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小学三角形教案

发表时间：2020-12-08

相似三角形中的探索性问题导学案。

学生们有一个生动有趣的课堂，离不开老师辛苦准备的教案，是认真规划好自己教案课件的时候了。认真做好教案课件的工作计划，才能更好的在接下来的工作轻装上阵！你们清楚有哪些教案课件范文呢？以下是小编为大家收集的“相似三角形中的探索性问题导学案”希望能为您提供更多的参考。

相似三角形中的探索性问题
探索性问题一般没有明确结论，没有固定的形式或方法，要求通过观察、分析、比较、概括，得出结论，形式方法和思路的数学问题，这类题是考查分析和解决问题的能力的重要题型，它可以分三类：
1、条件探索性问题
条件探索性问题是指所给问题中结论明确，而需完备使结论成立的条件的题目，这类问题大致有两种：⑴问题中的条件未知或不足需要探求；⑵条件多余或有错，要求排除或修正.
例1：(烟台)如图1,请你补充一个你认为正确的条件,使△ABC∽△ACD:__________.
解析:此题考查的是三角形相似的判定,根据图形要充分利用图形的已知条件,∠A为公共角,故再有一个条件即可,∠ADC=∠C或.
例2：（乐山）已知：如图2，在边长为a的正方形ABCD中，M是边AD的中点，能否在边AB上找到点N（不含A、B）,使得△CDM与△MAN相似？若能，请给标明；若不能，请说明理由.
解析:本题考查三角形相似的判定,图中已经具备两个条件:∠D=∠A,∵M是边AD的中点，∴DC=DA=2AM,∴,若使得△CDM与△MAN相似,只需,这样根据两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似来判断.此时有,所以当时,△CDM∽△BMD.
2、结论探索性问题
它是指题目结论不确定，不惟一，或题目结论需要通过类比引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论.
例3:(双柏县)如图3,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
⑴填空:∠ABC=_______,BC=______;
⑵判断△ABC与△DEF是否相似,并证明你的结论.
解析：⑴∠ABC=,BC=.
⑵能判断△ABC与△DEF是相似(或△ABC∽△DFE)
这是因为∠ABC=∠DEF=,
∵,∴,
∴△ABC∽△DFE.WWw.Jab88.cOM

例4:(上海)某社区拟筹资金2000元,计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地种植花木（如图4）他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由.
解析：梯形ABCD中，∵AD∥BC∴△AMD∽△BMD，∵AD=10，BC=20，
∴∵∴.
还需要资金200×10=2000（元）,而剩余资金为2000-500=1500＜2000，所以资金不够用.
3、探索存在性问题
存在性问题是指在一定的条件下，探索某种数学对象是否存在的问题.
例5:如图5,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3cm,BC=7cm,∠B=,P为下底BC上一点(不与B、C重合)，连结AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B.
⑴求证:△ABP∽△PCE;
⑵求等腰梯形的腰AB的长;
⑶在底边BC上是否存在一点P,使得DE:EC=5:3,如果存在,求BP的长;如果不存在,请说明理由.
解析:考查相似三角形的性质、判定、等腰三角形的性质.⑴易证∠B=∠C,再利用外角证,∠EPC=∠BAP,得△ABP∽△PCE.⑵过点A作AF⊥BC于F,易求得BF=,进一步可求AB.⑶假设P存在,由△ABP∽△PCE可计算出BP长,确定P点位置,再验算.
答案:⑴证明由∠APC为△ABP的外角得,∠APC=∠B+∠BAP,又∵∠B=∠APE,∴∠EPC=∠BAP.又∠B=∠C,∴△ABP∽△PCE.
⑵过A作AF⊥BC于F,由已知易求得BF=.
在Rt△ABF中,∠B=,BF=2,∴AB=4cm.
⑶存在这样的点P,理由如下:
由DE:EC=5:3,DE+EC=DC=4,得EC=cm..
设BP=x,则PC=7-x,由△ABP∽△PCE可得:即
解得

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中考数学探索性问题专题复习导学案

为了促进学生掌握上课知识点，老师需要提前准备教案，又到了写教案课件的时候了。只有规划好教案课件计划，就可以在接下来的工作有一个明确目标！你们了解多少教案课件范文呢？以下是小编为大家精心整理的“中考数学探索性问题专题复习导学案”，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

第二轮复习探索性问题

Ⅰ、综合问题精讲：

探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．

探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识．经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直

角三角形等．其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力．

Ⅱ、典型例题剖析

【例1】如图2－6－1，已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)如图2－6－2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作轴的垂线，垂足分别为S、R．

①求证：PB＝PS；

②判断△SBR的形状；

③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．

⑴解：方法一：∵B点坐标为(0，2)，∴OB＝2，

∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4.

