递推关系的求解。

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，作为教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，帮助教师营造一个良好的教学氛围。所以你在写教案时要注意些什么呢？经过搜索和整理，小编为大家呈现“递推关系的求解”，相信能对大家有所帮助。

递推关系的求解
一基本概念
定义：确定的数列称为递推数列。（为其的阶）
二基本解法
（1）
（2）
（3）
常系数线性齐次递推关系
将（2）称为（1）的特征方程
若是（2）的重根，则（1）的个特解分别为个特解的线性组合就是（1）的通解。
设找到，使
令可得.从而为的根。
结论：，若有两个不动点，则，这里。若只有一个不动点，则，这里
三常用思想：
1．不动点，特征根
2．无理化有理（取对数，化新数列）
3．多元化少元
4．高次化低次
5．高阶降低阶
6．非线性化线性
7．非齐次化齐次
8．猜想试解

P103例6在正项数列中，求通项公式。
解对两边取对数，得
即
这说明数列是首项为，公比为的等比数列，则有
故
P104例8设数列满足且
求证：是完全平方数。
证由式可得并代入式，得
两式相减
由方程，得
那么
通解为
由,代入上式解出，得
因为为正偶数，所以，是完全平方数.
P106例9数列中，.
解构建数列.
故
化简得
所以
数列是以2为首项，1/2为公比的等比数列.
所以

P107例10已知满足，且，求.
解:是二阶线性非齐次递推数列，先设法将它转化为一阶递推关系，故条件变形为：
可见是常数列，逐次递推得
即

P107例11设满足，求.
解：，解方程,得
于是由定理10得，
则：
由已知可得，解得

P108例12已知满足，，且，求.
解：，故
两式相减得
即
则，
根据特征方程求解
.
P108例13设正数列满足,求.
解：把递推关系改写为①
令，则①为②
对②两边取对数，得③
令，则③为
利用不动点性质有即
故其中，
即是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可知为常数数列，逆推上去，得，则，故是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可知.
P109例14数列定义为：，求证：对任意的自然数，，表示不超过的最大整数。
证明：递推关系较为复杂，结论又未给出的表达式，不妨通过归纳法探索的表达式：
当时，，
当时，，
……………
由此可以猜想：.①
问题转化为证明这一猜想，再证可被3整除。可令
当时，成立；假设当和时①式成立，则
时，由的递推关系及
可证：，
又由，故为正整数，
为内的纯小数。
所以成立。
P110例15设满足，且，求.
解：令，则
令且
所以利用不动点性质，有
所以①，又，令，则，所以
把上述代入①可得，即，，故.

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递推数列中的通项公式

课时25递推数列中的通项公式
【教学目标】1．掌握数列的通项公式和前n项和的关系，并能由数列前n项和求出通项公
式；能解决简单的由递推关系给出的数列；
2．掌握一些常见数列综合问题的求解方法；
【知识点】
1、和的关系
⑴；⑵。
2、由递推公式推导通项公式

【典型例题】
【例1】已知数列{an}的前n项和Sn满足，求an

【例2】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足，，求数列{an}的通项公式。

【例3】⑴若数列满足，，求。
⑵已知，（）求an
(3)已知数列中，，，求。

【例4】(1)在数列中，，，求。
(2)数列中，，求。
(3)已知，，且，求an

【例5】(1)设数列是首项为1的正数数列，且，求。(2)设数列{an}是首项为1的正项数列，且,求an

【例7】（1）已知数列{an}中，，求an
（2）已知数列{an}中，，求an
(3)已知，点在函数的图像上，求

【例8】数列{an}前n项和是Sn，且，(n=1，2，3，…，
求：(1)a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；(2)的值。

例9．数列中，，前项和为，且，，求。

【作业】
1、如果数列的前n项和，an=_________
2、数列{an}满足：，则an=_________
3、已知a1=－,(n∈N*,n≥2),则an=_________
4、数列中，，则________
5、数列{an}中，a1=1,a2=,且n≥2时，有=,则=
6、数列满足：，则=
7、数列中，，，则=

8、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为

9、等差数列中，，则________
10、设数列的前项和为，，，求证：（1）数列是G.P；（2）。

11、数列中
（1）求数列前n项的和（2）设Sn=，求Sn

12、设数列{an}前n项和是Sn=2n2，{bn}为等比数列，且a1=b1，b2(a2－a1)=b1（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设，求数列{cn}的前n项和为Tn。

【典型错误及原因分析】

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符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹．

轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性（也叫做必要性）；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性（也叫做充分性）．

【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤

⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标；

⒉写出点M的集合；

⒊列出方程=0；

⒋化简方程为最简形式；

⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标（x0，y0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤

