函数及性质。
一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助高中教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？小编经过搜集和处理，为您提供函数及性质，欢迎阅读，希望您能阅读并收藏。
函数及性质
一.【复习目标】
1.理解函数单调性的概念,理解函数的周期性.
2.会利用函数的性质描绘函数的图象,讨论函数、方程、不等式相关问题.
3.体会数形结合及函数与方程的数学思想方法.
二、【课前热身】
1．函数y=的反函数()
A.是奇函数，它在（0，+）上是减函数。
B.是偶函数，它在（0，+）上是减函数。
C.是奇函数，它在（0，+上是增函数。
D.是偶函数，它在（0，+上是增函数。
2．若定义在R上的偶函数f（x）在（-，0）上是减函数，且=2。那么不等式的解集为()
（A）（0.5，1）（B）（0，0.5）。
（C）（0，0.5）（D）（2，+）
3．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对一切x，总有f（x+4）=f（x），
若f（63）=2，则f（5）与f（7）的大小关系是-------------------
4．已知f（x）=8+2x-x2，如果g（x）=f（2-x2），那么g（x）(）
（A）在区间（-2，0）上是增函数。（B）在区间（0，2）上是增函数。
（C）在区间（-1，0）上是减函数。（D）在区间（0，1）上是减函数。
三.【例题探究】
例1．设函数，其中a是实数，n是自然数，且n，若f（x）当x时有意义，求a的取值范围。
例2．设函数，当点（x，y）在y=f（x）的反函数图象上运动时，对应的点（）在y=g（x）的图象上。
(1).求的表达式。
(2).当时，求的最小值。
例3．定义在R上的单调函数f(x)满足且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求证f(x)为奇函数；
(2)若f(k3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
四、【方法点拨】
1.函数不等式的求解要注意结合函数的单调性,特别要重视定义域的作用
2.不等式恒成立问题要注意等价转化.
冲刺强化训练(2)
1.函数与的图象关于直线对称，则的单调递增区间是（）
2．方程的解所在区间是（）
A．（0，2）B。（1，2）C.（2，3）D.（3，4）
3．设函数的反函数为，又函数的图象关于直线对称，，那么的值为(）
A．-1B.-2C.D.
4.设偶函数是定义在实数集上的周期为2的周期函数，当时，
则当时，的解析式是（）
5.函数的单调递增区间是:
6．设定义在R上的函数的最小正周期为2，且在区间内单调递减，则
的大小关系是：________________________.
7.已知函数
（1）求函数的反函数。
（2）如果，求a的值，并画出的图象。
8．给出函数
（1）对任意的实数都有，求实数a的范围。
（2）试判断在上的增减性，并给予证明
9.设函数
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(3)指出在区间上的单调性，并予以证明.
参考答案
一、[课前热身]
1．C2．B3．4．C
二、[例题探究]
例1．分析：使函数f（x）=lg有意义的的集合满足：
即。。。。。。①
因的定义域是，故对于一切，①式恒成立。由函数
在上是减函数知函数在
上是增函数。故在上的最大值是
。故所求范围是（。
说明：利用函数的单调性求函数的值域或最值是一种重要的方法。
例2．分析：(1)易求。。
（2）由g（x）—f—1（x）0得：。
故即。
说明：二次函数的最值不一定在顶点取得，当时，的最值为。
例3．分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．
(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，①
令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0．
令y=-x，代入①式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有
0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．
(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．
f(k3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，k3＜-3+9+2，
3-(1+k)3+2＞0对任意x∈R成立．
令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．
R恒成立．
说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法：分离系数由k3＜-3+9+2得
上述解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．
冲刺强化训练(2)
1.C2、C3．B4.C5.6．
7.（1）反函数。（2）。图象略。
8（1）。（2）增函数。
9.证明：（I）
故f(x)在（0，1上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0ab且f(a)=f(b)得0a1b和，故
（II）0x1时，
曲线y=f(x)在点P（x0，y0）处的切线方程为：
∴切线与x轴、y轴正向的交点为
故所求三角形面积听表达式为：
扩展阅读
对数函数的性质及简单应用
2.2.2对数函数的性质及简单应用
一、内容与解析
(一）内容：对数函数的性质
（二）解析：本节课要学的内容是对数函数的性质及简单应用,其核心(或关键)是对数函数的性质,理解它关键就是要利用对数函数的图象.学生已经掌握了对数函数的图象特点,本节课的内容就是在此基础上的发展.由于它是构造复杂函数的基本元素之一，所以对数函数的性质是本单元的重要内容之一.教学的重点是掌握对数函数的性质,解决重点的关键是利用对数函数的图象，通过数形结合的思想进行归纳总结。
二、教学目标及解析
(一)教学目标:
1.掌握对数函数的性质并能简单应用
(二)解析:
(1)就是指根据对数函数的两类图象总结并理解对数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、函数值的分布特征等性质，并能将这些性质应用到简单的问题中。
三、问题诊断分析
在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是底数a对对数函数图象和性质的影响,产生这一问题的原因是学生对参量认识不到位，往往将参量等同于自变量.要解决这一问题,就是要将参量的取值多元化，最好应用几何画板的快捷性处理这类问题,其中关键是应用好几何画板.
