八年级数学竞赛例题专题-面积的计算。

学生们有一个生动有趣的课堂，离不开老师辛苦准备的教案，大家应该开始写教案课件了。认真做好教案课件的工作计划，才能完成制定的工作目标！你们知道多少范文适合教案课件？小编特地为大家精心收集和整理了“八年级数学竞赛例题专题-面积的计算”，但愿对您的学习工作带来帮助。

专题23面积的计算

○阅○读○与○思○考
计算图形的面积是几何问题中一种重要题型，计算图形的面积必须掌握如下与面积有关的重要知识：
1.常见图形的面积公式；
2．等积定理：等底等高的两个三角形面积相等；
3.等比定理：
(1)同底（或等底）的两个三角形面积之比等于等于对应高之比；同高（或等高）的两个三角形面积之比等于等于对应底之比.
(2)相似三角形的面积之比等于对应线段之比的平方.
熟悉下列基本图形、基本结论：
例题与求解
【例1】如图，△ABC内三个三角形的面积分别为5，8，10，四边形AEFD的面积为，则＝________.（黄冈市竞赛试题）
解题思路：图中有多对小三角形共高，所以可将面积比转化为线段之比作为解题突破口.
【例2】如图，在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD＝4，CE＝6，那么△ABC的面积等于()(全国初中数学联赛)
A．12B．14C．16D．18
解题思路：由中点想到三角形中位线，这样△ABC与四边形BCDE面积存在一定的关系.
【例3】如图，依次延长四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，使BEAB＝CFBC＝DGCD＝AHDA＝，若S四边形EFGH＝2S四边形ABCD，求的值.
解题思路：添加辅助线将四边形分割成三角形，充分找出图形面积比与线段比之间的关系，建立关于的方程.
【例4】如图，P，Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点，PA与CQ相交于点E，且∠PAD＝∠QAD，求证：S矩形ABCD＝S△APQ.
解题思路：图形含全等三角形、相似三角形，能得到相等的线段、等积式，将它们与相应图形联系起来，促使问题的转化.

【例5】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，移动速度为每秒2个单位长度.过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为秒，AE的长为y.
(1)求出y关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)当为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？(江西省中考试题)
解题思路：对于(1)利用△ADE∽△ABC可得y与的关系式；对于(2)先写出S关于的函数关系式，再求最大值.

【例6】如图，设P为△ABC内任意一点，直线AP，BP，CP交BC，CA，AB于点D，E，F.
求证：(1)PDAD＋PEBE＋PFCF＝1；
(2)PAAD＋PBBE＋PCCF＝2
解题思路：过点A，P分别作BC的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可以与面积联系起来，把PAAD转化为面积比，利用面积法证明.

○能○力○训○练
A级
1．如图，ABCD中，AE∶BE＝1∶2，S△AEF＝6cm2，则S△CDF的值为________.(济南市中考试题)
2．如图，正六边形ABCDEF的边长为23cm，P为正六边形内任一点，则点P到各边距离之和为_______.
3．如图，P是边长为8的正方形ABCD外一点，PB＝PC，△PBD的面积等于48，则△PBC的面积为_____________.(北京市竞赛试题)

4．如图，已知△BOF，△AOF，△BOD，△COE的面积分别为30，40，35，84，则△ABC的面积为________.(浙江省竞赛试题)
5．如图，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高，DE是Rt△ADC斜边上的高，如果DC∶AD＝1∶2，S△DCE＝a，那么S△ABC等于()(金华市中考试题)
A．4aB．9aC．16aD．25a
6．如图，已知M是ABCD边AB的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分面积与ABCD的面积之比为（）（山西省中考试题）
A．16B．14C．13D．512
7．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E，若S△ADE＝2S△DCE，则S△ADES△ABC等于()
(浙江省宁波市中考试题)
A．14B．12C．23D．49
8．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分面积面积为（）cm2.(广东省竞赛试题)
A．4B．23C．33D．43
9．如图，平面上有两个边长相等的正方形ABCD和A′B′C′D′，且正方形A′B′C′D′的顶点A′在正方形ABCD的中心，当正方形A′B′C′D′绕A′转动时，两个正方形重合部分的面积必然是一个定值.这个结论对吗？证明你的判断.（“希望杯”邀请赛试题）

