等差数列与等比数列。

一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，高中教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。高中教案的内容要写些什么更好呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“等差数列与等比数列”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

等差数列与等比数列

【复习目标】
掌握等差、等比数列的定义及通项公式，前n项和公式以及等差、等比数列的性质，在解决有关等差，等比数列问题时，要注意运用方程的思想和函数思想以及整体的观点，培养分析问题与解决问题的能力。
【课前热身】
1．如果，，…，为各项都大于零的等差数列，公差，则()
A．B．C．++D．=
2．已知–9,a1,a2,–1这四个数成等差数列,–9,b1,b2,b3,–1这5个数成等比数列,则等于（）
A．-8B．8C．8或-8D．
3．设Sn是等差数列的前n项和，若（）（福建文）
A．1B．－1C．2D．
4．已知等差数列的公差为2,若成等比数列,则=（）（浙江文理）
A–4B–6C–8D–10
5.(2005年杭州二模题)已知成等差数列,成等比数列,则椭圆的准线方程为________.
【例题探究】
1、已知数列为等差数列，且(05湖南)
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明

2、设数列
记
（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；

3、某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？
（取）
【方法点拨】
1．本题的关键在于指数式和对数式的互化在数列中的应用。
2．数列通项公式和递推公式经常在已知条件中给出,利用列举、叠加、叠乘等方法求之.求通项公式的方法应掌握.
3．例3是比较简单的数列应用问题，由于问题所涉及的数列是熟悉的等比数列与等差数列，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解.
冲刺强化训练（12）
1．已知等差数列满足则有()
A.B.C.D.
2在正数等比数列中已知则（）
A．11B．10C．8D．4
3．设数列是等差数列，且，是数列的前项和，则（）
A．B．C．D．
4．在各项都为正数的等比数列中首项，前三项和为21，则()
A．33B．72C．84D．189
5．设数列的前项和为（）.关于数列有下列三个命题：
（1）若既是等差数列又是等比数列，则；
（2）若，则是等差数列；
（3）若，则是等比数列.
这些命题中，真命题的序号是.WwW.jAB88.coM

6、在等差数列中，，等比数列中，
，，则

7．设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2，3，…），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为（湖南理）

8．已知，都是各项为正数的数列，对任意的正整n,都有成等差数列，
等比数列。
（1）求证：是等差数列；
（2）如果，，。

9．设⊙C1,⊙C2,……,⊙Cn是圆心在抛物线上的一系列圆，它们的圆心的横坐标分别记为。已知，。若⊙Ck(k=1,2,3,……,n)都与x轴相切，且顺次两圆外切。
（1）求证：是等差数列（2）求的表达式；
（3）求证：
参考答案
【课前热身】
1．B2，A3，A4，B
5、y=±22.解析：由条件易知m=2,n=4.但要注意椭圆焦点所在的坐标轴是y轴.因此准线方程为y=±a2c=±22.
【例题探究】
1,（I）解：设等差数列的公差为d.
由即d=1.
所以即
（II）证明因为，
所以
2,解：（I）
（II）因为,所以
所以
猜想：是公比为的等比数列.
证明如下：因为
所以是首项为,公比为的等比数列.
3，解：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，
①甲方案获利：（万元）
银行贷款本息：（万元）
故甲方案纯利：（万元）
②乙方案获利：
（万元）；
银行本息和：
（万元）
故乙方案纯利：（万元）；综上，甲方案更好.

冲刺强化训练(12)
1．C2．A3．B4．C5．（1）、（2）、（3）
6．解：
点评：此题也可以把和d看成两个未知数，通过列方程，联立解之d=。再求出但计算较繁，运用计算较为方便。
7．
8．解：（1）证明：成等差数列，。
成等比数列，，即，
，，成等差数列。
（2）解：而，
，
）
9．解：（1）由题意知：⊙：，⊙：
，，
,两边平方，整理得
是以为首项，公差为2的等差数列
（2）由（1）知，
（3）
），

相关知识

等差数列与等比数列综合问题（2）

一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，教师要准备好教案，这是每个教师都不可缺少的。教案可以让学生更好的消化课堂内容，有效的提高课堂的教学效率。写好一份优质的教案要怎么做呢？小编特地为大家精心收集和整理了“等差数列与等比数列综合问题（2）”，仅供参考，希望能为您提供参考！

等差数列与等比数列综合问题（2）

教学目标

1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题．

2.突出方程思想的应用，引导学生选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和运算能力．

3.用类比思想加深对等差数列与等比数列概念和性质的理解.

