八年级数学上册14.3因式分解14.3.1提公因式法因式分解学案新版新人教版。
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14.3.1提公因式法因式分解
【学习目标】
1、理解因式分解的概念,以及因式分解与整式乘法的关系.
2、理解公因式的概念
3、会用提公因式法因式分解。
【学习重点】会找公因式,会用提公因式法因式分解。
【学习难点】找公因式。
【学习过程】
一、提出问题,创设情境
1、请把下列各式写成整式的乘积的形式:
(1)x2+x=;(2)x2-1=;
(3)am+bm+cm=;(4)x2-2xy+y2=.
总结概念:把一个化成几个整式的的形式的变形叫做把这个多项式因式分解,也叫分解因式.
2、辩一辩:下列变形是否是因式分解?为什么?
(1)7x-7=7(x-1).
(2)3a2b-ab+b=b(3a2-a)
(3)x2-2x+3=(x-1)2+2
(4)2m(n+c)-3(n+c)=(n+c)(2m-3)
(5)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)
(6)(x+1)(x-1)=x2-1
(7)x2-4=(x+2)(x-2)
(8)x+x2y=x2(+y)
3、问题:对于多项式:各项有何特点?你能把它分解因式吗?
=.
归纳:公因式:如多项式:的各项都有一个,我们把这个.
叫做这个多项式的。
提公因式法:如果一个多项式的各项含有,那么就可以把这个公因式,从而将多项式化成两个因式形式,这种分解因式的方法叫做.
4、请同学们指出下列各多项式中各项的公因式:
ax+ay+a4a2+10ah
4x2-8x6x2y+xy2
3mx-6mx212xyz-9x2y2wWW.JaB88.COm
16a3b2-4a3b2-8ab4
通过以上学习探究活动,你能总结一下最大公因式的方法:
①一看系数:公因式的系数取各项系数的;
②二看字母:公因式字母取各项的字母,
③三看指数:公因式字母的指数取相同字母的最次幂.
二、范例学习:
例1将多项式分解因式8a3b2+12ab2c
即时训练:分解因式
(1)3x3-6xy+3x(2)-4a3+16a2-18a
例2、把2a(b+c)-3(b+c)分解因式.
即时训练:分解因式
三、巩固练习:
1、把下列各式分解因式:
(1)(2)(3)
2、先分解因式,再求值:
四、课堂小结:
1.利用提公因式法因式分解,关键是找准.在找最大公因式时应注意:
.
2.因式分解应注意分解彻底,也就是说,分解到不能再分解为止.
五、课后反思:,
(实际用课时)
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★★知识体系梳理
◆因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式;(化和为积)
注意:
1、因式分解对象是多项式;
2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止;
3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确性;
◆分解因式的作用
分解因式是一种重要的代数恒等变形,它有着广泛的应用,常见的用途有化简多项式和进行简便运算,恰当的运用分解因式,常可以使计算化繁为简。
◆分解因式的一些原则
(1)提公因式优先的原则.即一个多项式的各项若有公因式,分解时应首先提取公因式。
(2)分解彻底的原则.即分解因式必须进行到每一个多项式因式都再不能分解为止。
(3)首项为负的添括号原则.即如果多项式的首项系数为负,应先添上带“-”号的括号,并遵循添括号法则。
◆因式分解的首要方法—提公因式法
1、公因式:一个多项式每项都含有的公共的因式,叫做这个多项式各项的公因式。
2、提公因式法:如果一个多项式的各项含有公因式,可以逆用乘法分配律,把各项共有的
因式提出以分解因式的方法,叫做提公因式法。
3、使用提取公因式法应注意几点:
(1)提取的“公因式”可以是数、单项式,也可以是一个多项式,是一个整体。
(2)公因式必须是多项式的每一项都有的因式,在提取公因式时,要把这些公共的因式全部找出来,并提到括号外面去,才算完成了提取公因式。(找最高公因式)
(3)对多项式中的每一项的数字系数,在提取时要提出这些数字系数的最大公约数,各项都含有相同的字母,要提取相同字母的指数的最低指数。
◆提公因式法分解因式的关键:
1、确定最高公因式;(各项系数的最大公约数与相同因式的最低次幂之积)
2、提出公因式后另一因式的确定;(用原多项式的每一项分别除以公因式)
★★典型例题、方法导航
◆考点一:因式分解的意义
【例1】判断下列变形哪些是因式分解?
