相似三角形的条件。

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第四章相似图形
6.探索三角形相似的条件（二）
一、学生知识状况分析
学生知识技能基础：
学生的知识技能基础：学生在七年级下册第五章《三角形》里，已学习过三角形的基础知识掌握了基本的概念；在本章前面几节课中，又学习了线段的比，黄金分割，形状相同的图形，相似多边形，相似三角形，并理解了它们的概念；现已具有了初步的平面图形知识，本节课是要在以前学习的基础上加深相似三角形部分的知识。本节知识的难点在于对两个相似三角形相似上的判定，本节课需要在上一节课的基础上增加“三边对应成比例的两个三角形相似”及“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这两条判定定理，在教学方法上建议采用学生自主探索、分组讨论、总结，教师参与讨论并最后点评总结的方法。
学生活动经验基础：
学生在上节课学习的基础上，进一步探索相似三角形的条件，已经有一定的探索经验；因此，本课时对学生来说，难度不是很大，关键是老师要用正确的方法，启发学生进行探索，做到师生互动，教师参加学生讨论并充分调动学生的学习积极性。使学生能充分的理解和掌握三角形的相似的判定方法，并能结合本节知识点，进行一些问题的解决，以巩固所学知识的运用。

二、教学任务分析
在复习上一节课所学的判定方法的基础上进一步学习三角形相似的条件，增加“三边对应成比例的两个三角形相似”及“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这两条判定定理，并对所学的各种三角形相似的判定方法进行梳理；使学生能掌握和综合利用相似三角形的判定条件和性质来判定两个三角形的相似，让学生结合实际再次体会数学中的几何图形在生活中广泛存在并起到重要的作用；在教学中再辅以适量的练习使学生对所学的知识加深印象和增加解决问题的能力。
教学内容：三角形相似的条件（2）

教学目标：
1、知识与技能：理解并掌握三角形相似的判定定理：“三边对应成比例的两个三角形相似”及“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
2、过程与方法：以问题的形式引入，创设一个有利于学生动手和探究的情景，师生互动，从而达到掌握相似三角形判定的方法的目的。
3、情感与价值观要求
（1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。
（2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。
教学重点
掌握相似三角形的两个判定定理：“三边对应成比例的两个三角形相似”及“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
教学难点
理解和应用相似三角形判定，“三边对应成比例的两个三角形相似”这条判定定理的教学难点在于使学生明白对应边的比必须相等；而“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这条判定定理的教学难点在于向学生强调相等的角必须是在两条成比例的线段之间。
教学关键
正确地把握几何图形的结构和特点
教学方法：探索发现归纳法
教具准备：教师：多媒体课件。
学生：自制相似三角形

三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：课前准备——自制相似三角形；第二环节：情景引入、合作探讨；第三环节：教师点睛；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结。

第一环节：课前准备
活动内容：自制相似三角形（提前一天布置）；
以四人为一个活动小组，制作相似三角形；
活动目的：通过学生自制相似三角形，希望学生从活动中了解怎样的情况下能制作出一组相似的三角形；从而让学生复习上一节课学习过的相似三角形的判定定理：“:如果一个三角形的两个角与另一个三形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：两角对应相等，两个三角形相似。”；并让学生自主探索三角形相似的其他定理，培养学生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识。
活动效果：
学生通过自主制作相似三角形，发现通过“:如果一个三角形的两个角与另一个三形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。”来制作相似三角形时，有一个角相同的两个三角形不一定相似；有两个角相同和三个角相同是一样的；在探索“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”时学生发现：如果相等的不是夹角，那么这两个三角形不一定相似。

第二环节：情景引入、合作探讨
活动内容：各个小组派代表展示制作的相似三角形，并说明在制作相似三角形时所探索出的相似三角形的有关信息
活动目的：给学生一个表现自己的舞台，增强学生的自信心；将学习空间还给学生，让学生在相互合作的过程中发现知识，掌握知识。
活动效果：在一个开放的环境下展示、讲解亲自搜集到的相似三角形全等的判定，学生们以这样的方式，以自己的思维引入；而且引入的过程是学生们自己探索的过程，使用的结论是学生自己探索的结果；就让学生对学习有很高的兴趣，而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈,同时培养了学生们的合作交流精神和语言表达能力。

