《因式分解》例题精讲与同步练习。

每个老师上课需要准备的东西是教案课件，规划教案课件的时刻悄悄来临了。此时就可以对教案课件的工作做个简单的计划，才能规范的完成工作！有没有出色的范文是关于教案课件的？下面是由小编为大家整理的“《因式分解》例题精讲与同步练习”，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

《因式分解》例题精讲与同步练习
本周的内容：因式分解
一、本节的重点是因式分解，包括因式分解的意义和把多项式的三种基本方法；难点是因式分解的方法的灵活运用
1.提公因式法的关键是确定公因式。即①取各项系数的最大公约数②字母取各项的相同的字母③各字母的指数取次数最低的。
2.运用公式法时要注意判断是否符合公式要求，并牢记公式的特征。
3.分组分解的关键是适当分组，先使分组后各组中能分解因式，再使因式分解能在各组之间进行。
4.分解因式时应当先考虑提公因式，然后判断是否可以套用公式，最后考虑分组分解。
5.分解因式时要灵活运用各种方法，并且要把每一个多项式因式分解到不能再分解为止。

二、表解知识要点：
运算公式或法则注意事项
提公因式要把多项式中的公因式全部提取出来，俗称：提尽公因式
用公式a2－b2=（a+b）（a－b）
a2±2ab－b2=（a±b）2注意完全平方公式中间的符号
分组分解分组的目的是要能提公因式或运用公式

三、例题分析
例1下列从左到右的变形，属于因式分解的有（）
A、（x+3）(x－2)=x2+x－6B、ax－ay－1=a（x－y）－1
C、8a2b3=2a24b3D、x2－4=（x+2）（x－2）
分析：本题考查因式分解的意义，考查学生对概念的辨析能力。要将各个选择项对照因式分解的定义进行审查。A是整式乘法，显然不是因式分解；B的右端不是积的形式，也不是因式分解；C的左端是一个单项式，显然不是因式分解；D是将一个多项式化成两个整式的积，符合因式分解的定义。所以选D。
例2把3ay－3by+3y分解因式
解：原式=3y（a－b+1）
例3把－4a3b2+6a2b－2ab分解因式
解：原式=－（4a3b2－6a2b+2ab）
=－（2ab2a2b－2ab3a+2ab1）这一步要记得变号
=－2ab（2a2b－3a+1）这一步不要漏提最后的1
例4把－2p2（p2+q2）+6pq（p2+q2）分解因式
解：原式=－2p（p2+q2）（p－3q）这里很容易漏掉p
例5把5（x－y）2－10（y－x）3分解因式
解：原式=5（x－y）2+10（x－y）3公式（x－y）n=－（y－x）n（n为奇数）
（x－y）n=（y－x）n（n为偶数）
=5（x－y）2[1+2（x－y）]因式分解要彻底，最后的答案要化简
=5（x－y）2（1+2x－2y）
例6把下列各式分解因式：
（1）4x2－9；（2）x－xy2（3）x4－1（4）－n2+2m2
解：（1）原式=（2x）2－32=（2x+3）（2x－3）
（2）原式=x（1－y2）要先提公因式
=x（1+y）（1－y）然后再用公式

（3）原式=（x2+1）（x2－1）分解一定要彻底
=（x2+1）（x+1）（x－1）所以……

（4）原式=－（n2－4m2）提出－后出现符合平方差公式的式子
=－（n+2m）（n－2m）
例7把下列各式因式分解：
（1）－x2+4x－4（2）（a+b）2+2（a+b）+1（3）（x2+y2）2－4x2y2
解：（1）原式=－（x2－4x+4）=－（x－2）2
（2）原式=（a+b+1）2
（3）原式=（x2+y2+2xy）（x2+y2－2xy）先用平方差公式
=（x+y）2（x－y）2再用完全平方公式
例8分解因式：7x2－3y+xy－21x
解法1：7x2－3y+xy－21x解法2：7x2－3y+xy－21x
=（7x2+xy）+（－3y－21x）=（7x2－21x）+（xy－3y）
=x（7x+y）－3（7x+y）=7x（x－3）+y（x－3）
=（7x+y）（x－3）=（x－3）（7x+y）
总结：分组的方法不是唯一的，但也并不是任意的，分组时要目标明确，首先应当使分组后每组都可以分解因式，其次每组分解因式后各组合在一起又可以分解因式。
例9把下列各式分解因式：
（1）1－x2+4xy－4y2（2）x2－4xy+4y2－3x+6y
解：（1）原式=1－（x2+4xy－4y2）
=1－（x－2y）2
=（1+x－2y）（1－x+2y）
（2）原式=（x2－4xy+4y2）+（－3x+6y）分成两组后一组用完全平方公式
=（x－2y）2－3（x－2y）另一组可提公因式
=（x－2y）（x－2y－3）
例10（思维训练）分解因式：x2－2xy+y2－2x+2y+1
解：原式=（x2－2xy+y2）+（－2x+2y）+1分成三组
=（x－y）2－2（x－y）+1形成完全平方式的形式
=（x－y－1）2