四、教学支持条件分析
在本节课()的教学中,准备使用(),因为使用(),有利于().
五、教学过程
问题1.先画出下列函数的简图，再根据图象归纳总结对数函数的相关性质。
设计意图:
师生活动(小问题):
1.这些对数函数的解析式有什么共同特征？
2.通过这些函数的图象请从值域、单调性、奇偶性方面进行总结函数的性质。
3.通过这些函数图象请从函数值的分布角度总结相关性质
4.通过这些函数图象请总结：当自变量取一个值时，函数值随底数有什么样的变化规律？
问题2.先画出下列函数的简图，根据图象归纳总结对数函数的相关性质。
问题3.根据问题1、2填写下表
图象特征函数性质
a＞10＜a＜1a＞10＜a＜1
向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R+
图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数
函数图象都在y轴右侧函数的定义域为R
函数图象都过定点（1,0）
自左向右,图象逐渐上升自左向右,图象逐渐下降增函数减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于0，横坐标大于1在第一象限内的图象纵坐标都大于0，横标大于0小于1
在第四象限内的图象纵坐标都小于0，横标大于0小于1在第四象限内的图象纵坐标都小于0，横标大于1
[设计意图]发现性质、弄清性质的来龙去脉，是为了更好揭示对数函数的本质属性，传统教学往往让学生在解题中领悟。为了扭转这种方式，我先引导学生回顾指数函数的性质，再利用类比的思想，小组合作的形式通过图象主动探索出对数函数的性质。教学实践表明：当学生对对数函数的图象已有感性认识后，得到这些性质必然水到渠成
例1.比较下列各组数中两个值的大小：
(1)log23.4,log28.5（2）log0.31.8,log0.32.7
（3）loga5.1,loga5.9(a＞0,且a≠1)
变式训练：1.比较下列各题中两个值的大小:
⑴log106log108⑵log0.56log0.54
⑶log0.10.5log0.10.6⑷log1.50.6log1.50.4
2．已知下列不等式，比较正数m，n的大小：
(1)log3mlog3n(2)log0.3mlog0.3n
(3)logamlogan(0a1)(4)logamlogan(a1)
例2.（1）若且，求的取值范围
（2）已知，求的取值范围；
六、目标检测
1.比较，，的大小：
2.求下列各式中的x的值
（1）
（2）
（3）
函数的性质
《新课标》高三数学（人教版）第一轮复习单元讲座
第四讲—函数的基本性质
一．课标要求(例题5，练习题7，习题9)
1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；
2．结合具体函数，了解奇偶性的含义；
二．命题走向
从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索。
预测2011年高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值。
预测明年的对本讲的考察是：
（1）考察函数性质的选择题1个或1个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题；
（2）以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点。
三．要点精讲
1．单调性
（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)（f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；
注意：
○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)
（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
（3）设复合函数y=f[g(x)]，其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射
g:x→u=g(x)的象集：
①若u=g(x)在A上是增（或减）函数，y=f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数
y=f[g(x)]在A上是增函数；
②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y=f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y=f[g(x)]在A上是减函数。
（4）判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
○1任取x1，x2∈D，且x1x2；
○2作差f(x1)－f(x2)；
○3变形（通常是因式分解和配方）；
○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。
（5）简单性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；
②偶函数在其对称区间上的单调性相反；
③在公共定义域内：
增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；
增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。
2．奇偶性
（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；
如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.