∴C点坐标为(一2，2)．F点坐标为(2，2)。

设抛物线的解析式为．

其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2)。

得解得

∴此抛物线的解析式为

方法二：∵B点坐标为(0，2)，∴OB＝2，

∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4.

∴C点坐标为(一2，2)。

根据题意可设抛物线解析式为。

其过点A(0，1)和C(-2．2)

解得

此抛物线解析式为

(2)解：

①过点B作BN，垂足为N．

∵P点在抛物线y=+l上．可设P点坐标为．∴PS＝，OB＝NS＝2，BN＝。∴PN=PS—NS=在RtPNB中．

PB2＝

∴PB＝PS＝

②根据①同理可知BQ＝QR。

∴，

又∵，

∴，

同理SBP＝∠B

∴

∴∴.

∴△SBR为直角三角形．

③方法一：设，

∵由①知PS＝PB＝b．，。∴

∴。假设存在点M．且MS＝，别MR＝。若使△PSM∽△MRQ，

则有。即

∴。∴SR＝2

∴M为SR的中点.若使△PSM∽△QRM，

则有。∴。

∴。

∴M点即为原点O。

综上所述，当点M为SR的中点时．PSM∽ΔMRQ；当点M为原点时，PSM∽MRQ．

方法二：若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点三角形相似，

∵，

∴有PSM∽MRQ和PSM∽△QRM两种情况。

当PSM∽MRQ时．SPM＝RMQ，SMP＝RQM．

由直角三角形两锐角互余性质．知PMS+QMR＝90°。∴。

取PQ中点为N．连结MN．则MN＝PQ=．

∴MN为直角梯形SRQP的中位线,

∴点M为SR的中点当△PSM∽△QRM时，

。又，即M点与O点重合。∴点M为原点O。

综上所述，当点M为SR的中点时，PSM∽△MRQ；当点M为原点时，PSM∽△QRM。

点拨：通过对图形的观察可以看出C、F是一对关于y轴的对称点，所以（1）的关键是求出其中一个点的坐标就可以应用三点式或y=ax2+c型即可．而对于点P既然在抛物线上，所以就可以得到它的坐标为（a，14a2+1）．这样再过点B作BN⊥PS．得出的几何图形求出PB、PS的大小．最后一问的关键是要找出△PSM与△MRQ相似的条件．

【例2】探究规律：如图2－6－4所示，已知：直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点．

（1）请写出图2－6－4中，面积相等的各对三角形；

（2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有________与△ABC的面积相等．理由是：_________________.

解决问题：如图2－6－5所示，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图2－6－6所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（2－6－6中折线CDE）还保留着；张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积）．

（1）写出设计方案．并画出相应的图形；

（2）说明方案设计理由．

解：探究规律：（l）△ABC和△ABP，△AOC和△BOP、△CPA和△CPB．

（2）△ABP；因为平行线间的距离相等，所以无论点P在m上移动到任何位置，总有△ABP与△ABC同底等高，因此，它们的面积总相等．

解决问题：⑴画法如图2－6－7所示．

连接EC，过点D作DF∥EC，交CM于点F，连接EF，EF即为所求直路位置．

⑵设EF交CD于点H，由上面得到的结论可知：

SΔECF=SΔECD，SΔHCF=SΔEDH，所以S五边形ABCDE=S五边形ABCFE，S五边形EDCMN=S四边形EFMN．

点拨：本题是探索规律题，因此在做题时要从前边问题中总结出规律，后边的问题要用前边的结论去一做，所以要连接EC，过D作DF∥EC，再运用同底等高的三角形的面积相等．

【例3】如图2－6－8所示，已知抛物线的顶点为M（2，－4），且过点A(－1,5)，连结AM交x轴于点B．

⑴求这条抛物线的解析式；

⑵求点B的坐标；

⑶设点P（x，y）是抛物线在x轴下方、顶点M左方一段上的动点，连结PO，以P为顶点、PQ为腰的等腰三角形的另一顶点Q在x轴上，过Q作x轴的垂线交直线AM于点R，连结PR．设面PQR的面积为S．求S与x之间的函数解析式；

⑷在上述动点P（x，y）中，是否存在使SΔPQR=2的点？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）因为抛物线的顶点为M（2，－4）

