矩形、正方形2。

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第四章四边形性质探索
４．矩形、正方形（二）

一．学生情况分析
学生已经学习了平行四边形的性质和判定，也学习了一种特殊的平行四边形——菱形的性质和判定，对于类似的问题有一定的学习精力、经验和感受，这将更有利于学生对本节课的学习。

二．教学任务分析
教学目标：
知识目标：
1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。
2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。
3.正确运用正方形的性质解题。
能力目标：
1.通过四边形的从属关系渗透集合思想。
2．在直观操作活动和简单的说理过程中，发展学生初步的合情推理能力、主动探究习惯，逐步掌握说理的基本方法。
情感与价值观
1.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点
教学重点：正方形的性质的应用．
教学难点：正方形的性质的应用．

三、教学过程设计
课前准备
教具准备:一个活动的平行四边形木框、白纸、剪刀．
学生用具：白纸、剪刀
教学过程设计分成四分环节：
第一环节：巧设情境问题，引入课题
第二环节：讲授新课
第三环节：新课小结
第四环节：布置作业

第一环节巧设情境问题，引入课题
进入正题，提出本节课的研究主题——正方形
第二环节讲授新课
主要环节
（1）呈现两种通过不同途径得到正方形的过程，给正方形下定义
（2）讨论正方形的性质
（3）通过练习加强对正方形性质的理解
（4）寻找平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的相互关系。
（5）寻找正方形的判定方法
目的：
1．正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形，因此想得到一个正方形，可以在矩形的基础上强化边的条件得到，也可以在菱形的基础上强化角的条件得到。于是在课上呈现这两种变化，为后面寻求平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系打下基础。
2．由于采用了两种正方形形成的方式，因此正方形的性质和判定方法都可以从中挖掘和发现。
大致教学过程
呈现一个平行四边形变成正方形的全过程．（演示）
由于平行四边形具有不稳定性，所以先把平行四边形木框的一个角变为直角，再移动一条短边，截成有一组邻边相等，此时平行四边形变成了一个正方形．
这个变化过程，可用如下图表示
由此可知：正方形是一组邻边相等的矩形．即：一组邻边相等的矩形叫做正方形．
这个平行四边形木框还可以这样变化：先移动一条短边，截成有一组邻边相等的平行四边形，再把一个角变成直角，此时的平行四边形也变成了正方形．
这个变化过程，也可用图表示
你能根据上面的变化过程，给正方形下定义吗？
一组邻边相等的平行四边形是菱形．正方形是一个角为直角的菱形，所以可以说：有一个角是直角的菱形叫做正方形．
由此可知：正方形是特殊的矩形，即是邻边相等的矩形，也是特殊的菱形，即是有一个角是直角的菱形．
因为正方形是平行四边形、菱形、矩形，所以它的性质是它们的综合，不仅有平行四边形的所有性质，也有矩形和菱形的特殊性质，即：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质．
正方形的性质：
边：对边平行、四边相等
角：四个角都是直角
对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

正方形是轴对称图形吗？如是，它有几条对称轴？
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，即：两条对角线，两组对边的中垂线．

例题
［例1］如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O，求∠AOB，∠OAB的度数．
分析：本题是正方形的性质的直接应用．正方形的性质很多，要恰当运用，本题主要用到正方形的对角线的性质，即正方形的轴对称性．
解：正方形ABCD是菱形，对角线AC，BD一定互相垂直，所以∠AOB=90°．正方形ABCD是矩形，又是菱形，所以：∠BAD=90°且对角线AC平分∠BAD，因此：∠OAB=45°

拿出准备好的剪刀、白纸来做一做
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？（学生动手折叠，想，剪切）
只要保证剪口线与折痕成45°角即可．因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形．

正方形是平行四边形、矩形、又是菱形，那么它们四者之间有何关系呢？
正方形、矩形、菱形及平行四边形四者之间有什么关系呢？
它们的包含关系如图：
JaB88.COM

此图给出了正方形的判别条件，即怎样判定一个平行四边形是正方形？
先判定一个四边形是平行四边形，再判定这个平行四边形是矩形，然后再判定这个矩形是菱形；或者先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形．
由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件不一样，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断．