10．如图，设凸四边形ABCD的一组对边AB，CD的中点分别为K，M.求证：S四边形ABCD＝S△ABM＋S△DCK..
11．如图1，AB，CD是两条线段，M是AB的中点，S△DMC，S△DAC，S△DBC分别表示△DMC，△DAC，△DBC的面积，当AB∥CD时，有S△DMC＝S△DAC＋S△DBC2………..①.
(1)如图2，若图1中AB与CD不平行时，①式是否成立？请说明理由.
(2)如图3，若图1中AB与CD相交于点O时，问S△DMC与S△DAC和S△DBC有何相等关系？试证明你的结论.（安徽省中考试题）
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C′.
(1)如图1，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D，证明：△A′CD是等边三角形；
(2)如图2，连接A′A，B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求证：S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3.
(3)如图3，设AC的中点为E，A′B′的中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝_____时，EP长度最大，最大值是____________.（安徽省中考试题）

B级
1．如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7cm2和11cm2，则△CDE的面积等于___________cm2.（武汉市竞赛试题）
2．如图，P为正方形ABCD内一点，PA＝PB＝10，并且P到CD边的距离也等于10，那么正方形ABCD的面积是_______________.(北京市竞赛试题)
3．如图，四边形ABCD中，点E，F分别在BC，DC上，DFFC＝1，CEBE＝2，若△ADF的面积为m，四边形AECF的面积为n(n＞m)，则四边形ABCD的面积为___________.(全国初中数学联赛试题)

4．如图，图形ABCD中，AB∥CD，AC和BD相交于点O，若AC＝5，BD＝12，中位线长为132，△AOB的面积为S1，△OCD的面积为S2，则S1＋S2＝_________.(山东省竞赛试题)

5．如图，分别延长△ABC的三边AB，BC，CA至A′，B′，C′，使得AA′＝3AB，BB′＝3BC，CC′＝3AC，若S△ABC＝1，则S△A′B′C′等于().
A．18B．19C．24D．27
(山东省竞赛试题)
6．如图，若ABCD是2×2的正方形，E是AB的中点，F是BC的中点，AF与DE相交于点I，BD和AF相交于点H，那么四边形BEIH的面积是()
A．13B．C．715D．815
(江苏省竞赛试题)
7．如图，矩形ABCD中，E是BC上的一点，F是CD上的点，已知S△ABE＝S△ADF＝13SABCD，则S△AEFS△CEF的值等于()(北京市竞赛试题)
A．2B．3C．4D．5

8．(1)探究：如图1，在ABCD的形外分别作等腰直角三角形ABF和等腰直角三角形ADE，∠FAB＝∠EAD＝90°，连接AC，EF.在图中找一个与△FAE全等的三角形，并加以证明.
(2)应用：以ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图2，连接EF，GH，IJ，KL，若ABCD的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积之和为____________.（长春市中考试题）
9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝2cm，BC＝4cm，在等腰△PQR中，∠QPR＝120°，底边QR＝6cm，点B，C，Q，R在同一条直线l上，且C，Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为Scm2.
(1)当t＝4时，求S的值；
(2)当4≤t≤10时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值.(广州市中考试题)
10．有一根直尺的短边长为2cm，长边长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角纸板，它的斜边长为12cm，如图1将直尺的短边DE放置与直角三角纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合将直尺沿AB方向平移，如图2，设平移的长为cm(0≤≤10)，直尺与三角形纸板重叠部分（图中阴影部分）的面积Scm2.
(1)当＝0时，S＝________，当时，S＝________；
(2)当0＜≤4时，求S关于的函数关系式；
(3)当4＜＜10时，求S关于的函数关系式，并求出S的最大值.(徐州市中考试题)

11．如图，设H是等腰三角形ABC的三边上的高线的交点，在底边BC保持不变的情况下，让顶点A至底边BC的距离变小（仍保持三角形为等腰三角形），这时的值变大、变小、还是不变?证明你的结论.

