八年级上册《三角形的边》学案。

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八年级上册《三角形的边》学案

一、内容和内容解析
1．内容
三角形中相关元素的概念、按边分类及三角形的三边关系．
2．内容解析
三角形是一种最基本的几何图形，是认识其他图形的基础，在本章中，学好了三角形的有关概念和性质，为进一步学习多边形的相关内容打好基础，本节主要介绍与三角形的的概念、按边分类和三角形三边关系，使学生对三角形的有关知识有更为深刻的理解．
本节课的教学重点：三角形中的相关概念和三角形三边关系．
本节课的教学难点：三角形的三边关系．
二、目标和目标解析
1．教学目标
（1）了解三角形中的相关概念，学会用符号语言表示三角形中的对应元素．
（2）理解并且灵活应用三角形三边关系．
2．教学目标解析
（1）结合具体图形，识三角形的概念及其基本元素．
（2）会用符号、字母表示三角形中的相关元素，并会按边对三角形进行分类．
（3）理解三角形两边之和大于第三边这一性质，并会运用这一性质来解决问题．
三、教学问题诊断分析
在探索三角形三边关系的过程中，让学生经历观察、探究、推理、交流等活动过程，培养学生的和推理能力和合作学习的精神．
四、教学过程设计
1．创设情境，提出问题
问题回忆生活中的三角形实例，结合你以前对三角形的了解，请你给三角形下一个定义．
师生活动：先让学生分组讨论，然后各小组派代表发言，针对学生下的定义，给出各种图形反例，如下图，指出其不完整性，加深学生对三角形概念的理解．
【设计意图】三角形概念的获得，要让学生经历其描述的过程，借此培养学生的语言表述能力，加深学生对三角形概念的理解．
2．抽象概括，形成概念
动态演示“首尾顺次相接”这个的动画，归纳出三角形的定义．
师生活动：
三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
【设计意图】让学生体会由抽象到具体的过程，培养学生的语言表述能力．
补充说明：要求学生学会三角形、三角形的顶点、边、角的概念以及几何表达方法．
师生活动：结合具体图形，教师引导学生分析，让学生学会由文字语言向几何语言的过渡．
【设计意图】进一步加深学生对三角形中相关元素的认知，并进一步熟悉几何语言在学习中的应用．
3．概念辨析，应用巩固
如图，不重复，且不遗漏地识别所有三角形，并用符号语言表示出来．
1．以AB为一边的三角形有哪些？
2．以∠D为一个内角的三角形有哪些？
3．以E为一个顶点的三角形有哪些？
4．说出ΔBCD的三个角．
师生活动:引导学生从概念出发进行思考，加深学生对三角形中相关元素概念的理解．
4．拓广延伸，探究分类
我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，如果要按照边的大小关系对三角形进行分类，又应该如何分呢？小组之间同学进行交流并说说你们的想法．
师生活动：通过讨论，学生类比按角的分类方法按边对三角形进行分类，接着引出等腰三角形及等边三角形的概念，引导学生了解等腰三角形与等边三角形的联系，强化学生对三角形按边分类的理解．
三角形按边分类：
【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生分类讨论和归纳概括的能力，加深学生对三角形按边分类的理解．
5．联系实际，突破难点
情境引入：如右图三角形中，假设有一只小虫要从点B出发沿着三角形的边爬到点C，它有几条路线可选择？各条路线的长一样吗？
师生活动：引导学生讨论分析，得到两条路线：
（1）B直接到C即BC；
（2）先由B到A再到C即BA+AC．
显然，路线（1）中的BC要短一些，即：BCBA+AC．（为什么？一定要学生给出依据：两点间线段最短）
最后，师生共同得到：
BCAB+ACACAB+BCABAB+AC
即三角形的两边之和大于第三边．
【设计意图】根据“两点之间线段最短”这一几何公理，推理出三角形任意两边之和大于第三边，让学生亲历知识的形成过程，同时加深对“三角形两边之和大于第三边”的理解．
6．应用巩固
例用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？
解：（１）设底边长为xcm，则腰长为2xcm．
x+2x+2x=18．
解得x＝3.6．
所以，三边长分别为3.6cm，7.2cm，7.2cm．
（2）因为长为4的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论．
如果4cm长的边为底边，设腰长为xcm，
则4+2x=18
解得x＝7．
如果4cm长的边为腰，设底边长为xcm，
则2×4+x=18
解得x＝10．
因为4+410，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长是4的等腰三角形．
由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形．
引导学生通过解决这样的应用问题，特别是（2）中思想方法，让学生学会什么情况下要用到分类讨论的思想，并通过问题的解答过程加深对三角形三边关系理解．
【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用知识的能力，培养学生分类讨论的数学思想，还能突破难点加深学生对三角形三边关系的理解，一举多得．
补充说明：应用三角形的三边关系时要灵活应变，最简洁的方法只需判断两小边之和大于最大边即可组成三角形．
师生活动：结合具体图形，教师引导学生分析，活学活用．
7．总结反思
教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题．
（1）三角形的定义？三角形的相关元素的概念（边、顶点、角）？三角形的表示方法．
（2）三角形按边的分类．
（3）三角形三边之间的关系．
师生活动：教师引导，学生小结．
【设计意图】学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重难点．
8．布置作业
教科书第8页第1，2题．

