中考数学规律探索性问题复习。

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中考数学专题复习（一）：规律探索性问题

一、课标要求

1.利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．

2.反演推理法(反证法)，即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．

二、课前热身

1．观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（）

A．B．C．D．

2．把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止。那么2007，2008，2009，2010这四个数中______________可能是剪出的纸片数。

3．有一列数…，那么第7个数是．

4．如图，在△ABC中，∠A＝．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠A2008BC与∠A2008CD的平分线相交于点A2009，得∠A2009．∠A2009＝．

三．典型例题

例1．观察算式：

；；；…………

则第（是正整数）个等式为________.

例2．（2009年益阳市）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第(n是正整数)个图案中由个基础图形组成．

-

例3．如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n(n≥3)块纸板的周长为Pn，则Pn－Pn-1=.

四、练习

1．观察下面的一列单项式：，，，，…根据你发现的规律，第7个单项式为；第个单项式为

2．观察下列一组数：，，，，……，它们是按一定规律排列的．那么这一组数的第k个数是．

4已知，记，，…，，则通过计算推测出的表达式＝_______．(用含n的代数式表示)

五、课外作业

1．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第个图形需要黑色棋子的个数是．

2．如图，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：

⑴第4个图案中有白色纸片___________张；⑵第n个图案台有白色纸片___________张．

3．如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第个“广”字中的棋子个数是________

4．一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据，，，，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n（n≥1）个数据是___________．

5．(2009年抚顺市)观察下列图形（每幅图中最小的三角形都是全等的），请写出第个图中最小的三角形的个数有个．

6．(2009年梅州市)如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有个，第n幅图中共有个．

7．观察图中一列有规律的数，然后在“？”处填上一个合适的数，这个数是______________．

8．如图，A1A2B是直角三角形，且A1A2＝A2B＝a，A2A3⊥A1B，垂足为A3，A3A4⊥A2B，垂足为A4，A4A5⊥A3B，垂足为A5，……，An＋1An＋2⊥AnB，垂足为An＋2，则线段An＋1An＋2(n为自然数)的长为（）．

（A）（B）WwW.jab88.COm

（C）（D）

9．如图所示，直线y＝x＋1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y＝x＋1相交于点A2，再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y＝x＋1相交于点A3，再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，记作第三个正方形；…依此类推，则第个正方形的边长为________________．

10．学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示．已知每个菱形图案的边长cm，其一个内角为60°．

（1）若d＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L；

（2）当d＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？

11.如图所示，已知：点，，

在内依次作等边三角形，使一边在轴上，

另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是

第1个，第2个，第3个

，…，则第个等边三角形的边长等于．

12．如图，AD是⊙O的直径．

(1)如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是，∠B2的度数是；

(2)如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，

∠B3的度数；

(3)如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度数(只需直接写出答案)．

13.如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM＝BD，EN＝CE，得到图③，请解答下列问题：

(1)若AB＝AC，请探究下列数量关系：

①在图②中，BD与CE的数量关系是________________；

②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；

(2)若AB＝kAC(k＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．

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中考数学探索性问题专题复习导学案

为了促进学生掌握上课知识点，老师需要提前准备教案，又到了写教案课件的时候了。只有规划好教案课件计划，就可以在接下来的工作有一个明确目标！你们了解多少教案课件范文呢？以下是小编为大家精心整理的“中考数学探索性问题专题复习导学案”，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

第二轮复习探索性问题

Ⅰ、综合问题精讲：

探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．

探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识．经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直

角三角形等．其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力．

Ⅱ、典型例题剖析

【例1】如图2－6－1，已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)如图2－6－2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作轴的垂线，垂足分别为S、R．

①求证：PB＝PS；

②判断△SBR的形状；

③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．

⑴解：方法一：∵B点坐标为(0，2)，∴OB＝2，

∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4.

