小学三年级数学教案

八年级数学竞赛例题专题-整体与完形。

专题28整体与完形

阅读与思考
许多几何问题，常因图形复杂、不规则而给解题带来困难，这些复杂、不规则的图形，从整体考虑，可看作某种图形的一部分，如果将它们补充完整，就可得到常见的特殊图形，那么就能利用特殊图形的特殊性质转化问题，这就是解几何问题的补形法，常见的补形方法有：
1.将原图形补形为最能体现相关定理、推论、公理的基本图形；
2.将原图形补形为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特殊三角形；
3.将原图形补形为平行四边形、矩形、正方形、梯形等特殊四熟悉以下图形：
例题与求解
【例1】如图，已知CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠E＝，∠C＝，则∠AFE＝_________度.(北京市竞赛试题)
解题思路：有平行的条件，不妨将六边形补形为较为规整的平行四边形.

【例2】设分别是△ABC的三边长，且满足，则它的内角∠A、∠B的关系是（）.
A.∠B＞2∠AB.∠B＝2∠AC.∠B＜2∠AD.不确定
（全国初中数学竞赛试题）
解题思路：从化简已知等式入手，并补出相应的图形.

【例3】如图1，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连结FG，延长AF，AG，与直线BC相交，易证.
若（1）BD，CE分别是△ABC的内角平分线（如图2）；（2）BD为∠ABC的内角平分线；（3）CE为△ABC的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明.
（黑龙江省中考试题）
解题思路：既有平分线又有垂线，联想到等腰三角形性质，考虑将图形补成等腰三角形.

【例4】如图，四边形ABCD中，∠ABC＝，∠BCD＝，AB＝，BC＝，
CD＝，求AD的长.（全国初中数学竞赛试题）
解题思路：由于四边形ABCD是一般四边形，所以直接求AD比较困难，应设法将AD转化为特殊三角形的边.
例4题图例5题图
【例5】如图，凸八边形中，∠＝∠，∠＝∠，∠＝∠，∠＝∠，试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值.
（山东省竞赛试题）
解题思路：本例是一个几何定值证明问题，关键是将八边形问题转化为三角形或四边形问题来解决，若连结对角线，则会破坏一些已知条件，应当考虑向外补形.

【例6】如图，在△ABC中，∠ABC＝，点D在边BC上，∠ADC＝，且.将△ACD以直线AD为轴作轴对称变换，得到△，连结.
(1)证明：⊥;
(2)求∠C的大小.
（全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题）
解题思路：本题分别考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质，解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质即可解决问题.

能力训练
1.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝，AB＝AD，若这个四边形的面积为12，则BC＋CD＝_____________.（山东省竞赛试题）
2.如图，凸五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝，EA＝AB＝BC＝，CD＝DE＝，则这个五边形的面积为_______________.
（美国AHSME试题）
3.如图，一个凸六边形六个内角都是，其中连续四条边的长依次为，则该六边形的周长为______________.
4.如图，ABCDEF是正六边形，M，N分别是边CD，DE的中点，线段AM与BN相交于P，则

＝_________.（浙江省竞赛试题）
5.如图，长为的三条线段交于O点，并且∠＝∠＝∠＝，则三个三角形的面积和__________（填“＜”，“＝”，或“＞”）.
（“希望杯”邀请赛试题）
6.如图，在四边形ABCD中，∠A＝，∠B＝∠D＝，BC＝，CD＝，则AB＝().
A.B.C.D.
（广西壮族自治区中考试题）
7.如图，在△ABC中，M为BC中点，AN平分∠A，AN⊥BN于N，且AB＝，AC＝，则MN等于（）.
A.B.C.D.
8.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝，BE⊥AD于E，，则BE的长为（）
A.B.C.D.
9.如图，在四边形ABCD中，AB＝，BC＝，CD＝，∠B＝，∠C＝，则∠D等于（）
A.B.C.D.条件不够，无法求出
（重庆市竞赛试题）

10.如图，在△ABC中，E是AC中点，D是BC边上一点，若BC＝，∠ABC＝，∠BAC＝，∠CED＝，求的值.
11.如图，设是的斜边长，是直角边，求证：.
（加拿大中学生竞赛试题）
12.如图，已知八边形ABCDEFGH所有的内角都相等，而且边长都是整数.求证：这个八边形的对边相等.
13.如图，设P为△ABC的中位线DE上的一点，BP交AC于N，CP交AB于M，求证：.
（齐齐哈尔市竞赛试题）
14.一个圆内接八边形相邻的四条边长是，另四条边长是，求八边形的面积.[合同范本网 Www.36gH.com]

