《角的平分线的性质（第2课时）》导学设计。

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《角的平分线的性质（第2课时）》导学设计

一、内容和内容解析

（一）内容

角的平分线的性质定理的逆定理．

（二）内容解析

本节课是学生在学习了角平分线的性质的基础上，进一步研究角平分线性质定理的逆命题是否正确．

教科书首先提出了一个具有实际背景的问题，在公路和铁路的交叉区域内建一个集贸市场，学习了角平分线的性质，学生可能猜想到集贸市场应建在公路和铁路夹角的平分线上．教科书没有直接给出答案，而是从另一个角度引导，将角的平分线的性质的题设和结论交换位置，所得到的结论是否仍然成立？这就引出了“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”．接着让学生利用三角形全等证明这个结论．

本节课学习的内容是全等三角形知识的运用和延续，是今后学习圆的内心的基础．

基于以上分析，本节课的教学重点是：角的平分线的性质定理的逆定理．

二、目标和目标解析

（一）目标

1．探索并证明角平分线性质定理的逆定理．

2．会用角平分线性质定理的逆定理解决问题．

（二）目标解析

达成目标1的标志是：学生能准确表述角平分线性质定理的逆定理的内容．能正确地写出已知、求证，能运用三角形全等的“HL”判定方法和三角形的性质证明角平分线的性质的逆定理．

达成目标2的标志是：学生能利用角的平分线的性质的逆定理证明与角相等的有关简单问题．

三、教学问题诊断分析

本节课的学习中，学生在分清角的平分线的判定的条件和结论，并进行严格的逻辑证明过程中常常感到困难．例如，在用符号语言表述判定条件和结论时，不知“距离”应为“条件”还是“结论”．其主要原因是角的平分线的判定是以文字命题的形式给出的，其条件和结论具有一定的隐蔽性．教学时，教师要引导学生分析性质中的条件和结论，正确写出已知和求证．

基于以上分析，本节课的教学难点是：证明角平分线的判定定理．

四、教学过程设计

（一）引言

上节课我们已经学习了角的平分线的性质，如果把它的题设和结论调换位置，得到的命题还是真命题吗？

【设计意图】通过实际问题，复习角平分线的性质定理．

（二）探索角平分线的判定定理

问题1写出角的平分线的性质的逆命题．

师生活动：教师提出问题，学生独立思考．

追问1：上述逆命题成立吗？你能证明这个结论的正确性吗？

已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．

求证：点Q在∠AOB的平分线上．

证明：∵QD⊥OA，QE⊥OB，

∴∠QDO和∠QEO都是直角．

在Rt△QDO和Rt△QEO中，

∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）．

∴∠QOD＝∠QOE．

∴点Q在∠AOB的平分线上．

师生活动：教师首先引导学生写出逆命题，分析命题的条件和结论，如果学生感到困难，可以让学生将命题写成“如果……那么……”的形式，最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，并独立完成证明过程．

角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

用几何语言表示为：

∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE，

∴点Q在∠AOB的平分线上．

师生活动：让学生分别用文字语言和符号语言概括角平分线的判定定理．

让学生理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合．

（1）角平分线上任意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性）．

（2）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平分线上（而不在其他位置，渗透集合的完备性）．

由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合．

问题2比较分析角平分线的性质和判定，填写下表：

角平分线的性质
角平分线的判定
图形
已知
结论

师生活动：学生独立完成表格，教师点评补充．

【设计意图】让学生通过观察、猜想、推理证明角平分线的判定定理，体会研究几何问题的基本思路．通过表格将角平分线的性质和判定进行比较，让学生体会类比的思想．反思判定，可以让学生进一步体会证明两个角相等可以利用角平分线的判定，比证两个三角形全等更简捷．

（三）巩固应用

1．如图，要在S区建一个广告牌P，使它到两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉处500m，请你帮忙设计一下，这个广告牌P应建于何处？（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）

分析：根据角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，可知点P在两条公路形成的夹角的平分线上，设公路的交点为点O，计算可知OP=2.5cm．

2．如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段．

证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，

∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，

∴PD＝PE．（角平分线上的点到角的两边的距离相等）

同理PF＝PE．

∴PD=PE=PF．

即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

追问：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？

∵PD=PF，PD⊥AB，PF⊥AC，

∴点P在∠A的平分线上．（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）

结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等．

3．如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．

分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点F到三边的垂线段．

证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M，

∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC，

∴FG＝FM．

又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC，

∴FM＝FH．

∴FG＝FH．

∴点F在∠DAE的平分线上．

师生活动：学生独立思考，然后小组交流，派代表回答，教师适时点拔，并板演证明过程．此时教师主要关注学生是否能够想到如何构造辅助线，并准确地描述辅助线的作法．

【设计意图】通过训练，提高学生运用角的平分线的性质和判定解决问题的能力，培养学生的推理能力．

（四）小结与反思

1．角平分线的性质定理和判定定理有什么区别和联系？

2．应用角平分线的性质定理和判定定理时，怎样做辅助线？

【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，建立知识之间的联系．

（五）课后作业WWw.Jab88.COm

教科书第50页练习第1、2题．

五、目标检测设计

1．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=50°，点D在AC上，AD=2cm，DE⊥BC于E，且DE=2cm，则∠ABD=