四、练习题
1、下列从左到右的变形：（1）15x2y=3x5xy；（2）（a+b）（a－b）=a2－b2；（3）a2－2a+1=（a－1）2；（4）x2+3x+1=x（x+3+）其中是因式分解的个数是（）
A、0个B、1个C、2个D、3个
2、把下列各式分解因式：
（1）4x3y-6x2y2+2x2y
（2）（x+y）a+（y+z）a+（z+x）a
（3）3（x－y）3－6（y－x）2
（4）－a4+b2
（5）36（x+y）2－64（x－y）2
（6）（a+b）2－6（a+b）+9
（7）2ax+6by+3ay+4bx
（8）a3－2a2－4a+8
（9）4a2+12ab+9b2－25
（10）（x－2y）x3－（y－2x）y3（思维训练题，有点难度的，你不想试试吗？）
五、练习题解答
1、B
2、（1）原式=2x2y（2x－3y+1）公因式要全部提出来，别漏掉啊！
（2）原式=a[（x+y）+（y+z）+（z+x）]
=a（2x+2y+2z）
=2a（x+y+z）
（3）原式=3（x－y）3－6（x－y）2
=3（x－y）2（x－y－2）
（4）原式=b2－a4
=（b+a）（b－a）
（5）原式=[6（x+y）]2－[8（x－y）]2
=[6（x+y）+8（x－y）][6（x+y）－8（x－y）]
=（14x－2y）（14y－2x）
=4（7x－y）（7y－x）因式分解一定要彻底哦！
（6）原式=（a+b－3）2
（7）原式=（2ax+4bx）+（3ay+6by）
=2x（a+2b）+3y（a+2b）
=（a+2b）（2x+3y）
（8）原式=（a3－2a2）－（4a－8）
=a2（a－2）－4（a－2）
=（a－2）（a2－4）
=（a－2）（a－2）（a+2）
=（a－2）2（a+2）别忘了最后一步的整理！

（9）原式=（4a2+12ab+9b2）－25
=（2a+3b）2－52
=（2a+3b+5）（2a+3b－5）
（10）原式=x4－2x3y－y4+2xy3首先用多项式乘法将之展开
=（x4－y4）+（－2x3y+2xy3）然后进行分组
=（x2+y2）（x2－y2）－2xy（x2－y2）分组后，各个组分别分解因式
=（x2－y2）（x2+y2－2xy）再提出各组公共的因式（x2－y2）
=（x+y）（x－y）（x－y）2将各因式彻底分解
=（x+y）（x－y）3最后进行整理……搞定！

扩展阅读

乘法公式与因式分解

第二章单元备课
课题：第二章乘法公式与因式分解
一、教材分析
1、教材的地位与作用
“整式的乘法”是整式的加减的后续学习从幂的运算到各种整式的乘法，整章教材都突出了学生的自主探索过程，依据原有的知识基础，或运用乘法的各种运算规律，或借助直观而又形象的图形面积，得到各种运算的基本法则、两个主要的乘法公式及因式分解的基本方法学生自己对知识内容的探索、认识与体验，完全有利于学生形成合理的知识结构，提高数学思维能力．利用公式法进行因式分解时，注意把握多项式的特点，对比乘法公式乘积结果的形式，选择正确的分解方法。
因式分解是一种常用的代数式的恒等变形，因式分解是多项式乘法公式的逆向变形，它是将一个多项式变形为多项式与多项式的乘积。
2、教学目标
（1）会推导乘法公式
（2）在应用乘法公式进行计算的基础上，感受乘法公式的作用和价值。
（3）会用提公因式法、公式法进行因式分解。
（4）了解因式分解的一般步骤。
（5）在因式分解中，经历观察、探索和做出推断的过程，提高分析问题和解决问题的能力。
3、重点、难点和关键
重点：乘法公式的意义、分式的由来和正确运用；用提公因式法和公式法进行因式分解。
难点：正确运用乘法公式；正确分解因式。
关键：正确理解乘法公式和因式分解的意义。
二、本单元教学的方法和策略：
1．注重知识形成的探索过程，让学生在探索过程中领悟知识，在领悟过程中建构体系，从而更好地实现知识体系的更新和知识的正向迁移．
2．知识内容的呈现方式力求与学生已有的知识结构相联系，同时兼顾学生的思维水平和心理特征．
3．让学生掌握基本的数学事实与数学活动经验，减轻不必要的记忆负担．
4．注意从生活中选取素材，给学生提供一些交流、讨论的空间，让学生从中体会数学的应用价值，逐步养成谈数学、想数学、做数学的良好习惯．
三、课时安排：
2.1平方差公式1课时
2.2完全平方公式2课时
2.3用提公因式法进行因式分解1课时
2.4用公式法进行因式分解2课时
复习1课时