精选阅读

八年级数学竞赛例题专题-多边形的边与角1

专题15多边形的边与角
阅读与思考
两个几何图形的全等是指两个图形之间的一种关系，其中最基本的关系是两个图形的点的对应关系，以及对应边之间、对应角之间的相等关系．全等三角形是研究三角形、四边形等图形性质的主要工具，是解决有关线段、角等问题的一个出发点，证明线段相等、线段和差相等、角相等、两直线位置关系等问题总要直接或间接用到全等三角形，我们把这种应用全等三角形来解决问题的方法称为全等三角形法．
我们实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，而是处于各种不同的位置，但其中一个是由另一个经过平移、翻折、旋转等变换而成的．了解全等变换的这几种形式，有助于发现全等三角形、确定对应元素．善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键，应熟悉涉及有关会共边、公共角的以下两类基本图形：
例题与求解
【例1】考查下列命题：
①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；
②两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；
③两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；
④两边和其中一边上的高（或第三边上高）对应相等的两个三角形全等．
其中正确命题的个数有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
（山东省竞赛试题）
解题思路：真命题给出证明，假命题举出一个反例．

【例2】如图，已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB．
求证：（1）AP＝AQ；（2）AP⊥AQ．
（第十六届江苏省竞赛试题）
解题思路：（1）证明对应的两个三角形全等；（2）证明∠PAQ＝90°．

【例3】如图，已知为AD为△ABC的中线，求证：AD＜．
（陕西省中考试题）
解题思路：三角形三边关系定理是证明线段不等关系的基本工具，关键是设法将AB，AC，AD集中到同一个三角形中，从构造2AD入手．

【例4】如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E．
求证：AB＝AC＋BD．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：本例是线段和差问题的证明，截长法（或补短法）是证明这类问题的基本方法，即在AB上截取AF，使AF＝AC，以下只要证明FB＝BD即可，于是将问题转化为证明两线段相等．

【例5】如图1，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠．
（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图2，若∠BCA＝90°，∠＝90°，则BE＿＿＿＿CF，EF＿＿＿＿（填“＞”、“＜”或“＝”）；
②如图3，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠与∠BCA关系的条件＿＿＿＿，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论；
（2）如图4，若直线CD经过∠BCA的外部，∠＝∠BCA，请提出EF，BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
（台州市中考试题）
解题思路：对于②，可用①进行逆推，寻找△BCE≌△CAF应满足的条件．对于（2）可用归纳类比方法提出猜想．

【例6】如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠BAD＝105°，∠ABC＝∠ADC＝45°．
求证：CD＝AB．
（天津市竞赛试题）
解题思路：由已知易得∠CAB＝30°，∠GAC＝75°，∠DCA＝60°，∠ACB＋∠DAC＝180°，由特殊度数可联想到特殊三角形、共线点等．

能力训练
A级
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC︰DB＝3︰5，则点D到AB的距离是＿＿＿＿．
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过B，C作经过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝3cm，CE＝4cm，则DE＝＿＿＿＿．
3．如图，△ABE和△ACF分别是以△ABC的边AB、AC为边的形外的等腰直角三角形，CE和BF相交于O，则∠EOB＝＿＿＿＿．
4．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB＝AE，AC＝AD．有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC＝DE；③∠DBC＝∠DAB；④△ABE是等边三角形．请写出正确结论的序号＿＿＿＿．（把你认为正确结论的序号都填上）
（天津市中考试题）
5．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，则（）
A．△ABD≌△AFDB．△AFE≌△ADC
C．△AFE≌△DFCD．△ABC≌△ADE
6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E．若AB＝6cm，则△DEB的周长为（）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
7．如图，从下列四个条件：①BC＝BC；②AC＝A′C；③∠A′CA＝∠B′CB；④AB＝A′B′中，任取三个为题设，余下的一个为结论，则最多可以构成的正确命题的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
（北京市东城区中考试题）
8．如图1，在锐角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于F，且BF＝AC．
（1）求证：ED平分∠FEC；
（2）如图2，若△ABC中，∠C为钝角，其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给予证明．

9．在等腰Rt△AOB和等腰Rt△DOC中，∠AOB＝∠DOC＝90°，连AD，M为AD中点，连OM．
（1）如图1，请写出OM与BC的关系，并说明理由；
（2）将图1中的△COD旋转至图2的位置，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由．

10．如图，已知∠1＝∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M．
求证：∠M＝．（天津市竞赛试题）

11．如图，已知△ABC中，∠A＝60°，BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，P为BE，CD的交点．
求证：BD＋CE＝BC．

