相似三角形的性质(1)导学案。

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第十课时相似三角形的性质（1）
教学目标：
1、探索相似三角形的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题；
2、发展学生合情推理，和有条理的表达能力
教学重点：相似三角形的性质
教学难点：有条理的表达与推理
教学设计：
一、情境创设
（1）前面学习了相似三角形、相似多边形的概念，知道如果两个三角形或两个多边形相似，那么它们的对应角、对应边成比例。相似三角形、相似多边形是否还有其他的一些性质呢？
（2）所有的正方形都是相似形（它们的对应角相等，对应边成比例）。
若正方形的边长为1，则周长为4，面积是1；若正方形的边长为2，则周长为8，面积是4；
若正方形的边长为3，则周长为12，面积是9；若正方形的边长为a，则周长为4a,面积是a2。
这些正方形间周长的比，面积的比与其边长的比之间有怎样的关系呢？
二、探索活动
1、若△ABC∽△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′的周长比等于相似比吗？
问题1.为了解决这个问题，不妨设这个相似比为k，只要考虑什么就可以了？
问题2.相似比为k，那么哪些线段的比也等于k？
问题3.这两个三角形的周长又分别与哪些线段有关？
问题4.如何得出这两个三角形的周长比与相似比k的关系？
得出：相似三角形的周长的比等于相似比
问题5.你能运用类似的方法说明“相似多边形的周长等于相似比吗？”
得出：相似多边形的周长等于相似比
2、问题1.若△ABC∽△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′的面积比与相似比又有什么关系呢？
已知△ABC∽△A′B′C′，相似比是k，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高。
因为∠B=∠B′，∠ADB=∠A′D′B′=90°所以△ABD∽△A′B′D′
所以，即AD=kA′D′，
所以
得出：相似三角形的面积比等于相似比的平方
问题2.你能类似地得出相似多边形的面积比与相似比的关系吗？
得出：相似多边形的面积比等于相似比的平方。
三、例题讲解
例1、（P106例1）在比例尺为1：500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm2，求这个地块的实际周长和实际面积。
2、若△ABC∽△DEF,△ABC的面积为81cm2,△DEF的面积为36cm2,且AB=12cm,则DE=cm
3、在△ABC中，F、G分别是AB、AC的中点，那么△AFG与四边形FBCG的面积之比是
4、如图,ΔABC中,DE∥FG∥BC,AD：DF：FB=1：2：3,则S四边形DFGE：S四边形FBCG=_________.

5、如图，在△ABC中，DE//BC，若，试求△DOE与△BOC的周长比与面积比。
6、如图，梯形DBCE中，DE∥BC，若S△EOD:S△BOC=1:9，求DE:BC的值.
添加：S1=2，求梯形DBCE的面积。
jAB88.COm

练习：如图，把△ABC沿AB边平移到△DEF的位置，它们重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，若AB=2，求此三角形移动的距离BE的长。

7、如图，在△ABC中，D是BC边的中点，且AD=AC，DE⊥BC交AB于E，EC交AD于F
（1）说明：△ABC∽△FCD
（2）若S△FCD=5，BC=10，求DE的长。
四、作业：

扩展阅读

相似三角形的性质

第二十一讲相似三角形的性质
两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应边之比称为它们的相似比，可以想到这两个相似三角形中其他一些对应元素也与相似比有一定的关系．
1．相似三角形对应高的比、对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；
2．相似三角形周长之比等于相似比；
3．相似三角形面积之比等于相似比的平方．
以上诸多相似三角形的性质，丰富了与角、面积等相关的知识方法，开阔了研究角、面积等问题的视野．

例题求解
【例1】如图，梯形ABCD中，AD∥BC(ADBC)，AC、BD交于点O，若S△OAB=S梯形ABCD，则△AOD与△BOC的周长之比是．
(浙江省绍兴市中考题)
思路点拨只需求的值，而题设条件与面积相关，应求出的值，注意图形中隐含的丰富的面积关系．
注相似三角形的性质及比例线段的性质，在生产、生活中有广泛的应用．
人类第一次运用相似原理进行测量，是2000多年前泰勒斯测金字塔的高度，泰勒斯是古希腊著名学者，有“科学之父”的美称．他把逻辑论证引进了数学，确保了数学命题的正确
性．使教学具有不可动摇的说明力．
【例2】如图，在平行四边形ABCD中．E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=()
A．4：10：25B．4：9：25C．2：3：5D．2：5：25
(黑龙江省中考题)

思路点拨运用与面积相关知识，把面积比转化为线段比．
【例3】如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C=90°，AB=5cm，BC=3㎝，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长．

思路点拨要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形所有顶点应落在△ABC的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出．
注本例是一道有实际应用背景的开放性题型，通过分析、推理、构思可能的方案，再通过比较、鉴别、筛选出最佳的设计方案，问题虽简单，但基本呈现了现实的生产中产生最佳设计方案的基本思路．
【例4】如图．在△ABC的内部选取一点P，过P点作3条分别与△ABC的三边平行的直线，这样所得的3个三角形、、的面积分别为4、9和49，求△ABC的面积．
(美国数学邀请赛试题)

