数列的递推公式（选学）教案。

一名优秀的教师就要对每一课堂负责，作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助教师能够井然有序的进行教学。您知道教案应该要怎么下笔吗？以下是小编收集整理的“数列的递推公式（选学）教案”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

教学设计
2．1.2数列的递推公式(选学)
整体设计
教学分析
本节作为选学内容，课标对递推公式没有明确要求．考虑到它在认识数列中的作用，教材把它单列一节作为选学．实际上，递推公式作为数列的一种表示方法，有其独特的作用，高考试卷中常常见到它的踪影，因此，教学中还是把它作为必学内容对待为好．
数列作为刻画自然规律的基本数学模型，教材意图是用函数的观点和递推的观点理解数列．同上节一样本节也是通过一些例子及章头前言中的事例来引入递推公式．并通过例题，让学生明确数列的递推公式应包括数列的首项和公式本身．没有首项，就没有递推的基础，没有递推公式则无法向后延续．让学生体会，给出首项和递推公式，就可唯一确定一个数列．
数列的递推公式也是数列的一种表示方法，它与数列的通项公式紧密相连，但作为开始认识数列，本节不宜过分拓展，加大难度，仅限于理解递推公式的定义，并能用数列的首项和递推公式写出数列的后续各项即可．
三维目标
1．通过本节学习，理解数列递推公式的意义，理解递推公式与通项公式的异同．会根据数列的首项和递推公式写出数列的后续各项．
2．通过探究、交流、观察、分析等教学方式，充分发挥学生的主体作用，并通过思考与讨论本章章头左图中的说明，体会数学来源于生活．
3．通过对数列递推公式的探究，培养学生动手试验，大胆猜想的优秀品质，培养学生对科学的探究精神和严肃认真的态度．
重点难点
教学重点：理解用递推公式定义数列的方法；能用递推公式和首项写出数列的后续各项．
教学难点：利用数列的递推公式和首项，猜想该数列的通项公式．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(章头图引入)让学生观察章头图中左图兔子的繁殖情况．假设每次生出的小兔子都是一雄一雌，并且排除兔子发生死亡的情况，这样每个月兔子的对数，依次可以排成一个数列，你能把这个数列的每一项(第一项除外)用前一项表示出来吗？由此展开新课的探究．
思路2.(直接引入)我们知道数列1,2,3,4，…可用通项公式an＝n表示．容易发现，这个数列从第2项起的任一项都可用它的前一项表示出来，即an＝an－1＋1(n≥2)，这就是数列的另一种表示方法，也就是今天我们探究的主要内容：递推公式．由此展开探究．
推进新课
新知探究
提出问题
(1)多媒体演示图1，是工厂生产的钢管堆放示意图，你能写出它的一个通项公式吗？你能找出它的相邻两层之间的关系吗？
(2)数列{an}的通项公式是an＝2n.从第2项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系？章头数列3，1coscoscos…从第2项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系呢？
(3)怎样理解递推公式？若已知数列an＝2an－1＋1，你能写出这个数列吗？为什么？
活动：教师用多媒体演示工厂生产的钢管堆放示意图．引导学生观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型．由学生合作探究，必要时教师给予点拨．
模型一：自上而下
第1层钢管数为4，即1?4＝1＋3；
第2层钢管数为5，即2?5＝2＋3；
第3层钢管数为6，即3?6＝3＋3；
第4层钢管数为7，即4?7＝4＋3；
第5层钢管数为8，即5?8＝5＋3；
第6层钢管数为9，即6?9＝6＋3；
第7层钢管数为10，即7?10＝7＋3.
若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且an＝n＋3(1≤n≤7)．
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1，
即a1＝4；a2＝5＝4＋1＝a1＋1；a3＝6＝5＋1＝a2＋1.
依此类推：an＝an－1＋1(2≤n≤7)．
在教师的引导点拨下，学生最终能得到以上两种数学模型，教师适时给以点评．首先表扬学生的这种探究问题的精神，不怕困难敢于钻研，而且推得两个很重要的结论．对于推得的an＝n＋3，只要将n的具体值代入，我们就会很快地求出某一层的钢管数．因为这一关系反映了每一层的钢管数与其层数之间的对应规律，这会给我们的统计与计算带来很大方便，这是由特殊到一般的数学思想方法的运用，是非常正确和成功的．对于推得an＝an－1＋1(2≤n≤7且n∈N*)的同学就更值得表扬，因为这是我们没有见过的，这就是创新，这就是聪明智慧的闪现．这个关系式说明：只要知道a1，则以后的每一项都等于它的前项加1，这样就可以求出第二项，以此类推即可求出其他项．这就是我们今天要探究的一个重点内容，也就是数列的另一种表示法，递推公式法．我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式．递推公式很重要，显然教材上涉及的内容不多，但在每年的高考卷上都有所体现，应引起注意．下一节要学习的等差数列就是最简单的递推数列．
引导学生给递推公式这样下定义：通过给出数列的第一项(或前若干项)，并给出数列的某一项与它的前一项(或前若干项)的关系式来表示数列，这种表示数列的式子叫做这个数列的递推公式．
注意：递推公式也是给出数列的一种方法．如下列数字排列的一个数列：3,5,8,13,21,34,55,89，递推公式为a1＝3，a2＝5，an＝an－1＋an－2(3≤n≤8)．掌握递推公式的关键一点是把握其中的递推关系，应特别注意探究和发现递推关系中前项和后项，或前、后几项之间的关系．
有了以上探究活动，学生很容易探究出问题(2)(3)，至此，学生对数列的表示方法有了全面的理解，为数列的后续内容的学习打下了坚实的基础．
讨论结果：
(1)略
(2)a1＝2，an＝2an－1(n＝2,3,4，…)；
数列3，a1＝1，an＝cos(an－1)(n＝2,3,4，…)．
(3)递推公式包括已知的第1项(或前几项)才能写出这个数列的后续各项．前者是递推的基础，后者是递推的延续．因此仅知an＝2an－1＋1无法写出这个数列的各项．
应用示例
例1已知a1＝2，an＋1＝2an，写出前5项，并猜想an.
活动：根据a1＝2及an＋1＝2an，学生很容易求出前5项，分别是2,4,8,16,32.由观察可猜想an＝2n，这种解法在选择题或填空题中是非常有效的，但若改为求an，这种解法则是不完整的．
由anan－1＝2，可得到以下解法：
anan－1×an－1an－2×an－2an－3×…×a2a1＝ana1＝2n－1，
∴an＝2n.
解：∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴a2＝2×a1＝4，
a3＝2×a2＝8，
a4＝2×a3＝16，
a5＝2×a4＝32.
∵a2＝2×2＝22，a3＝2×22＝23，a4＝16＝24，
∴猜想an＝2n.
变式训练
已知a1＝2，an＋1＝an－4，求an.
解：由an＋1－an＝－4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来，
an－an－1＝－4
an－1－an－2＝－4
an－2－an－3＝－4
……
＋a2－a1＝－4an－a1＝－4n－1
∴an＝2－4(n－1)．