如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。
注意：
○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
例如：函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数分别在和内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即内是单调递减的，只能说函数的单调递减区间为和
○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
○2确定f(－x)与f(x)的关系；
○3作出相应结论：
若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；
若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数。
（3）简单性质：
①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；
一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；
若是偶函数，则的图象关于直线对称；
若是奇函数，则的图象关于点中心对称；
②设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇；
3．最值
（1）定义：
最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。
最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最小值。
注意：
○1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；
○2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有
f(x)≤M（f(x)≥M）。
（2）．函数的最值的求法
①若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。
②利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
③基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。
④导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法
⑤数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。
4．周期性
（1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数；
（2）性质：①f(x+T)=f(x)常常写作若f(x)的周期中，存在一个最小的正数T，则称它为f(x)的最小正周期；
②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为。
（3）周期性不仅仅是三角函数的专利，抽象函数的周期性是高考热点，主要难点是抽象函数周期的发现，主要有几种情况：
①函数值之和等于零型，
即函数对于定义域中任意满足，则有，故函数的周期是
②函数图象有，两条对称轴型。
函数图象有，两条对称轴，即，，从而得，故函数的周期是
③两个函数值之积等于，即函数值互为倒数或负倒数型
若，则得，所以函数的周期是；同理若，则的周期是
四．典例解析
题型一判断证明函数的单调性
例1．（2001天津，19）设，是上的偶函数。
（1）求的值；（2）证明在上为增函数。
解：（1）依题意，对一切，有，即。
∴对一切成立，则，∴，
∵，∴。
（2）(定义法)设，则
，
由，得，，
∴，
即，∴在上为增函数。
（导数法）∵，
∴
∴在上为增函数
点评：本题用了两种方法：定义法和导数法，相比之下导数法比定义法更为简洁。
例2．（1）求函数的单调区间；
（2）已知若试确定的单调区间和单调性。
解：（1）函数的定义域为，
分解基本函数为、
显然在上是单调递减的，而在上分别是单调递减和单调递增的。根据复合函数的单调性的规则：
所以函数在上分别单调递增、单调递减。
（2）解：，，
令，得或，
令，或
∴单调增区间为；单调减区间为。
点评：该题考察了复合函数的单调性。要记住“同向增、异向减”的规则。
练习1．函数的单调增区间为（）
A．；B．；C．；D．
[解析]D；由得或，又函数
在上是减函数，在上是减函数，所以函数
的单调增区间为
2．（2007天津改编）在上定义的函数是奇函数，且，若在区间是减函数，则函数（）
A.在区间上是增函数，区间上是增函数
B.在区间上是增函数，区间上是减函数
C.在区间上是减函数，区间上是增函数
D.在区间上是减函数，区间上是减函数
[解析]C；由知的图象关于直线对称，由在区间是减函数知在区间是增函数，又由及是奇函数，得到
，进而得，所以是以4为周期的函数，故在上是减函数。
题型二：判断函数的奇偶性
例3．讨论下述函数的奇偶性：
解：（1）函数定义域为R，
，
∴f(x)为偶函数；
（另解）先化简：，显然为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多。
（2）须要分两段讨论：
①设方法正确解题过程不对！
②设
③当x=0时f(x)=0，也满足f(－x)=－f(x)；
由①、②、③知，对x∈R有f(－x)=－f(x)，∴f(x)为偶函数；
（3），∴函数的定义域为，
∴f(x)=log21=0(x=±1)，即f(x)的图象由两个点A（－1，0）与B（1，0）组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，∴f(x)既是奇函数，又是偶函数；
点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。
例4．(2002天津文.16)设函数f（x）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：①y=－|f（x）|；②y=xf（x2）；③y=－f（－x）；④y=f（x）－f（－x）。必为奇函数的有_____（要求填写正确答案的序号）
答案：②④；解析：y=（－x）f［（－x）2］=－xf（x2）=－y；y=f（－x）－f（x）=－y。③可以看成y=－f（－x）,那么－f（x）≠—y所以③不正确。
点评：该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。对学生逻辑思维能力有较高的要求。
题型三：最值问题
例题5（2000年上海）已知函数
当时，求函数的最小值；
[解题思路]当时，，这是典型的“对钩函数”，欲求其最小值，可以考虑均值不等式或导数；
[解析]当时，
，。在区间上为增函数。
在区间上的最小值为。
【名师指引】对于函数若，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，否则会得到
而认为其最小值为，但实际上，要取得等号，必须使得，这时
所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立问题常转化为求函数的最值。本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想；
题型四：周期问题
例题6．（执信中学09届训练题）设是定义在上的正值函数,且满足
.若是周期函数,则它的一个周期是（）
.；.；.；.