∴C点坐标为(一2，2)．F点坐标为(2，2)。

设抛物线的解析式为．

其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2)。

得解得

∴此抛物线的解析式为

方法二：∵B点坐标为(0，2)，∴OB＝2，

∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4.

∴C点坐标为(一2，2)。

根据题意可设抛物线解析式为。

其过点A(0，1)和C(-2．2)

解得

此抛物线解析式为

(2)解：

①过点B作BN，垂足为N．

∵P点在抛物线y=+l上．可设P点坐标为．∴PS＝，OB＝NS＝2，BN＝。∴PN=PS—NS=在RtPNB中．

PB2＝

∴PB＝PS＝

②根据①同理可知BQ＝QR。

∴，

又∵，

∴，

同理SBP＝∠B

∴

∴∴.

∴△SBR为直角三角形．

③方法一：设，

∵由①知PS＝PB＝b．，。∴

∴。假设存在点M．且MS＝，别MR＝。若使△PSM∽△MRQ，

则有。即

∴。∴SR＝2

∴M为SR的中点.若使△PSM∽△QRM，

则有。∴。

∴。

∴M点即为原点O。

综上所述，当点M为SR的中点时．PSM∽ΔMRQ；当点M为原点时，PSM∽MRQ．

方法二：若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点三角形相似，

∵，

∴有PSM∽MRQ和PSM∽△QRM两种情况。

当PSM∽MRQ时．SPM＝RMQ，SMP＝RQM．

由直角三角形两锐角互余性质．知PMS+QMR＝90°。∴。

取PQ中点为N．连结MN．则MN＝PQ=．

∴MN为直角梯形SRQP的中位线,

∴点M为SR的中点当△PSM∽△QRM时，

。又，即M点与O点重合。∴点M为原点O。

综上所述，当点M为SR的中点时，PSM∽△MRQ；当点M为原点时，PSM∽△QRM。

点拨：通过对图形的观察可以看出C、F是一对关于y轴的对称点，所以（1）的关键是求出其中一个点的坐标就可以应用三点式或y=ax2+c型即可．而对于点P既然在抛物线上，所以就可以得到它的坐标为（a，14a2+1）．这样再过点B作BN⊥PS．得出的几何图形求出PB、PS的大小．最后一问的关键是要找出△PSM与△MRQ相似的条件．

【例2】探究规律：如图2－6－4所示，已知：直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点．

（1）请写出图2－6－4中，面积相等的各对三角形；

（2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有________与△ABC的面积相等．理由是：_________________.

解决问题：如图2－6－5所示，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图2－6－6所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（2－6－6中折线CDE）还保留着；张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积）．

（1）写出设计方案．并画出相应的图形；

（2）说明方案设计理由．

解：探究规律：（l）△ABC和△ABP，△AOC和△BOP、△CPA和△CPB．

（2）△ABP；因为平行线间的距离相等，所以无论点P在m上移动到任何位置，总有△ABP与△ABC同底等高，因此，它们的面积总相等．

解决问题：⑴画法如图2－6－7所示．

连接EC，过点D作DF∥EC，交CM于点F，连接EF，EF即为所求直路位置．

⑵设EF交CD于点H，由上面得到的结论可知：

SΔECF=SΔECD，SΔHCF=SΔEDH，所以S五边形ABCDE=S五边形ABCFE，S五边形EDCMN=S四边形EFMN．

点拨：本题是探索规律题，因此在做题时要从前边问题中总结出规律，后边的问题要用前边的结论去一做，所以要连接EC，过D作DF∥EC，再运用同底等高的三角形的面积相等．

【例3】如图2－6－8所示，已知抛物线的顶点为M（2，－4），且过点A(－1,5)，连结AM交x轴于点B．

⑴求这条抛物线的解析式；

⑵求点B的坐标；

⑶设点P（x，y）是抛物线在x轴下方、顶点M左方一段上的动点，连结PO，以P为顶点、PQ为腰的等腰三角形的另一顶点Q在x轴上，过Q作x轴的垂线交直线AM于点R，连结PR．设面PQR的面积为S．求S与x之间的函数解析式；