(1)---------------------------()
(2)-------------------()
(3)--------------------()
(4)----------------------------------()
(5)-------------------------------()
【例2】根据整式乘法与因式分解的关系连线
【例3】已知关于的多项式分解因式为,求的值。
◎变式议练一
1、下列从左边到右边的变形,是因式分解的是()
A、B、
C、D、
2、辨析下列因式分解是否正确,若错误请改正。
(1)分解因式不彻底:
(2)提出公因式后漏项:
◆考点二:提公因式法
【例4】分解因式:
(1)(2)(3)
(4)(5)
◎变式议练二:
1、多项式与多项式的公因式是;
2、若多项式的一个因式是,那么另一个因式是()
、、、、
3、若是的因式,则p为()
A、-15B、-2C、8D、2
4、把下列各式分解因式:
(1)(2)
(3)(4)
◆考点三:提公因式法的应用
【例5】计算:(1)(2)
◎变式议练三:
1、已知,,则;
2、计算:;
3、已知,求的值。
◆考点四:能力拓展
【例6】已知,,求的值;
【例7】已知:,求代数式的值。
【例8】已知整数、、使等式对任意的均成立,求的值;(山东省竞赛题)
◎变式议练四:
1、多项式可以分解为两个整式的积,其中一个整式为,求另一个整式;
2、分解因式:
3、(IT杯赛)化简:.
◆◆◆快乐体验
将一个乒乓球的半径增加,其周长增加,将地球的半径增加,其周长增加,比较与的大小;
提公因式法分解因式导学案
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章节与课题§9.5提公因式法分解因式课时安排2课时
使用人使用日期或周次
本课时
学习目标
或学习任务1、经历逆向得出因式分解方法的过程,并会用提公因式法分解因式.
2、发展学生逆向思考问题的能力和推理能力.
3、在学习过程中获得成功的体验,建立自信心.
本课时
重点难点
或学习建议教学重点:掌握公因式的概念,会使用提公因式法进行因式分解.
教学难点:正确找出公因式,正确用提公因式法把多项式进行因式分解.
本课时
教学资源
的使用电脑、投影仪.
学习过程学习要求
或学法指导教师
二次备课栏
自学准备与知识导学:
1、如何计算375×2.8+375×4.9+375×2.3,你是怎样想的?依据是什么?
2、类比上式,能将写成积的形式吗?在多项式中的位置有什么特点?
3、这里是多项式中______都含有的______,称为多项式各项的__________.
分配率.
学习交流与问题研讨:
1、探索研究
议一议:下列多项式的各项是否有公因式?若有,是什么?
⑴⑵⑶
问题:通过上述问题你能否说明如何找出一个多项式各项的公因式.
2、找出公因式后,我们就可以将写成积的形式,
即:=______(______________________),像这
样,把一个多项式化为几个整式积的形式,叫做把这个多项式_________.
3、因式分解与整式乘法的关系
两者是互逆关系
4、例题一(准备好,跟着老师一起做!)
把下列各式分解因式:⑴6a3b–9a2b2c⑵–2m3+8m2–12m
如果多项式的第一项系数是负的,一般要先提出“一”号,使括号内的首项系数变为正,在提出“一”号时,注意括号里的各项都要变号.
5、例题二(有困难,大家一起讨论吧!)
想一想:如何把多项式分解因式?
如果多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来.把多项式化成_________与另一个多项式的____________,这种分解因式的方法叫做_______________.
注意:找多项式各项的公因式时,⑴若系数是整数,则取各项系数的最大公约数.⑵对于字母,一是取各项中相同的字母,二是各项相同字母的指数取其次数最低的.
先分离,再提取.
注意:公因式可以是一个单项式,也可以是一个多项式.
体会因式分解的意义及其与整式乘法的区别和联系,为丰富学生的感知,再给出几个多项式引导学生观察,并说出他们能否写成积的形式.
练习检测与拓展延伸:
1、巩固练习
⑴课本P71练一练1、2、3、4.
⑵把下列各式分解因式:
①
②
③
④
⑶把下列各式分解因式:
①6p(p+q)–4p(p+q)
②(m+n)(p+q)–(m+n)(p-q)
③(2a+b)(2a-3b)–3a(2a+b)
④x(x+y)(x-y)–x(x+y)2
2、提升训练
把下列各式分解因式:
①(a+b)(a-b)-(b+a)
②a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)
③10a(x-y)2-5b(y-x)2
④3(x-1)3y-(1-x)3z
3、当堂测试
探究与训练P485-8.
先分离,再提取.
注意:公因式可以是一个单项式,也可以是一个多项式.
课后反思或经验总结:
1、本节课从数引入过渡到式,运用类比的思想得出因式分解的方法之一:提公因式法,并通过观察以及做一做,得出如何找公因式的方法,并把一个多项式通过提公因式法写成积的形式.