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11.1.1　三角形的边

为了促进学生掌握上课知识点，老师需要提前准备教案，大家正在计划自己的教案课件了。只有规划好教案课件计划，这样我们接下来的工作才会更加好！有哪些好的范文适合教案课件的？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“11.1.1　三角形的边”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

11.1.1三角形的边

【教学目标】
1.了解三角形的概念及分类，学会用符号语言表示三角形.
2.通过具体的实践活动理解三角形三边的不等关系.
【重点难点】
重点：1.了解三角形的概念及分类.
2.通过具体的实践活动，理解三角形三边的不等关系.
难点：1.在具体的图形中不重复，且不遗漏地识别所有三角形.
2.三角形三边不等关系的应用.

┃教学过程设计┃
教学过程设计意图
一、创设情境，导入新课
问题1：出示教材第1页图片，你能找到哪些我们熟悉的图形？
学生回答：三角形、四边形等.
问题2：在小学，我们学过三角形，你了解三角形的哪些性质？通过展示现实生活中建筑物的图片，让学生从常见图形入手，降低知识难度，激发学生自主学习的兴趣和积极性，并引入新课.
二、师生互动，探究新知
1.观察三角形的构成，探索三角形的概念
问题1：你能画出一个三角形吗？
让学生画出三角形，直观感受三角形的构成.
问题2：结合你画的三角形，说明三角形是由什么组成的？
学生回答：三角形是由三条线段组成的.
问题3：什么叫三角形？
学生回答，教师归纳：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2.自主学习三角形的表示方法及分类
阅读教材第2页到第3页探究前内容，回答下列问题.
问题1：根据右图回答以下问题：
(1)在三角形中，什么叫边？什么叫内角？什么叫顶点？
(2)如何用符号表示三角形ABC?
(3)如何用小写字母表示三角形ABC的三条边？
学生回答：三角形边、内角、顶点的概念.三角形ABC用符号表示为△ABC.△ABC的边AB为∠C所对的边，可以用顶点C的小写字母c表示，同样，边AC可用b表示，边BC可用a表示.
问题2：如果将三角形分类，按照边的关系可以分成几类？按照角的关系又如何分类呢？
学生回答：三角形按照“有几条边相等”可以分为：
3.通过观察实践，理解三角形三边关系
问题1：任意画一个△ABC，假设有一只小虫从点B出发，沿三角形的边爬到点C，它有几条线路可以选择？各条线路的长一样吗？
学生回答：小虫从点B出发沿三角形的边爬到点C有2条线路：(1)从B→C，即线段BC的长；(2)从B→A→C，即线段BA与线段AC长之和：BA＋AC.
经过测量可得BA＋AC＞BC，所以这两条线路的长不一样.
根据“两点的所有连线中，线段最短”，说明BA＋AC＞BC.
问题2：联系三角形的三边，从问题1中你可以得到怎样的结论？
学生回答：三角形两边的和大于第三边.

本环节设计了阶梯式的问题，引导学生经历了动手画图、回顾旧知、归纳总结三个过程.在归纳总结时，要留给学生一定的时间进行思考和归纳，教师也要适时进行引导和强调.

自学三角形的表示方法，并能在具体的图形中不重不漏地识别所有三角形.在表示方法上要注意：在表示△ABC时，三个顶点字母A，B，C的顺序可以

改变，所以△ABC，△ACB，△BAC，△BCA，△CAB，△CBA表示的是同一个三角形.同时，要让学生明白，并不是所有的图形都可以用符号表示，目前只有角和三角形可以分别用“∠”和“△”表示.对于三角形的分类，教师要加以引导，启发学生进行思考.