所以可设抛物线的解析式为y=（x－2）2－4．

因为这条抛物线过点A（－1，5）

所以5=a(－1－2)2－4．解得a=1．

所以所求抛物线的解析式为y=（x—2）2－4

（2）设直线AM的解析式为y=kx+b．

因为A（－1，5）,M（2，－4）

所以，

解得k=－3，b=2．

所以直线AM的解析式为y=3x＋2．

当y=0时，得x=23，即AM与x轴的交点B（23,0）

（3）显然，抛物线y=x2－4x过原点(0，0〕

当动点P（x，y）使△POQ是以P为顶点、PO为腰且另一顶点Q在x轴上的等腰三角形时，由对称性有点Q（2x，0）

因为动点P在x轴下方、顶点M左方，所以0＜x＜2．

因为当点Q与B（23，0）重合时，△PQR不存在，所以x≠13，

所以动点P（x，y）应满足条件为0＜x＜2且x≠13，

因为QR与x轴垂直且与直线AM交于点R，

所以R点的坐标为（2x，－6x+2）

如图2－6－9所示，作PH⊥OR于H，

则PH=

而S=△PQR的面积=12QRPH=12

下面分两种情形讨论：

①当点Q在点B左方时，即0＜x＜13时，

当R在x轴上方，所以－6x＋2＞0．

所以S=12（－6x＋2）x=－3x2+x；

②当点Q在点B右方时，即13＜x＜2时

点R在x轴下方，所以－6x＋2＜0．

所以S=12x=3x2－x；

即S与x之间的函数解析式可表示为

（4）当S=2时，应有－3x2+x=2，即3x2－x+2=0，

显然△＜0，此方程无解．或有3x2－x=2，即3x2－x－2=0，解得x1=1，x2＝－23

当x=l时，y=x2－4x=－3，即抛物线上的点P（1，－3）可使SΔPQR=2；

当x=－23＜0时，不符合条件，应舍去．

所以存在动点P，使SΔPQR=2，此时P点坐标为(1,－3)

点拨：此题是一道综合性较强的探究性问题，对于第（1）问我们可以采用顶点式求得此抛物线，而（2）中的点B是直线AM与x轴的交点，所以只要利用待定系数法就可以求出直线AM，从而得出与x轴的交点B．(3)问中注意的是Q点所处位置的不同得出的S与x之间的关系也随之发生变化．（4）可以先假设存在从而得出结论．

Ⅲ、综合巩固练习：（100分90分钟）

1．观察图2－6－10中⑴）至⑸中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放．记第n个图中小黑点的个数为y．解答下列问题：

⑴填下表：

⑵当n=8时，y=___________；

⑶根据上表中的数据，把n作为横坐标，把y作为纵坐标，在图2－6－11的平面直角坐标系中描出相应的各点（n，y），其中1≤n≤5；

⑷请你猜一猜上述各点会在某一函数的图象上吗？

如果在某一函数的图象上，请写出该函数的解析式．

2．（5分）图2－6－12是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子．观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了_____________块石子．

3．(10分)已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）．

⑴如图2－6－13所示，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；

⑵当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围，若不可能，请说明理由．

4．如图2－6－14所示，在直角坐标系中，以A（－1，－1），B（1，－1），C（1，1），D（－1，l）为顶点的正方形，设正方形在直线：y=x及动直线：y=－x+2a（－l≤a＜1）上方部分的面积为S（例如当a取某个值时，S为图中阴影部分的面积），试分别求出当a=0，a=－1时，相应的S的值．

5．（10分）如图2－6－15所示，DE是△ABC的中位线，∠B＝90○，AF∥BC．在射线AF上是否存在点M，使△MEC与△ADE相似？若存在，请先确定点M，再证明这两个三角形相似；若不存在，请说明理由．

6．如图2－6－16所示，在正方形ABCD中，AB=1，是以点B为圆心．AB长为半径的圆的一段弧点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F石为切点．

⑴当∠DEF＝45○时，求证点G为线段EF的中点；

⑵设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式；并写出函数的定义域；

⑶图2－6－17所示，将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，当EF=56时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。（图2－6－18为备用图）

7．（10分）取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：

第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图2－6－19（1）所示；

第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点B′，得Rt△AB′E，如图2－6－19（2）所示；

第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图2－6－19⑶所示；利用展开图2－6－19（4）所示探究：

（l）△AEF是什么三角形？证明你的结论．

（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．

8．（10分）某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)，当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)的顶点的横坐标减少1a，纵坐标增加1a，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加1a，纵坐标增加1a，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)上．

⑴请你协助探求出实数a变化时，抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)的顶点所在直线的解析式；

⑵问题⑴中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由；

⑶在他们第二个发现的启发下，运用“一般→特殊→一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想能成立吗？若能成立，请说明理由。

9．已知二次函数的图象过A（－3，0），B（1，0）两点．

⑴当这个二次函数的图象又过点以0，3）时，求其解析式；

⑵设⑴中所求M次函数图象的顶点为P，求SΔAPC：SΔABC的值；

⑶如果二次函数图象的顶点M在对称轴上移动，并与y轴交于点D，SΔAMD：SΔABD的值确定吗？为什么？

10．（13分）如图2－6－20所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE，交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE．

⑴求证：四边形ACEF是平行四边形；

⑵当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论；

⑶四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？

相似三角形导学案

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4.2相似三角形

[学习目标]

1．了解相似三角形的概念，会表示两个三角形相似.

