高中力的分解教案

发表时间：2020-12-24

分解方法的延拓。

每个老师上课需要准备的东西是教案课件，大家在仔细规划教案课件。必须要写好了教案课件计划，才能促进我们的工作进一步发展！那么到底适合教案课件的范文有哪些？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“分解方法的延拓”，仅供参考，大家一起来看看吧。

第二讲分解方法的延拓
——配方法与待定系数法
在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法．
把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法分解因式的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础上分解因式．
对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式(含待定的字母系数)，然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法，用待定系数法解题的一般步骤是：
1．根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式；
2．利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；
3．解方程组，求出待定系数，再代人所舌问题的结构中去，得到需求问题的解．
例题求解
【例1】分解因式：=．
(2002年重庆市竞赛题)
思路点拨直接分组分解困难，由式子的特点易想到完全平方式，关键是将常数项拆成几个数的代数和，以便凑配．
注：拆项即把代数式中的某顷拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，通过拆添项，多项式增加了项数，从而可以用分组分解发分解．
配方法与待定系数法是数学中重要的思想方法，不仅仅拘泥于分解因式，在后续的学习中如解高次方程、确定函数解析式、挖掘隐舍条件、讨论最值问题等方面有广泛的应用．
【例2】如果有两个因式x+1和x+2，则a+b＝()．
A．7B．8C．15D．2l
(2001年武汉市选拔赛试题)
思路点拨原多项式的第三个因式必是形如x+c的一次两项式，故可考虑用待定系数法解．
【例3】把下列各式分解因式：
(1)；(“祖冲之杯”邀请赛试题)
（2）；(哈尔滨市竞赛题)
(3)；(扬州市竞赛题)
(4)(河南省竞赛题)
思路点拨所给多项式，或有两项的平方和，或有两项的积的2倍，只需配上缺项，就能用配方法恰当分解．
【例4】为何值时，多项式能分解成两个一次因式的积?
(天津市竞赛题)
思路点拨因为二次项系数，故不宜从二次项入手，而，可得多项式必为的形式．
【例5】如果多项式能分解成两个一次因式、的乘积(b、c为整数)，则a的值应为多少?
(江苏省竞赛题)
思路点拨由待定系数法得到关于b、c、a的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出b、c、a的值．
学历训练
1．(1)完成下列配方问题：
（江西省中考题）
（2）分解因式：的结果是．(郑州市竞赛题)
2．若有一个因式是x+1，则＝．
3．若是完全平方式，则=．
(2003年青岛市中考题)
4．已知多项式可以i分解为的形式，那么的值是．(“希望杯”邀请赛试题)
5．已知，则的值为()
A．3B．C．D．
6．如果a、b是整数，且是的因式．那么b的值为()
A．－2B．－lC．0D．2
(江苏省竞赛题)
7．d分解因式的结果是（）
A．B．
C．D．
(北京市竞赛题)
8．把下列各式分解因式：
(1)；(2)；
(3)；
（4）；(昆明市竞赛题)
(5)；（“祖冲之杯”邀请赛试题）
（6）(重庆市竞赛题)
9．已知是的一个因式，求的值．
（第15届“希望杯”邀请赛试题）
10．已知是多项式的因式，则＝．
(第15届江苏省竞赛题)
11．一个二次三项式的完全平方式是，那么这个二次三项式是．
(重庆市竞赛题)
12．已知，则=．
(北京市竞赛题)
13．已知为正整数，且是一个完全平方数，则的值为．
14．设m、n满足，则=()
A．(2，2)或(－2，－2)B．(2，2)或(2，－2)
C．(2，－2)或(－2，2)D．(－2，－2)或(－2，2)
15．将因式分解得()
A．B．
C．D．
16．若a、b、c、d都是正数，则在以下命题中，错误的是()
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
17．把下列各式分解因式：
(1)；(2)；
(3)；(4)；
(5)(2003年河南省竞赛题)
18．已知关于x、y的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求m的值．(大原市竞赛题)
19．证明恒等式：(北京市竞赛题)
20．一个自然数a若恰好等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数．如64＝82，64就是一个完全平方数，已知a＝20012+20012×20022十20022，求证：a是一个完全平方数．(希望杯题)