12．(1)请你在图1中作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；
(2)如图2，点M是矩形ABCD内一定点，请你在图2中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；
(3)如图3，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，OB＝6，BC＝4，CD＝4.开发区综合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点P(4，2)处.为了方便驻区单位，准备过点P修一条笔直的道路(路的宽不计)，并且使这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分.你认为直线l是否存在?若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由.(陕西省中考试题)

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八年级数学竞赛例题专题-梯形

专题21梯形
阅读与思考
梯形是一类具有一组对边平行而另一组对边不平行的特殊四边形，梯形的主要内容是等腰梯形、直角梯形等相关概念及性质.
解决梯形问题的基本思路是：通过适当添加辅助线，把梯形转化为三角形或平行四边形，常见的辅助线的方法有：
（1）过一个顶点作一腰的平行线（平移腰）；
（2）过一个顶点作一条对角线的平行线（平移对角线）；
（3）过较短底的一个顶点作另一底的垂线；
（4）延长两腰，使它们的延长线交于一点，将梯形还原为三角形．
如图所示：

例题与求解
【例1】如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠D＝2∠B，AD和CD的长度分别为，，那么AB的长是___________.（荆州市竞赛试题）
解题思路：平移一腰，构造平行四边形、特殊三角形．
【例2】如图1，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD．由四个这样的等腰梯形可以拼出图2所示的平行四边形．
（1）求四边形ABCD四个内角的度数；
（2）试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；
（3）现有图1中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大致的示意图．
（山东省中考试题）
解题思路：对于（1）、（2），在观察的基础上易得出结论，探寻上、下底和腰及上、下底之间的关系，从作出梯形的常见辅助线入手；对于（3），在（2）的基础上，展开想象的翅膀，就可设计出若干种图形．

【例3】如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形的面积是49cm2，求梯形的高.
（内蒙古自治区东四盟中考试题）
解题思路：由于题目条件中涉及对角线位置关系，不妨从平移对角线入手．
【例4】如图，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段AD上，问：满足条件∠BPC＝900的点P有多少个？
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：根据AB＋DC＝AD这一关系，可以在AD上取点构造等腰三角形．

【例5】如图，在等腰梯形ABCD中，CD//AB，对角线AC，BD相交于O，∠ACD＝600，点S，P，Q分别为OD，OA，BC的中点．
（1）求证：△PQS是等边三角形；
（2）若AB＝5，CD＝3，求△PQS的面积；
（3）若△PQS的面积与△AOD的面积的比是7：8，求梯形上、下两底的比CD：AB．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：多个中点给人以广泛的联想：等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线等.
【例6】如图，分别以△ABC的边AC和BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到边AB的距离是AB的一半．
（山东省竞赛试题）
解题思路：本题考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定与性质．关键是要构造能运用条件EP＝PF的图形．

能力训练
A级
1.等腰梯形中，上底：腰：下底＝1：2：3，则下底角的度数是__________.
（天津市中考试题）
2.如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝3，BC＝5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转900至DE，连接AE，则△ADE的面积为______________.（宁波市中考试题）
3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝，∠1＝∠2，且梯形的周长为30cm，则这个等腰梯形的腰长为______________.
4.如图，梯形ABCD中，AD//BC，EF是中位线，G是BC边上任一点，如果，那么梯形ABCD的面积为__________.（成都市中考试题）
5.等腰梯形的两条对角线互相垂直，则梯形的高和中位线的长之间的关系是()
A．＞B．＝C．＜D．无法确定
6.梯形ABCD中，AB//DC，AB＝5，BC＝，∠BCD＝，∠CDA＝，则DC的长度是()
A.B．8C.D.E.
（美国高中考试题）
7．如图，在等腰梯形ABCD中，AC＝BC＋AD，则∠DBC的度数是()
A.300B.450C.600D.900
（陕西省中考试
8．如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，点P在BC上移动，则当PA＋PD取最小值时，△APD中边AP上的高为()
A．B．C．D．3
（鄂州市中考试题）
9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝CD，点P为BC边上一点，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分别为E，F，G．求证：PE＋PF＝BG．
（哈尔滨市中考试题）

10.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E，F分别为AB，AC中点，BD与EF相交于G．
求证：．
11.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O．
求证：（1）四边形EBCF是等腰梯形；
（2）．（深圳市中考试题）
12.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝．
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN//AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP＝．
①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由．
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．（江西省中考试题)