例2(教材本节例1)
活动：本例由学生自己完成，并通过本例边注中的提问，让学生进一步体会数列两种表示方法的特色，用递推公式写出数列的前几项后，引导学生观察、归纳并猜想该数列的通项公式，虽有一定难度，但学生应有这个能力．教师可引导学生分析，如果不代入a1的值，由依次计算的结果可能更容易看到an与n的函数关系：
a2＝a11－a1；a3＝a11－2a1，a4＝a11－3a1，a5＝a11－4a1，…，an＝a11－n－1a1＝23－2n.
变式训练
已知数列{an}的递推公式是an＋2＝3an＋1－2an，且a1＝1，a2＝3.
求：(1)a5；
(2)127是这个数列中的第几项？
解：(1)∵a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，
∴a3＝3a2－2a1＝7，
a4＝3a3－2a2＝15，
a5＝3a4－2a3＝31.
(2)由递推公式，可得a6＝3a5－2a4＝63，a7＝3a6－2a5＝127，
∴127是此数列的第7项．

例3(教材本节例2)
活动：本例为数列这一大节的最后一个教材例题，具有一定的综合性，难度较大．要求学生有较坚实的数形结合基础和解题能力．这种解题的综合能力，要努力去训练，学生才能掌握．具体讲解时，可把P1，P2，P3的坐标都写出来让学生观察发现an与an＋1间的关系．
变式训练
在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)，则an等于()
A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnn
C．2＋nlnnD．1＋n＋lnn
答案：A
解析：方法一，由a2＝a1＋ln2＝2＋ln2，排除C、D；由a3＝a2＋ln(1＋12)＝2＋ln3，排除B.故选A.
方法二，由已知，an＋1－an＝lnn＋1n，a1＝2，
∴an－an－1＝lnnn－1，an－1－an－2＝lnn－1n－2，
…
a2－a1＝ln21，
将以上n－1个式子累加得
an－a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln21
＝ln(nn－1n－1n－2…21)＝lnn，
∴an＝2＋lnn.