教学重点与难点

用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识，从本质上掌握公式．

例题

例1三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数也可以成等比数列，又知这三个数的和为6，求这三个数。

例2数列中，,,,,……，求的值。

例3有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两个数之和是21，中间两个数的和是18，求这四个数．

例4已知数列的前项的和，求数列前项的和．

例5是否存在等比数列，其前项的和组成的数列也是等比数列？

例6数列是首项为0的等差数列，数列是首项为1的等比数列，设
，数列的前三项依次为1，1，2，
（1）求数列、的通项公式；
（2）求数列的前10项的和。

例7已知数列满足，，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求的表达式和的表达式．

作业：

1．已知同号，则是成等比数列的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分而也不必要条件

2．如果和是两个等差数列，其中，那么等于
（A）（B）（C）3（D）

3．若某等比数列中，前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为
(A)180(B)108(C)75(D)63

4．已知数列，对所有，其前项的积为，求的值，

5．已知为等差数列，前10项的和为，前100项的和为，求前110项的和

6．等差数列中，，，依次抽出这个数列的第项，组成数列，求数列的通项公式和前项和公式．

7．已知数列，，
（1）求通项公式；
（2）若，求数列的最小项的值；
（3）数列的前项和为，求数列前项的和．

8．三数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第三个数加上32又成等比数列，求这三个数．

等差数列

3.1等差数列（第二课时，等差数列的性质）
教学目的：
1.明确等差中项的概念.
2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式.
教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用
教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
一、复习引入
1．等差数列的定义；2．等差数列的通项公式：（1），（2），（3）
3．有几种方法可以计算公差d
①d=－②d=③d=
二、讲解新课：
问题：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？
由定义得A-=-A，即：
反之，若，则A-=-A
由此可可得：成等差数列。
也就是说，A=是a,A,b成等差数列的充要条件
定义：若，A，成等差数列，那么A叫做与的等差中项。
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中
5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。
注意到，，……
由此猜测：
性质：在等差数列中，若m+n=p+q，则，
即m+n=p+q(m,n,p,q∈N)
（以上结论由学生证明）
但通常①由推不出m+n=p+q，②
特例：等差数列{an}中，与首尾“等距离”的任意两项和相等.即
三、例题
例1在等差数列{}中，若+=9,=7,求,.
分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式+=+=9入手……（答案：=2,=32）
例2等差数列{}中，++=－12,且=80.求通项
分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题。而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元（项）或再构造一个等式出来。
（答案：=－10+3(n－1)=3n－13或=2－3(n－1)=－3n+5）
例3在等差数列{}中,已知＋＋＋＋＝450,求＋及前9项和（＝＋＋＋＋＋＋＋＋）.
提示：由双项关系式：＋＝2，＋＝2及＋＋＋＋＝450,得5＝450,易得＋＝2＝180.
＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＋＝9＝810.
例4已知a、b、c的倒数成等差数列，那么，a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列。
分析：将a、b、c的成等差数列转化为a+c=2b，再探索a2(b+c)+b2(c+a)=c2(a+b)，即a2(b+c)+b2(c+a)-c2(a+b)=0是否成立.
例5已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少公共项.
分析：两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数.（答案：25个公共项）
四、练习：
1.在等差数列中，已知，，求首项与公差
2.在等差数列中,若求
3.在等差数列中若，，求
五、作业：课本：P114习题3.27.10，11.《精析精练》P117智能达标训练

等差等比数列综合问题

等差等比数列综合问题

教学目标

1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和式以及有关性质，分析和解决等差

、等比数列的综合问题．

2.突出方程思想的应用，引导学生选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和运算能力．

教学重点与难点

用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识，从本质上掌握公式．

例题

1．（1）已知{an}成等差，且a5=11，a8=5，求an=；

（2）等差数列{an}中，如S2=4,S4=16,Sn=121，求n=；

（3）等差数列{an}中，a6+a9+a12+a15=20，求S20=；

（4）等差数列{an}中，am=n，an=m,则am+n=，Sm+n=；

（5）等差数列{an}中，公差d=－2，a1+a4+a7+…+a97=50，

求a3+a6+a9+…+a99=?

（6）若两个等差数列{an}、{bn}的前n项的和分别为Sn,Tn,且，求.