第三环节课堂练习
教材随堂练习1，2

第四环节课时小结

正方形的定义：一组邻边相等的矩形．
正方形的性质与平行四边形、矩形、菱形的性质可比较如下：（出示小黑板）

第五环节课后作业
课本习题4.71，2，3．

四．教学设计反思
在教材中，并没有明确的给出正方形的判定定理。那么教师在课堂上应该帮助学生理清思路，使他们明确判定的方法。
为了实现这个目标，在本节课的开始，教师就采取了两种方式呈现正方形的形成过程，在直观上帮助学生认识了正方形与矩形、正方形与菱形之间的关系；在讲解正方形性质的过程中又再次强化了这种认识。通过层层铺垫，让学生明确矩形＋邻边相等就是正方形，菱形＋一个直角就是正方形，如何判定图形是矩形或是菱形，前面已经学习过，因此关于正方形的判定是需要一个条件一个条件“叠加”完成的。

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矩形、正方形1

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第四章四边形性质探索
总课时：12课时使用人：
备课时间：开学第一周上课时间：第七周
第6课时：4、4矩形、正方形（1）
教学目标：
知识与技能
1．掌握矩形的概念、性质和判别条件.
2．提高对矩形的性质和判别在实际生活中的应用能力.
过程与方法
经历探索矩形的性质和判别条件的过程，在直观操作活动和简单的说理过程中发展合情推理能力，主观探索习惯，逐步掌握说理的基本方法.
情感态度与价值观
在操作活动过程中，加深对矩形的的认识，以此激发学生的探索精神。

教学重点：本节课的重点是矩形的性质和常用判别方法的理解和掌握。
教学难点：本节课的难点是矩形的性质和常用判别方法的综合应用。
教学准备：
教具准备：像框；用四根木条制作一个平行四边形教具．
学生用具：皮筋，活动的平行四边形框架．
教学过程
第一环节巧设情境问题，引入课题（3分钟，学生观察思考）
给出活动的平行四边形教具，请学生观察当它的一个内角由锐角变为钝角的过程中，会形成怎样的特殊图形情况．（进行演示，如图）进而引入本节课的主题——矩形。（当然这一过程，也可以通过计算机演示）

第二环节讲授新课（35分钟，学生小组探究，全班交流）
主要环节：
（1）根据演示过程，请学生尝试给矩形下定义。
（2）寻找生活中的矩形。
（3）探索矩形的性质。
（4）通过练习，加强学生对矩形性质的理解。
（5）矩形的判定。
（6）从对称的角度再认识矩形。
1．矩形是学生比较熟悉的图形，小学甚至更早学生就已经接触到。但是当时对于矩形的理解和认识是停留在表象层面的，即提到矩形，学生往往联想到的是具体的图形和形象，不能离开实物去研究图形。随着学生的思维水平的提高，这里采取的动画的方式，请学生给矩形下定义，就是要让学生在直观从把握矩形的本质特征，从而将对矩形的理解上升到形式化的高度。
2．对矩形性质的探索，采用了类比的方式，在平行四边形性质的基础上加强条件。在讨论的过程中，进一步得到了直角三角形的一个性质（斜边上的中线等于斜边的一半）
3．通过将性质“反过来”的方法（逆命题），得到矩形的判定条件。

第（3）－（6）的主要过程：
拿出准备好的平行四边形活动框架，来做一做：
在一个平行四边形活动框架上，用两根像皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状：
（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
（2）当∠α是锐角时，两条对角线的长度有什么关系？当∠α是钝角时呢？
（3）当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时两条对角线的长度有什么关系？
（学生进行活动，探索矩形的性质）
当∠α是锐角或钝角时，两条对角线是不相等的．
当∠α是直角时，平行四边形变为矩形，这时两条对角线的长度相等．

归纳矩形的性质：（引导学生归纳，并体会矩形的“对称美”.）
1．矩形的对边平行且相等；
2．矩形的四个角都是直角；
3．矩形的对角线相等且互相平分；
4．矩形是轴对称图形.

