点到直线的距离。
古人云，工欲善其事，必先利其器。教师要准备好教案，这是教师的任务之一。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容，帮助教师提高自己的教学质量。所以你在写教案时要注意些什么呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“点到直线的距离”，但愿对您的学习工作带来帮助。
3.3.3点到直线的距离
（一）教学目标
1．知识与技能
理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式.
2．过程和方法
会用点到直线距离公式求解两平行线距离.
3．情感和价值
认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.
（二）教学重点、难点
教学重点：点到直线的距离公式.
教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.
（三）教学方法
学导式
教学环节教学内容师生互动设计意图
复习引入前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程求点P到直线l的距离.用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学.要求学生思考点到直线的距离的计算？能否用两点间距离公式进行推导？设置情境导入新课
概念形成1．点到直线距离公式
点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离为
推导过程
方案一：
设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为(A≠0)，根据点斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标：由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线l的距离为d.
此方法虽思路自然，但运算较繁，下面我们探讨另一种方法.（1）教师提出问题
已知P(x0，y0)，直线l：Ax+By+C=0，怎样用点的坐标和直线方程直接求点P到直线l的距离呢？
学生自由讨论
（2）数形结合，分析问题，提出解决方案.
把点到直线l的距离转化为点P到l的垂线段的长，即点到点的距离.
画出图形，分析任务，理清思路，解决问题.寻找最佳方案，附方案二.
方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R(x1，y0)；作y轴的平行线，交l于点S(x0，y2)，
由
得
所以
由三角形面积公式可知d|RS|=|PR||PS|.
所以
可证明，当A=0时仍适用.
这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识、能力、意志品质等方面得到了提高.通过这种转化，培养学生“化归”的思想方法.
应用举例例1求点P=(–1，2)到直线3x=2的距离.
解：
例2已知点A(1，3)，B(3，1)，C(–1，0)，求三角形ABC的面积.学生分析求解，老师板书
例2解：设AB边上的高为h，则
AB边上的高h就是点C到AB的距离.
AB边所在直线方程为
即x+y–4=0.
点C到x+y–4=0的距离为h
，
因此，
通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.
概念深化2．两平行线间的距离d
已知l1：Ax+By+C1=0
l2：Ax+By+C2=0
证明：设P0(x0，y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点，则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为
.
又Ax0+By0+C2=0
即Ax0+By0=–C2，
∴教师提问：
能不能把两平行直线间距离转化为点到直线的距离呢？
学生交流后回答.
再写出推理过程进一步培养学生化归转化的思想.
应用举例例3求两平行线
l1：2x+3y–8=0
l2：2x+3y–10=0的距离.
解法一：在直线l1上取一点P(4,0)，因为l1∥l2，所以P到l2的距离等于l1与l2的距离，于是
解法二：直接由公式
课堂练习：已知一直线被两平行线3x+4y–7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3，且该直线过点(2，3)，求该直线方程.在教师的引导下，学生分析思路，再由学生上台板书.开拓学生思维，培养学生解题能力.
归纳总结小结：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式.老师和学生共同总结——交流——完善培养学生归纳、概括能力，构建知识网络.
课后作业布置作业
见习案3.3的第三课时独立完成巩固深化
备选例题
例1求过点M(–2，1)且与A(–1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程.
解法一：当直线斜率不存在时，直线为x=–2，它到A、B两点距离不相等.
所以可设直线方程为：y–1=k(x+2)即kx–y+2k+1=0.
由，
解得k=0或.
故所求的直线方程为y–1=0或x+2y=0.
解法二：由平面几何知识：l∥AB或l过AB的中点.
若l∥AB且，则l的方程为x+2y=0.
若l过AB的中点N(1，1)则直线的方程为y=1.
所以所求直线方程为y–1=0或x+2y=0.
例2（1）求直线2x+11y+16=0关于点P(0，1)对称的直线方程.
（2）两平行直线3x+4y–1=0与6x+8y+3=0关于直线l对称，求l的方程.
【解析】（1）当所求直线与直线2x+11y+16=0平行时，可设直线方程为2x+11y+C=0
由P点到两直线的距离相等，即
，所以C=–38.
所求直线的方程为2x+11y–38=0.
（2）依题可知直线l的方程为：6x+8y+C=0.