2．（1）在等比数列{an}中，a1+a2=3，a4+a5=24，则a7+a8=；

（2）设{an}是由正数组成的等比数列，且a5·a6=81，则=；

（3）设{an}是由正数组成的等比数列，且a4a6+2a5a7+a6a8=36，则a5+a7=；

(4)设等比数列{an}的前n项和为Sn=4n+m，求得常数m=；

3．(1)“”是“a、G、b成等比数列”的条件；

（2）“数列{an}既是等差数列又是等比数列”是“该数列为常数列”的条件

（3）设数列{an}、{bn}(bn0）满足，则{an}为等差数列是{bn}为等比数列的条件；

（4）Sn表示数列{an}的前n项的和，则Sn=An2+Bn,（其中A、B为常数）是数列{an}成等差数列的条件。

4．三个实数6、3、－1顺次排成一行，在6与3之间插入两个实数，在3与－1之间插入一个实数，使得这六个数中的前三个、后三个组成等差数列，且插入的三个数又成等比数列，求所插入的三个数的和。

5.在2和20之间插入两个数,使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和是多少？

6．已知x、y为正实数，且x、a1、a2、y成等差数列，x、b1、b2、y成等比数列，则的取值范围是。

7．设{an}是正数等差数列，{bn}是正数等比数列，且a1=b1，a2n+1=b2n+1，

试比较an+1与bn+1的大小。

8．（1）等差数列{an}中，前n项的和为Sn，且S6S7，S7S8，则①此数列的公差小于是0；②S9一定小于S6；③是各项中最大的一项；④一定是Sn的最大值。把正确的序号填入后面的横线上.

(2)等差数列{an}中，公差d是自然数，等比数列{bn}中，b1=a1,b2=a2，现有数据：①2；②3；③4；④5，当{bn}中所有项都是{an}中的项时，d可以取（填上正确的序号）。