［例1］如图在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm．
（1）判定△AOB的形状；
（2）求对角线的长。

分析：要判定△AOB的形状，由于∠AOB=60°，所以可考虑这个三角形是等边三角形．由矩形的性质知：OA=OB．即△AOB是全等三角形．由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，得出结论．
要求对角线的长可直接应用矩形的性质．
解：（1）在矩形ABCD中，对角线AC与BD互相平分且相等，于是OA=OB．
又∠AOB=60°，可知△AOB是等边三角形．
（2）OA=AB=4cm，DB=CA=2OA=8cm．
因此：对角线的长为8cm.

提问：对角线相等的平行四边形是怎样的四边形？为什么？与同伴交流．
（对角线相等的平行四边形是矩形．）
如图，在ABCD中，AB=CD，BD=AC，BC=BC∴△ABC≌△DCB（SSS）

∴∠ABC=∠DCB．
在ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°
∴2∠ABC=180°，即∠ABC=90°
∴ABCD是矩形．
∴对角线相等的平行四边形是矩形．
采用逆命题的方式得到矩形的一个判定方法，进一步总结矩形的两个判别方法：
１.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.

议一议：（展示问题，引导学生讨论解决.）
①矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？如果不是，简述你的理由.
②直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，你能用矩形的有关性质解释这结论吗？（进一步得到一个关于直角三角形的性质。）

第三环节新课小结:（2分钟，师生共同总结）
通过本节课的学习,你有什么收获?
第四环节课后作业习题4、6
A组（优等生）：1
B组（中等生）：1
C组（后三分之一生）：1
教学反思：

矩形和正方形

第四章四边形性质探索
４．矩形、正方形（一）

一、学生起点分析
学生已经学习了平行四边形的性质和判定，也学习了一种特殊的平行四边形——菱形的性质和判定，对于类似的问题有一定的学习精力、经验和感受，这将更有利于学生对本节课的学习。

二、教学任务分析
教学目标：
知识目标
1．掌握矩形的概念、性质和判别条件.
2．提高对矩形的性质和判别在实际生活中的应用能力.
能力目标
经历探索矩形的性质和判别条件的过程，在直观操作活动和简单的说理过程中发展合情推理能力，主观探索习惯，逐步掌握说理的基本方法.
情感与价值观
在操作活动过程中，加深对矩形的的认识，以此激发学生的探索精神。

教学重点：本节课的重点是矩形的性质和常用判别方法的理解和掌握。
教学难点：本节课的难点是矩形的性质和常用判别方法的综合应用。

三、教学过程
课前准备：
教具准备：像框；用四根木条制作一个平行四边形教具．
学生用具：皮筋，活动的平行四边形框架．
教学过程设计分成四分环节：
第一环节：巧设情境问题，引入课题
第二环节：讲授新课
第三环节：新课小结
第四环节：布置作业

第一环节巧设情境问题，引入课题
给出活动的平行四边形教具，请学生观察当它的一个内角由锐角变为钝角的过程中，会形成怎样的特殊图形情况．（进行演示，如图）进而引入本节课的主题——矩形。（当然这一过程，也可以通过计算机演示）

第二环节讲授新课
主要环节：
（1）根据演示过程，请学生尝试给矩形下定义。
（2）寻找生活中的矩形。
（3）探索矩形的性质。
（4）通过练习，加强学生对矩形性质的理解。
（5）矩形的判定。
（6）从对称的角度再认识矩形。
目的：
1．矩形是学生比较熟悉的图形，小学甚至更早学生就已经接触到。但是当时对于矩形的理解和认识是停留在表象层面的，即提到矩形，学生往往联想到的是具体的图形和形象，不能离开实物去研究图形。随着学生的思维水平的提高，这里采取的动画的方式，请学生给矩形下定义，就是要让学生在直观从把握矩形的本质特征，从而将对矩形的理解上升到形式化的高度。
2．对矩形性质的探索，采用了类比的方式，在平行四边形性质的基础上加强条件。在讨论的过程中，进一步得到了直角三角形的一个性质（斜边上的中线等于斜边的一半）
3．通过将性质“反过来”的方法（逆命题），得到矩形的判定条件。