通过观察与实践，经历猜想与推论的过程，理解三角形三边的不等关系.在探究问题的时候，教师要留给学生一定的时间进行思考和讨论，同时要引导并启发学生运用各种不同的方法说明结论的正确性.
三、运用新知，解决问题
1.三角形是指()
A.由三条线段所组成的封闭图形
B.由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形
C.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形
D.由三条线段首尾顺次相接组成的图形
2.有三根木棒的长度分别为3cm，6cm和4cm，用这些木棒能否围成一个三角形？为什么？通过渐进式的练习，帮助学生从基础出发，进一步加深对三角形的认识，形成初步技能.
四、课堂小结，提炼观点
1.本节课你学习了什么？
2.本节课你有哪些收获？围绕两个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获.可以让学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，加强反思、提炼及知识的归纳，纳入自己的知识结构的能力.
五、布置作业，巩固提升
1.必做题：教材第8页第1、2题.
2.选做题：教材第8页第6、7题.

【板书设计】
三角形的边
三角形的概念三角形的分类练习
三边关系定理解析
【教学反思】
本节的知识内容是在学生已经学习了一部分有关三角形的知识的基础上，对三角形进行更深入的研究.在教学过程中，教师不断引导学生以已有的知识为出发点进行深入思考，从而发现问题.
在教学设计上，注重学生自主学习、独立思考，注重交流合作，让学生利用自己已有的知识，在独立思考与交流合作中进行更深入的探究，使学生在经历整个探究过程后，能够更深入地理解和掌握三角形的概念及三边的关系，并获得数学活动的经验，提高探究能力和发现问题的能力.

八年级上册《全等三角形》学案

八年级上册《全等三角形》学案

课题
12.1全等三角形
课时
课程标准
理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角
修改点
教材分析
本节是这一章的第一节，这是全章的开篇，也是全等的基础，通过本节的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其他图形打好基础，具有承上启下的作用。
课堂目标
知识与技能1、了解全等形和全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质。2、能正确表示两个全等三角形，能找出全等三角形的对应元素。
过程与方法通过观察、拼图以及三角形的平移、旋转和翻折等活动，来感知两个三角形全等，以及全等三角形的性质。
情感态度与价值观通过全等形和全等三角形的学习，认识和熟悉生活中的全等图形，认识生活和数学的关系，激发学生学习数学的兴趣。
学情分析
学生在七年级学习了线段、角、平行线、以及三角形的相关知识，已初步具有简单图形的分析和辨识能力，八年级学生处于以形象思维为主要思维形式的时期。
学法指导
自主探究——观察思考——得出结论
教学重点
探究全等三角形的性质
教学难点
正确地识别全等三角形的对应元素以及全等三角形性质的熟练应用
教具
PPT，三角板
教学过程
教学
环节
教师活动
学生活动
设计意图
修改点
一、情景导入
二、新课讲授

全等三角形教学设计

三、例题讲解

三、课堂练习
三、小结
活动1：观察下列图案，指出这些图案中形状与大小相同的图形
探究
（1）两张纸重合后剪纸，得到的两个图形大小、形状相同。它们能重合吗?
（2）同一张底片洗出的两张尺寸相同的照片大小、形状相同。
它们能重合吗?
概念：
能够完全重合的两个图形称为全等形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
观察思考：
(1)把△ABC沿直线BC平移得到△DEF
(2)把△ABC沿直线BC翻折180度，得到△DBC
(2)把△ABC绕点A旋转，得到
△ADE
各图中的三角形全等吗？
结论：平移、翻折、旋转前后的图形全等。
全等三角形的相关元素：
全等三角形教学设计（1）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
（2）“全等”用符号“≌”表示：
记作△ABC≌△DEF
注意：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
几何语言：
∵△ABC≌△DFE
∴AB=DF,BC=FE,AC=DE
∴∠A=∠D,∠B=∠F,
∠C=∠E。
例1：找出下列图中一对全等三角形的对应边、对应角。
总结：寻找对应元素的规律
（1）有公共边的，公共边是对应边；
（2）有公共角的，公共角是对应角；
（3）有对顶角的，对顶角是对应角；
（4）最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角；
（5）对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角；
（6）根据书写规范，按照对应顶点找对应边或对应角。
例2：如图,△ABD≌△EBC，
全等三角形教学设计