作业：复习题三A组9，10，11，12,14

等比数列学案

第3课时等比数列的前n项和
知能目标解读
1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法--错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数列的前n项和.
2.掌握等比数列前n项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前n项的问题.在应用时，特别要注意q=1和q≠1这两种情况.
3.能够利用等比数列的前n项和公式解决有关的实际应用问题.
重点难点点拨
重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前n项和公式解决有关问题.
难点：研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前n项和的公式及公式的灵活运用.
学习方法指导
1.等比数列的前n项和公式
（1）设等比数列{an}，其首项为a1，公比为q，则其前n项和公式为
na1(q=1)
Sn=.
(q≠1)
也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处.因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是不等于1，如果q可能等于1，则需分q=1和q≠1进行讨论.
（2）等比数列{an}中，当已知a1,q(q≠1)，n时，用公式Sn=，当已知a1,q(q≠1)，an时，用公式Sn=.
2.等比数列前n项和公式的推导
除课本上用错位相减法推导求和公式外，还可以用下面的方法推导.
(1)合比定理法
由等比数列的定义知：==…==q.
当q≠1时，=q,即=q.
故Sn==.
当q=1时，Sn=na1.
(2)拆项法
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)
当q≠1时，Sn==.
当q=1时，Sn=na1.
(3)利用关系式Sn-Sn-1=an(n≥2)
∵当n≥2时，Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+qSn-1
∴Sn=a1+q(Sn-an)
即(1-q)Sn=a1(1-qn)
当q≠1时，有Sn=,
当q=1时，Sn=na1.
注意：
(1)错位相减法，合比定理法，拆项法及an与Sn的关系的应用，在今后解题中要时常用到，要领会这些技巧.
(2)错位相减法适用于{an}为等差数列，{bn}为等比数列，求{anbn}的前n项和.
3.等比数列前n项和公式的应用
（1）衡量等比数列的量共有五个：a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量.
（2）公比q是否为1是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，注意分q=1和q≠1的讨论.
4.等比数列前n项和公式与函数的关系
(1)当公比q≠1时，令A=，则等比数列的前n项和公式可写成Sn=-Aqn+A的形式.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.
当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn=na1是n的正比例函数（常数项为0的一次函数）.
(2)当q≠1时，数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是函数y=-Aqx+A图像上的一群孤立的点.当q=1时，数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是正比例函数y=a1x图像上的一群孤立的点.
知能自主梳理
1.等比数列前n项和公式
（1）等比数列{an}的前n项和为Sn,当公比q≠1时，Sn==;当q=1时，Sn=.
(2)推导等比数列前n项和公式的方法是.
2.公式特点
（1）若数列{an}的前n项和Sn=p(1-qn)(p为常数)，且q≠0,q≠1，则数列{an}为.
（2）在等比数列的前n项和公式中共有a1,an,n,q,Sn五个量，在这五个量中知求.
［答案］1.（1）na1(2)错位相减法
2.（1）等比数列（2）三二
思路方法技巧
命题方向等比数列前n项和公式的应用
［例1］设数列｛an｝是等比数列，其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q.
［分析］应用等比数列前n项和公式时，注意对公比q的讨论.
［解析］当q=1时，S3=3a1=3a3,符合题目条件；
当q≠1时，=3a1q2,
因为a1≠0,所以1－q3=3q2(1-q),
2q3-3q2+1=0,(q-1)2(2q+1)=0,
解得q=-.
综上所述，公比q的值是1或－.
［说明］（1）在等比数列中，对于a1,an,q,n,Sn五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量.
（2）等比数列前n项和问题，必须注意q是否等于1，如果不确定，应分q=1或q≠1两种情况讨论.
（3）等比数列前n项和公式中，当q≠1时，若已知a1,q,n利用Sn=来求；若已知a1,an,q,利用Sn=来求.
变式应用1在等比数列{an}中,已知S3=,S6=,求an.
［解析］∵S6=,S3=,
∴S6≠2S3，∴q≠1.
=①
∴
=②
②÷①得1+q3=9,∴q=2.
将q=2代入①，得a1=,
∴an=a1qn-1=2n-2.
命题方向等比数列前n项的性质
［例2］在等比数列{an}中，已知Sn=48,S2n=60,求S3n.
［分析］利用等比数列前n项的性质求解.
［解析］∵{an}为等比数列，∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列，
∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)
∴S3n=+S2n=+60=63.
［说明］等比数列连续等段的和若不为零时，则连续等段的和仍成等比数列.
变式应用2等比数列{an}中，S2=7，S6=91,求S4.
［解析］解法一：∵{an}为等比数列，∴S2，S4-S2，S6-S4也为等比数列，
∴（S4-7）2=7×（91-S4），解得S4=28或-21.
∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)0,