思路点拔图中有相似三角形、平行四边形，通过相似三角形性质建立面积关系式，关键是恰当选择相似比，注意等线段的代换．追求形式上的统一．
【例5】如图，△ABC中．D、E分别是边BC、AB上的点，且∠l＝∠2=∠3，如果△ABC、△EBD、△ADC的周长依次是、m1、m2，证明：．
(全国初中数学联赛试题)

思路点拨把周长的比用相应线段比表示，力求统一，得到同—线段比的代数式，通过代数变形证明．
注例4还隐舍着下列重要结论：
(1)△FDP∽△IPE∽△PHG∽△ABC；
(2)；
(3)．
学力训练
1．如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若S△DOE：S△COB=9：16，则AD：DB=．
2．如图，把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形ABCD的位置，它们的重叠部分(图中的阴影部分)的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC=，则正方形移动的距离AA是．(江西省中考题)

3．若正方形的4个顶点分别在直角三角形的3条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm，则此正方形的边长为．(武汉市中考题)
4．阅读下面的短文，并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同．就把它们叫做相似体．
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比：a：b，设S甲：S乙分别表示这两个正方体的表面积，则，又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则．
(1)下列几何体中，一定属于相似体的是()
A．两个球体B．两个圆锥体C．两个圆柱体D．两个长方体
(2)请归纳出相似体的3条主要性质：
①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于；
②相似体表面积的比等于；
③相似体体积的比等于．(江苏省泰州市中考题)
5．如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=acm，宽BC=b㎝，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a：b于()
A．：1B．1：C．：1D．1：(2004年南京市中考题)

6．如图，D为△ABC的边AC上的一点，∠DBC=∠A，已知BC=，△BCD与△ABC的面积的比是2：3，则CD的长是()
A．B．C．D．
7．如图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE=BE，则有()
A．△AED∽△BEDB．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABDD．△BAD∽△BCD
(2001年杭州市中考题)
8．如图，已知△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：FD：FB=1：2：3，则S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG等于()
A．1：9：36B．l：4：9C．1：8：27D．1：8：36
9．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ACD=∠B，求证：．

10．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．
(1)求证：△ABF∽△EAD；
(2)若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；
(3)在(1)、(2)的条件下，若AD=3，求BF的长．(2003年长沙市中考题)
11．如图，在△ABC中，AB＝5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
(3)试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形?若不存在，请简要说明理由，若存在，请求出PQ的长．(厦门市中考题)
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC=2，在BC上有100个不同的点Pl、P2、…P100，过这100个点分别作△ABC的内接矩形P1E1F1G1，P2E2F2G2…P100E100F100G100，设每个内接矩形的周长分别为L1、L2，…L100，则L1+L2+…+L100=．(安徽省竞赛题)
13．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，若△ADE、△EFG、△GIC的面积分别为20cm2、45cm2、80cm2，则△ABC的面积为．

14．如图，一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是厘米2．
(“希望杯”邀请赛试题)
15．如图，正方形ABCD中，AE＝EF=FB，BG=2CG，DE，DF分别交AG于P、Q，以下说法中，不正确的是()
A．AG⊥FDB．AQ：QG＝6，7
C．EP：PD=2：11D．S四边形GCDQ：S四边形BGQF=17：9(2002年重庆市竞赛题)
16．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且CD=3AB，EF∥CD，EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，则AE：ED等于()
A．2B．C．D．

17．如图，正方形OPQR内接于△ABC，已知△AOR、△BOP和△CRQ的面积分别是S1=1，S2=3和S3=1，那么正方形OPQR的边长是()
A．B．C．2D．3
18．在一块锐角三角形的余料上，加工成正方形零件，使正方形的4个顶点都在三角形边上，若三角形的三边长分别为a、b、c，且a＞b＞cd，问正方形的2个顶点放在哪条边上可使加工出来的正方形零件面积最大?

19．如图，△PQR和△P′Q′R′，是两个全等的等边三角形，它们的重叠部分是一个六边形ABCDEF，设这个六边形的边长为AB=a1，BC=b1，CD=a2，DE=b2，EF=a3，FA=b3．求证：a1+a2+a3=b1+b2+b3．
20．如图，在△ABC中，AB=4，D在AB边上移动(不与A、B重合)，DE∥BC交AC于E，连结CD，设S△ABC=S，S△DEC=S1．
(1)当D为AB中点时，求的值；
(2)若AD=x，，求与x之间的关系式，并指出x的取值范围；
(3)是否存在点D，使得成立?若存在，求出D点位置；若不存在，请说明理由．
(福州市中考题)
21．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：
(1)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D．
①在图甲中，证明：PC=PD；
②在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=PD，求△POD与△PDG的面积之比．
(2)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C、E，使以P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长．(绍兴市中考题)