12．如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD．
（日照市中考试题）

B级
1．在△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝＿＿＿＿．
（武汉市竞赛试题）
2．在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是＿＿＿＿．
（“希望杯”竞赛试题）
3．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是角平分线，P是AD上任意一点，在ABAC与BPPC两式中，较大的一个是＿＿＿＿．
4．如图，已知AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的三角形有（）
A．5对B．6对C．7对D．8对
5．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，则（）
A．BE＋CF＞EFB．BE＋CF＝EF
C．BE＋CF＜EFD．BE＋CF与的大小关系不确定
（第十五届江苏省竞赛试题）
6．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（）
A．相等B．不相等C．互余D.互补或相等
（北京市竞赛试题）
7．如图，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：①AB＝AC；②AD＝AE；③AM＝AN；④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．
已知：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
求证：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
（荆州市中考试题）
8．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE＝，求∠ABC＋∠ADC的度数．（上海市竞赛试题）
9．在四边形ABCD中，已知AB＝，AD＝6，且BC＝DC，对角线AC平分∠BAD，问与的大小符合什么条件时，有∠B＋∠D＝180°，请画出图形并证明你的结论．
（河北省竞赛试题）

10．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE：分别平分∠BAC，∠ACB．
求证：AC＝AE＋CD．
（武汉市选拔赛试题）
11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AP，CQ分别平分∠BAC，∠BCA．AP交CQ于I，连PQ．
求证：为定值．
12．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD丄MN于O，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE＝AD＋BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝ADBE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问：DE，AD，BE有怎样的等量关系？请写出这个等
量关系，并加以证明．（海口市中考试题）

13．CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠．
（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA＝90°，∠＝90°，则BE＿＿＿＿CF，EF＿＿＿＿（填“＞”、“＜”或“＝”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠与∠BCA关系的条件＿＿＿＿，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论；
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠＝∠BCA，请提出EF，BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
（台州市中考试题）

八年级数学竞赛例题专题-多边形的边与角

专题14多边形的边与角
阅读与思考
主要是指多边形的边、内外角、对角线、凸多边形、凹多边形等基本概念和多边形内角和定理、外角和定理，其中多边形内、外角和定理是解有关多边形问题的基础．
多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来说明、解决，将多边形问题转化为三角形问题是解多边形问.题的基本策略，转化的方法是连对角线或向外补形．
多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，但外角和却总是不变的，所以，我们常以外角和的“不变”来制约内角和的“变”，把内角问题转化为外角问题来处理，这是解多边形相关问题的常用技巧．
例题与求解
【例1】两个凸多边形，它们的边长之和为12，对角线的条数之和为19，那么这两个多边形的边数分别是＿＿＿＿和＿＿＿＿．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：设两个凸多边形分别有，条边，分别引出，条对角线，由此得，方程组．

【例2】凸边形有且只有3个钝角，那么的最大值是（）
A．5B．6C．7D．8
解题思路：运用钝角、锐角概念，建立关于的不等式，通过求解不等式逼近求解．

【例3】凸边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求的值．
（山东省竞赛试题）
解题思路：利用边形内角和公式，以及边数为大于等于3的自然数这一要求，推出该角大小，进而求出的值．

【例4】如图，凸八边形ABCDEFGH的八个内角都相等，边AB，BC，CD，DE，EF，FG的长分为7，4，2，5，6，2，求该八边形的周长．（全国通讯赛试题）
解题思路：该八边形每一内角均为135°，每一外角为45°，可将八边形问题转化为特殊三角形解决、特殊四边形加以解决．

【例5】如图所示，小华从M点出发，沿直线前进10米后，向左转20°，再沿直线前进10米后，又向左转20°，…这样走下去，他第一次回到出发地M时，行走了多少米？
解题思路：试着将图形画完，你也许就知道答案了．

能力训练
A级
1．如图，凸四边形有＿＿＿个；∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝＿＿＿．
（重庆市竞赛试题）
2．如图，凸四边形ABCD的四边AB，BC，CD和DA的长分别为3，4，12和13，∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积为＿＿＿．

3．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝＿＿＿．
4．如图，ABCD是凸四边形，则的取值范围是＿＿＿．.
5．一个凸多边形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）
A．9条B．8条C．7条D．6条
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
6．—个凸边形的内角和小于1999°，那么的最大值是（）
（全国初中联赛试题）
A．11B．12C．13D．14
7．如图，是一个正方形桌面，如果把桌面砍下一个角后，桌面还剩（）个角．
A．5个B．5个或3个
C．5个或3个或4个D．4个
8．—个凸边形，除一个内角外，其余个内角的和为2400°，则的值是（）
A．15B．16C．17D．不能确定
9．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形周长为32，求BC和DC的长．

10．—个凸边形的最小内角为95°，其他内角依次增加10°，求的值．
（“希望杯”邀请赛试题）

11．平面上有A，B，C，D四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ABC，△ABD，△ACD，△BDC中至少有—个三角形的内角不超过45°．
（江苏省竞赛试题）

12．我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整的、无空隙的地面．问：
（1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？
（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图．
（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．
（安徽省中考试题）