B级
1.如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AD＝BC，AB＝10，CD＝4，延长BD到E，使DE＝DB，作
EF⊥AB交BA的延长线于点F，则AF＝__________.
（山东省竞赛试题）
2.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝10cm，AC与BD相交于G，且∠AGD＝，设E为CG中点，F是AB中点，则EF长为_________.
（“希望杯”邀请赛试题）
3.用四条线段：作为四条边，构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最大值为_________.（湖北赛区选拔赛试题）
4.如图，梯形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O点，且AO：CO＝3：2，则两条对角线将梯形分成的四个小三角形面积之比为_________.（安徽省中考试题）
第4题图第5题图第6题图
5.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，若△DEC的面积为S，则四边形ABCD的面积为()
A．B．2SC．D．
（重庆市竞赛试题）
6.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝，∠C＝，E，M，F，N分别为AB，BC，CD，
DA的中点，已知BC＝7，MN＝3，则EF的值为()
A．4B．C．5D．6
（全国初中数学联赛试题）
7.如图，梯形ABCD中，AB//DC，E是AD的中点，有以下四个命题：①若AB＋DC＝BC，则∠BEC＝；②若∠BEC＝，则AB＋DC＝BC；③若BE是∠ABC的平分线，则∠BEC＝；
④若AB＋DC＝BC，则CE是∠DCB的平分线.其中真命题的个数是()
A．1个B．2个C．3个D．4个
（重庆市竞赛试题）
8.如图，四边形ABCD是一梯形，AB//CD，∠ABC＝，AB＝9cm，BC＝8cm，CD＝7cm，M是AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N，则BN的长等于()
A．1cmB．1.5cmC．2cmD．2.5cm
（“希望杯”邀请赛试题）
9.如图，在梯形ABCD中，AB//DC，M是腰BC的中点，MN⊥AD.求证：
（山东省竞赛试题）
10.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，分别以两腰AB，CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF，设线段AD的垂直平分线交线段EF于点M.求证：点M为EF的中点.
（全国初中数学联赛试题）

11.已知一个直角梯形的上底是3，下底是7，且两条对角线的长都是整数，求此直角梯形的面积.
（“东方航空杯”上海市竞赛试题）

12.如图1，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形OABD的边BD的三等分点（）交AB于E，AB＝12，四边形OEBF的面积为16.
（1）求值.
（2）已知，点P从A出发以0.5cm/s速度沿AB、BD向D运动，点Q从C同时出发，以1.5cm/s的速度沿CO，OA，AB向B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运动开始，经过多少时间，四边形PQCB为等腰梯形（如图2）.
（3）在（2）条件下，在梯形PQCB内是否有一点M，使过M且与PB，CQ分别交于S，T的直线把PQCB的面积分成相等的两部分，若存在，请写出点M的坐标及CM的长度；若不存在，请说明理由.

八年级数学竞赛例题专题-配方法

专题25配方法
阅读与思考
把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧.
配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.
配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有：
1、
2、
3、
4、
配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于：
(1)具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如能联想起配方法.
(2)具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式.

例题与求解
【例1】已知实数，，满足，那么_____
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x，y的值.

【例2】若实数，，c满足，则代数式的最大值是()
A、27B、18C、15D、12
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：运用乘法公式，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.

配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质；
(1)非负数的最小值为零；
(2)有限个非负数的和为零，则每一个非负数都为零.
【例3】已知，求a+b+c的值.
解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式，怎样才能确定未知量的值呢？不妨用配方法试一试.
复合根式的化简，含多元的根式等式问题，常常用到配方法.

【例4】证明数列49，4489，444889，44448889，…的每一项都是一个完全平方数.
解题思路：，由此可猜想，只需完成从左边到右边的推导过程即可.

几个有趣的结论：
(1)
(2)
这表明：只出现1个奇数或只出现1个偶数的完全平方数分别有无限多个.

【例5】一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．
(全国初中数学联赛试题)

解题思路：通过引元，把不满意的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.
配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.

【例6】已知自然数n使得为完全平方数，求n的值.
(“希望杯”邀请赛试题)

解题思路：原式中n的系数为奇数，不能直接配方，可想办法化奇为偶，解决问题.