[解析]；由是定义在上的正值函数及得
，，
，所以，即的一个周期是6
例题7．（06年安徽改编）函数对于任意实数满足条件，若则__________
[解析]；由得，进而得
所以
例题8．若y=f(2x)的图像关于直线和对称，则f(x)的一个周期为（）
A．B．C．D．
解：因为y=f(2x)关于对称，所以f(a+2x)=f(a－2x)。
所以f(2a－2x)=f[a+(a－2x)]=f[a－(a－2x)]=f(2x)。
同理，f(b+2x)=f(b－2x)，
所以f(2b－2x)=f(2x)，
所以f(2b－2a+2x)=f[2b－(2a－2x)]=f(2a－2x)=f(2x)。
所以f(2x)的一个周期为2b－2a，
故知f(x)的一个周期为4(b－a)。选项为D。
点评：考察函数的对称性以及周期性，类比三角函数中的周期变换和对称性的解题规则处理即可。若函数y=f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称（a≠b），则这个函数是周期函数，其周期为2（b－a）。
例题9．已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值。
①证明：；
②求的解析式；
③求在上的解析式。
解：∵是以为周期的周期函数，
∴，
又∵是奇函数，
∴，
∴。
②当时，由题意可设，
由得，
∴，
∴。
③∵是奇函数，
∴，
又知在上是一次函数，
∴可设，而，
∴，∴当时，，
从而当时，，故时，。
∴当时，有，
∴。
当时，，
∴
∴。
点评：该题属于普通函数周期性应用的题目，周期性是函数的图像特征，要将其转化成数字特征。
五．思维总结
1．判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(x)=f(x)f(x)f(x)=0；
2．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件。稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映；
3．若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0，因此，“f(x)为奇函数”是f(0)=0的非充分非必要条件；
4．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性。
5．若存在常数T，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x恒成立，则称T为函数f(x)的周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集。
6．单调性是函数学习中非常重要的内容，应用十分广泛，由于新教材增加了“导数”的内容，所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高，因此解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。注意，关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析，严格的解答还是应该运用定义或求导解决。
函数概念及性质
年级高一学科数学课题第二章函数概念及性质的复习
授课时间2011年8月23
学习重点对函数有关概念整合
学习难点函数性质的应用
学习目标1.深刻理解函数的有关概念，理解对应法则、图象等有关性质，掌握函数的单调性和奇偶性的判定方法和步骤，并会运用解决实际问题.
2.利用数形结合研究二次函数的图像及性质
教学过程
一自主学习
①三要素：、、；
函数三中表示形式、、；
②单调性：定义域内某区间D，，时，，则的D上；时，，则的D上.
③最大（小）值求法：、、等；
④奇偶性：对定义域内任意x，
；.
特点：偶函数定义域关于，图象关于轴对称.
奇函数定义域关于，图象关于轴对称.
⑤幂函数
⑥映射
⑦二次函数图像与性质：
二师生互动
例1函数的定义域
练一练
求函数的定义域
例2例2已知函数是偶函数，且时，.