第三环节：教师点睛
活动内容：
学生根据小组制作的相似三角形的图形及在制作相似三角形中的“发现”进行相互交
流，教师给予适当的帮助，在学生探索的基础上进行教学提高：
[师]我们上一节课学过什么定理?
师生共同回忆并得出答案，我们上节课学习了三角形的判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：两角对应相等，两个三角形相似。
[师](演示课件)
[师]提出问题;是否有△ABC∽△ABC？
(1)让学生通过探索比较两个三角形对应三个角的大小然后得出结论:
1
2
∴△ABC∽△ABC
所以通过发现归纳总结有下面的结论
判定定理2：三条边对应成比例的两个三角形相似。
[师]（演示课件）让学生观察幻灯片然后提出问题：两个三角形两边对应成比例且夹角相等,它们是否相似?
判定定理3：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

判断：已知△ABC和△A’B’C’,根据下列条件判断它们是否相似？

1、[师]（演示课件）如图：△ABC与△ABC相似吗？你有哪些判断方法？

其中，第四种不成立。

活动目的：理解并掌握三角形相似的判定定理：“三边对应成比例的两个三角形相似”及“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”。特别是在“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这条判定定理的教学中要向学生强调相等的角必须是在两条成比例的线段之间
活动效果：通过学生活动后教师的点睛之笔般的教学，学生对三角形相似的判定有了系统的了解，通过学生自己的探索和教师对知识的系统教学，在学生思维中自己探索而获得的知识重叠，进而加深了记忆。

第四环节：练习提高
活动内容：
1、课本123页随堂练习第1题
2、一个三角形三边长分别为BC=4㎝，AB=6㎝，AC=7㎝，另一个三角形三边长分别为BC=2㎝，AB=3㎝，AC=3.5㎝，这两个三角形相似吗？
活动目的：通过练习，巩固对本节知识的理解；并让学生将上一节课：相似三角形的判定1，与本课知识：相似三角形的判定2、3的内容系统的掌握。
活动效果：学生基本都能对两个三角形是否还是相似作出正确的判断并在“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这条判定定理中学生理解了相等的角必须是在两条成比例的线段之间这个重点和难点。

第五环节：课堂小结
活动内容：师生互相交流本节课学习的两个三角形相似的判别方法：
1、三条边对应成比例的两个三角形相似。
2、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
综合上一节课学习过三角形相似的判定方法，得到如下的关系图：

布置作业：课本125页习题4.8第1题、第2题

活动目的：鼓励学生结合本节课的学习及课前的相似三角形的制作过程，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励）
活动效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获：相似三角形进行判断的三种方法；特别是在运用相似三角形判定3“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”来判断三角形相似中，需注意：相等的角必须是在两条成比例的线段之间的角！

四、教学反思
1、教师要给予学生自主探索三角形相似条件的时间，同时要为学生提供表现自我的舞台；让学生在探索中自己总结、提高；当然，教师需要进行点睛般的教学。
（1）本课时我们共同学习探索了三角形相似的第二个条件，即：两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似；由于学生有了上一节课的基础，因此，大部分学生能够正确理解和掌握。
（2）三角形相似的第二个条件，由于要用到三角形的边、角，部分学生容易忽略条件的要求，即：“两边且夹角”，老师务必在学生学习时加以强调，避免出现“两边且对角”的错误。
2、注意改进的内容：
在教师总结性的教学之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让思维活跃的部分学生的回答代替其他学生的思考；教师应该对小组讨论给予指导，并参与学生小组的讨论，对部分思维不活跃的学生要启发性的提出一些问题，帮助学生思考。