2．能运用相似三角形的概念判断两个三角形相似.

3．理解“相似三角形的对应角相等，对应边成比例”的性质.

[学习重点和难点]

学习重点：相似三角形的概念

学习难点：在具体的图形中找出相似三角形的对应边，写出比例式，需要具有一定分辨能力.

［课前自学，课中交流］

一、合作学习，探索新知

1、将图1中△ABC的边长缩小到原来的，并画在图1中,记为△（点，，分别对应点A，B，C）.

问题讨论一：△与△ABC对应角之间有什么数量关系？

问题讨论二：△与△ABC对应边之间有什么数量关系？

图1

2、（1）相似三角形的定义：

(2)若△与△ABC相似,则记△△ABC,读作:△△ABC

（3）几何语言表述图1中△与△ABC相似：

∵∠A=,∠B=,∠C=

∴△△ABC

3、（1）相似三角形的性质:

（2）相似三角形对应边的，叫做相似三角形的相似比（或相似系数）。

图1中△与△ABC的相似比为多少？△ABC与△的相似比为多少？

二、应用新知

例1如图2，D，E分别是AB，AC边的中点，求证：△ADE∽△ABC.

找一找：已知：如图2，图3，图4,根据3个图形，分别写出他们的对应角和对应边的比例式.

（1）△ABC∽△ADE，其中DE∥BC

（2）△ABC∽△ADE，其中∠ADE＝∠C

（3）△ABC∽△ADE，其中DE∥BC

例2如图2，△ABC∽△ADE.已知AD:DB=1:2,BC=9㎝，求DE的长.

变式：如图5，△ABC∽△ADE，AD=2㎝，AB=6㎝，AC=4㎝，求AE的长.

［当堂训练］

A巩固练习：

1．下列说法正确的是：

①两个等腰三角形一定相似②两个直角三角形一定相似③两个等边三角形一定相似.④两个等腰直角三角形一定相似⑤两个全等三角形一定相似

2.如图,D是AB上一点,△ABC∽△ACD,且AD:AC=2:3,AD=4,∠ADC=65°,∠B=43°

(1)求∠ACB,∠ACD的度数;

(2)写出△ABC与△ACD的对应边成比例的比例式,求出相似比..

3.下面两组图形中,每组的两个三角形相似,试分别确定a,x的值.

(1)(2)

B中考链接：

4.(2010广东梅州市)已知，相似比为3，且的周长为18，则的周长为（）

A．2B．3C．6D．54

C拓展提高:

5.已知△ABC与△DEF相似,△ABC的三边为2,3,4,△DEF的最大边为8,（1）求其余两边.（2）若改为△DEF的一边为8呢？求其余两边.

中考数学规律探索性问题复习导学案

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中考二轮专题复习：第4课时规律探索性问题

第一部分讲解部分

一．专题诠释

规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。

二．解题策略和解法精讲

规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答．。

三．考点精讲

考点一：数与式变化规律

通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。

例1.有一组数：，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n（n为正整数）个数为．

分析：观察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加1．根据规律求解即可．

解答：解：

；

；…；

∴第n（n为正整数）个数为．

点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．此题的规律为：分子变化是奇数，分母是数的平方加1．

例2（2010广东汕头）阅读下列材料：

1×2＝(1×2×3－0×1×2)，

2×3＝(2×3×4－1×2×3)，

3×4＝(3×4×5－2×3×4)，

由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝×3×4×5＝20．

读完以上材料，请你计算下列各题：

1．1×2＋2×3＋3×4＋＋10×11（写出过程）；

2．1×2＋2×3＋3×4＋＋n×(n＋1)＝______________；

3．1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋＋7×8×9＝______________．

分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式

；照此方法，同样有公式：

．

解：（1）∵1×2＝(1×2×3－0×1×2)，

2×3＝(2×3×4－1×2×3)，

3×4＝(3×4×5－2×3×4)，…

10×11＝(10×11×12－9×10×11)，

∴1×2＋2×3＋3×4＋＋10×11＝×10×11×12＝440．

（2）．（3）1260．

点评：本题通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求．如果学生不掌握这些数列求和的公式，直接硬做，既耽误了考试时间，又容易出错．而这些数列的求和公式的探索，需要认真阅读材料，寻找材料中提供的解题方法与技巧，从而较为轻松地解决问题．