第（3）－（6）的主要过程：
拿出准备好的平行四边形活动框架，来做一做：
在一个平行四边形活动框架上，用两根像皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状：
（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
（2）当∠α是锐角时，两条对角线的长度有什么关系？当∠α是钝角时呢？
（3）当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时两条对角线的长度有什么关系？
（学生进行活动，探索矩形的性质）
当∠α是锐角或钝角时，两条对角线是不相等的．
当∠α是直角时，平行四边形变为矩形，这时两条对角线的长度相等．

归纳矩形的性质：（引导学生归纳，并体会矩形的“对称美”.）
1．矩形的对边平行且相等；
2．矩形的四个角都是直角；
3．矩形的对角线相等且互相平分；
4．矩形是轴对称图形.

［例1］如图在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm．
（1）判定△AOB的形状；
（2）求对角线的长。

分析：要判定△AOB的形状，由于∠AOB=60°，所以可考虑这个三角形是等边三角形．由矩形的性质知：OA=OB．即△AOB是全等三角形．由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，得出结论．
要求对角线的长可直接应用矩形的性质．
解：（1）在矩形ABCD中，对角线AC与BD互相平分且相等，于是OA=OB．
又∠AOB=60°，可知△AOB是等边三角形．
（2）OA=AB=4cm，DB=CA=2OA=8cm．
因此：对角线的长为8cm.

提问：对角线相等的平行四边形是怎样的四边形？为什么？与同伴交流．
（对角线相等的平行四边形是矩形．）
如图，在ABCD中，AB=CD，BD=AC，BC=BC∴△ABC≌△DCB（SSS）

∴∠ABC=∠DCB．
在ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°
∴2∠ABC=180°，即∠ABC=90°
∴ABCD是矩形．
∴对角线相等的平行四边形是矩形．
目的：
采用逆命题的方式得到矩形的一个判定方法，进一步总结矩形的两个判别方法：
１.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
议一议：（展示问题，引导学生讨论解决.）
①矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？如果不是，简述你的理由.
②直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，你能用矩形的有关性质解释这结论吗？（进一步得到一个关于直角三角形的性质。）

第三环节新课小结:
通过本节课的学习,你有什么收获?
(师生共同从知识与鸶性思想方法两方面小结)

第四环节课后作业
（一）看课本
（二）课本习题4.6

四、教学设计反思
矩形和菱形一样都是在平行四边形的基础上，强化条件得到的。两者的地位是一样的，前者强化了角的条件，后者强化了边的条件。因此这两节课在处理方式上，在教学过程中，可以采取类似的方法。通过这种类似的方法，也让学生感受到数学上解决问题的常用的方式：可以通过类比，可以通过在类比的基础上强化条件等手段得到猜测。