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相似三角形的应用

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29.8相似三角形的应用

一、教材分析：

教学背景分析教学内容本节主要探索的是应用相似三角形的识别、性质等知识去解决某些简单的实际问题（计算不能直接测量物体的长度和高度）。

学情分析学生已经学过了相似三角形的概念、识别及性质，在次基础上通过本课的学习将对前面所学知识进行全面应用。

教

学

目

标知识目标1、学生通过探索实际问题来体验测量中对相似三角形有关知识的应用。

2、经历应用相似三角形的有关知识去解决简单的实际问题的全过程。

能力目标1、全力培养学生的应用意识，和把实际问题转化为数学问题并用数学方

法去分析、解决实际问题的能力。

2、通过开放的设计题来发展学生的思维，培养创造力。

情感目标1、通过著名的科学家名句和如何测量神秘的金字塔的高度来激发学生学数学的兴趣，使全体学生积极参与探索，体验成功的喜悦。

2、力求培养学生科学，正确的数学观，体现探索精神。

教学

重点

难点教学重点1、引导学生根据题意构建出相似三角形模型，从而可以把实际问题转化为纯数学问题来解决。

2、面对已设计出来的测量方案，应注意在实际操作中所出现的错误。

教学难点通过审题、思考后，如何在实际问题中抽象出相似三角形的模型。

教学策略针对以上教学难点、重点的分析，本节课将应用启发式教学与探究式教学相结合来展开分解难点、突出重点。始终体现以学生自主学习及合作交流为主的新课程理念，从学生的经验、生活实际出发，创设情景，引导学生去发现、分析、解决问题。

教学关键在实际生活中，面对不能直接测量出长度和宽度的物体，我们可以应用相似三角形的知识来测量，只要将实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用线段成比例来求解。

二、教学流程：

流程内容呈现师生活动意图设计

一、

创

设

情

景

激

发

兴

趣

⑴创设情景：

师：（出示图片）著名的科学家阿基米德曾讲过如果给我一个支点我可以撬起整个地球。我们真佩服伟人的大气，其实这个杠杆图中有着一个数学知识，而且这个知识在生活中很常见。

生：观察图片，听教师讲述。

⒈通过图片的展示及教师的娓娓讲述一开始就把学生的视觉、听觉深深的吸引牢了。

2、杠杆原理图中就隐藏着相似三角形的模型，因此可以自然的引出有关的实际问题。

3、选择学生熟知的生活情景引入，激发兴趣，产生“要学习”的欲望。

二、

授

人

以

鱼，

给

出

模

型

⑴如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高m?

⑵小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.(设网球是直线运动)

师：给出两个小题，要求学生独立完成，完成后思考两题在解题过程中有何异同？

生：独立完成，并思考异同点。

由学生来讲解过程，并分析异同点。

师：两题都是通过构建相似三角形模型来解决的。

目的在于既可对相似三角形的识别与性质进行有效的复习,又可让学生形成初步应用相似三角形知识来解决实际问题的意识。

流程内容呈现师生活动意图设计

三、

抽

象

模

型，

感

受

过

程感受建模过程：

小结：

在解决次类实际问题时，可构建相似三角形的模型，再利用对应边成比例建立等式，已知三个量去求第四个量。

师：教师利用电脑课件演示抽模过程。

生：去直观感受过程，留下印象，形成经验。

要想很好的解决实际问题就必须转化为数学问题。具体的就是构建数学模型。本题我先借助电脑来抽象模型让学生感受过程，即授人于鱼。在培养学习兴趣，逐步展开思维的同时，使学生形成将生活问题数学化意识。

四、

授

人

于

渔，

动

手

实

践

之

一

1、同学们，若有一瓶牛奶，喝了一部分，如何来测量出剩余牛奶液面的高度呢？

2、若小明在测量时，将木棒一不小心滑到了底面的D处，那又该如何测量呢？

3、如果木棒底端在瓶底上的任意处，是否都可测量呢？

4、在测量和计算时应注意什么？

师：创设一个有趣的情景给学生，同时，给出实践的目标。这三个问题是呈现递进关系的。并能充分的应用到相似三角形的知识。

生：以同桌合作的形式动手操作（课前已让学生准备好易拉罐、筷子、刻度尺），在操作中进行探索和思考。

教师来回巡视，观察学生操作进程，然后由学生上讲台来讲解过程。

师：需测量那几个量？测量时应注意什么？

小结：

在构建好模型后，成比例的四个量中，必须想方设法测出三个量才能解的第四个量。1、本题是一道操作性强，且是半开放题型，是在前面“授人于鱼”基础上，让学生合作探索以达到“授人于渔”的效果，三个问题层层递进，直至最后规律的得出：无论木棒底端放在那里，都可以通过建立相似三角形模型来测量。