例3（2010山东日照，19，8分）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质？完成下列填空：

已知用“”或“”填空

5+23+1

-3-1-5-2

1-24+1

一般地，如果那么a+cb+d．（用“”或“”填空）

你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？

分析：可以用不等式的基本性质和不等式的传递性进行证明。

解答：＞，＞，＜，＞；

证明：∵a＞b，∴a＋c＞b＋c．

又∵c＞d，∴b＋c＞b＋d，

∴a＋c＞b＋d．

点评：本题是一个考查不等式性质的探索规律题，属于中等题．要求学生具有熟练应用不等式的基本性质和传递性进行解题的能力．区分度较好．

考点二：点阵变化规律

在这类有关点阵规律中，我们需要根据点的个数，确定下一个图中哪些部分发生了变化，变化的的规律是什么，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．

例1：如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n，…，请你探究出前n行的点数和所满足的规律、若前n行点数和为930，则n=（）

A．29B．30C．31D．32

分析：有图个可以看出以后每行的点数增加2，前n行点数和也就是前n个偶数的和。

解答：解：设前n行的点数和为s．

则s=2+4+6+…+2n==n（n+1）．

若s=930，则n（n+1）=930．

∴（n+31）（n﹣30）=0．

∴n=﹣31或30．故选B．

点评：主要考查了学生通过特例，分析从而归纳总结出一般结论的能力．

例2观察图给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数s为（）

A.3n﹣2B.3n﹣1C.4n+1D.4n﹣3

考点：规律型：图形的变化类。

专题：规律型。

分析：根据所给的数据，不难发现：第一个数是1，后边是依次加4，则第n个点阵中的点的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3．

解答：解：第n个点阵中的点的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3．故选D．

点评：此题注意根据所给数据发现规律，进一步整理计算．

考点三：循环排列规律

循环排列规律是运动着的规律，我们只要根据题目的已知部分分析出图案或数据每隔几个图暗就会循环出现，看看最后所求的与循环的第几个一致即可。

例1：（2007广东佛山）观察下列图形，并判断照此规律从左向右第2007个图形是（）

A．B．C．D．

考点：规律型：图形的变化类．

专题：规律型．

分析：本题的关键是要找出4个图形一循环，然后再求2007被4整除后余数是3，从而确定是第3个图形．

解答：解：根据题意可知笑脸是1，2，3，4即4个一循环．所以2007÷4=501…3．所以是第3个图形．故选C．

点评：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．

例2：下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2012个梅花图案中，共有个“”图案．

考点：规律型：图形的变化类．

专题：规律型．

分析：注意观察图形中循环的规律，然后进行计算．

解答：解：观察图形可以发现：依次是向上、右、下、左4个一循环．所以2013÷4=503余1，则共有503+1=504个．

考点四：图形生长变化规律

探索图形生长的变化规律的题目常受到中考命题人的青睐,其原因是简单、直观、易懂.从一些基本图形开始,按照生长的规律,变化出一系列有趣而美丽的图形.因此也引起了应试人的兴趣,努力揭示内在的奥秘,从而使问题规律清晰,易于找出它的一般性结论.

例1（2010四川乐川）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn．设第一个正方形的边长为1．

请解答下列问题：

（1）S1=；

（2）通过探究，用含n的代数式表示Sn，则Sn=．

分析：根据正方形的面积公式求出面积，再根据直角三角形三条边的关系运用勾股定理求出三角形的直角边，求出S1，然后利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公式．