2．平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点有（）．

A．4个B．3个C．2个D．1个

3．如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD交BE于点E，求证：AE平分∠FAC．

扩展阅读

角平分线的性质（第1课时）教学设计

一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，大家在认真准备自己的教案课件了吧。只有制定教案课件工作计划，可以更好完成工作任务！你们了解多少教案课件范文呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“角平分线的性质（第1课时）教学设计”，供大家参考，希望能帮助到有需要的朋友。

11.3角平分线的性质（第1课时）

教学设计

教学目标：

知识与技能目标：

1、掌握作角的平分线和作直线垂线的方法

2、学握角平分线的性质

情感态度目标：

1、在探讨作角平分线的方法及角平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，

2、培养学生团结合作精神

教学重点：角平分线的性质

教学难点：探索作角平分线的过程

教学工具：多媒体课件。直尺，圆规等

教学过程设计

程序

教师活动

学生活动

设计意图

情境

引入

活动一：

问题：（1）在一张纸上任意画一个角，用剪子剪下，有折叠的方法，如何确定角的平分线？

O问题（2）工人师傅常用作角器来作角的平分线。请看图：

B

A

C

师：同学们：工人师傅这样操作得出的射线OA为什么是∠AOB的角平分线？

O

师；总结学生的思路，写出如下过程

在△AOC和△BOC中

A

B

∴△AOC≌△BOC（SSS）

C

∴∠AOC＝∠BOC

∴OC为∠AOB的角平分线

师：可见，这个作图示因为保证了两个条件：

1.OA＝OB

2.AC＝BC

所以作出来的射线OC是∠AOB的平分线！我们能否依据这个原理设计出一个作角平分线的方法呢？

学生实验用折纸的方法得到角的平分线。

回答问题，观看多媒体，

思考，回答问题

观看多媒体

分析，思考，想象。

1回忆角的平分线定义

2.掌握作角的平分线的简易方法。

复习己学知识点，为下面研究创造条件

训练书写数学语言

引出作角平分线的方法

讲授新知识

活动二：尺规作角的平分线

画法：

１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于N．

２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于1/2ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．

３．作射线ＯＣ．

M

C

A

B

O

N

师：有谁能通过作角平分线的方法作一条己知直线的垂线吗？

师收集学生的方案，总结一般方法。

出示多媒体，展示步骤。

A

O

B

E

D

P活动三：已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E

C求证:PD=PE

教师引导学生书写过程

O

B

A

P

C

D

E

∵OC平分∠AOB

∴∠AOC=∠BOC

又∵PD⊥OA，PE⊥OB

∴∠PDO＝∠PEO＝90°

在△PDO和△PEO中

∴△AOC≌△BOC（AAS）

∴PD＝PE

教师：板书：角平分线的性质定理：

O

B

A

P

C

D

E

角的平分线上的点到角的两边的距离相等

数学语言表述为：

∵OC平分∠AOB

PD⊥OA，PE⊥OB

∴PD＝PE

观看，回答问题

思考问题，

设计方案

思考，书写

记忆，理解

记忆，理解

解决实际问题

拓展学生思维

引导角平分线的性质定理

总结，规律化

规范语言，深化记忆定理

例题讲解

概括提高

例已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F

∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上

∴PD=PE

（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）

同理PE=PF.

∴PD=PE=PF.

D

E

F

A

B

C

P

M

N即点P到边AB、BC、CA的距离相等

练习：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．

Ｂ

Ａ

Ｃ

Ｄ

Ｅ

G

Ｐ

F

H证明：

∵BD平分∠CBG

PG⊥AGPH⊥BC

∴PH＝PG

同理PH＝PF

于是PH＝PF＝PG

本课小结：本课我们主要学习了两个内容

1.画一个已知角的角平分线及画一条已知直线的垂线；

2.角平分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

O

B

A

P

C

D

E

数学语言表述为：

∵OC平分∠AOB

PD⊥OA，PE⊥OB

∴PD＝PE

学生小组讨论，写出过程

学生思考，写出过程。

回答问题，概括整理

运用角平分线定理

运用定理，规范语言

加强记忆

作业布置

见配套练习

《角平分线的性质》导学案

《角平分线的性质》导学案
一、教学目标
（一）知识与技能
1.会作已知角的平分线；
2.了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质；
3.会利用角的平分线的性质进行证明与计算.
（二）过程与方法
在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.
（三）情感、态度与价值观
在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.
二、教学重点、难点
重点：角的平分线的性质的证明及应用；
难点：角的平分线的性质的探究.
三、教法学法
三步导学的教学模式；自主探索,合作交流的学习方式
四，教学过程：
(一）复习：
（1)点到直线的距离:P
ABCD
2.角平分线的概念：A
OC
3.根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
A
（二）新授
1.利用尺规作图：作出一只角的角平分线
A
MD
ONC
2.探究：
(1)折一折：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为直角边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
（2）画一画
画一∠AOB的角平分线OC,点P在OC上任意一点，取点P的三个不同位置，过P点做垂线段PD.PE。并测量PD.PE的长。将三次数据记录下来，你会有什么发现？
A
C
O
B
（3）理论证明：
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
求证:PD=PE