1、请找出对应边和对应角.
2、AB=3cm,BC=5cm,求BE、BD的长.
3、如果AB=3cm,DE=2cm,求BC的长.
课本P32第2题，P33第1,2,3题
谈收获
学生举例类似于生活中这样的图形
类比给出全等三角形的定义

全等三角形教学设计

让学生自己找到全等三角形的对应边、对应角、对应顶点

练习本上书写全等符号
几何语言的表述
教师板书

小组讨论
观察总结

学生口述
教师板书

总结知识点
让学生体验数学来源于生活，生活中处处有数学，

利用多媒体动画演示，让学生观察前后的图形特征

加强学生的几何语言表述

培养学生的合作意识

新知识的提升应用
板
书
设
计
12.1全等三角形
一、情景导入五、例题讲解
二、全等形、全等三角形的定义六、课堂练习
三、全等三角形的相关元素七、小结
四、全等三角形的性质
堂清内容:
1、全等形及全等三角形的概念
2、全等三角形的对应元素
3、全等三角形的性质
教学反思：
作业设计:
正式作业：课本P33第4,5题
家庭作业：绩优

三角形的边与角

第九讲三角形的边与角
三角形是最基本的图形之一，是研究其他复杂图形的基础，三角形的三边相互制约，三个内角之和为定值，边与角之间有密切的联系(如大角对大边、大边对大角等)，反映三角形的边与角关联的基本知识有：三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段。角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用．
解与三角形的边与角有关的问题时，往往要用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法(方程、不等式)解几何计算题及简单的证明题，按边或角对三角形进行分类．
熟悉以下基本图形、并证明基本结论：
(1)∠l＋∠2=∠3+∠4；
(2)若BD、CO分别为∠ABC、∠ACB的平分线，则∠BOC=90°+∠A；
(3)若BO、CO分别为∠DBC、∠ECB的平分线，则∠BOC=90°－∠A；
(4)若BE、CE分别为∠ABC、∠ACD的平分线，则∠E=∠A．

注：中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，它们的差别在于高随着三角形形状的不同，可能在三角内部、边上或外部．
代数法解几何计算问题的基本思路是通过设元，运用几何知识建立方程(组)、不等式(组)，将问题转化为解方程(组)或解不等式(组)．
例题求解
【例1】在△ABC中，三个内角的度数均为整数，且∠A∠B∠C，4∠C＝7∠A，则∠B的度数为．(北京市竞赛题)
思路点拨设∠C＝x°，根据题设条件及三角形内角和定理把∠A、∠B用x的代数式表示，建立关于x的不等式组．
【例2】以1995的质因数为边长的三角形共有()
A．4个B．7个C．13个D．60个
(河南省竞赛题)
思路点拨1995=3×5×7×19，为做到计数的准确，可将三角形按边分类，注意三角形三边应满足的关系制约．
【例3】(1)如图，BE是∠ABD的平分线．CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小．
(“希望杯”邀请赛试题)
(2)在△ABC中，∠A=50°，高BE、CF交于O，且O不与B、C重合，求∠BOC的度数．(“东方航空杯”——上海市竞赛题)
思路点拨(1)运用凹边形的性质计算．(2)由O不与B、C重合知，∠B、∠C均非直角，这样，△ABC既可能是锐角三角形又可能是钝角三角形，故应分两种情况讨论．
【例4】周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个?
(2003年河南省竞赛题)
思路点拨不妨设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c，由三角形三边关系定理及题设条件可确定c的取值范围，以此作为解题的突破口．
注如图，在凹四边ABCD中，∠BDC=∠A＋∠B＋∠C．请读者证明．
解所研究的问题的图形形状不惟一或几何固形位置关系不确定或与分类概念相关的命题时．往往用到分类讨论法．