2、充分培养了学生的动手实践能力及数学建模思想。

流程内容呈现师生活动意图设计

五、

延

伸

拓

展，

动

手

实

践

之

二

利用所给的工具如何测量零件的内径呢？

师：亮出题目，讲清任务。

生：四人一组进行动手操作，寻求解决问题的方法。

最后，由学生来讲解解决方法的过程。教师与其他同学再补充。

如果前面一题侧重的于对“A”字形相似三角形的应用，那么这一题更侧重于对“X”字形相似三角形的应用。两题相互补充。完善了学生的知识结构。

六、

悟

其

渔

识，

设

计

方

案

教师简单的介绍一下由于金字塔经过几千年的风化，高度下降了，所以要重新测量。

如果给你一根2米高木棒，一把皮尺，一面平面镜。同学们，你能利用所学知识选择适当的工具来测出塔高吗？（自主设计方案）

内容呈现

师：娓娓讲述题目，并对题目作简单的解释。

生：四人一组进行合作探索。

师：教师下讲台与学生一起交流，并汇总方案。

由学生来讲解设计的步骤，并讲清需要测量那些量及在测量时应注意什么？

师生活动1、本题是一道完全开放的题目，可以让他们的思想插上翅膀，能培养学生的创新意识与探索精神。

2、单凭自己的力量是不够的，遇到困难自然想到要合作，这样可以培养学生的合作交流意识。

3、这是本课的最高境界——悟其渔识。在前面得到“鱼”，又学会了“渔”的基础与过程中，悟出了真正的“渔识”，全面引导学生进行开创性的思考和探索

预测说明

七、

1、学生可能首先想到方案一

当方案一应注意的是木棒影子的顶端F应该在金字塔影子的外面。

2、测量时，应让木棒顶端影子与金字塔顶端的影子相互重合于A点。

3、测量BC时

应该测量人的目高。

4、抽象出的两个基本模型。

八、

聆

听

学

生

心

声

课堂聚焦：

通过本堂课的探索,你学会了什么?

有何收获?（最想说的一句话是什么？）

在学生回答的基础上，教师最后指出：

1、本课重点是把实际问题转化为数学问题，即构建出相似三角形的模型，再利用相似三角形的性质来解决实际问题。（当物体的高度和长度不能直接测量时）

2、数学思想：转化思想、建模思想。

师：同学们可以先在小组内交流一下心得。

生：畅所欲言，表达心声。

1、体现以学生为本的真正理念。

2、聆听学生心声，随时反思和总结。

3、学生的心理素质和提高表达能力。

九、

作

业布置

1、完成课本的练习及作业本的练习。

2、课后，同学们可以去设计一些方案来测量学校的旗杆、树木。

完成作业可以很好的对本课的知识进行有效的巩固和加深。

课本的练习和作业本的练习注重的纯理论的，而第二个作业则注重培养学生的动手实践能力。

相似三角形的性质

第二十一讲相似三角形的性质
两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应边之比称为它们的相似比，可以想到这两个相似三角形中其他一些对应元素也与相似比有一定的关系．
1．相似三角形对应高的比、对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；
2．相似三角形周长之比等于相似比；
3．相似三角形面积之比等于相似比的平方．
以上诸多相似三角形的性质，丰富了与角、面积等相关的知识方法，开阔了研究角、面积等问题的视野．

例题求解
【例1】如图，梯形ABCD中，AD∥BC(ADBC)，AC、BD交于点O，若S△OAB=S梯形ABCD，则△AOD与△BOC的周长之比是．
(浙江省绍兴市中考题)
思路点拨只需求的值，而题设条件与面积相关，应求出的值，注意图形中隐含的丰富的面积关系．
注相似三角形的性质及比例线段的性质，在生产、生活中有广泛的应用．
人类第一次运用相似原理进行测量，是2000多年前泰勒斯测金字塔的高度，泰勒斯是古希腊著名学者，有“科学之父”的美称．他把逻辑论证引进了数学，确保了数学命题的正确
性．使教学具有不可动摇的说明力．
【例2】如图，在平行四边形ABCD中．E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=()
A．4：10：25B．4：9：25C．2：3：5D．2：5：25
(黑龙江省中考题)

思路点拨运用与面积相关知识，把面积比转化为线段比．
【例3】如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C=90°，AB=5cm，BC=3㎝，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长．