例4如图甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由如图乙所示的一连串直角三角形演化而成，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，记OA1，OA2，OA3，…，OA7，OA8的长度所在的数列为{ln}(n∈N*,1≤n≤8)．
甲
乙

(1)写出数列的前4项；
(2)写出数列{ln}的一个递推关系式；
(3)求{ln}的通项公式；
(4)如果把图中的三角形继续作下去，那么OA9，OA2007的长度分别是多少？
活动：本例虽然题干看起来很繁杂，但难度并不大，可让学生独立探究解决，学生充分理解题意后会很快完成第(1)问，关于递推公式，教师可点拨学生递推公式的关键是递推关系，也就是前项和后项的关系，这是递推公式的核心所在．教师可借此进一步向学生点拨：①数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．
②递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式．
解：(1)l1＝OA1＝1，l2＝OA2＝2，l3＝OA3＝3，l4＝OA4＝2.
(2)通过观察图形，可知：OAn＋1，OAn,1组成直角三角形，而OAn＋1＝ln＋1，OAn＝ln.
∴由勾股定理可得l2n＋1＝l2n＋1(n∈N*,1≤n≤8)．
(3)ln＝n.
(4)OA9＝l9＝3，OA2007＝2007＝3223.
点评：递推关系在教材上的要求并不高，仅是明了递推公式是数列的一种表示方法，并能根据给出的数列递推公式写出其中的几项，对繁难复杂的递推公式，如3项或2项以上的递推公式不作要求．
知能训练
1．若数列{an}前n项的值各异，且an＋8＝an对任意的n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{an}的前8项值的数列为()
A．{a2n＋1}B．{a3n＋1}C．{a4n＋1}D．{a6n＋1}
2．已知an＝an－2＋an－1(n≥3)，a1＝1，a2＝2，bn＝anan＋1，则数列{bn}的前4项依次是__________．
答案：
1．B解析：取k＝0,1,2，…，8验证，周期为8.
2．前4项依次是12，23，35，58.
课堂小结
1．先由学生自己总结归纳本节课所学到的数学知识，即数列的简单表示法：通项公式、列表法、图象法、简单的递推公式法．探求和发展了数列的各项之间的关系及其规律，并用合适的表示法来表示这种规律．
2．教师强调，通过例题进一步明确了数列的图象是一些离散的点，并通过实际例子探究出数列的递推公式．由于教材内容对此要求不高，因此我们在例题或习题的难度上作了严格的控制，但要熟悉常用的基本方法．
作业
课本本节习题2—1A组7、8；习题2—1B组4，第5题选做．
设计感想
本教案设计遵循生活是源，数学是流的规律，对数学概念的探究都是在日常生活实例的背景下进行的．如递推数列是通过工厂堆放的钢管数呈现的．目的是让学生感受到数学离不开生活，生活离不开数学．
本教案设计思路体现了新课程理念，遵循学生的认知规律，让学生自主学习，经历数学活动，体验数学过程，以活泼、清新、富于理性思维的内容参与教学，拓展空间，激活思维．同时使学生借助递推思想，有效提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展．
本教案设计力图展示：教为主导，学为主体，思维训练为主线的教学理念．数学课堂的最后呈现标准不是学生成为解题能手，成为听话的乖绵羊，而是让学生体会到数学的实用价值，一种文化价值．当你醉心于数学课堂时，数学课堂便呈现给你一种美景：那就是活生生的数学，那就是内在神奇而奥妙，外在冷傲而绝美，由大自然抽象出来的自然科学的皇后——数学．
备课资料
一、探究求数列通项公式的方法
求通项公式是学习数列的一个难点，由于求通项公式时需用到多种数学思想方法，因此求解过程中往往方法多，灵活性大，技巧性强，为了学生课余时间进一步探究，现举几例，以供参考．
1．观察法
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．
【例1】已知数列12，14，－58，1316，－2932，6164，…，写出此数列的一个通项公式．
解：观察数列前若干项可得通项公式为an＝(－1)n2n－32n.
2．公式法
已知数列的前n项和求通项时，通常用公式an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a1和an合为一个表达式．