解答：解：（1）∵第一个正方形的边长为1，

∴正方形的面积为1，

又∵直角三角形一个角为30°，

∴三角形的一条直角边为，另一条直角边就是=，

∴三角形的面积为×÷2=，

∴S1=1+；

（2）∵第二个正方形的边长为，它的面积就是，也就是第一个正方形面积的，

同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的，

∴S2=（1+），依此类推，S3═（1+），即S3═（1+），

Sn=（n为整数）．

点评：本题重点考查了勾股定理的运用．

例2（2011重庆江津区）如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的有（）

①四边形A2B2C2D2是矩形；

②四边形A4B4C4D4是菱形；

③四边形A5B5C5D5的周长是

④四边形AnBnCnDn的面积是．

A、①②B、②③C、②③④D、①②③④

分析：首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：

①根据矩形的判定与性质作出判断；

②根据菱形的判定与性质作出判断；

③由四边形的周长公式：周长＝边长之和，来计算四边形A5B5C5D5的周长；

④根据四边形AnBnCnDn的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．

解答：解：①连接A1C1，B1D1．

∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，

∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；

∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，

∴四边形ABCD是平行四边形；

∴B1D1＝A1C1（平行四边形的两条对角线相等）；

∴A2D2＝C2D2＝C2B2＝B2A2（中位线定理），

∴四边形A2B2C2D2是菱形；

故本选项错误；

②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；

∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；故本选项正确；

③根据中位线的性质易知，A5B5＝A3B3＝×A1B1＝××AB，B5C5＝B3C3＝×B1C1＝××BC，

∴四边形A5B5C5D5的周长是2×（a+b）＝；故本选项正确；

④∵四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，

∴S四边形ABCD＝ab；

由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，

四边形AnBnCnDn的面积是；

故本选项错误；

综上所述，②③④正确；

故选C．

点评：本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．

例3：（2009锦州）图中的圆与正方形各边都相切，设这个圆的面积为S1；图2中的四个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的面积之和为S2；图3中的九个圆半径相等，并依次外切，且与正方形的各边相切，设这九个圆的面积之和为S3，…依此规律，当正方形边长为2时，第n个图中所有圆的面积之和Sn＝．

分析：先从图中找出每个图中圆的面积，从中找出规律，再计算面积和．

解答：根据图形发现：第一个图中，共一个愿，圆的半径是正方形边长的一半，为1，S1=πr2=π；第二个图中，共4个圆，圆的半径等于正方形边长的，为×2=；S2=4πr2=4π（）2=π，依次类推，则第n个图中，共有n2个圆，所有圆的面积之和Sn=n2πr2=n2π（）2=π，即都与第一个图中的圆的面积都相等，即为π．

点评：观察图形，即可发现这些图中，每一个图中的所有的圆面积和都相等．

考点五：与坐标有关规律

这类问题把点的坐标与数字规律有机的联系在一起，加大了找规律的难度，点的坐标不仅要考虑数值的大小，还要考虑不同象限的坐标的符号。最后用n把第n个点的坐标表示出来。

例1：如图，已知Al（1，0），A2（1，1），A3（－1，1），A4（－1，－1），A5（2，－1），…．则点A2012的坐标为______．

分析：根据（A1除外）各个点分别位于四个象限的角平分线上，逐步探索出下标和个点坐标之间的关系，总结出规律，根据规律推理点A2007的坐标．

解答：由图形以及叙述可知各个点（除A1点外）分别位于四个象限的角平分线上，

第一象限角平分线的点对应的字母的下标是2，6，10，14，即4n－2（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；点的坐标为（n,n）.

同理第二象限内点的下标是4n－1（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；点的坐标为（－n,n）.

第三象限是4n（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；点的坐标为（－n,－n）.

第四象限是1＋4n（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；点的坐标为（n,－n）.

2012＝4n则n＝503，当2007等于4n＋1或4n或4n－2时，不存在这样的n的值．

故点A2007在第二象限的角平分线上，即坐标为（－502，502）．

故答案填（﹣503，﹣503）．

点评：本题是一个探究规律的问题，正确对图中的所按所在的象限进行分类，找出每类的规律是解答此题的关键点．

例2：（2009湖北仙桃）如图所示，直线y＝x＋1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y＝x＋1相交于点A2，再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y＝x＋1相交于点A3，再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，记作第三个正方形；…，依此类推，则第n个正方形的边长为_________．

分析：解题的关键是求出第一个正方体的边长，然后依次计算n＝1，n＝2…总结出规律．

解答：根据题意不难得出第一个正方体的边长＝1，

那么：n＝1时，第1个正方形的边长为：1＝20

n＝2时，第2个正方形的边长为：2＝21

n＝3时，第3个正方形的边长为：4＝22…

第n个正方形的边长为：2n－1

点评：解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．

考点六：高中知识衔接型——数列求和

本题通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求

例题：（2010广东汕头）阅读下列材料：

1×2＝(1×2×3－0×1×2)，

2×3＝(2×3×4－1×2×3)，

3×4＝(3×4×5－2×3×4)，

由以上三个等式相加，可得

1×2＋2×3＋3×4＝×3×4×5＝20．

读完以上材料，请你计算下列各题：

4．1×2＋2×3＋3×4＋＋10×11（写出过程）；

5．1×2＋2×3＋3×4＋＋n×(n＋1)＝______________；

6．1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋＋7×8×9＝______________．

分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式

；照此方法，同样有公式：

．

解：（1）∵1×2＝(1×2×3－0×1×2)，

2×3＝(2×3×4－1×2×3)，

3×4＝(3×4×5－2×3×4)，

…

10×11＝(10×11×12－9×10×11)，

∴1×2＋2×3＋3×4＋＋10×11＝×10×11×12＝440．

（2）．

（3）1260．

点评：．如果学生不掌握这些数列求和的公式，直接硬做，既耽误了考试时间，又容易出错．而这些数列的求和公式的探索，需要认真阅读材料，寻找材料中提供的解题方法与技巧，从而较为轻松地解决问题．