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因式分解的应用

第三讲因式分解的应用
在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函数的基础．
因式分解是代数变形的重要工具．在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，现阶段．因式分解在数值计算，代数式的化简求值，不定方程(组)、代数等式的证明等方面有广泛的应用．同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高．
因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一．
例题求解
【例1】若，则的值为．
(全国初中数学联赛题)
思路点拨恰当处理两个等式，分解关于的二次三项式．
注：
在信息技术飞速发展的今天，信息已经成为人类生活中最重要的因素．在军事、政治、商业、生活等领域中，信息的保密工作显得格外重要．现代保密技术的一个基本思想，在编制密码的工作中，许多密码方法，就来自于因数分解、因式分解技术的应用．
代数式求值的常用方法是：
(1)代入字母的值求值；(2)通过变形，寻找字母间的关系，代入关系求值；
(3)整体代入求值．
【例2】已知a、b、c是一个三角形的三边，则的值()
A．恒正B．恒负C．可正可负D．非负
(大原市竞赛题)
思路点拨从变形给定的代数式入手，解题的关键是由式于的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束．
【例3】计算下列各题：
（1）；
（2）
思路点拨观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律．
【例4】已知n是正整数，且n4—16n2+100是质数，求n的值．
(“希望杯’邀请赛试题)
思路点拔从因数分解的角度看，质数只能分解成l和本身的乘积(也可从整除的角度看)，故对原式进行恰当的分解变形，是解本例的最自然的思路．
【例5】(1)求方程的整数解；
(上海市竞赛题)
(2)设x、y为正整数，且，求的值．
(“希望杯”邀请赛试题)
思路点拔观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解或配方，寻找解题突破口．
链接
解题思路的获得，一般要经历三个步骤：
(1)从理解题意中提取有用的信息，如数式特点、图形结构特征等；
(2)从记忆储存中提取相关的信息，如有关公式、定理、基本模式等；
(3)将上述两组信息进行进行有效重组，使之成为一个舍乎逻辑的和谐结构．
不定方程(组)的基本解法有：
(1)枚举法；(2)配方法；(3)因数分解、因式分解法；(4)分离系数法．
运用这些方法解不定方程时，都需灵活运用奇数偶数、质数合数、整除等与整数相关的知识．

学力训练
1．已知x+y＝3，，那么的值为．
2．方程的整数解是．(“希望杯”邀请赛试题)
3．已知a、b、c、d为非负整数，且ac+bd+ad+bc=1997，则a+b+c+d＝．
4．对一切大于2的正整数n，数n5一5n3+4n的量大公约数是．
(四川省竞赛题)
5．已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是()
A．41，48B．45，47C．43，48D．4l，47
6，已知2x2－3xy+y2＝0(xy≠0)，则的值是()
A．2，B．2C．D．－2，
7．a、b、c是正整数，ab，且a2-ac+bc=7，则a—c等于()
A．一2B．一1C．0D．2
(江苏省竞赛题)
8．如果，那么的值等于()
A．1999B．2001C．2003D．2005
（武汉市选拔赛试题）
9．(1)求证：8l7一279—913能被45整除；
(2)证明：当n为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差；
（3）计算：
10．若a是自然数，则a4－3a+9是质数还是合数?给出你的证明．
(“五城市”联赛题)
11．已知a、b、c满足a+b＝5，c2＝ab+b－9，则c＝．(江苏省竞赛题)
12．已知正数a、b、c满足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c，则(a+1)(b+1)(c+1)=．(北京市竞赛题)
13．整数a、b满足6ab＝9a—l0b+303，则a+b=．(“祖冲之杯”邀请赛试题)
14．已知，且，则的值等于．
(“希望杯”邀请赛试题)
15．设abcd，如果x=(a＋b)(c＋d)，y=(a+c)(b+d)，z＝(a+d)(b+c)，那么x、y、z的大小关系为()
A．xyzB．yzxC．zxyD．不能确定
16．若x+y=－1，则的值等于()
A．0B．－1C．1D．3
(“希望杯”邀请赛试题)
17．已知两个不同的质数p、q满足下列关系：，，m是适当的整数，那么的数值是()
A．4004006B．3996005C．3996003D．4004004
18．设n为某一自然数，代入代数式n3－n计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是()
A．5814B．5841C．8415D．845l(陕西省竞赛题)
19．求证：存在无穷多个自然数k，使得n4+k不是质数．
20．某校在向“希望工程”捐救活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是(mn+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数．(全国初中教学联赛题)
21．已知b、c是整数，二次三项式x2+bx＋c既是x4+6x2+25的一个因式，也是x3+4x2+28x+5的一个因式，求x＝1时，x2+bx＋c的值．
(美国中学生数学竞赛题)
22．按下面规则扩充新数：
已有两数a、b，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，在a、b、c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，……每扩充一个新数叫做一次操作．
现有数1和4，(1)求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2)能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．(重庆市竞赛题)