【例2】已知数列{an}的前n项和Sn满足log2(Sn＋1)＝n＋1，求此数列的通项公式．
解：由条件可得Sn＝2n＋1－1，
当n＝1时，a1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n.
所以an＝3，n＝1，2n，n≥2.
3．累差迭加法
若数列{an}满足an＋1＝an＋f(n)的递推式，其中f(n)又是等差数列或等比数列，则可用累差迭加法求通项．
【例3】已知数列6,9,14,21,30，…，求此数列的通项．
解：∵a2－a1＝3，a3－a2＝5，a4－a3＝7，…，an－an－1＝2n－1，
各式相加得an－a1＝3＋5＋7＋…＋(2n－1)，
∴an＝n2＋5(n∈N)．
4．连乘法
若数列{an}能写成an＝an－1f(n)(n≥2)的形式，则可由an＝an－1f(n)，an－1＝an－2f(n－1)，an－2＝an－3f(n－2)，…，a2＝a1f(2)连乘求得通项公式．
【例4】已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝n＋1an2(n∈N)，求{an}的通项公式．
解：∵2Sn＝(n＋1)an(n∈N)，
2Sn－1＝nan－1(n≥2，n∈N)，
两式相减得2an＝(n＋1)an－nan－1，
∴anan－1＝nn－1(n≥2，n∈N)．
于是有a2a1＝21，a3a2＝32，a4a3＝43，…，anan－1＝nn－1(n≥2，n∈N)，
以上各式相乘，得an＝na1＝n(n≥2，n∈N)．
又a1＝1，∴an＝n(n∈N)．
5．求解方程法
若数列{an}满足方程f(an)＝0时，可通过解方程的思想方法求得通项公式．
【例5】已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n，求数列{an}的通项公式．
解：由条件f(log2an)＝2log2an－2－log2an＝－2n，即an－1an＝－2n.
∴a2n＋2nan－1＝0.
又an＞0，∴an＝n2＋1－n.
6．迭代法
若数列{an}满足an＝f(an－1)，则可通过迭代的方法求得通项公式．
二、备用习题
1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＝an－1＋1an－2(n≥3)，则a5等于()
A.5512B.133C．4D．5
2．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＝－12an－1(n≥2，且n∈N*)，则a4等于…()
A．－1B.12C.1724D．－18
3．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝__________.
4．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝__________.
5．已知an＝n－98n－99(n∈N*)，则在数列{an}中的前30项中，最大项和最小项分别是__________．
6．一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？
参考答案：
1．A解析：a3＝a2＋1a1＝4，a4＝a3＋1a2＝133，a5＝a4＋1a3＝5512.
2．D解析：a2＝－12a1＝－12，a3＝－12a2＝14，a4＝－12a3＝－18.
3.1n解析：由已知可求得a2＝12，a3＝13，a4＝14，由此可猜想an＝1n.
4.nn＋12＋1解析：由题意得，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋n－12＋n2＝nn＋12＋1.当n＝1时，也符合上式．因此，an＝nn＋12＋1.
5．a10，a9解析：an＝n－98n－99＝1＋99－98n－99，
当1≤n≤9时，99－98n－99＜0，an为递减函数；
当n≥10时，99－98n－99＞0，an为递减函数．
∴最大项为a10，最小项为a9.
6．解：这题是一道应用题，本题难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到．
爬一级梯子的方法只有一种．
爬一个二级梯子的方法有两种，即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种．
若设爬一个n级梯子的不同爬法有an种，
则an＝an－1＋an－2＋an－3(n≥4)，
则得到a1＝1，a2＝2，a3＝4及an＝an－1＋an－2＋an－3(n≥4)，就可以求得a8＝81.