四．真题演练

题目1．（2010福建三明大田县）观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，，3，…那么第10个数据应是．

题目2、（2011山东日照分）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在（）

A．第502个正方形的左下角B．第502个正方形的右下角

C．第503个正方形的左上角D．第503个正方形的右下角

题目3：（2011德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），…，则第n个图形的周长是（）

A、2nB、4nC、2n+1D、2n+2

第二部分练习部分

练习

1、如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n（n是正整数）个图案中由3n+1个基础图形组成．

2、（2011山东日照）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在（）

A．第502个正方形的左下角B．第502个正方形的右下角

C．第503个正方形的左上角D．第503个正方形的右下角

3.如图，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，…，依此类推，则第10个三角形的周长为（）

A．B．C．D．

4、（2006无锡）探索规律：根据下图中箭头指向的规律，从2004到2005再到2006，箭头的方向是（）

A．B．C．D．

5、（2010甘肃定西）下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出后一种化合物的分子式为．

6、（2006广东梅州）如图，已知△ABC的周长为m，分别连接AB，BC，CA的中点A1，B1，C1得△A1B1C1，再连接A1B1，B1C1，C1A1的中点A2，B2，C2得△A2B2C2，再连接A2B2，B2C2，C2A2的中点A3，B3，C3得△A3B3C3，…，这样延续下去，最后得△AnBnCn．设△A1B1C1的周长为l1，△A2B2C2的周长为l2，△A3B3C3的周长为l3，…，△AnBnCn的周长为ln，则ln=．

7、用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖块，第n个图形中需要黑色瓷砖块（用含n的代数式表示）．

8.已知一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…将这列数排成下列形式：中间用虚线围的一列数，从上至下依次为1，5，13，25…，按照上述规律排上去，那么虚线框中的第7个数是．

9.（2010恩施州）如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推，如果n层六边形点阵的总点数为331，则n等于．

10.（2010山东东营）观察下表，可以发现:第_________个图形中的“△”的个数是“○”的个数的5倍．

11.（2010安徽，9，4分）下面两个多位数1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字…，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是（）

A．495B．497C．501D．503

12.（2010江汉区）如图，等腰Rt△ABC的直角边长为4，以A为圆心，直角边AB为半径作弧BC1，交斜边AC于点C1，C1B1⊥AB于点B1，设弧BC1，C1B1，B1B围成的阴影部分的面积为S1，然后以A为圆心，AB1为半径作弧B1C2，交斜边AC于点C2，C2B2⊥AB于点B2，设弧B1C2，C2B2，B2B1围成的阴影部分的面积为S2，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积S3=．

13.（2011广西百色）相传古印度一座梵塔圣殿中，铸有一片巨大的黄铜板，之上树立了三米高的宝石柱，其中一根宝石柱上插有中心有孔的64枚大小两两相异的一寸厚的金盘，小盘压着较大的盘子，如图，把这些金盘全部一个一个地从1柱移到3柱上去，移动过程不许以大盘压小盘，不得把盘子放到柱子之外．移动之日，喜马拉雅山将变成一座金山．

设h（n）是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数

n=1时，h（1）=1；

n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成．即h（2）=3；

n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱．

第二个图案基础图形的个数：3×2+1=7；

第三个图案基础图形的个数：3×3+1=10；…

第n个图案基础图形的个数就应该为：3n+1．

2.分析：观察发现：正方形的左下角是4的倍数，左上角是4的倍数余3，右下角是4的倍数余1，右上角是4的倍数余2．

解答：解：通过观察发现：正方形的左下角是4的倍数，左上角是4的倍数余3，右下角是4的倍数余1，右上角是4的倍数余2

∵2011÷4=502…3，

∴数2011应标在第503个正方形的左上角．

故选C．

3.分析：根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，按规律求解．

解答：解：根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的一半，那么第二个三角形的周长=△ABC的周长×=1×=，第三个三角形的周长为=△ABC的周长××=（）2，第10个三角形的周长=（）9，故选C．