⑷在上述动点P（x，y）中，是否存在使SΔPQR=2的点？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）因为抛物线的顶点为M（2，－4）

所以可设抛物线的解析式为y=（x－2）2－4．

因为这条抛物线过点A（－1，5）

所以5=a(－1－2)2－4．解得a=1．

所以所求抛物线的解析式为y=（x—2）2－4

（2）设直线AM的解析式为y=kx+b．

因为A（－1，5）,M（2，－4）

所以，

解得k=－3，b=2．

所以直线AM的解析式为y=3x＋2．

当y=0时，得x=23，即AM与x轴的交点B（23,0）

（3）显然，抛物线y=x2－4x过原点(0，0〕

当动点P（x，y）使△POQ是以P为顶点、PO为腰且另一顶点Q在x轴上的等腰三角形时，由对称性有点Q（2x，0）

因为动点P在x轴下方、顶点M左方，所以0＜x＜2．

因为当点Q与B（23，0）重合时，△PQR不存在，所以x≠13，

所以动点P（x，y）应满足条件为0＜x＜2且x≠13，

因为QR与x轴垂直且与直线AM交于点R，

所以R点的坐标为（2x，－6x+2）

如图2－6－9所示，作PH⊥OR于H，

则PH=

而S=△PQR的面积=12QRPH=12

下面分两种情形讨论：

①当点Q在点B左方时，即0＜x＜13时，

当R在x轴上方，所以－6x＋2＞0．

所以S=12（－6x＋2）x=－3x2+x；

②当点Q在点B右方时，即13＜x＜2时

点R在x轴下方，所以－6x＋2＜0．

所以S=12x=3x2－x；

即S与x之间的函数解析式可表示为

（4）当S=2时，应有－3x2+x=2，即3x2－x+2=0，

显然△＜0，此方程无解．或有3x2－x=2，即3x2－x－2=0，解得x1=1，x2＝－23

当x=l时，y=x2－4x=－3，即抛物线上的点P（1，－3）可使SΔPQR=2；

当x=－23＜0时，不符合条件，应舍去．

所以存在动点P，使SΔPQR=2，此时P点坐标为(1,－3)

点拨：此题是一道综合性较强的探究性问题，对于第（1）问我们可以采用顶点式求得此抛物线，而（2）中的点B是直线AM与x轴的交点，所以只要利用待定系数法就可以求出直线AM，从而得出与x轴的交点B．(3)问中注意的是Q点所处位置的不同得出的S与x之间的关系也随之发生变化．（4）可以先假设存在从而得出结论．

Ⅲ、综合巩固练习：（100分90分钟）

1．观察图2－6－10中⑴）至⑸中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放．记第n个图中小黑点的个数为y．解答下列问题：

⑴填下表：

⑵当n=8时，y=___________；

⑶根据上表中的数据，把n作为横坐标，把y作为纵坐标，在图2－6－11的平面直角坐标系中描出相应的各点（n，y），其中1≤n≤5；

⑷请你猜一猜上述各点会在某一函数的图象上吗？

如果在某一函数的图象上，请写出该函数的解析式．

2．（5分）图2－6－12是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子．观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了_____________块石子．

3．(10分)已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）．

⑴如图2－6－13所示，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；

⑵当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围，若不可能，请说明理由．

4．如图2－6－14所示，在直角坐标系中，以A（－1，－1），B（1，－1），C（1，1），D（－1，l）为顶点的正方形，设正方形在直线：y=x及动直线：y=－x+2a（－l≤a＜1）上方部分的面积为S（例如当a取某个值时，S为图中阴影部分的面积），试分别求出当a=0，a=－1时，相应的S的值．

5．（10分）如图2－6－15所示，DE是△ABC的中位线，∠B＝90○，AF∥BC．在射线AF上是否存在点M，使△MEC与△ADE相似？若存在，请先确定点M，再证明这两个三角形相似；若不存在，请说明理由．