相关知识

等差数列求和公式的

俗话说，凡事预则立，不预则废。作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助教师更好的完成实现教学目标。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢？下面是小编为大家整理的“等差数列求和公式的”，仅供参考，欢迎大家阅读。

问题1：著名数学家高斯10岁时，曾解过一道题：1+2+3+…+100=?你们知道怎么解吗？

问题2：1+2+3+…+n=?

在探求中有学生问：n是偶数还是奇数？教师反问：能否避免奇偶讨论呢？并引导学生从问题1感悟问题的实质：大小搭配，以求平衡

设=1+2+3+…+n,又有=+++…+1

=+++…+，得=

问题3：等差数列=？

学生容易从问题2中获得方法（倒序相加法）。但遇到===…=呢？利用等差数列的定义容易理解这层等量关系，进一步的推广可得重要结论：m+n=p+q

问题4：还有新的方法吗？

（引导学生利用问题2的结论），经过讨论有学生有解法：设等差数列的公差为d，则=+（）+（）+…+[]

==（这里应用了问题2的结论）

问题5：==？

学生容易从问题4中得到联想：==。显然，这又是一个等差数列的求和公式。

等差数列的求和对初学数列求和的离学生的现有发展水平较远，教师通过“弱化”的问题1和问题2将问题转化到学生的最近发展区内，由于学生的最近发展区是不断变化的，学生解决了问题2，就说明学生的潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在新的现有发展水平基础上教师提出了问题3，学生解决了问题3，他们潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在此基础上教师提出了问题4，这个案例的设计体现教师搭“脚手架”的作用不可低估,教师自始至终都应坚持“道而弗牵,强而弗抑,开而弗达”(《礼记·学记》),诱导学生自己探究数学结论,处理好“放”与“扶”的关系。

求数列中几种类型的通项公式

求数列中几种类型的通项公式
制作：高二数学组
一、由递推关系求通项公式
（1）递推式为=+及=（为常数）（可利用等差、等比数列来求）
例、⒈已知数列{}满足=+2，且=1，求.
⒉已知数列{}满足=，且=2，求.
（2）递推式为=+，（需可求和）
例、已知数列{}满足=+，=1，求.

练习已知数列{}中，=，且当时，求通项公式

(3)递推式为=+（为常数）
例、已知数列{}满足=3+2，且=1，求.
简解：法一、由已知得=3+2，=3+2，相减得-=3（-）即数列
{-}是=3的等比数列，所以-=（-）且-=4，又=3+2，
代入可得=2-1
法二、由法一得{-}是=3的等比数列，则-=4，-=43，-=4，…，-=4.以上n-1式累加得-=4（1+3+++…+）=，所以可得=2-1
法三、由递推式=3+2，得+1=3（+1）即数列{+1}是公比为3的等比数列，且首项为+1=2，所以+1=2，即=2-1
练习已知数列{}满足=2-1，且=2，求.
（4）递推式为=+（为常数）
例已知数列{}满足=+，且=，求.
(提示：两边同时除以转化为类型二来求)

练习已知数列{}满足=2+，且=1，求.

（5）递推式为=
例在数列{}中，=2，=，求.

练习已知：=1，，求.

（6）递推式为=(可先求倒数，转化成数列{}来求)
例已知数列{}满足=1，，求.

（7）其他例已知数列{}满足：=1，，（）令。①求证：数列{}是等比数列，并求；②求.

二、已知之间的关系来求通项公式
利用公式(n2)，注意首项.
例已知数列{}满足=+1，求.

练习已知数列{}的前n项和为，满足，其中＞1，求数列{}的通项公式。

三、已知和的关系求数列的通项公式
常用思路1.消，转化为的关系，再求（优先考虑）；
2.消，转化为的关系，先求，再求。
利用公式(n2)，注意首项.
例已知数列{}的前n项和为，若对任意的，都有=2-3.
①求数列{}的首项及递推关系式=；②求通项公式。

练习已知数列{}的前n项和为，满足=，求.

递推关系的求解

递推关系的求解
一基本概念
定义：确定的数列称为递推数列。（为其的阶）
二基本解法
（1）
（2）
（3）
常系数线性齐次递推关系
将（2）称为（1）的特征方程
若是（2）的重根，则（1）的个特解分别为个特解的线性组合就是（1）的通解。
设找到，使
令可得.从而为的根。
结论：，若有两个不动点，则，这里。若只有一个不动点，则，这里
三常用思想：
1．不动点，特征根
2．无理化有理（取对数，化新数列）
3．多元化少元
4．高次化低次
5．高阶降低阶
6．非线性化线性
7．非齐次化齐次
8．猜想试解

P103例6在正项数列中，求通项公式。
解对两边取对数，得
即
这说明数列是首项为，公比为的等比数列，则有
故
P104例8设数列满足且
求证：是完全平方数。
证由式可得并代入式，得
两式相减
由方程，得
那么
通解为
由,代入上式解出，得
因为为正偶数，所以，是完全平方数.
P106例9数列中，.
解构建数列.
故
化简得
所以
数列是以2为首项，1/2为公比的等比数列.
所以