能力训练
1、计算=_________.
(“希望杯”邀请赛试题)
2、已知，则.
3、，y为实数，且，则+y的值为__________.
4、当＞2时，化简代数式，得___________.
5、已知，当=________，y=______时，的值最小.
(全国通讯赛试题)

6、若，则M－N的值()
A、负数B、正数C、非负数D、可正可负
7、计算的值为()
A、1B、C、D、
(全国初中数学联赛试题)
8、设，,为实数，，则x，y，z中至少有一个值()
A、大于零B、等于零C、不大于零D、小于零
(全国初中数学竞赛试题)
9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中n为自然数)的是()
A、B、C、
D、E、
10、已知实数，，c满足，则a+b+c的值等于()
A、2B、3C、4D、5
(河北省竞赛试题)
解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并经常用到一下重要命题：
设x1，x2，x3,…xn为实数.
(1)若则x1，x2，x3,…xn中至少有(或存在)一个为零；
(2)若，则x1，x2，x3，…xn中至少有(或存在)一个大于零；
(3)若，则x1，x2，x3，…xn中至少有(或存在)一个小于零.

11、解方程组(苏州市竞赛试题)

12、能使是完全平方数的正整数n的值为多少？
(全国初中数学联赛试题)

13、已知，且，，为自然数，求，的值.
(天津市竞赛试题)

13、设a为质数，b为正整数，且，求，的值.
(全国初中数学联赛试题)

14、某宾馆经市场调研发现，每周该宾馆入住的房间数y与房间单价x之间存在如图所示的一次函数关系.
(1)根据图象求y与x之间的函数关系式(0＜＜160)；
(2)从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？

八年级数学竞赛例题专题-关于中点的联想

每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件，是认真规划好自己教案课件的时候了。必须要写好了教案课件计划，未来的工作就会做得更好！究竟有没有好的适合教案课件的范文？以下是小编收集整理的“八年级数学竞赛例题专题-关于中点的联想”，供您参考，希望能够帮助到大家。

专题22关于中点的联想

阅读与思考
线段的中点把线段分成相等的两部分，图形中出现中点，可以引起我们丰富的联想：首先它和三角形的中线紧密联系；若中点是在直角三角形的斜边上，又可以引用“斜边上的中线等于斜边的一半”结论；其次，中点又与中位线息息相关；另外，中点还可以与中心对称相连．
解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线，如作中线倍长、作直角三角形的斜边上的中线、构造三角形、梯形中位线、构造中心对称图形等，如图所示：
例题与求解
【例1】如图，△ABC边长分别为AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，则PM的值为___________．(安徽省竞赛试题)
解题思路：∠A的平分线与BP边上的垂线互相重合，通过作辅助线，点P可变为某线段的中点，利用三角形中位线定理解题．

【例2】如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动，始终保持EF∥AB，线段CF，DH的中点分别为M，N，则线段MN的长度为()(北京市竞赛试题)

A．102B．172C．173D．2103
解题思路：连接CG，取CG的中点T，构造三角形中位线、梯形中位线．

【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB中点，连接CE，CD，
求证：CD＝2EC．(宁波市竞赛试题)
解题思路：图形中有两个中点E，B，联想到与中点相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，关键是恰当添加辅助线．

【例4】如图1，P是线段AB上一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使∠APC＝∠BPD，PC＝PA，PD＝PB，连接CD，点E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，顺次连接E，F，G，H．
(1)猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；
(2)当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由；
(3)如果(2)中，∠APC＝∠BPD＝90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．（营口市中考试题）
图①图②图③
解题思路：结论随着条件的改变也许发生变化，但解决问题的方法是一致的，即通过连线，为三角形中位线定理的应用创造条件．

【例5】如图，以△ABC的AB，AC边为斜边向形外作直角三角形ABD和ACE，且使∠ABD＝∠ACE，M是BC的中点，求证：DM＝EM．（“祖冲之杯”邀请赛试题）
解题思路：显然△DBM不全等于△ECM，必须通过作辅助线，构造全等三角形证明DM＝EM．

【例6】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高CH与△ABC的两条内角平分线AM，BN分别交于P，Q两点，PM，QN的中点分别为E，F，求证：EF∥AB．（全国初中数学联赛题）

解题思路：从图形的形成过程，逐步探索相应结论．将原问题分解为多个小问题．

○能○力○训○练
A级
1．如图，若E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是____________．
(1)如果把条件中的四边形ABCD依次改为矩形、菱形、正方形或等腰梯形，其他条件不变，那么所得的四边形EFGH分别为_______________________；
(2)如果把结论中的平行四边形EFGH依次改为矩形、菱形、正方形，那么原四边形ABCD应具备的条件是_______________________．（湖北省黄冈市中考试题）
2．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF＝2，ED＝3，GC＝4，则△ABC的周长为_______________．(重庆市竞赛试题)