则它到直线6x+8y–2=0的距离，
到直线6x+8y+3=0的距离为
所以d1=d2即，所以.
即l的方程为：.
例3等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+3y–6=0上，顶点A的坐标是(1，–2).求边AB、AC所在直线方程.
【解析】已知BC的斜率为，因为BC⊥AC
所以直线AC的斜率为，从而方程
即3x–2y–7=0
又点A(1，–2)到直线BC：2x+3y–6=0的距离为，
且.
由于点B在直线2x+3y–6=0上，可设，
且点B到直线AC的距离为
所以或，所以或
所以或
所以直线AB的方程为或
即x–5y–11=0或5x+y–3=0
所以AC的直线方程为：3x–2y–7=0
AB的直线方程为：x–5y–11=0或5x+y–3=0.
延伸阅读
《点到直线的距离》教案
俗话说，凡事预则立，不预则废。教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，让教师能够快速的解决各种教学问题。那么，你知道教案要怎么写呢？为此，小编从网络上为大家精心整理了《《点到直线的距离》教案》，欢迎大家与身边的朋友分享吧！
一.教学目标1.教材分析
⑴教学内容
《点到直线的距离》是全日制普通高级中学教科书(必修·人民教育出版社)第二册(上),“§7.3两条直线的位置关系”的第四节课,主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用.
⑵地位与作用
本节对“点到直线的距离”的认识,是从初中平面几何的定性作图,过渡到了解析几何的定量计算,其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识.对“点到直线的距离”的研究,为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础,具有承前启后的重要作用.
2.学情分析
高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识,具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力.根据我校学生基础知识较扎实、思维较活跃,但处理抽象问题的能力还有待进一步提高的学习现状和认知特点,本课采用类比发现式教学法.
3.教学目标
依据上面的教材分析和学情分析,制定如下教学目标.
⑴知识技能
①理解点到直线的距离公式的推导过程;
②掌握点到直线的距离公式;
③掌握点到直线的距离公式的应用.
⑵数学思考
①通过点到直线的距离公式的探索和推导过程,渗透算法的思想;
②通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程,培养学生的数学阅读能力;
③通过灵活应用公式的过程,提高学生类比化归、数形结合的能力.
⑶解决问题
①通过问题获得数学知识,经历“发现问题—提出问题—解决问题”的过程;
②由探索点到直线的距离,推广到探索点到直线的距离的过程,使学生体会从特殊到一般、由具体到抽象的数学研究方法.
⑷情感态度
结合现实模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学生的学习兴趣.
点到直线的距离教案2
俗话说，磨刀不误砍柴工。作为教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让学生更好的消化课堂内容，帮助授课经验少的教师教学。教案的内容要写些什么更好呢？以下是小编收集整理的“点到直线的距离教案2”，但愿对您的学习工作带来帮助。
教学目标:1.让学生理解点到直线距离公式的推导和掌握点到直线距离公式及其应用,会用点到直线距离求两平行线间的距离.
2.培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力,数形结合、化归(或转化)、特殊到一般的数学思想方法以及数学应用意识.
3.让学生了解和感受探索问题的方法,以及用联系的观点看问题.在探索问题的过程中体验成功的喜悦.
教学重点:点到直线距离公式及其应用.
教学难点:点到直线距离公式的推导.
教学方法:启发式讲解法、讨论法.
教学工具:电脑多媒体.
教学过程:
一、提出问题
多媒体显示实际的例子:
某电信局计划年底解决本地区最后一个小区的电话通信问题.经过测量,若按照部门内部设计好的坐标图(即以电信局为原点),得知这个小区的坐标为P(-1,5),离它最近的只有一条线路通过,其方程为2xy10=0.要完成这项任务,至少需要多长的电缆线?
这个实际问题要解决,要转化成什么样的
数学问题?学生得出就是求点到直线的距离.教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离,并板书写课题:点到直线的距离.
二、解决问题
多媒体显示:已知点P(x0,y0),直线:AxByC=0,求点P到直线的距离.
怎样求点到直线距离呢?学生应该很快能回答出,做垂线找垂足Q,求线段PQ的长度.怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢?
教师提示在解决问题时先可以考虑特殊情况,再考虑一般情况.学生提出平行于x轴和y轴的特殊情况.显示图形:
板书:
如何求?