整式乘法与因式分解

第十五章整式的乘除与因式分解

15.1.1同底数幂的乘法
喀拉布拉乡中学：权成龙、孙美荣
课型：新授
教学目标
1．知识与技能
在推理判断中得出同底数幂乘法的运算法则，并掌握“法则”的应用．
2．过程与方法
经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力．
3．情感、态度与价值观
在小组合作交流中，培养协作精神、探究精神，增强学习信心．
重、难点与关键
1．重点：同底数幂乘法运算性质的推导和应用．
2．难点：同底数幂的乘法的法则的应用．
预习导航：幂的运算中的同底数幂的乘法教学，要突破这个难点，必须引导学生，循序渐进，合作交流，获得各种运算的感性认识，进而上各项到理性上来，提醒学生注意－a2与（－a）2的区别．
教学方法
采用“情境导入──探究提升”的方法，让学生从生活实际出发，认识同底数幂的运算法则．
教学过程
一、创设情境，故事引入
【情境导入】
“盘古开天壁地”的故事：公元前一百万年，没有天没有地，整个宇宙是混浊的一团，突然间窜出来一个巨人，他的名字叫盘古，他手握一把巨斧，用力一劈，把混沌的宇宙劈成两半，上面是天，下面是地，从此宇宙有了天地之分，盘古完成了这样一个壮举，累死了，他的左眼变成了太阳，右眼变成了月亮，毛发变成了森林和草原，骨头变成了高山和高原，肌肉变成了平原与谷地，血液变成了河流．
【教师提问】盘古的左眼变成了太阳，那么，太阳离我们多远呢？你可以计算一下，太阳到地球的距离是多少？
光的速度为3×105千米/秒，太阳光照射到地球大约需要5×102秒，你能计算出地球距离太阳大约有多远呢？
【学生活动】开始动笔计算，大部分学生可以列出算式：
3×105×5×102=15×105×102=15×？（引入课题）
【教师提问】到底105×102=？同学们根据幂的意义自己推导一下，现在分四人小组讨论．
【学生活动】分四人小组讨论、交流，举手发言，上台演示．
计算过程：105×102=（10×10×10×10×10）×（10×10）
=10×10×10×10×10×10×10
=107
【教师活动】下面引例．
1．请同学们计算并探索规律．
（1）23×24=（2×2×2）×（2×2×2×2）=2()；
（2）53×54=_____________=5()；
（3）（－3）7×（－3）6=___________________=（－3）()；
（4）（）3×（）=___________=（）()；
（5）a3a4=________________a()．
提出问题：①这几道题目有什么共同特点？
②请同学们看一看自己的计算结果，想一想，这些结果有什么规律？
【学生活动】独立完成，并在黑板上演算．
【教师拓展】计算aa=？请同学们想一想．
【学生总结】aa==am+n
这样就探究出了同底数幂的乘法法则．
二、范例学习，应用所学
【例】计算：
（1）103×104；（2）aa3；（3）aa3a5；（4）xx2+x2x
【思路点拨】（1）计算结果可以用幂的形式表示．如（1）103×104=103+4=107，但是如果计算较简单时也可以计算出得数．（2）注意a是a的一次方，提醒学生不要漏掉这个指数1，x3+x3得2x3，提醒学生应该用合并同类项．（3）上述例题的探究，目的是使学生理解法则，运用法则，解题时不要简化计算过程，要让学生反复叙述法则．
【教师活动】投影显示例题，指导学生学习．
【学生活动】参与教师讲例，应用所学知识解决问题．
三、随堂练习，巩固深化
课本第142页练习题．
【探研时空】
据不完全统计，每个人每年最少要用去106立方米的水，1立方米的水中约含有3.34×1019个水分子，那么，每个人每年要用去多少个水分子？
四、课堂总结，发展潜能
1．同底数幂的乘法，使用范围是两个幂的底数相同，且是相乘关系，使用方法：乘积中，幂的底数不变，指数相加．
注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；
二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，
即aman=am+n（m、n是正整数）．
2．应用时可以拓展，例如含有三个或三个以上的同底数幂相乘，仍成立，底数和指数，它既可以取一个或几个具体数，由可取单项式或多项式．
练习（1）（a－b）3（a－b）4
3．运用幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆．
五、布置作业，专题突破
1．课本P148习题15．1第1（1），（2），2（1）题．
2．选用目标小练习．
六、板书设计
§15．1．1同底数幂的乘法
同底数幂的乘法法则：【例】：计算（由学生板演）三、练习
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．1）103×104；（2）aa3；………..
即aman=am+n（m、n都是正整数）3）aa3a5；（4）xx2+x2x
七、教学反思

整式乘除与因式分解

第十五章整式乘除与因式分解
一．回顾知识点
1、主要知识回顾：
幂的运算性质：
aman＝am＋n（m、n为正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
＝amn（m、n为正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
（n为正整数）
积的乘方等于各因式乘方的积．
＝am－n（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
零指数幂的概念：
a0＝1（a≠0）
任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l．
负指数幂的概念：
a－p＝（a≠0，p是正整数）
任何一个不等于零的数的－p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数．
也可表示为：（m≠0，n≠0，p为正整数）
单项式的乘法法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
2、乘法公式：
①平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2
文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
②完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．
3、因式分解：
因式分解的定义．
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
二、熟练掌握因式分解的常用方法．
1、提公因式法
（1）掌握提公因式法的概念；
（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；
（3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
（4）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
2、公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
常用的公式：
①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2