∴S4=28.
解法二：∵S2=7,S6=91,∴q≠1.
=7①?
∴
=91②
得q4+q2-12=0,∴q2=3,
∴q=±.
当q=时，a1=,
∴S4==28.
当q=-时，a1=-,
∴S4==28.
探索延拓创新
命题方向等比数列前n项和在实际问题中的应用
［例3］某公司实行股份制，一投资人年初入股a万元，年利率为25%，由于某种需要，从第二年起此投资人每年年初要从公司取出x万元.
（1）分别写出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和；
（2）写出第n年年底，此投资人的本利之和bn与n的关系式（不必证明）；
（3）为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a万元恰好翻两番的目标，若a=395,则x的值应为多少?(在计算中可使用lg2≈0.3)
［解析］(1)第一年年底本利和为a+a25%=1.25a,
第二年年底本利和为（1.25a-x）+(1.25a-x)×25%=1.252a-1.25x,
第三年年底本利和为（1.252a-1.25x-x）+(1.252a-1.25x-x)25%=1.253a-(1.252+1.25)x.
(2)第n年年底本利和为
bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+…+1.25)x.
(3)依题意，有
395×1.2520-(1.2519+1.2518+…+1.25)x=4×395,
∴x=
=.①
设1.2520=t,∴lgt=20lg（）=20(1-3lg2)=2.
∴t=100,代入①解得x=96.
变式应用3某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房，银行货款的年利息为10％，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息）.若这笔款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？
［解析］第1次还款x元之后到第2次还款之日欠银行
20000（1＋10％）－x=20000×1.1－x,
第2次还款x元后到第3次还款之日欠银行［20000(1+10%)-x］(1+10%)-x
=20000×1.12-1.1x-x,
…
第10次还款x元后，还欠银行20000×1.110－1.19x-1.18x-…-x,
依题意得，第10次还款后，欠款全部还清，故可得
20000×1.110－（1.19＋1.18＋…＋1）x=0,
解得x=≈3255(元).
名师辨误做答
［例4］求数列1，a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,…的前n项和.
［误解］所求数列的前n项和Sn=1+a+a2+a3+…+a
=.
［辨析］所给数列除首项外，每一项都与a有关，而条件中没有a的范围，故应对a进行讨论.
［正解］由于所给数列是在数列1,a,a2,a3,…中依次取出1项，2项，3项，4项，……的和所组成的数列.因而所求数列的前n项和中共含有原数列的前（1+2+…+n）项.所以Sn=1+a+a2+…+a.①当a=0时，Sn=1.②当a=1时，Sn=.③当a≠0且a≠1时，Sn=.
课堂巩固训练
一、选择题
1.等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则=（）
A.2B.4C.D.?
［答案］C
［解析］由题意得==.故选C.
2.等比数列{an}的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（）?
A.-2B.1C.-2或1D.2或-1?
［答案］C
［解析］由题意可得，a1+a1q+a1q2=3a1,?
∴q2+q-2=0,∴q=1或q=-2.
3.等比数列{2n}的前n项和Sn=（）
A.2n-1B.2n-2C.2n+1-1D.2n+1-2?
［答案］D?
［解析］等比数列｛2n｝的首项为2，公比为2.?
∴Sn===2n+1-2,故选D.
二、填空题
4.若数列{an}满足：a1=1,an+1=2an（n∈N+），则a5=;前8项的和S8=.（用数字作答）
［答案］16255?
［解析］考查等比数列的通项公式和前n项和公式.?
q==2,a5=a1q4=16,
S8==28-1=255.
5.在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q=.
［答案］3?
［解析］∵a3=2S2+1,a4=2S3+1,?
两式相减，得a3-a4=-2a3,?
∴a4=3a3,∴q=3.
三、解答题
6.在等比数列{an}中，已知a6-a4=24，a3a5=64，求数列{an}的前8项和.
［解析］解法一：设数列{an}的公比为q，根据通项公式an=a1qn-1，由已知条件得
a6-a4=a1q3(q2-1)=24,①?
a3a5=(a1q3)2=64,②?
∴a1q3=±8.
将a1q3=-8代入①式，得q2=-2,没有实数q满足此式，故舍去.?
将a1q3=8代入①式，得q2=4,∴q=±2.?
当q=2时，得a1=1,所以S8==255;?
当q=-2时，得a1=-1，所以S8==85.
解法二：因为{an}是等比数列，所以依题意得?
a24=a3a5=64,?
∴a4=±8,a6=24+a4=24±8.?
因为{an}是实数列，所以＞0,?
故舍去a4=-8,而a4=8，a6=32，从而a5=±=±16.?
公比q的值为q==±2,?
当q=2时，a1=1,a9=a6q3=256,?
∴S8==255;?
当q=-2时，a1=-1，a9=a6q3=-256,
∴S8==85.
课后强化作业
一、选择题
1.等比数列{an}中，a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为（）
A.81B.120C.168D.192
［答案］B
［解析］公式q3===27,q=3,a1==3,?
S4==120.
2.已知等比数列的前n项和Sn=4n+a，则a=（）
A.-4B.-1C.0D.1
［答案］B
［解析］设等比数列为｛an｝，由已知得a1=S1=4+a,a2=S2-S1=12,
a3=S3-S2=48,∴a22=a1a3,?
即144=(4+a)×48，∴a=-1.
3.已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于（）?
A.31B.33C.35D.37
［答案］B