八年级数学竞赛例题和差化积--因式分解的方法1专题讲解

专题3和差化积----因式分解的方法（1）
阅读与思考
提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止．
一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法：
1．换元法：
对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的目的．从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等．
2．拆、添项法：
拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解．

例题与求解
【例l】分解因式___________．
（浙江省中考题）
解题思路：把看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构．

【例2】观察下列因式分解的过程：
（1）；
原式＝；
（2）．
原式＝．
第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式．
仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：
（1）；
（西宁市中考试题）
（2）．
（临沂市中考试题）
解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验－－失败－－再试验－－再失败－－直至成功”的过程．

【例3】分解因式
（1）；
（重庆市竞赛题）
（2）；
（“缙云杯”邀请赛试题）
（3）．
（“五羊杯”竞赛试题）

解题思路：（1）式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中、反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有密切联系．

【例4】把多项式因式分解后，正确的结果是（）．
A．B．
C．D．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．

【例5】分解因式：
（1）；
（扬州市竞赛题）
（2）；（请给出多种解法）
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
（3）．
解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略．

【例6】分解因式：．
（河南省竞赛试题）
解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法．

能力训练

A级
1．分解因式：
（1）＝___________________________．
（泰安市中考试题）
（2）＝__________________________．
（威海市中考试题）
2．分解因式：
（1）＝_________________________；
（2）＝_____________________________．
3．分解因式：＝____________________________．
4．多项式与多项式的公因式是____________________．
5．在1~100之间若存在整数，使能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的有_______个．
6．将多项式分解因式的积，结果是（）．
A．B．
C．D．
7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（）．
A．B．
C．D．
（“希望杯”邀请赛试题）
8．把分解因式，其中一个因式是（）．
A．B．C．D．
9．多项式有因式（）．
A．B．
C．D．
（“五羊杯”竞赛试题）

10．已知二次三项式可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（）．
A．一定是奇数B．一定是偶数
C．可为奇数也可为偶数D．一定是负数
11．分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；（“祖冲之杯”邀请赛试题）
（4）；（重庆市竞赛试题）
（5）；
（6）．

12．先化简，在求值：
，其中，．

B级
1．分解因式：＝_______________．
（重庆市竞赛试题）
2．分解因式：＝_____________．
（“五羊杯”竞赛试题）
3．分解因式：＝_________________________．
（“希望杯”邀请赛试题）
4．分解因式：＝______________________．
（“五羊杯”竞赛试题）
5．将因式分解得（）．
A．B．
C．D．
（陕西省竞赛试题）
6．已知是△ABC三边的长，且满足，则此三角形是（）．
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．不能确定
7．的因式是（）．
A．B．C．D．E.
（美国犹他州竞赛试题）
8．分解因式：
（1）；（湖北省黄冈市竞赛试题）
（2）；（江苏省竞赛试题）
（3）；（陕西省中考试题）
（4）；（“祖冲之杯”邀请赛试题）
（5）；（“五羊杯”竞赛试题）
（6）．（太原市竞赛试题）