思路点拨要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形所有顶点应落在△ABC的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出．
注本例是一道有实际应用背景的开放性题型，通过分析、推理、构思可能的方案，再通过比较、鉴别、筛选出最佳的设计方案，问题虽简单，但基本呈现了现实的生产中产生最佳设计方案的基本思路．
【例4】如图．在△ABC的内部选取一点P，过P点作3条分别与△ABC的三边平行的直线，这样所得的3个三角形、、的面积分别为4、9和49，求△ABC的面积．
(美国数学邀请赛试题)

思路点拔图中有相似三角形、平行四边形，通过相似三角形性质建立面积关系式，关键是恰当选择相似比，注意等线段的代换．追求形式上的统一．
【例5】如图，△ABC中．D、E分别是边BC、AB上的点，且∠l＝∠2=∠3，如果△ABC、△EBD、△ADC的周长依次是、m1、m2，证明：．
(全国初中数学联赛试题)

思路点拨把周长的比用相应线段比表示，力求统一，得到同—线段比的代数式，通过代数变形证明．
注例4还隐舍着下列重要结论：
(1)△FDP∽△IPE∽△PHG∽△ABC；
(2)；
(3)．
学力训练
1．如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若S△DOE：S△COB=9：16，则AD：DB=．
2．如图，把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形ABCD的位置，它们的重叠部分(图中的阴影部分)的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC=，则正方形移动的距离AA是．(江西省中考题)

3．若正方形的4个顶点分别在直角三角形的3条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm，则此正方形的边长为．(武汉市中考题)
4．阅读下面的短文，并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同．就把它们叫做相似体．
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比：a：b，设S甲：S乙分别表示这两个正方体的表面积，则，又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则．
(1)下列几何体中，一定属于相似体的是()
A．两个球体B．两个圆锥体C．两个圆柱体D．两个长方体
(2)请归纳出相似体的3条主要性质：
①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于；
②相似体表面积的比等于；
③相似体体积的比等于．(江苏省泰州市中考题)
5．如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=acm，宽BC=b㎝，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a：b于()
A．：1B．1：C．：1D．1：(2004年南京市中考题)

6．如图，D为△ABC的边AC上的一点，∠DBC=∠A，已知BC=，△BCD与△ABC的面积的比是2：3，则CD的长是()
A．B．C．D．
7．如图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE=BE，则有()
A．△AED∽△BEDB．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABDD．△BAD∽△BCD
(2001年杭州市中考题)
8．如图，已知△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：FD：FB=1：2：3，则S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG等于()
A．1：9：36B．l：4：9C．1：8：27D．1：8：36
9．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ACD=∠B，求证：．

10．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．
(1)求证：△ABF∽△EAD；
(2)若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；
(3)在(1)、(2)的条件下，若AD=3，求BF的长．(2003年长沙市中考题)
11．如图，在△ABC中，AB＝5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
(3)试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形?若不存在，请简要说明理由，若存在，请求出PQ的长．(厦门市中考题)
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC=2，在BC上有100个不同的点Pl、P2、…P100，过这100个点分别作△ABC的内接矩形P1E1F1G1，P2E2F2G2…P100E100F100G100，设每个内接矩形的周长分别为L1、L2，…L100，则L1+L2+…+L100=．(安徽省竞赛题)
13．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，若△ADE、△EFG、△GIC的面积分别为20cm2、45cm2、80cm2，则△ABC的面积为．

14．如图，一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是厘米2．
(“希望杯”邀请赛试题)
15．如图，正方形ABCD中，AE＝EF=FB，BG=2CG，DE，DF分别交AG于P、Q，以下说法中，不正确的是()
A．AG⊥FDB．AQ：QG＝6，7
C．EP：PD=2：11D．S四边形GCDQ：S四边形BGQF=17：9(2002年重庆市竞赛题)
16．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且CD=3AB，EF∥CD，EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，则AE：ED等于()
A．2B．C．D．

17．如图，正方形OPQR内接于△ABC，已知△AOR、△BOP和△CRQ的面积分别是S1=1，S2=3和S3=1，那么正方形OPQR的边长是()
A．B．C．2D．3
18．在一块锐角三角形的余料上，加工成正方形零件，使正方形的4个顶点都在三角形边上，若三角形的三边长分别为a、b、c，且a＞b＞cd，问正方形的2个顶点放在哪条边上可使加工出来的正方形零件面积最大?