［解析］解法一：S5＝==1
∴a1=
∴S10===33,故选B.?
解法二：∵a1+a2+a3+a4+a5=1?
∴a6+a7+a8+a9+a10=(a1+a2+a3+a4+a5)q5=1×25＝32
∴S10＝a1+a2+…+a9+a10=1+32=33.
4.已知等比数列{an}中，公比q是整数，a1+a4=18,a2+a3=12,则此数列的前8项和为（）
A.514B.513C.512D.510
［答案］D
a1+a1q3=18
［解析］由已知得，
a1q+a1q2=12
解得q=2或.
∵q为整数，∴q=2.∴a1=2.
∴S8==29-2=510.
5.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4=1,S3=7，则S5=（）
A.B.C.D.
［答案］B
［解析］设公比为q,则q0,且a23=1,
即a3=1.∵S3=7,∴a1+a2+a3=++1=7,
即6q2-q-1=0,?
∴q=或q=-(舍去)，?
∴a1==4.?
∴S5==8（1-）=.
6.在等比数列｛an｝（n∈N+）中，若a1=1,a4=,则该数列的前10项和为（）
A.2－B.2－C.2－D.2－
［答案］B
［解析］∵a1=1,a4=,
∴q3==,∴q=.?
∴S10==2［1-（）10］=2-,故选B.
7.已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn,S3=3,S6=27,则此等比数列的公比q等于（）
A.2B.-2C.D.-
［答案］A?
S3==3,①
［解析］
S6==27,②
得=9,解得q3=8.?
∴q=2,故选A.
8.正项等比数列｛an｝满足a2a4=1,S3=13,bn=log3an,则数列｛bn｝的前10项和是（）
A.65B.-65C.25D.-25
［答案］D
［解析］∵{an}为正项等比数列，a2a4=1,
∴a3=1,又∵S3=13,∴公比q≠1.
又∵S3==13,a3=a1q2,?
解得q=.?
∴an=a3qn-3=()n-3=33-n,?
∴bn=log3an=3-n.
∴b1=2,b10=-7.
∴S10==＝－25.
二、填空题
9.等比数列，-1，3，…的前10项和为.
［答案］-
［解析］S10==-.
10.（2011北京文，12）在等比数列｛an｝中，若a1=,a4=4,则公比q=;a1+a2+…+an=.
［答案］2,2n-1-
［解析］本题主要考查等比数列的基本知识，利用等比数列的前n项和公式可解得.?
=q3==8，所以q=2，所以a1+a2+……+an==2n-1-.
2n-1(n为正奇数)?
11.已知数列{an}中，an=，则a9=.
2n-1（n为正偶数）
设数列{an}的前n项和为Sn，则S9=.
［答案］256377
［解析］a9=28=256，
S9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.
12.在等比数列{an}中，已知对于任意n∈N+,有a1+a2+…+an=2n-1,则a21+a22+…+a2n=.?
［答案］×4n-
［解析］∵a1+a2+…+an=2n-1,?
∴a1+a2+…+an-1=2n-1-1(n≥2),
两式相减，得an=2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=2n-1,?
∴a2n=(2n-1)2=22n-2=4n-1,?
∴a21+a22+…+a2n==×4n-.
三、解答题
13.在等比数列{an}中，已知a3=1，S3=4，求a1与q.
S3==4
［解析］（1）若q≠1,则，
a3=a1q2=1
从而解得q=1或q=-.
q=-
∵q≠1,∴.
a1=6
S3=3a1=4q=1
（2）若q=1,则，∴.
a3=a1=1a1=1
q=-q=1
综上所述得，或.
a1=6a1=1
14.(2011大纲文科，17)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.
［分析］设出公比根据条件列出关于a1与q的方程.求得a1与q可求得数列的通项公式和前n项和公式.?
［解析］设{an}的公比为q，由已知有：
a1q=6a1=3a1=2
.解得或
6a1+a1q2=30q=2q=3
(1)当a1=3,q=2时，
an=a1qn-1=3×2n-1
Sn===3×(2n-1)
(2)当a1=2,q=3时，an=a1qn-1=2×3n-1
Sn===3n-1.?
综上，an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1)或an=2×3n-1,Sn=3n-1.
15.已知实数列｛an｝是等比数列，其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列.
(1)求数列｛an｝的通项公式；
(2)数列｛an｝的前n项和记为Sn,证明：Sn128(n=1,2,3,…).
［解析］(1)设等比数列｛an｝的公比为q(q∈R且q≠1),
由a7=a1q6=1,得a1=q-6,从而a4=a1q3=q-3,?
a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1,?
因为a4,a5+1,a6成等差数列,
所以a4+a6=2(a5+1)
即q-3+q-1=2(q-2+1),
q-1(q-2+1)=2(q-2+1).?
所以q=.?
故an=a1qn-1=q-6qn-1=qn-7=（）n-7.?
(2)证明：Sn==
=128［1-（）n］128.
16.2011年暑期人才招聘会上，A、B两家公司分别开出了工资标准：
A公司B公司
第一年月工资为1500元，以后每一年月工资比上一年月工资增加230元．第一年月工资为２000元，以后每一年月工资比上一年月工资增加5％.
大学生王明被A、B两家公司同时录取，而王明只想选择一家连续工作10年，经过一番思考，他选择了A公司，你知道为什么吗？.
［解析］
A公司B公司
第一年月工资为1500元，以后每一年月工资比上一年月工资增加230元．第一年月工资为２000元，以后每一年月工资比上一年月工资增加5％.

王明的选择过程第n年月工资为an第n年月工资为bn
首项为1500，公差为230的等差数列首项为2000，公比为1＋5％的等比数列
an=230n+1270bn=2000(1+5%)n-1
S10=12(a1+a2+…+a10)=12×［10×1500+×230］=304200
T10=12(b1+b2+…+b10)
=12×≈301869

结论显然S10T10,故王明选择了A公司