学生思考回答下列想法:
思路一:过作于点,根据点斜式写出直线方程,由与联立方程组解得点坐标,然后利用两点距离公式求得.
教师评价:此方法思路自然,但是运算繁琐.并多媒体展示求解过程.
解:直线:,即
由,
说明:本过程只展示,不在课堂推导.
教师提问:能否用其它方法,不求点Q的坐标,求线段PQ的长度?
学生思考:放在三角形---特殊三角形---直角三角形中.
教师提问:如何构造三角形?第三个顶点选在什么位置?
学生思考:可能在直线与x轴的交点M或与y轴交点N,或过P点做x,y轴的平行线与直线的交点R、S.
教师根据学生提出的点的位置作分析,求解过程的繁与简,最后决定方法.下列是学生可能提到的情况:
思路二:在直角△PQM,或直角△PQN中,求边长与角(角与直线到直线角有关),用余弦值.
思路三:在直角△PQR,或直角△PQS中,求边长与角(角与直线倾斜角有关,但分情况),用余弦值.
思路四:在直角△PRS中,求线段PR、PS、RS,利用等面积法(不涉及角和分情况),求得线段PQ长.
学生练习求解思路四.教师巡视,根据学生情况演示过程.
解:设,,,
,;,
由,
而
说明:如果学生没有想到思路二、三,教师提示做课后思考作业题目.
教师提问:①上式是由条件下得出,对成立吗?
②点P在直线上成立吗?
③公式结构特点是什么?用公式时直线方程是什么形式?
由此推导出点P(x0,y0)到直线:AxByC=0距离公式:
教师继续引导学生思考,不构造三角形可以求吗?(在前面学习的向量知识中,有向量的模.由于在证明两直线垂直时已经用到向量知识,且也提出过直线的法向量的概念.)能否用向量知识求解呢?
思路五:已知直线的法向量,则,,如何选取法向量?直线的方向向量,则法向量为,或,或其它.由师生一起分析得出取=.
教师板演:
,
,由于点Q在直线上,所以满足直线方程,解得
教师评析:向量是新教材内容,是一种很好的数学工具,和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点.而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中,用坐标联系转化是常用方法.
三、公式应用
练习:
1.解决课堂提出的实际问题.(学生口答)
2.求点P0(-1,2)到下列直线的距离:
①3x=2②5y=3③2xy=10④y=-4x1
练习选择:平行坐标轴的特殊直线,直线方程的非一般形式.
练习目的:熟悉公式结构,记忆并简单应用公式.
教师强调:直线方程的一般形式.
例题:
3.求平行线2x-7y8=0和2x-7y-6=0的距离.
教师提问:如何求两平行线间的距离?距离如何转化?
学生回答:选其中一条直线上的点到另一条直线的距离.
师生共同分析:点所在直线的任意性、点的任意性.
学生自己练习,教师巡视.教师提问几个学生回答自己选取的点和直线以及结果.然后选择一种取任意点的方法进行板书.
解:在直线2x-7y-6=0上任取点P(x0,y0),则2x0-7y0-6=0,点P(x0,y0)到直线2x-7y8=0的距离是.
教师评述:本例题选取课本例题,但解法较多.除了选择直线上的点,还可以选取原点,求它到两条直线的距离,然后作和.或者选取直线外的点P,求它到两条直线的距离,然后作差.
引申思考:与两平行线间距离公式.
四、课堂小结:(由学生总结)
①
②总结写出点到直线距离公式的多种方法.