①建系——建立适当的坐标系；

②设点——设轨迹上的任一点P（x，y）；

③列式——列出动点p所满足的关系式；

④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简；

⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。

高二数学《圆锥曲线最值问题的求解》集体备课

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一、定义法（最短路径）
对于求距离和的问题，要结合圆锥曲线自身的特点，巧妙地利用定义，解决距离的最值.
例1：已知抛物线，定点A(3,1)，F是抛物线的焦点，在抛物线上求一点P,使|AP|+|PF|取最小值，并求的最小值。:
分析：利用抛物线的定义把到点p到抛物线准线的距离转化成点P到焦点的距离，在利用三角形的知识求最小值.由点A引准线的垂线，垂足Q，则|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,即为最小值。
O
F(1,0)x
A(3,1)
y
QP
解：如图，,焦点F(1,0)。由点A引准线x=-1的垂线，垂足Q，则|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,即为最小值..
由,得为所求点.
若另取一点，显然。
[点悟]：解此类最值问题时，首先注意圆锥曲线定义的转化应用，其次是平面几何知识的应用，例如两点之间的线段最短，三角形中的三边之间的不等关系，点与直线上的点的连线的中垂线段最短等.
二、参数法
利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题，或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题求解。
例2、已知椭圆，直线l：,椭圆上有一动点p,求p到直到直线的最小距离.
分析：写出椭圆参数方程，设切点为，然后代入点到直线的距离公式，结合三角函数的最值判断距离的最值.
解：由题意可设动点的坐标为，
则点P到直线l的距离为
[点悟]利用圆锥曲线参数方程转化为求三角函数的最值问题，再利用三角函数的有界性得出结果。
三、二次函数法
将所求问题转化为二次函数最值问题，再利用配方法或均值不等式或判别式等方法求解.
分析：求出椭圆的焦点，代入所求的表达式中，整理得出函数的表达式，再利用函数方法求解。
解：易知，所以设
因为，所以x=0,即点P为短轴的端点时，有最小值-2.
当
[点悟]把所求的最值表示为函数，再寻求函数在给定区间上的最值，但要注意函数的定义域。
四、数形结合
在求圆锥曲线最值问题中，如果用代数方法求解比较复杂，可考虑用几何知识求解，，利用平面几何知识求解，蕴涵了数形结合的思想。
例4：若实数.
分析：看似是函数求最值，如果做起来实在是不容易，如果考虑到x,y的几何意义，那么问题就简单的多了
解
则，
即表示中心在
顶点坐标
的最大值
即是求表示椭圆上的点到C（-1，0）的距离的平方的最大值减1
所以
[点悟]：在解决求值问题时，应先从几何直观图形出发，根据图形的几何性质洞察最值出现的位置，再从代数运算入手，最终求的最值.
五、不等式法
列出最值关系式，利用均值不等式“等号成立”的条件求解。
例5抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积
分析直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题本例主要涉及弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算.
解：由题意，可设l的方程为y=x+m,其中－5＜m＜0
由方程组,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0①
∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，
∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,
解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)
设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,
∴|MN|=4
点A到直线l的距离为d=
∴S△=2(5+m),从而S△2=4(1－m)(5+m)2
=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128
∴S△≤8,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号
故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8

垂直关系的性质

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，作为高中教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助高中教师提高自己的教学质量。写好一份优质的高中教案要怎么做呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《垂直关系的性质》，供大家参考，希望能帮助到有需要的朋友。

1.6.2垂直关系的性质

一、学习目标：
1.理解并掌握直线与平面，平面与平面垂直及其与直线与直线垂直的关系，并会应用。
2.通过定理及性质的学习，学会解决有关垂直问题。
二．重点，难点
重点：垂直关系的判定及性质的应用。
难点：线面垂直在线线垂直与面面垂直关系间的转化。
三．知识链接

四．知识应用
例1.已知直线a//直线b，a平面，求证：b(A级)

例2.如图所示，P为ABC所在平面外一点，PAPB，PBPC，PCPA，PH平面ABC于H，求证：H是ABC的垂心。（B级）

四自测达标
1.如图，如果MC菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是（A级）（）
A．平行B.垂直相交C.异面D.相交但不垂直
2.经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有（A级）（）
A．0个B.1个C.无数个D.1个或无数个
3．已知ABC，直线mAC，mBC，则mAB(填“”或“不垂直”)（B级）

4.如图所示，四棱锥S-ABCD的底面是菱形，SA底面ABCD，E是SC上一点。
求证：平面EBD平面SAC（B级）

5.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，平面PAC平面PBC。
求证：BC平面PAC（C级）