6．如图2－6－16所示，在正方形ABCD中，AB=1，是以点B为圆心．AB长为半径的圆的一段弧点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F石为切点．

⑴当∠DEF＝45○时，求证点G为线段EF的中点；

⑵设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式；并写出函数的定义域；

⑶图2－6－17所示，将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，当EF=56时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。（图2－6－18为备用图）

7．（10分）取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：

第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图2－6－19（1）所示；

第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点B′，得Rt△AB′E，如图2－6－19（2）所示；

第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图2－6－19⑶所示；利用展开图2－6－19（4）所示探究：

（l）△AEF是什么三角形？证明你的结论．

（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．

8．（10分）某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)，当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)的顶点的横坐标减少1a，纵坐标增加1a，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加1a，纵坐标增加1a，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)上．

⑴请你协助探求出实数a变化时，抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)的顶点所在直线的解析式；

⑵问题⑴中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由；

⑶在他们第二个发现的启发下，运用“一般→特殊→一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想能成立吗？若能成立，请说明理由。

9．已知二次函数的图象过A（－3，0），B（1，0）两点．

⑴当这个二次函数的图象又过点以0，3）时，求其解析式；

⑵设⑴中所求M次函数图象的顶点为P，求SΔAPC：SΔABC的值；

⑶如果二次函数图象的顶点M在对称轴上移动，并与y轴交于点D，SΔAMD：SΔABD的值确定吗？为什么？

10．（13分）如图2－6－20所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE，交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE．

⑴求证：四边形ACEF是平行四边形；

⑵当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论；

⑶四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？

中考数学二轮复习：探索性问题

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六．探索性问题

一、探索性问题是指命题中缺少一定的题设或没有明确的结论,需要经过推断、补充、并加以证明的问题.其典型特点是不确定性.主要包括(1)条件探索型，(2)结论探索型，(3)存在性探索型等.

条件探索型是指结论已明确，需要探索发现使结论成立的条件的题目；结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；而存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目。

探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注。

探索性问题解法，根据已知条件，从基础知识和基本数学思想方法出发，结合基本图形，抓住本质联系进行探究，常用观察、试验、联想、归纳、类比等方法，进行分析、归纳、猜想、比较、推理等，直到得出答案。题目的答案也是多种多样的，有的题目有唯一解，有的题无解，也有的题要分几种情况讨论。

解结论探索型题的方法是由因导果；解条件探索型的方法是执果索因；解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论。解题时应注意知识的综合运用。

二、理解掌握

例一、已知：（如图）要使ΔABC∽ΔAPB，需要添加的条件是_____（只填一个）.(答案：∠ABP=∠C,或∠ABC=∠APC,或AB2=APAC)

说明：该图是初二几何的基本图形，是解决其他问题的基础，应牢记。

例二、如图，☉O与☉O1外切于点T，AB为其外公切线，PT为内公切线，AB与PT相交于点P,根据图中所给出的已知条件及线段,请写出一个正确结论,并加以证明.(本题将按正确答案的难易程度评分)

结论1:PA=PB=PT结论2:AT⊥BT.(或AT2+BT2=AB2)

结论3:∠BAT=∠TBO1结论4:∠OTA=∠PTB

结论5:∠APT=∠BO1T结论6:∠BPT=∠AOT

结论7:ΔOAT∽ΔPBT结论8:ΔAPT∽ΔBO1T

设OT=R,O1T=r,结论9:PT2=Rr

结论10:AB=2√Rr结论11:S梯形AOO1B=(R+r)√Rr

结论12:以AB为直径的☉P必定与直线OO1相切于T点.

说明：你还能得出其它的结论吗？试试看。本题是由初三几何书上的例题改编的，对基本图形的再认识，对图形间的内在关系的深刻挖掘，有助于透彻理解知识。

例三、已知二次函数ｙ＝１／２ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象经过点Ａ（－３，６）、和ｘ轴交于点Ｂ（－１，０）和点Ｃ，抛物线的顶点为Ｐ.