因式分解
教案课件是老师不可缺少的课件,大家应该开始写教案课件了。只有写好教案课件计划,才能够使以后的工作更有目标性!你们知道哪些教案课件的范文呢?下面是小编为大家整理的“因式分解”,希望对您的工作和生活有所帮助。
课题
9.5乘法公式的再认识—因式分解
课时分配
本课(章节)需3课时
本节课为第3课时
为本学期总第课时
因式分解(三)--提公因式法
教学目标
1、理解因式分解的意义及其与整式乘法的区别和联系
2、了解公因式的概念,掌握提公因式的方法
3、培养学生的观察、分析、判断及自学能力
重点
掌握公因式的概念,会使用提公因式法进行因式分解。
难点
1、正确找出公因式
2、正确用提公因式法把多项式进行因式分解
教学方法
讲练结合、探索交流
课型
新授课
教具
投影仪
教师活动
学生活动
情景设置:
学生阅读“读一读”后,完成练习
下列由左边到右边的变形,哪些是整式乘法,哪些是因式分解,因式分解用的是哪个公式?
⑴(x+2)(x-2)=x2-4;
⑵x2-4=(x+2)(x-2);
⑶x2–4+3x=(x+2)(x-2)+3x;
⑷x2+4-4x=(x-2)2
⑸am+bm+cm=m(a+b+c)
新课讲解:
我们来观察分析am+bm+cm=m(a+b+c),这个式子由左边到右边的变形是多项式的因式分解,这里m是多项式am+bm+cm的各项am、bm、cm都含有的因式,称为多项式各项的公因式。
确定多项式的公因式的方法,对数字系数取各项系数的最大公约数,各项都含有的字母取最低次幂的积作为多项式的公因式,公因式可以是单项式,也可以是多项式,如:ax+bx中的公因式是x.多项式a(x+y)+b(x+y)的公因式是(x+y).如果多项式的第一项系数是负的,一般要先提出“一”号,使括号内的首项系数变为正,在提出“一”号时,注意括号里的各项都要变号.
关键是确定多项式各项的公因式,然后,将多项式各项写成公因式与其相应的因式的积,最后再提公因式,把公因式写在括号外面,然后再确定括号里的因式,这个因式(括号里的)的项数与原多项式的项数相同,如果项数不一致就漏项了.
完成“议一议”
如果多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
例题5:把下列各式分解因式:
⑴6a3b–9a2b2c﹢⑵-2m3+8m2-12m
思路点拨:通过例5,教会学生如何找公因式,讲清要决定系数与字母,具体方法加以强调。在提出“一”号后,括到括号里的各项都要变号.
解:⑴6a3b–9a2b2c﹢
=3a2b·2a-3a2b·3bc
=3a2b(2a-3bc)
完成“想一想”,要放手让学生去做
例题6:把下列各式分解因式:⑴-3x2+18x-27;⑵18a2-50;
⑶2x2y-8xy+8y。
练习:第91页第1、2、3、4、5题
小结:
提公因式法分解因式的关键是确定公因式,当公因式是隐含的时候,多项式要经过适当的变形;变形的过程要注意符号的相应改变.
我们已经学习了提公因式法和运用公式法,要注意先看能否用提公因式法,分解因式要进行到每个多项式因式都不能再分解为止。
教学素材:
A组题:1、下列多项式因式分解正确的是()
(A)
(B)
(C)
(D)
2、(1)的公因式是
(2)
(3)
3、把下列各式分解因式.
(1)
(2)
(3)
(4)
4、把下列各式分解因式:
(1)6p(p+q)-4p(p+q);
(2)(m+n)(p+q)-(m+n)(p-q);
(3)(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b)
(4)x(x+y)(x-y)-x(x+y)2;
5、把下列各式分解因式:
(1)(a+b)(a-b)-(b+a);
(2)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a);
(3)10a(x-y)2-5b(y-x);
(4)3(x-1)3y-(1-x)3z
B组题:
1、把下列各式分解因式:
(1)6(p+q)2-2(p+q)
(2)2(x-y)2-x(x-y)
⑶2x(x+y)2-(x+y)3
2、先因式分解,再求值.
(1)x(a-x)(a-y)-y(x-a)(y-a),
其中a=3,x=2,y=4;
(2)-ab(a-b)2+a(b-a)2-ac(a-b)2,
其中a=3,b=2,c=1.
让学生自己阅读“读一读”,体会因式分解的意义及其与整式乘法的区别和联系
完成“议一议”由学生自己先做(或互相讨论),然后回答,若有答不全的,教师(或其他学生)补充.
学生回答:
⑵-2m3+8m2-12m
=-(2m·m2-2m·4m+2m·6)
=-2m(m2-4m+6)
完成“想一想”由学生自己先做(或互相讨论),然后回答,若有答不全的,教师(或其他学生)补充.
让学生自己先做,同桌互相纠错,
作业
第92页第2⑶⑷⑸、3题
板书设计
复习例5板演
………………
………………
……例6……
………………
………………
教学后记