结论：角平分线上的点到角两边的距离相等
几何语言：
∵∠1=∠2,
PD⊥OA，
PE⊥OB（已知）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
实践应用
例。如图△ABC中的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB,BC,CA的距离相等，A
N
M
P
BC
三，当堂检测练习：
（1）下列描述对不对？
已知如图，AD平分∠BAC.DC⊥AC.DB⊥ABB
求证：DB=CD
证明：(1)∵AD平分∠BAC
∴DB=CDD
(2)∵DC⊥AC.DB⊥AB
∴DB=CD
（3)∵AD平分∠BAC
DC⊥AC.DB⊥ABAC
∴DB=CD
2.如图1，∠1=∠2,PD⊥OA.PE⊥OB，垂足分别是D.E。结论：（1）PD=PE
(2)0D=OE(3)∠DPO=∠EPO(4)PD=POA
D
正确的有：————————————————————————
P
O
EB
2.如图2，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E,且DE=5.8cm，BC=11.2cm，则BD=————————B
E
D
CA

角平分线的性质

为了促进学生掌握上课知识点，老师需要提前准备教案，大家在仔细规划教案课件。将教案课件的工作计划制定好，未来工作才会更有干劲！你们会写一段优秀的教案课件吗？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“角平分线的性质”，仅供参考，欢迎大家阅读。

教学目标
1.了解角平分线的性质，并运用其解决一些实际问题。
2.经历操作，推理等活动，探索角平分线的性质，发展空间观念，在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。

教材分析
重点：角平分线性质的探索。
难点：角平分线性质的应用。

教学方法：
预学----探究----精导----提升

教学过程
一创设问题情境，预学角平分线的性质
阅读课本P128-P129，并完成预学检测。

二合作探究
如图，OC为∠AOB的角平分线,P为OC上任意一点。
提问：
1.如何画出∠AOB的平分线？
2.若点P到角两边的距离分别为PD,PE，量一量，PD,PC是否相等？你能说明为什么吗？
让学生活动起来，通过测量，比较，得出结论。
教师鼓励学生大胆猜测，肯定它们的发现。

归纳：角平分线上任意一点到角两边的距离相等。

三想一想，巩固角平分线的性质
三条公路两两相交，为更好的使公路得到维护，决定在三角区建立一个公路维护站，那么这个维护站应该建在哪里？才能使维护站到三条公路的距离都相等？
三做一做，拓展课题
如图，P为△ABC的外角平分线上一点，且PE⊥AB,PD⊥AC，E,D分别是垂足，试探索BE与PB+PD的大小关系。
让学生充分讨论，鼓励学生自主完成。
教师归纳：
因为射线AP是△ABC的外角∠CAE平分线，
所以PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）
所以PB+PD=PB+PE
又PB+PE＞BE（三角形两边之和大于第三边）
所以PB+PD＞BE

思考：若CP也平分△ABC中的∠ACB的外角，则射线BP有怎样的性质？点P又有怎样的位置？

四课堂练习
课本P130练习

五小结
本节课学习了角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等，反过来，到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，三角形的三条角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。

六作业
1.课本P130习题A组T1,T2
2.基础训练同步练习。
3.选作拓展题。

七课后反思：
新旧教法对比：新教法更有利于培养学生合作学习的能力。
学生对于角平分线的性质可以倒背如流，但就是容易把到角两边的距离看错，在以后的教学中要多加强对距离的认识。

学案
学习目标：
1了解角平分线的性质。
2并运用角平分线的性质解决一些实际问题。

预学检测：
1角平分线上任意一点到相等。
2⑴如图，已知∠1=∠2，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别为E、F，则DE____DF．
⑵已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别
为E、F，且DE=DF，则∠1_____∠2．

学点训练：
1．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D．下列结论中错误的是()
A．PC=PDB．OC=OD
C．∠CPO=∠DPOD．OC=PC
2．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，
若AC=10cm，则△DBE的周长等于()
A．10cmB．8cmC．6cmD．9cm
巩固练习：
已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，
BD平分∠ABC．求证：BC=AB+AD

拓展提升：
如图，P为△ABC的外角平分线上一点，且PE⊥AB,PD⊥AC，E,D分别是垂足，试探索BE与PB+PD的大小关系。