（１）求这个函数的解析式；

（２）线段ＯＣ上是否存在点Ｄ，使∠ＢＡＣ＝∠ＣＰＤ

分析：函数的解析式为ｙ＝１／２ｘ２－ｘ－３／２

＝１／２（ｘ－１）２－２，

各点坐标分别为：Ａ（-3，6）、Ｂ（-1，0）、Ｃ（3，0）、

Ｅ（-3，0）、Ｆ（1，O）、Ｐ（1，-2）.

设存在点Ｄ（a，0），使∠CAB=∠CPD.作AE⊥x轴于点E，则ΔAEC和ΔPFC都是等腰直角三角形，∴AC=6√2，PC=2√2，∠ACE=∠PCD=45°∵∠CAB=∠CPD∴ΔABC∽ΔPDC∴AC:ＰＣ＝ＢＣ:ＤＣ，即６√２:２√２＝４:(3-a)

解之得:a=5/3.∴存在这样的点D(5/3,0),使∠CAB=∠CPD.

说明：本题是代数与几何结合的探索性题，涉及的知识点多，难点是寻求数与形的结合点，用到的数学思想方法多，如数形结合思想，方程思想，转化思想，待定系数法，配方法，采用观察、试验、猜想、比较等方法，把角相等转化为三角形相似，利用对应边成比例的关系得出方程，从而解决问题。与函数有关的探索题如果所求的点在图象上，有时还要代入解析式，利用方程组来解决问题。

三、巩固训练

1、已知AC、AB是☉O的弦，ABAC,（如图）能否在AB上确定一点E，使AC2=AEAB

分析：作AM=AC，连结CM交AB于点E，连结CB，可证ΔACE∽ΔABC，即可得出结论。

2、关于ｘ的方程x２-（5k+1）x+k２-2=0，是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和为4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。

提示：设方程的两个实数根为x1、x2.

由根与系数关系，得x1+x2=5k+1，x1x2=k2-2.

由题意知得方程,化简得4k2-5k-9=0,∴k1=-1,k2=9/4(不合题意,舍去)

把k=-1代入根的判别式,Δ=200.

∴存在满足条件的k,k=-1.

3、已知一次函数Y=-X+6和反比例函数Y=k/x（k≠0）.(1)k满足什么条件时,这两个函数在(2)设(1)中的两个公共点分别为A、Ｂ，∠ＡＯＢ是锐角还是钝角？

答案：（1）k9且k≠0：

（2）分两种情况讨论当0k9时，∠ＡＯＢ是锐角；当k0时，∠ＡＯＢ是钝角。

四、拓展应用

1、如图,在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），

那么(1)当t为何值时，ΔQAP为等腰三角形？

（2)求四边形QAPC的面积；提出一个与计算结果有关的结论；

(3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ΔABC相似？

解：（1）对于任时刻的t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t。

当QA=AP时，ΔQAP为等腰三角形，即6-t=2t，解得t=2（秒），

∴当t=2秒时，ΔQAP为等腰三角形，

（2）在ΔQAC中，QA=6-t，QA边上的高DC=12，

∴SΔQAC=1/2QADC=1/2（6-t）12=36-6t.

在ΔAPC中,AP=2t,BC=6,

∴SΔAPC=1/2APBC=1/22t6=6t.

∴S四边形QAPC=SΔQAC+SΔAPC=(36-6t)+6t=36(厘米2)

（3）略解：分两种情况讨论：①当QA:AB=AP:BC时，ΔQAP∽ΔABC，

可解得t=1.2（秒）

②当QA:BC=AP:AB时，ΔPAQ∽ΔABC，可解得t=3（秒）

∴当t=1.2秒或t=3秒时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ΔABC相似.