B级
1．一个正边形恰好被正边形围住（无重叠、无间隙，如图所示是＝4，＝8的情况），若＝10，则＝＿＿＿＿．
2．如图，六边形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，且AB＋BC＝11，FACD＝3，则BC＋DE＝＿＿＿＿．
（北京市竞赛试题）
3．如图，延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边相交得到五个角：∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，它们的和等于＿＿＿．若延长凸边形（≥5）的各边相交，则得到的个角的和等于＿＿＿＿．
（第十二届“希望杯”邀请赛试题）
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝，BC＝1，CD＝3，∠B＝135°，∠C＝90°，则∠D＝（）
A．60°B．67.5°C．75°D．不能确定
（重庆市竞赛试题）
5．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO＋∠DCO的大小是（）
A．70°B．110°C．140°D．150°
6．在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，则这个多边形的边数为（）
A．12B．12或13C．14D．14或15
（江苏省竞赛试题）
7．一个凸十一边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸十一边形各个内角大小，并画出这样的凸十一边形的草图．
（全国通讯赛试题）

8．一块地能被块相同的正方形地砖所覆盖，如果使用较小的相同正方形地砖，那么需＋76块这样的地砖才能覆盖该块地，已知及地砖的边长都是整数，求的值．
（上海市竞赛试题）

9．设有一个边长为1的正三角形，记作A1如下左图，将A1的每条边三等分，在中间的线段上各向形外作正三角形，去掉中间的线段后得到的图形记作A2（如下中图）；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3（如下右图）；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作
A4，求A4的周长．
（全国初中数学联赛试题）

10．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫作平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据下列图形，填写表中空格：
正多边形边数3456…

正多边形每个内角的度数60°90°
（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形．说明你的理由．
（陕西省中考试题）

八年级数学竞赛例题专题-配方法

专题25配方法
阅读与思考
把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧.
配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.
配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有：
1、
2、
3、
4、
配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于：
(1)具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如能联想起配方法.
(2)具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式.

例题与求解
【例1】已知实数，，满足，那么_____
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x，y的值.

【例2】若实数，，c满足，则代数式的最大值是()
A、27B、18C、15D、12
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：运用乘法公式，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.

配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质；
(1)非负数的最小值为零；
(2)有限个非负数的和为零，则每一个非负数都为零.
【例3】已知，求a+b+c的值.
解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式，怎样才能确定未知量的值呢？不妨用配方法试一试.
复合根式的化简，含多元的根式等式问题，常常用到配方法.

【例4】证明数列49，4489，444889，44448889，…的每一项都是一个完全平方数.
解题思路：，由此可猜想，只需完成从左边到右边的推导过程即可.

几个有趣的结论：
(1)
(2)
这表明：只出现1个奇数或只出现1个偶数的完全平方数分别有无限多个.

【例5】一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．
(全国初中数学联赛试题)

解题思路：通过引元，把不满意的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.
配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.

【例6】已知自然数n使得为完全平方数，求n的值.
(“希望杯”邀请赛试题)

解题思路：原式中n的系数为奇数，不能直接配方，可想办法化奇为偶，解决问题.

能力训练
1、计算=_________.
(“希望杯”邀请赛试题)
2、已知，则.
3、，y为实数，且，则+y的值为__________.
4、当＞2时，化简代数式，得___________.
5、已知，当=________，y=______时，的值最小.
(全国通讯赛试题)

6、若，则M－N的值()
A、负数B、正数C、非负数D、可正可负
7、计算的值为()
A、1B、C、D、
(全国初中数学联赛试题)
8、设，,为实数，，则x，y，z中至少有一个值()
A、大于零B、等于零C、不大于零D、小于零
(全国初中数学竞赛试题)
9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中n为自然数)的是()
A、B、C、
D、E、
10、已知实数，，c满足，则a+b+c的值等于()
A、2B、3C、4D、5
(河北省竞赛试题)
解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并经常用到一下重要命题：
设x1，x2，x3,…xn为实数.
(1)若则x1，x2，x3,…xn中至少有(或存在)一个为零；
(2)若，则x1，x2，x3，…xn中至少有(或存在)一个大于零；
(3)若，则x1，x2，x3，…xn中至少有(或存在)一个小于零.

11、解方程组(苏州市竞赛试题)

12、能使是完全平方数的正整数n的值为多少？
(全国初中数学联赛试题)

13、已知，且，，为自然数，求，的值.
(天津市竞赛试题)

13、设a为质数，b为正整数，且，求，的值.
(全国初中数学联赛试题)

14、某宾馆经市场调研发现，每周该宾馆入住的房间数y与房间单价x之间存在如图所示的一次函数关系.
(1)根据图象求y与x之间的函数关系式(0＜＜160)；
(2)从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？