9．已知乘法公式：
利用或者不利用上述公式，分解因式：．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）

10．分解因式：
（1）；
（2）；
（3）．

11．对方程，求出至少一组正整数解．
（莫斯科市竞赛试题）

12．已知在△ABC中，，
求证：．
（天津市竞赛试题）

八年级数学竞赛例题和差化积--因式分解的方法(2)专题讲解

专题04和差化积----因式分解的方法（2）
阅读与思考
因式分解还经常用到以下两种方法
1．主元法
所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法．
2．待定系数法
即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：
（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；
（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；
（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解．

例题与求解
【例l】因式分解后的结果是（）．
A．B．
C．D．
（上海市竞赛题）
解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口．

【例2】分解因式：
（1）；
（“希望杯”邀请赛试题）
（2）．
（天津市竞赛题）

解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解．

【例3】分解因式．
（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：因的最高次数低于的最高次数，故将原式整理成字母的二次三项式．

【例4】为何值时，多项式有一个因式是
（“五羊杯”竞赛试题）
解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手．

【例5】把多项式写成一个多项式的完全平方式.
（江西省景德镇市竞赛题）
解题思路：原多项式的最高次项是，因此二次三项式的一般形式为，求出即可．

【例6】如果多项式能分解成两个一次因式，的乘积（为整数），则的值应为多少？
（江苏省竞赛试题）
解题思路：由待定系数法得到关于的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出的值．

能力训练
A级
1．分解因式：＝___________________________．
（“希望杯”邀请赛试题）
2．分解因式：＝_______________________
（河南省竞赛试题）
3．分解因式：＝____________________________．
（重庆市竞赛试题）
4．多项式的最小值为____________________．
（江苏省竞赛试题）
5．把多项式分解因式的结果是（）
A．B．
C．D．
6．已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数的个数是（）．
A．3个B．4个C．5个D．6个
7．若被除后余3，则的值为（）．
A．2B．4C．9D．10
（“CASIO杯”选拔赛试题）
8．若，，则的值是（）．
A．B．C．D．0
（大连市“育英杯”竞赛试题）

9．分解因式：
（1）；
（吉林省竞赛试题）
（2）；
（昆明市竞赛试题）
（3）；
（天津市竞赛试题）

（4）；
（四川省联赛试题）
（5）
（天津市竞赛试题）

10．如果能够分割成两个多项式和的乘积（为整数），那么应为多少？
（兰州市竞赛试题）

11．已知代数式能分解为关于的一次式乘积，求的值．
（浙江省竞赛试题）

B级
1．若有一个因式是，则＝_______________．
（“希望杯”邀请赛试题）
2．设可分解为一次与二次因式的乘积，则＝_____________．
（“五羊杯”竞赛试题）
3．已知是的一个因式，则＝________________________．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
4．多项式的一个因式是，则的值为__________．
（北京市竞赛试题）
5．若有两个因式和，则＝（）．
A．8B．7C．15D．21E．22
（美国犹他州竞赛试题）
6．多项式的最小值为（）．
A．4B．5C．16D．25
（“五羊杯”竞赛试题）
7．若（为实数），则M的值一定是（）．
A．正数B．负数C．零D．整数
(“CASIO杯”全国初中数学竞赛试题）
8．设满足，则＝（）
A．（2，2）或（－2，－2）B．（2，2）或（2，－2）
C．（2，－2）或（－2，2）D．（－2，－2）或（－2，2）
（“希望杯”邀请赛试题）
9．为何值时，多项式能分解成两个一次因式的积？
（天津市竞赛试题）