【例5】(1)用长度相等的100根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数．
(大原市竞赛题)
(2)现有长为150cm的铁丝，要截成n(n2)小段，每段的长为不小于l㎝的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段．
(第17届江苏省竞赛题)
思路点拨(1)设三角形各边需用火柴杆数目分别为x、y、3x，综合运用题设条件及三角形边的关系等知识，建立含等式、不等式的混合组，这是解本例的突破口．
(2)因n段之和为定值150㎝，故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能小，这样依题意可构造一个数列．
学力训练
1．若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形的最大内角的度数是．
(2003年河南省竞赛题)
2．一条线段的长为a，若要使3a—l，4a+1，12－a这三条线段组成一个三角形，则a的取值范围是．
3．如图，在△ABC中，两条角平分线CD、BE相交于点F，∠A＝60°，则∠DFE＝度．

4．如图，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，则∠DCE＝．
(用α、β表示)．(山东省竞赛题)
5．若a、b、c为三角形的三边，则下列关系式中正确的是()
A．B．
C．D．
(江苏省竞赛题)
6．△ABC的内角A、B、C满足3A5B，3C≤2B，则这个三角形是()
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
7．如图，△ABC内有三个点D、E、F，分别以A、B、C、D、E、F这六个点为顶点画三角形，如果每个三角形的顶点都不在另一个三角形的内部，那么，这些三角形的所有内角之和为()
A．360°B．900°C．1260°D．1440°(重庆市竞赛题)

8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠C的平分线与∠B的外角平分线交于E点，连结AE，则∠AEB是()
A．50°B．45°C．40°D．35°(山东省竞赛题)
9．如图，已知∠3＝∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D＝180°．
10．如图，已知射线ox与射线oy互相垂直，B，A分别为ox、oy上一动点，∠ABx、∠BAy的平分线交于C．
问：B、A在ox、oy上运动过程中，∠C的度数是否改变?若不改变，求出其值；若改变，说明理由．

11．已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但它不是最短边，这样的三角形共有个．
12．三角形的三个内角分别为α、β、γ，且α≥β≥γ，α=2γ，则β的取值范围．
13．已知△ABC的周长是12，三边为a、b、c，若b是最大边，则b的取值范围是．
14．如图，E和D分别在△ABC的边BA和CA的延长线上，CF、EF分别平分∠ACB和∠AED，若∠B＝70°，∠D=40°，则∠F的大小是．
15．已知△ABC中，∠B=60°，∠C∠A，且(∠C)2＝(∠A)2+(∠B)2，则△ABC的形状是()
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
(“希望杯”邀请赛试题)
16．不等边三角形中，如果有一条边长等于另外两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是()
A．B．C．1k2D．
17．已知三角形的三边的长a、b、c都是整数，且a≤bc，若b=7，则这样的三角形有()
A．14个B．28个C．21个D．49个
18．如果三角形的一个外角大于这个三角形的某两个内角的2倍，那么这个三角形一定是()
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．直角或钝角三角形
19．如图，已知DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M＝33°，求∠C的度数．

20．不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．
(美国数学邀请赛试题)
21．将长度为2n(n为自然数，且n≥4)的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记(a，b，c)为三边的长，且满足a≤b≤c的一个三角形．
(1)就n＝4，5，6的情况，分别写出所有满足题意的(a，b，c)；
(2)有人根据(1)中的结论，便猜想：当铅丝的长度为2n(n为自然数且n≥4)时，对应(a，b，c)的个数一定是n－3，事实上，这是一个不正确的猜想，请写出n＝12时的所有(a，b，c)，并回答(a，b，c)的个数；
(3)试将n=12时所有满足题意的(a，b，c)，按照至少两种不同的标准进行分类．
(河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)
22．阅读以下材料并填空．
平面上有n个点(n≥2)，且任意三个点不在同一条直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线?
(1)分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；有5个点时，可连成l0条直线……
(2)归纳：考察点的个数n和可连成直线的条数S发现：
(1)分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3．条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成1O条直线；
(2)归纳：考察点的个数n和可连成直线的条数Sn，发现：
点的个数可连成直线条数
21=S2=
33=S3=
46=S4=
510=S5=
…………
n
(3)推理：平面上有n个点，两点确定一条直线．取第一个点以有n种取法，取第二个点B有(n－1)种取法，所以一共可连成n(n－1)条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2，即Sn=．
(4)结论：Sn=．
试探究以下问题：平面上有n(n≥3)个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少不同的三角形?
(1)分析：当仅有3个点时，可作个三角形；当有4个点时，可作个三角形；当有5个点时，可作个三角形．
(2)归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数Sn,发现：(填下表)
点的个数可连成三角形个数
3
4
5
…
n

(3)推理：
(4)结论：
(甘肃省中考题)