P107例10已知满足，且，求.
解:是二阶线性非齐次递推数列，先设法将它转化为一阶递推关系，故条件变形为：
可见是常数列，逐次递推得
即

P107例11设满足，求.
解：，解方程,得
于是由定理10得，
则：
由已知可得，解得

P108例12已知满足，，且，求.
解：，故
两式相减得
即
则，
根据特征方程求解
.
P108例13设正数列满足,求.
解：把递推关系改写为①
令，则①为②
对②两边取对数，得③
令，则③为
利用不动点性质有即
故其中，
即是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可知为常数数列，逆推上去，得，则，故是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可知.
P109例14数列定义为：，求证：对任意的自然数，，表示不超过的最大整数。
证明：递推关系较为复杂，结论又未给出的表达式，不妨通过归纳法探索的表达式：
当时，，
当时，，
……………
由此可以猜想：.①
问题转化为证明这一猜想，再证可被3整除。可令
当时，成立；假设当和时①式成立，则
时，由的递推关系及
可证：，
又由，故为正整数，
为内的纯小数。
所以成立。
P110例15设满足，且，求.
解：令，则
令且
所以利用不动点性质，有
所以①，又，令，则，所以
把上述代入①可得，即，，故.

4.3 传密码的破译（选学）

每个老师上课需要准备的东西是教案课件，大家在仔细规划教案课件。必须要写好了教案课件计划，才能促进我们的工作进一步发展！那么到底适合教案课件的范文有哪些？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“4.3 传密码的破译（选学）”，仅供参考，大家一起来看看吧。

第3节传密码的破译（选学）

一、教学目标

1.说出遗传密码的阅读方式。

2.说出遗传密码的破译过程。

二、教学重点和难点

1.教学重点

遗传密码的破译过程。

2.教学难点

尼伦伯格和马太设计的蛋白质体外合成实验。

三、教学策略

本节内容属于选学，可用1课时，由教师根据实际情况灵活安排。本节的主要内容是遗传密码的破译过程，是对本章第1节的重要补充。学生在第1节中已经学习了遗传密码，但并不了解遗传密码是如何破译的，本节引导学生认识遗传密码的破译过程，使学生通过这一研究过程学习其中蕴含的科学研究方法。

1.采用类比的学习方法，使复杂的问题更容易理解。

遗传密码对于学生而言是比较深奥的，教师可以从教材问题探讨栏目提供的莫尔斯密码入手，切入本节内容。克里克的实验实际上是相当复杂的，对于其实验结果的分析，教学中可以采用与英文句子类比的方法来帮助学生分析理解，使复杂的问题更容易为学生接受。

2.以分析尼伦伯格和马太实验的设计思路为突破口，初步理解遗传密码的破译方法。

对尼伦伯格和马太实验的理解是本节教学难点。尼伦伯格和马太设计实验的思路与克里克的完全不同。他们的思路跳出了生物体的限制，通过生物化学手段，他们成功地建立了体外蛋白质合成系统，发现了一个特定的遗传密码所对应的特定的氨基酸，可谓山重水复疑无路，柳暗花明又一村。

教材中安排了蛋白质体外合成的实验示意图，意在帮助学生理解这个实验的设计思路。作为示意图，它只画出了4种氨基酸。实际实验中，测试的是组成蛋白质的20种氨基酸。在这20种氨基酸中，只有加入了苯丙氨酸的试管才出现多聚苯丙氨酸的肽链。教材中的旁栏思考题意在让学生学会科学实验中对照组的设置。只有对照设置正确，实验结果才无懈可击。

在这个实验中，加入的多聚尿嘧啶核苷酸实际上起到了mRNA的作用，再结合克里克得出的3个碱基决定1个氨基酸的实验结论，苯丙氨酸对应的密码子就应是UUU。同理，如果分别加入多聚腺嘌呤核苷酸(polyA)、多聚胞嘧啶核苷酸(polyC)、多聚鸟嘌呤核苷酸(polyG)，在蛋白质体外合成系统中分别出现了多聚赖氨酸、多聚脯氨酸和多聚甘氨酸，则可推出与赖氨酸对应的密码子应是AAA，与脯氨酸对应的密码子应是CCC，与甘氨酸对应的密码子应是GGG。对学有余力的学生，教师还可以作进一步的引导：以上介绍的是单核苷酸重复序列(polyU、polyA、polyC、polyG)作模板(mRNA)得到的结果，如果以多核苷酸的重复序列作模板，其结果又是怎样呢？例如，以CUCUCUCU(polyCU)作模板，会得到什么结果呢？具体分析参见参考资料部分。