（1）求的值；（2）求时的值；
（3）当0时，求的解析式．
练一练
设函数．
（1）求它的定义域；（2）判断它的奇偶性；
（3）求证：；
（4）求证：在上递增.
三巩固练习
1..函数的值域是（）
A．B.C.D.
2.若函数的值域是，则函数的值域是（）
A．[，3]B．[2，]C．[，]D．[3，]
3若f(x)=-x2+2ax与在区间[1,2]上都是减函数，则a的值范围是（）
A．B．C．（0，1）D．
4函数的图像关于（）
A．轴对称B．直线对称C．坐标原点对称D．直线对称
5已知定义域为R的函数f(x)在上为减函数,且y=f(x+8)函数为偶函数,则()
A.f(6)f(7)B.f(6)f(9)C.f(7)f(9)D.f(7)f(10)
6设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为（）
（A）（B）（C）（D）
7在上的最大值为，最小值为.
四课后反思
五课后巩固练习
1.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈［－5,5］.
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在［－5,5］上是单调函数.
2.设，当时，恒成立，求实数a的取值范围
整合函数性质教案
第一章单元小结（二）
(一)教学目标
1．知识与技能
整合函数性质建构知识网络，以便于进一步理解和掌握函数的性质.提升综合运用函数性质的能力.
2．过程与方法
在整合函数性质、综合运用函数性质的过程中，培养学生分析、观察、思考的教学能力、提升学生的归纳、推理能力.
3．情感、态度与价值观
在学习过程中，通过知识整合，能力培养，激发学生的学习兴趣.养成合作、交流的良好学习品质.
(二)教学重点与难点
重点：整合知识、构建单元知识系统.
难点：提升综合应用能力.
(三)教学方法
动手练习与合作交流相结合.在回顾、反思中整合知识，在综合问题探究、解答中提升能力.加深对知识的准确、到位的理解与应用.
(四)教学过程
教学环节教学内容师生互动设计意图
回顾反思
构建体系
函数性质单元知识网络
生：借助课本.并回顾学习过程.整理函数掌握函数的有关性质归纳知识的纵横联系.
师生合作：学生口述单元基本知识及相互联系，老师点评、阐述、板书网络图.整理知识，培养归纳能力.
形成知识网络系统.
经典例题
剖析
升华能力
例1试讨论函数f(x)=，x(–1，1)的单调性(其中a≠0).
例2试计论并证明函数y=f(x)=x+(a＞0)在定义域上的单调性，函数在(0，+∞)上是否有最小值？
例3已知f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f(xy)=
f(x)+f(y)，f(2)=1.
（1）求证：f(8)=3；
（2）解不等式
f(x)–f(x–2)＞3.
例4已知函数f(x)，当x、y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
（1）求证：f(x)是奇函数；
（2）如果x∈R+，f(x)＜0，并且f(1)=，试求f(x)在区间[–2，6]上的最值.
师生合作：学生独立尝试完成例1~例4并由学生代表板书解答过程.老师点评.师生共同小结解题思络.
例1【解析】设–x＜x1＜x2＜1，
即△x=x2–x1＞0，
则△y=f(x2)–f(x2)
=
=
∵–1＜x1＜x2＜1，
∴x1–x2＜0，–1＜0，–1＜0.
|x1x2|＜1，即–1＜x1x2＜1，x1x2+1＞0，
∴＜0.
因此，当a＞0时，△y=f(x2)–f(x1)＜0，
即f(x1)＞f(x2)，此时函数为减函数；
当a＜0时，△y=f(x2)–f(x1)＞0，
即f(x1)＜f(x2)，此时函数为增函数.
例2【解析】函数y=x+(a＞0)在区间(–∞，–)上是增函数，在区间[–，0]上是减函数，在区间(0，]上是减函数，在区间(，+∞)上是增函数.
先证明y=x+(a＞0)在(0，+∞)上的增减性，
任取0＜x1＜x2，
则△x=x1–x2＜0，
△y=f(x1)–f(x2)
=(x1+)–(x2+)
=(x1–x2)+(–)
=(x1–x2)+
=(x1–x2)(1–)
=△x.