3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AC的中点，若BC＝16，DE＝5，则AD＝______________．（南京市中考试题）

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN，EM，若AB＝13cm，BC＝10cm，DE＝5cm，则图中阴影部分的面积为________________．
（北京市中考试题）
5．A′，B′，C′，D′顺次为四边形ABCD的各边的中点，下面条件中使四边形A′B′C′D′为正方形的条件是（）
A．四边形ABCD是矩形B．四边形ABCD是菱形
C．四边形ABCD是等腰梯形D．四边形ABCD中，AC⊥BD且AC＝BD
6．若等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm，则该等腰梯形的面积为（）
A．16cm2B．32cm2C．64cm2D．112cm2
7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是BD，AC的中点，若AD＝6cm，BC＝18cm，则EF的长为（）
A．8cmB．7cmC．6cmD．5cm

8．如图，在梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，AE＝EG＝GB，AD＝18，BC＝32，则EF＋GH＝（）
A．40B．48C．50D．56（泰州市中考试题）
第8题图第9题图
9．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，M是BC的中点，求证：DM＝12AB．

10．如图，在△ABC中，BD＝CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于点P，Q，求证：AP＝AQ．

11．在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．
（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FM⊥MH；
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）
(2009年河北省中考试题)

12．在六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，AB＋DE＝BC＋EF，A1，B1，D1，E1分别是边AB，BC，DE，EF的中点，A1D1＝B1E1．求证：∠CDE＝∠AFE．

B级
1．如图，正方形ABCD两条对角线相交于点E，∠CAD的平分线AF交DE于点G，交DC于点F，若GE＝24，则FC＝_________________．
2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点F，M，N分别是AB，CD的中点，MN分别交BD，AC于点P，Q，且∠FPQ＝∠FQP，BD＝10，则AC＝_________．（重庆市竞赛试题）
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以AB，AC为边分别向形外作正三角形ABD和正三角形ACE，M为AD的中点，N为AE的中点，P为BC的中点，则∠MPN＝_________．（北京市竞赛试题）
4．如图，已知A为DE的中点，设△DBC，△ABC，△EBC的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）
A．S2＝32(S1＋S3)B．S2＝12(S3―S1)C．S2＝12(S1＋S3)D．S2＝32(S3―S1)
5．如图，在图形ABCD中，AB∥DC，M为DC的中点，N为AB的中点，则()
A．MN＞12(AD＋BC)B．MN＜12(AD＋BC)
C．MN＝12(AD＋BC)D．无法确定MN与12(AD＋BC)的关系
6．如图，凸四边形ABCD的面积是a，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，那么图中的阴影部分的面积为()
A．18aB．16aC．14aD．12a
（江苏省竞赛试题）
7．如图，在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE＝DF，过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于点P．求证：∠PAE＝∠PBF．（全国初中数学联赛试题）

8．如图，锐角△ABC中，作高BD和CE，过顶点B，C分别作DE的垂线BF和CG，求证：EF＝DG．
（全俄奥林匹克数学竞赛试题）

9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，并且∠MDN＝90°，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2．求证：AD2＝14(AB2＋AC2)．（北京市竞赛试题）

10．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD＝∠ACE＝90°．如图1，连接DE，设M为DE的中点．
(1)求证：MB＝MC；
(2)设∠BAD＝∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图2的位置，试问：MB＝MC是否还成立?请说明理由．（江苏省竞赛试题）

11．已知△OAB，△OCD都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．
(1)如图1，点C在OA边上，点D在OB边上，连接AD，BC，M为线段AD的中点，求证：OM⊥BC．
(2)如图2，在图1的基础上，将△OCD绕点O逆时针旋转α(α为锐角)，M为线段AD的中点．
①求证：OM＝12BC；
②OM⊥BC是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

12．如图1，在△ABC中，点P为BC边的中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．
(1)延长MP交CN于点E(如图2)．
①求证：△BPM≌△CPE；
②求证：PM＝PN．
(2)若直线a绕点A旋转到如图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其他条件不变，此时PM＝PN还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3))若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其他条件不变．请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM＝PN是否成立．不必说明理由．（沈阳市中考试题）