四、答案和提示

（一）问题探讨

1.翻译成英文是：Wherearegeneslocated

(二)思考与讨论

1.当图中DNA的第三个碱基（T）发生改变时，如果密码是非重叠的，将影响1个氨基酸；如果密码是重叠的，将影响3个氨基酸。

2.提示：先写出改变后的碱基序列，再按照非重叠阅读的方式和重叠阅读的方式分别写出其对应的氨基酸序列，分别与原序列编码的氨基酸序列进行比较就可得出答案。

（三）旁栏思考题

1.细胞中原有的mRNA会作为合成蛋白质的模板干扰实验结果，细胞中原有的DNA可能作为mRNA合成的模板，而新合成的mRNA也会干扰实验结果，因此需要除去细胞提取液中的DNA和mRNA。

2.作为对照实验的试管中，所有成分都与实验组的试管相同，但是不加入多聚尿嘧啶核苷酸。

（四）练习

基础题

1.D。

2.提示：可以从密码间有无分隔符、长度是否固定、阅读方式是否重叠、密码所采用的符号等多方面进行比较。

拓展题

克里克通过研究碱基的改变对蛋白质合成的影响推断遗传密码的性质，这种方法不需要理解蛋白质合成的过程，就能推断出密码子的总体特征，但是证据相对间接，并且工作量大。尼伦伯格通过建立蛋白质体外合成系统，直接破解了遗传密码的对应规则，这种方法快速、直接，但是这种方法的建立需要首先了解细胞中蛋白质合成所需要的条件。

五、参考资料

1.遗传密码的特点

不间断性mRNA的三联体密码是连续排列的，相邻密码之间无核苷酸间隔。所以，若在某基因编码区的DNA序列或其mRNA中间插入或删除1～2个核苷酸，则其后的三联体组合方式都会改变，不能合成正常的蛋白质，这样的突变亦称移码突变，对微生物常有致死作用。

不重叠性对于特定的三联体密码而言，其中的每个核苷酸都具有不重叠性。例如，如果RNA分子UCAGACUGC的密码解读顺序为：UCA、GAC、UGC，则它不可以同时解读为UCA、CAG、AGA、GAC等。不重叠性使密码解读简单而准确无误。并且，当一个核苷酸被异常核苷酸取代时，不会在肽链中影响到多个氨基酸。不过，在大肠杆菌噬菌体基因组中，确有部分遗传密码是重叠使用的，这可以看做一种例外现象。

简并性绝大多数氨基酸具有2个以上不同的密码子，这一现象称做简并性，编码相同氨基酸的密码子称同义密码子。由于简并性，某些DNA碱基变化不会引起相应蛋白质的氨基酸序列改变，这对维持物种的稳定性有重要意义。

通用性除线粒体的个别密码外，生物界通用一套遗传密码，细菌、动物和植物等不同物种之间，蛋白质合成机制及其mRNA都是可以互换的。例如，真核生物的基因可以在原核生物中表达，反之亦然。

起始码与终止码UAG、UAA、UGA为终止码，它们不为任何氨基酸编码，而代表蛋白质翻译的终止。AUG是甲硫氨酸的密码，同时又是起始密码。

2.遗传密码的破译

早期有关基因功能的研究工作，如一个基因一个酶的假说，明确了基因的碱基顺序，规定了其蛋白质产物的氨基酸数目与排列顺序。破译遗传密码实际上就是要找到基因中DNA分子的碱基顺序与它编码的蛋白质氨基酸顺序的对应关系：几个碱基决定一个氨基酸？哪几个碱基决定哪种氨基酸？

要判断哪个三联体密码决定哪种氨基酸，首先需要一种人工合成RNA分子的方法和一个能够在体外合成蛋白质的实验系统，这样，在试管中加入已知序列的RNA，再通过分析新合成的蛋白质产物的氨基酸排列顺序就可以推断密码子和氨基酸的对应关系。

1955年，科学家发现一种被称为多聚核苷酸磷酸化酶的生物大分子，它能在试管中催化合成RNA，而不需要DNA模板。1961年，尼伦伯格和马太利用大肠杆菌的破碎细胞溶液，建立了一种利用人工合成的RNA，在试管里合成多肽链的实验系统，其中含有核糖体等合成蛋白质所需的各种成分。当尼伦伯格把人工合成的全部由尿嘧啶组成的RNA加入蛋白质体外合成系统后，得到的新合成的蛋白质只含苯丙氨酸，结果说明UUU是编码苯丙氨酸的密码子。这是第一个被破译的三联体密码。