∵0＜x1＜x2，
∴△x=x1–x2＜0，x1x2＞0.
（1）当x1，x2∈(0，)时，0＜x1x2＜a，∴x1x2–a＜0，
此时①＞0时，
△y=f(x1)–f(x2)＞0，
∴f(x)在(0，)上是减函数.
（2）当x1，x2∈[，+∞）时，x1x2＞a，∴x1x2–a＞0，
此时①＜0，△y=f(x1)–f(x2)＜0，
∴f(x)在[，+∞）上是增函数，
同理可证函数f(x)在(–∞，–)上为增函数，
在[–，0)上为减函数.
由函数f(x)=x+在[0，)上为减函数，且在[，+∞)上为增函数知道，f(x)≥f()=2，其中x∈(0，+∞)，
∴f(x)min=2，
也可以配方求f(x)=x+(a＞0)在(0，+∞)上的最小值，
∴f(x)=x+=()2+2，
当且仅当x=时，f(x)min=2.
例3【解析】（1）在f(xy)=f(x)+f(y)中，
设x=y=2，则有f(4)=f(2)+f(2)，
设x=4，y=2，
则有f(8)=f(4)+f(2)
=3f(2)=3.
（2）由f(x)–f(x–2)＞3，
得f(x)＞f(8)+f(x–2)=f[8(x–2)]，
∵f(x)是(0，+∞)上的增函数，
∴，解得2＜x＜，
故原不等式的解集为{x|2＜x＜}.
例4【解析】（1）∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称，
∵f(x+y)=f(x)+f(y)，
令y=–x，x、–x∈R，
代入f(x+y)=f(x)+f(y)，
∴f(0)=f(0)+f(0)，得f(0)=0，
∴f(x)+f(–x)=0，得
f(–x)=–f(x)，
∴f(x)为奇函数.
（2）设x、y∈R+，
∵f(x+y)=f(x)+f(y)，
∴f(x+y)–f(x)=f(y)，
∵x∈R+，f(x)＜0，
∴f(x+y)–f(x)＜0，
∴f(x+y)＜f(x).
∵x+y＜x，
∴f(x)在(0，+∞)上是减函数.
又∵f(x)为奇函数，
f(0)=0，
∴f(x)在(–∞，+∞)上是减函数.
∴在区间[–2，6]上f(–2)为最大值，f(6)为最小值.
∵f(1)=，
∴f(–2)=–f(2)=–2f(1)=1，
f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]
=–3，
∴f(x)在区间[–2，6]上的最大值为1，最小值为–3.动手尝试练习，培养并提高解题能力.
备选例题
例1用定义证明函数y=f(x)=是减函数.
【解析】∵x2+1＞0对任意实数x均成立，
∴函数y=f(x)=的定义域是R，
任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则△x=x2–x1＞0，
△y=f(x2)–f(x1)
=
=
=–(x2–x1)
=(x2+x1––)，
∵x1∈R，x2∈R，且x1＜x2，
∴x2–x1＞0，＞=|x1|≥x1，
∴x1–＜0，同理x2–＜0，
x1+x2––＜0，
+＞|x1|+|x2|＞0，
∴f(x2)–f(x1)＜0，
∴y=f(x)=在R上是减函数.
例2已知函数f(x)的定义域为R，满足f(–x)=＞0，且g(x)=f(x)+c（c为常数）在区间[a，b]上是减函数.判断并证明g(x)在区间[–b，–a]上的单调性.
解析：设–b≤x1＜x2≤–a，
则△x=x2–x1＞0，b≥–x1＞–x2≥a，
∵g(x)在区间[a，b]上是减函数，
∴g(–x1)＜g(–x2)，即f(–x1)+c＜f(–x2)+c，
则f(–x1)＜f(–x2)，又∵f(–x)=＞0，
∴，即f(x1)＞f(x2)
∴f(x1)+c＞f(x2)+c，即g(x1)＞g(x2)，
△y=g(x2)–g(x1)＜0，
∴g(x)在区间[–b，–a]上是减函数.