19．如图，△PQR和△P′Q′R′，是两个全等的等边三角形，它们的重叠部分是一个六边形ABCDEF，设这个六边形的边长为AB=a1，BC=b1，CD=a2，DE=b2，EF=a3，FA=b3．求证：a1+a2+a3=b1+b2+b3．
20．如图，在△ABC中，AB=4，D在AB边上移动(不与A、B重合)，DE∥BC交AC于E，连结CD，设S△ABC=S，S△DEC=S1．
(1)当D为AB中点时，求的值；
(2)若AD=x，，求与x之间的关系式，并指出x的取值范围；
(3)是否存在点D，使得成立?若存在，求出D点位置；若不存在，请说明理由．
(福州市中考题)
21．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：
(1)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D．
①在图甲中，证明：PC=PD；
②在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=PD，求△POD与△PDG的面积之比．
(2)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C、E，使以P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长．(绍兴市中考题)

探索三角形相似的条件

案例名称《探索三角形相似的条件》

课时1课时

一、教材内容分析

《探索三角形相似的条件》是北师大版试验教科书八年级下册第四章第九节的内容，1课时，它是在学生学习了相似三角形的概念基础上，进一步研究三角形相似的条件，是今后进一步研究其他图形的基础。

二、教学目标（知识，技能，情感态度、价值观）

1、知识目标：

（1）使使学生能通过三角形全等的判定来发现三角形相似的判定．

（2）学生掌握相似三角形判定定理1，并了解它的证明．

（3）使学生初步掌握相似三角形的判定定理1的应用．

2、能力目标：

（1）通过尺规作图使学生得到技能的训练；

（2）通过公理的初步应用，初步培养学生的逻辑推理能力.

3、情感目标：

（1）在公理的形成过程中渗透：实验、观察、类比、归纳；

（2）通过知识的纵横迁移感受数学的系统特征。

三、教学重难点：

重点：掌握相似三角形判定定理1及其应用．

难点：定理1的证明方法．

四、教学环境及资源准备

1.投影片

2.观看相关视频

五、教学过程

教学过程教师活动学生活动设计意图及资源准备

（一）、导入新课1、多媒体展示问题，什么叫相似三角形？相似三角形与全等三角形有何联系？

2、到目前为止判定三角形相似的方法有几个？

3、什么叫相似三角形？相似三角形与全等三角形有何联系？

学生回答证明三角形的两种方法通过提问既起到复习旧知识又起到引出新问题的作用

（二）、探究新知

1新课讲解

（1）、做一做，做出两个三角形来试验是否相似。

（2）、师生共同总结：两角对应相等的两个三角形相似。

2应用新知

教学例1：已知：△ABC和△DEF中∠A=40，∠B=80，∠E=80，∠F=60

求证：△ABC∽△DEF

例2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形相似

3、例题小结1、学生亲手实践

2、学生理解

3、边听讲边思考让学生通过亲手实践来体验知识的准确性，

理解，消化主要知识

例1，例2的练习加强学生，以达对定理的更深一步的理解与掌握。

（三）、随堂练习

学生完成教师订正练习应用巩固知识

（四）、课时小结通过这节课的学习，你能获得哪些收获？分小组交流后个别回答知识系统化

（五）、课后作业习题4.9

第1题、第2题。

六、教学流程图

《探索直角三角形全等的条件》

七、教学评价设计

1.本节课教学目的明确、具体，符合课程标准的要求，切合学习实际；能够结合具体实例，通过观察、操作、想象、推理、交流等活动发展空间观念；推理能力和有条理的表达能力，能够密切结合学科特点，注重情感目标的建立。

2.教学活动设计合理，整节课的教学过程自然流畅，组织合理，练习题简洁、精练，表达准确，整节课围绕目标进行教学。

3.教后反思，培养了学生良好的学习习惯和思维品质。布置作业，基础题能够使学生更好的巩固课堂知识，开放性题是针对成绩较好的同学的，能够拓展他们的思维。

八、教学后记

为保证新课程标准的落实，我们把课堂教学作为有利于学生主动探索的数学学习环境，把学生在获得知识和技能的同时，在情感、态度价值观等方面都能够充分发展作为教学改革的基本指导思想，把数学教学看成是师生之间学生之间交往互动，共同发展的过程。