2、如图，已知在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC，交AB于点F，连结FC（ABAE）。

（1）ΔAEF与ΔECF是否相似。若相似，证明你的结论；若不相似，说明理由。

（2）设AB/BC=k，是否存在这样的k值，使得ΔAEF与ΔECF相似？

若存在，证明你的结论；

若不存在，说明理由。

相似的探索性问题导学案

每个老师不可缺少的课件是教案课件，规划教案课件的时刻悄悄来临了。需要我们认真规划教案课件工作计划，这样我们接下来的工作才会更加好！你们会写适合教案课件的范文吗？请您阅读小编辑为您编辑整理的《相似的探索性问题导学案》，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

探索三角形相似的条件
――――――探索性问题
班级姓名学号
一、例题分析：
1、如图，已知∠ABC=∠CDB=90°,AC=a，BC=b，当BD=时，△ABC与△CDB相似；
2、如图，在△ABC中，AB=24,AC=18,D是AC上一点，AD=12;在AB上取一点E，使得△ADE与△ABC相似，则AE的长为；
3、如图，在△ABC中，若点P是AB边上一点，过点P作直线不与直线AB重合，截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的三角形最多有条；

4、如图，在△ABC中，∠C=90°,BC=8cm，AC∶AB=3∶5,点P从点B出发，沿BC向点C以每秒2cm的速度移动；点Q从点C出发，沿CA向点A以每秒1cm的速度移动;
(1)经过多少秒时，△CPQ∽△CBA?
(2)经过多少秒时，△CPQ与△CBA相似？

5、（启东作业本68第14题）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC．（AB＞AE）
（1）△AEF与△EFC是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
（2）设，是否存在这样的值，使△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出的值；若不存在，说明理由．

6、（I）如图点P在□ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA、BC的延长线于点Q、S，交AD、CD于点R、T．说明：PQPR=PSPT；
（II）如图（1），图（2），当点P在□ABCD的对角线BD或DB的延长线上时，PQPR=PSPT是否仍然成立？若成立，试给出说明；若不成立，试说明理由[要求仅以图（1）为例进行说明]；

（III）如图（3），ABCD为正方形，A、E、F、G四点在同一条直线上，并且AE=6cm，EF=4cm，试以（I）所得结论为依据，求线段FG的长度．

7、等腰三角形ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点．小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．
（1）如图（a），说明：当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，△BPE∽△CFP；
（2）将三角板绕点P旋转到图（b）的情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．
①探究1：△BPE∽△CFP还相似吗？（只需写出结论）
②探究2：连接EF，△BPE∽△PFE是否相似？请说明理由；

三、课后作业：
1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=3，CD=2，AD=7，在AD上是否存在点P，使△PCD与△PAB相似？若存在，求出DP的值；若不存在，请说明理由。

2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P从点A出发，沿AB向点B以每秒2cm的速度移动；点Q从点D出发，沿DA向点A以每秒1cm的速度移动，经过多少秒时，以Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

3、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P为下底BC上一点，（不与B、C重合）连结AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B。
（1）说明：△ABP∽△PCE.
（2）求等腰梯形的腰AB的长；
（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE∶EC=5∶3？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由。

4、已知：如图（1），在□ABCD中，O为对角线BD的中点．过O的直线MN交直线AB于点M，交直线CD于点N；过O的另一条直线PQ交直线AD于点P，交直线BC于点Q，连接PN、MQ．
（1）试说明△PON与△QOM全等；
（2）若点O为直线BD上任意一点，其他条件不变，则△PON与△QOM又有怎样的关系？试就点O在图（2）所示的位置，画出图形，说明你的猜想；
（3）若点O为直线BD上任意一点（不与点B、D重合），设OD：OB＝，PN＝，MQ＝，则与之间的函数关系式为____________．

5、已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：
将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D.
在图甲中，说明：PC=PD；
在图乙中，点G是CD与OP的交点，说明△POD∽△PDG.
将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长.