4.分析：本题根据观察图形可知箭头的方向每4次重复一遍，2004=4=501．因此2004所在的位置即为图中的4所在的位置．

解答：解：依题意得：图中周期为4，2004÷4=501为整数．因此从2004到2005再到2006的箭头方向为：故选A．

5.分析：由图片可知，第2个化合物的结构式比第一个多1个C和2个H，第三个化合物的结构式比第二个也多出1个C和2个H，那么下一个化合物就应该比第三个同样多出1个C和2个H，即为C4H10．

解答：解：第四种化合物的分子式为C4H10．

点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

6.分析：原来三角形的周长为m；第一个三角形的周长为m；第二个三角形的周长为（）2m；第三个三角形的周长为（）3m；那么第n个三角形的周长为（）nm．

解答：解：已知△ABC的周长为m，每次连接作图后，周长为原来的，故ln为原来△ABC的周长（）n，即（）nm．

点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

7.解答：解：本题考查的是规律探究问题．从图形观察每增加一个图形，黑色正方形瓷砖就增加3块，第一个黑色瓷砖有3块，则第3个图形黑色瓷砖有10块，第N个图形瓷砖有4+3（n﹣1）=3n+1（块）．

点评：本题考查学生能够在实际情景中有效的使用代数模型．

8.分析：分析可得，第n行第一个数的绝对值为，且奇数为正，偶数为负；中间用虚线围的一列数，从上至下依次为1，5，13，25…，为奇数，且每n个数比前一个大4（n﹣1）；故第7个数是85．

解答：解：∵中间用虚线围的一列数，从上至下依次为1，5，13，25…，为奇数，且每n个数比前一个大4（n﹣1），

∴第7个数是85．

点评：本题是一道找规律的题目，要求学生的通过观察，分析．归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题．本题的规律为第n行第一个数的绝对值为，且奇数为正，偶数为负；中间用虚线围的一列数，从上至下依次为1，5，13，25…，为奇数，且每n个数比前一个大4（n﹣1）．

9.分析：分析可知规律，每增加一层就增加六个点．

解答：解：第一层上的点数为1；

第二层上的点数为6=1×6；

第三层上的点数为6+6=2×6；

第四层上的点数为6+6+6=3×6；

…；

第n层上的点数为（n﹣1）×6．

所以n层六边形点阵的总点数为

1+1×6+2×6+3×6+…+（n﹣1）×6

=1+6=1+6÷2

=1+6×

=1+3n（n﹣1）=331．

n（n﹣1）=110；

（n﹣11）（n+10）=0

n=11或﹣10．

故n=11．

10.分析：本题将规律探索题与方程思想结合在一起，是一道能力题，有的学生可能无法探寻“△”与“○”出现的规律，或者不知道通过列方程解答问题．

解答：解：观察图形可发现第1、2、3、…、n个图形：“△”的个数规律为1、4、9、…、n2；“○”的个数规律是4、8、12、…、4n.由题意可得，

解之得，（不合题意，舍去）．

点评：此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．

11.分析：多位数1248624…是怎么来的？当第1个数字是1时，将第1位数字乘以2得2，将2写在第2位上，再将第2位数字2乘以2得4，将其写在第3位上，将第3位数字4乘以2的8，将8写在第4位上，将第4位数字8乘以2得16，将16的个位数字6写在第5位上，将第5位数字6乘以2得12，将12的个位数字2写在第6位上，再将第6位数字2乘以2得4，将其写在第7位上，以此类推．根据此方法可得到第一位是3的多位数后再求和．

解答：解：当第1位数字是3时，按如上操作得到一个多位数362486248624862486…．

仔细观察362486248624862486…中的规律，这个多位数前100位中前两个为36，接着出现248624862486…，所以362486248624862486…的前100位是36248624862486…24861486148624（因为98÷4=24余2，所以，这个多位数开头两个36中间有24个2486，最后两个24），因此，这个多位数前100位的所有数字之和=（3+6）+（2+4+8+6）×24+（2+4）=9+480+6=495．

故选A．

点评：本题，一个“数字游戏”而已，主要考查考生的阅读能力和观察能力，其解题的关键是：读懂题目，理解题意．这是安徽省2010年中考数学第9题，在本卷中的10道选择题中属于难度偏大．而产生“难”的原因就是没有“读懂”题目．

12.分析：每一个阴影部分的面积都等于扇形的面积减去等腰直角三角形的面积．

此题的关键是求得AB2、AB3的长．根据等腰直角三角形的性质即可求解．

解答：解：根据题意，得

AC1=AB=4．

所以AC2=AB1=2．

所以AC3=AB2=2．

所以AB3=．

所以阴影部分的面积S3==．

点评：此题综合运用了等腰直角三角形的性质和扇形的面积公式

13.分析：根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可．