《矩形、菱形、正方形》教案

《矩形、菱形、正方形》教案

【教学目标】
1．理解矩形的判定定理并会用矩形的判定定理证明一个四边形（平行四边形）是矩形．
2．了解两条平行线之间的距离的意义，并会求两条平行线之间的距离．
3．会有条理的思考与表达，并逐步学会分析与综合的思考方法．
4.经历矩形的三种判定方法的引导建模和自主建模过程。
【重、难点】
建模研究课六（市级公开课）：范波矩形判定教案2017.3.7（同题异构）重点：会用矩形的判定定理证明一个四边形（平行四边形）是矩形．
难点：综合运用矩形的性质定理与判定定理进行计算与证明．
【教学过程】
一、活动1
1、模型准备：一天,小丽和吴娟到一个商店准备给今天要过生日的肖华买生日礼物,选了半天,她们俩最后决定买相框送给她,在里面摆放她们三个好朋友的相片,为了保证相框摆放的美观性,她们选择了矩形的相框,那么她们是用什么方法可以知道她们拿的就是矩形相框呢?
2、模型构成与求解分析：度量角
抽象1：矩形的四个角都是直角，反过来，四个角（或三个角）都是直角的四边形是矩形吗？如果是，请给出证明．
已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°
求证：四边形ABCD是矩形。
证明：∵∠A=∠B=90°
∴∠A+∠B=180°
∴AD∥BC
同理可证：AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形
3、归纳总结：有三个角是直角的四边形是矩形.
追问：两个角是直角的四边形是矩形吗？为什么？
设计意图：从实际生活中遇到的问题出发，建模成数学问题，通过学生自主探索、思考、归纳，形成结论，再用结论解决实际问题。
二、活动2
1、学生自主建模：
除度量角度之外,她们需要度量什么也能知道做好的相框是矩形呢?
猜测（1）对角线相等的四边形是矩形吗？
猜测（2）当一个平行四边形框架扭动成矩形时，它的两条对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？如果是，请给出证明．
已知：平行四边形ABCD，AC=BD。
求证：四边形ABCD是矩形。
证明:∵AB=CD,BC=BC,AC=BD
∴△ABC≌△DCB（SSS）
∴∠ABC=∠DCB
∵AB//CD
∴∠ABC+∠DCB=180°
∴∠ABC=∠DCB=90°
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形
2、判断:（1）对角线互相平分且相等的四边形是矩形吗？
3、归纳总结：有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
设计意图：再次从实际生活中遇到的问题出发，从另一角度建模成数学问题，通过学生自主探索、思考、归纳，形成结论，再用结论解决实际问题。通过生活经验找出平行四边形与矩形对角线的区别。深化学生对“对角线相等的平行四边形是矩形。”的这一基本模型的理解。
三、模型验证与应用
（一）在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添
加的条件是_____________.(写出一种即可)
（二）.判断题
1、对角线相等的四边形是矩形。
2、对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
3、有一个角是直角的四边形是矩形。
4、四个角都是直角的四边形是矩形。
5、四个角都相等的四边形是矩形。
6、对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形。
7、对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。
设计意图：找区别，深化知识。提高学生辨别能力。提高判断能力，能用“说理”来得结论。提高学生“说”的能力。
（三）.说一说、练一练：
例1.如图，直线l1∥l2，A、C是直线l1上任意两点，AB⊥l2，CD⊥l2，垂足分别为B、D．线段AB、CD相等吗？为什么？
解：由AB⊥l2，CD⊥l2，
可知AB∥CD．
又因为l1∥l2，
所以四边形ABCD是矩形，
AB=CD．
定义、性质：
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离。两条平行线之间的距离处处相等。
练习：
在直线l1上任意取两点E、F，连接EB、ED、FB、FD。问：△EBD与△FBD的面积有何关系？为什么？
设计意图：通过学生应用新知解决问题后，理解两条平行线之间的距离的定义和性质，同时能进行简单的应用，进一步理解“同底等高”的内涵。
例2如图，在△ABC中，点D在AB上，且AD=CD=BD，DE、DF分别是∠BDC、
∠ADC的平分线。
问题1：这里有几个等腰三角形？它有什么特殊性质？
问题2：由DE、DF分别是∠BDC、∠ADC的平分线,你能想到什么？
建模研究课六（市级公开课）：范波矩形判定教案2017.3.7（同题异构）问题3：四边形FDEC是矩形吗？为什么？

练习.
已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，DE、DF分别是△BDC
△ADC的角平分线。求证：四边形DECF是矩形。

设计意图：“新知”与“旧知”的结合，题1做铺垫，为题2学生自主书写做
好准备。
a2431163
例3已知：如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，求证四边形EFGH是矩形．

变式:
已知：如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形
建模研究课六（市级公开课）：范波矩形判定教案2017.3.7（同题异构）
设计意图：在前一题的铺垫下，通过“变式”进一步提高学生应用新知的能力。
四、小结收获：
矩形判定口诀：任意一个四边形，三角直角定矩形。对于平行四边形，一个直角即可定；对线相等也矩形。
五、反馈练习：
1．下面说法正确的是（）
A．有一个角是直角的四边形是矩形；
B．有两条对角线相等四边形是矩形;
C．有一组对边平行，有一个内角是直角的四边形是矩形；
D．有两组对角分别相等，且有一个角是直角的四边形是矩形．
2．矩形的两条对角线的夹角为120°，矩形的宽为3，则矩形的面积为__________．
3．如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE=S△COE其中正确的结论有（）A．1个B．2个
C．3个D．4个