又∵BD=AD（已知）
DE=DC（已知）
∴ΔBDE≌ΔADC（SAS）
∴∠1=∠C（全等三角形的对应角相等）学生口述证题过程
四、课堂练习一学生完成练习一后，出示参考证明核对（略）已知：如图，在ΔABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠1=∠2，求证：∠B=∠ADE一学生在黑板上演示，其他学生在课本上完成练习。
五、新课讲解
例6显示例6（屏幕显示）
问：证明两直线平行的方法有哪些？
已知：AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，求证：EF∥BC审题后思考：证明两直线平行主要有哪些方法。
2、通过学生的回答，总结两直线平行的方法平行的证法较多，有时无从着手，但联系本题，需引导学生从结论出发进行思考。分组讨论，前面组回答，后面组补充总结
3、问，若在多条交流的河流下游发现河水被污染，该怎么找到污染源？总结出一条可行的方法——逆流而上寻找污染源。发挥学生的发散思维，让学生充分思考，尽情发挥。
4、联想本题，发生类比，从结论出发总结证明思路。
联系本题，让学生总结出逆流而上寻找证题思路。
5、出示证明过程证明：因为将纸片沿直线EF折叠后，点A与点D重合，所以EF是线段AD的对称轴。
∴EF⊥AD（对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段）
∵AD是ΔABC的高（已知）
∴BC⊥AD（三角形的高的定义）
∴EF∥AD（垂直于同一条直线的两直线平行）通过总结，完成证题
6、提出问题，让学生课外思考完成后上交。问：审题从结论出发，还有其它的解法让学生解一题多种，学生可以互相讨论。
六、课堂练习2出示（屏幕显示）已知：如图，AD∥BC，∠B=∠D，求证，ΔADC≌CBA
请写出分析和证明过程
学生仔细审题
要求学生用逆向思维的思考方式写出分析过程
学生独立完成，互相讨论，总结方法。
七、课堂小结问：这节我们学到了什么？1、会正确表述证明的过程
2、会判断如何证明角、边相等，两直线平行
3、学会用证明的两种思考方法，特别要体验逆向思维的必要性学生自由回答
八、作业布置1、完成课本“作业题”
2、预习下一节记录