相似三角形的性质(2)导学案

为了促进学生掌握上课知识点，老师需要提前准备教案，大家正在计划自己的教案课件了。只有规划好教案课件计划，这样我们接下来的工作才会更加好！有哪些好的范文适合教案课件的？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“相似三角形的性质(2)导学案”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

第十一课时相似三角形的性质（2）
教学目标：
1、运用类比的思想方法，通过实践探索得出相似三角形，对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比；
2、会运用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决有关问题；
3、经历“操作—观察—探索—说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力。
教学重点：探索得出相似三角形，对应线段的比等于相似比
教学难点：利用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决问题
教学设计：
一、情境创设
全等三角形的对应边上的高相等。相似三角形的对应边上的高又有怎样的关系呢？
二、探索活动：
1、如图，△ABC∽△A′B′C′，相比为k，AD与A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，说明：AD/A′D′=k
由此引出：相似三角形对应高的比等于相似比
2、全等三角形的对应线段（中线、角平分线）有何关系？那么相似三角形的对应线段（中线、角平分线）又有怎样的关系呢？
3、小结相似三角形对应线段的关系。
三、例题教学
1、见课本P107的例题2
练习：见课本P1081、2、

2、如图：已知梯形上下底边的长分别为36和60，高为32，这个梯形两腰的延长线的交点到两底的距离分别是多少？

3、△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件EFGH，使正方形的一边HG在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是什么？

变题1：若四边形EFGH为矩形，且EF：EH=2：1，求矩形EFGH的面积。
变题2：已知：直角三角形的铁片ABC的两条直角边BC、AC的长分别为3和4，如图所示，分别采用（1）（2）两种方法，剪出一块正方形铁片，为使剪去正方形铁片后剩下的边角料较少，试比较哪种剪法较为合理，并说明理由。
4、如图，在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=3，PQ∥AB，P点在AC上（与点A、C不重合），点Q在B、C上。
（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
（3）在AB上是否存在点M，使得△PQM是等腰直角三角形？若存在，求出PQ的长。

相似三角形导学案

做好教案课件是老师上好课的前提，大家在用心的考虑自己的教案课件。在写好了教案课件计划后，才能更好的在接下来的工作轻装上阵！那么到底适合教案课件的范文有哪些？下面是小编帮大家编辑的《相似三角形导学案》，仅供参考，欢迎大家阅读。

4.2相似三角形

[学习目标]

1．了解相似三角形的概念，会表示两个三角形相似.

2．能运用相似三角形的概念判断两个三角形相似.

3．理解“相似三角形的对应角相等，对应边成比例”的性质.

[学习重点和难点]

学习重点：相似三角形的概念

学习难点：在具体的图形中找出相似三角形的对应边，写出比例式，需要具有一定分辨能力.

［课前自学，课中交流］

一、合作学习，探索新知

1、将图1中△ABC的边长缩小到原来的，并画在图1中,记为△（点，，分别对应点A，B，C）.

问题讨论一：△与△ABC对应角之间有什么数量关系？

问题讨论二：△与△ABC对应边之间有什么数量关系？

图1

2、（1）相似三角形的定义：

(2)若△与△ABC相似,则记△△ABC,读作:△△ABC

（3）几何语言表述图1中△与△ABC相似：

∵∠A=,∠B=,∠C=

∴△△ABC

3、（1）相似三角形的性质:

（2）相似三角形对应边的，叫做相似三角形的相似比（或相似系数）。

图1中△与△ABC的相似比为多少？△ABC与△的相似比为多少？

二、应用新知

例1如图2，D，E分别是AB，AC边的中点，求证：△ADE∽△ABC.

找一找：已知：如图2，图3，图4,根据3个图形，分别写出他们的对应角和对应边的比例式.

（1）△ABC∽△ADE，其中DE∥BC

（2）△ABC∽△ADE，其中∠ADE＝∠C

（3）△ABC∽△ADE，其中DE∥BC

例2如图2，△ABC∽△ADE.已知AD:DB=1:2,BC=9㎝，求DE的长.

变式：如图5，△ABC∽△ADE，AD=2㎝，AB=6㎝，AC=4㎝，求AE的长.

［当堂训练］

A巩固练习：

1．下列说法正确的是：

①两个等腰三角形一定相似②两个直角三角形一定相似③两个等边三角形一定相似.④两个等腰直角三角形一定相似⑤两个全等三角形一定相似

2.如图,D是AB上一点,△ABC∽△ACD,且AD:AC=2:3,AD=4,∠ADC=65°,∠B=43°

(1)求∠ACB,∠ACD的度数;

(2)写出△ABC与△ACD的对应边成比例的比例式,求出相似比..

3.下面两组图形中,每组的两个三角形相似,试分别确定a,x的值.

(1)(2)

B中考链接：

4.(2010广东梅州市)已知，相似比为3，且的周长为18，则的周长为（）

A．2B．3C．6D．54

C拓展提高:

5.已知△ABC与△DEF相似,△ABC的三边为2,3,4,△DEF的最大边为8,（1）求其余两边.（2）若改为△DEF的一边为8呢？求其余两边.