1966年，又有科学家发明了一种新的RNA合成方法，通过这种方法合成的RNA可以是以2个、3个或4个碱基为单位的重复序列，如AGUAGUAGUAGUAGUAGUAGU等，用它们作模板合成的蛋白质的氨基酸序列同样是有规律重复的。如果用UGUGUGUGUGUGUGUGUG作模板，得到的新合成的蛋白质是由半胱氨酸和缬氨酸交替连接而成，则可以肯定UGU是半胱氨酸的密码子，而GUG是缬氨酸的密码子。利用这种方法破译的密码很多，其中包括终止密码UGA、UAG和UAA。

1964年，尼伦伯格等找到了另外一种高效破译遗传密码的方法。他们首先在体外合成全部64种三核苷酸分子（即长度为3个碱基的RNA，如AGC、UCC、UGA等等），同时制备20种氨基酸混合溶液，每种混合溶液中分别含有一种用14C作放射性标记的氨基酸和其他19种氨基酸。然后，向各混合溶液添加tRNA分子，使各种氨基酸分别与各自的tRNA分子结合，在溶液中形成各种氨酰tRNA，如甘氨酸－tRNA、赖氨酸－tRNA等。实验时，取某一种三核苷酸分子（如CGU）和核糖体混合，再向其中分别加入上述氨基酸混合溶液。如果CGU是某种氨基酸的密码子，它便会和带有这种氨基酸的氨酰tRNA分子以及核糖体结合形成体积稍大的复合体。当使用硝酸纤维膜过滤反应溶液时，只有含核糖体的复合体可以留在膜上，而其他的氨酰tRNA分子将被冲洗掉。从20种反应体系中找出有放射性的硝酸纤维膜，根据该体系所标记的是哪一种氨基酸，便可知道CGU所对应的氨基酸种类了。利用这种方法破译的密码子约有50个。

3.重叠基因

长期以来，人们一直认为同一段DNA序列内不可能存在着重叠的基因。因为，如果存在这种2个基因彼此重叠的情况，那么在第一个基因上发生的突变，就往往会使第二个基因也伴随着发生突变。但是，随着DNA核苷酸序列测定技术的发展，人们已经在一些噬菌体和动物病毒中发现，不同基因的核苷酸序列有时是可以共用的。我们称这样的两个基因为重叠基因（overlappinggenes）。已知大肠杆菌X174噬菌体单链DNA共有5387个核苷酸。如果使用单一的读码结构，那么它最多只能编码1795个氨基酸。按每个氨基酸的平均相对分子质量为110计算，该噬菌体所合成的全部蛋白质的总分子量最多是197000道尔顿。可实际测定发现，X174噬菌体所编码的11种蛋白质总分子量竟为262000道尔顿。1977年，英国分子生物学家桑格领导的研究小组，在测定X174噬菌体DNA的核苷酸序列时发现，它的同一部分DNA能够编码两种不同的蛋白质，从而证明了重叠基因的存在。

自我检测的答案和提示

一、概念检测

填表题

DNA双链

1

C

G

T

2

G

C

A

mRNA

G

C

A

tRNA

C

G

U

氨基酸

丙氨酸（密码子为GCA）

选择题

1.D。

2.D。

3.A。

4.C。

识图作答题

（1）氢键断裂；解旋酶；能量。

（2）ACUGAA；转录。

（3）2。

（4）碱基互补配对。

画概念图

二、知识迁移

核糖体、tRNA和mRNA的结合都是蛋白质的合成所不可缺少的。抗生素通过干扰细菌核糖体的形成，或阻止tRNA与mRNA的结合，来干扰细菌蛋白质的合成，抑制细菌的生长。因此，抗生素可用于治疗因细菌感染而引起的疾病。

三、技能应用

1.提示：可以通过查阅密码子表，写出每个氨基酸可能对应的碱基编码。

2.这种方法只能推测出可能的碱基序列，而不能写出确定的碱基序列。这种方法简便、快捷，不需要实验。

3.推测不能代替用测序仪进行的基因测序。因为推测只能得出几种可能的碱基序列，而不能得到确定的碱基序列。

四、思维拓展

1.C。

2.提示：此题旨在引导学生搜集生物科学史的资料，通过科学发现的过程认识理论推导和实验论证在科学发现中的作用。