教学设计说明:
一、教材分析
我主要从三方面:教材的地位和作用、教学目标分析、教学重点和难点来说明的。教学目标包括:知识、能力、德育等方面的内容。我确定教学目标的依据有教学大纲、考试大纲的要求、新教材的特点、所教学生的实际情况。
二、教学方法和手段
1、教学方法的选择
(1)指导思想:教师为主导,学生为主体,引导学生参与对事物的认识过程。
(2)教学方法:启发式讲解法、讨论法。
2.教学手段的选用
采用了电脑多媒体教具,不仅将数学问题形象、直观显示,便于学生思考,而且迅速展示部分纯计算的解题过程,提高课堂效率。
三、教学过程
这节课我分:提出问题--解决问题--公式应用--课堂小结--布置作业五个环节来完成。
首先多媒体显示实例,引发学生的学习的兴趣和求知欲望,从而引出数学问题。通过一系列问题引导学生通过图形观察,进而分析、归纳总结选择较好的方法具体实施。关于思路五,在课本中没有出现这样的证法,我在课堂上选取这样的证法。主要是考虑到:向量是新教材内容,是一种很好的数学工具,和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点。而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中,用坐标联系转化是常用方法,这样思路五的给出不仅符合新教材的要求,也为今后的学习方法奠定了基础。
我选择练习目的:熟悉公式结构,记忆并简单应用公式,主要通过学生口答完成。我强调注意在公式中直线方程的一般式。例题的选取来自课本,但是课本只有一种特殊点的解法。我把本例题进行挖掘,引导学生多角度考虑问题。在整个过程中让学生注意体会解题方法中的灵活性。本节课小结主要由学生总结,教师补充,尤其数学思想方法教师加以解释。在整节课的处理中,采取了知识、方法来源于课本,挖掘其深度、广度,符合现代教学要求
高一数学教案：《点到直线的距离》教学设计
高一数学教案：《点到直线的距离》教学设计
一、教学内容解析
《点到直线的距离》这节课的内容是从初中平面几何的定性作图向高中解析几何定量计算的过渡.点到直线的距离公式是解析几何后续学习的一个基础工具，属于概念性知识.本节课蕴含分类与整合，转化与化归，数形结合，函数与方程等丰富的数学思想；它既是两点间距离公式的延续，又为导出两平行线间距离公式作了铺垫，具有承上启下的重要作用.本节课的教学重点是点到直线距离的探索与应用；难点是点到直线距离公式的推导.
二、教学目标设置
【知识与技能】
（1）探索并掌握点到直线的距离公式；
（2）学会点到直线距离公式的应用.
【过程与方法】
通过经历公式多种推导方案的设计及比较，领会特殊到一般，转化与化归，分类与整合，数形结合，函数与方程等数学思想.
【情感、态度、价值观】
在探索问题的过程中，感受数学的严谨与统一，感受数学的形式美与简洁美.
三、学生学情分析
面授学生的数学基础知识扎实、思维活跃、有较强的创新能力。学生已经学习了两点间的距离公式，且具备了相关的几何知识，如：交点、垂直、三角函数等.学生对坐标法解决几何问题有初步的认识.
四、教学策略分析
本节课采用以引导发现为主的教学方法，以归纳启发式作为教学模式，结合多媒体辅助教学.通过合作交流，类比联想，归纳化归，总结提升，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题.
五、教学过程
（一）温故知新，引出课题
复习平面直角坐标中两点间的距离公式，同时，引出课题——点到直线的距离.
【设计意图】平面图形最基本的要素是点和线.在研究了两点间距离公式后，很自然地会去研究点线间的距离，当然还可以更深入地去探究两平行线间的距离.这三个距离公式是一脉相承的，因此，这样引入自然、贴切，符合学生的认知规律.
（二）特例引入，巧作铺垫
高中数学必修二《直线的交点坐标与距离公式》教案
古人云，工欲善其事，必先利其器。教师要准备好教案，这是教师的任务之一。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助教师更好的完成实现教学目标。教案的内容要写些什么更好呢？下面是小编帮大家编辑的《高中数学必修二《直线的交点坐标与距离公式》教案》，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。
高中数学必修二《直线的交点坐标与距离公式》教学设计
教学背景：
解析几何第一章主要研究的是点线、线线的位置关系和度量关系，其中以点点距离、点线距离、线线位置关系为重点，点到直线的距离是其中最重要的环节之一，它是解决其它解析几何问题的基础。
教学目标：
知识目标：让学生掌握点到直线距离公式的推导方法并能利用公式求点线距离。
能力目标：通过让学生在实践中探索、观察、反思、总结,发现问题，解决问题，从而达到培养学生的自学能力,思维能力，应用能力和创新能力的目的。
情感目标：培养学生勇于探索、善于研究的精神，挖掘其非智力因素资源，培养其良好的数学学习品质。
重点难点：
教学重点：公式的推导与应用。
教学难点：知识教学方面：如何启发学生自己构思出距离公式的推导方案。
情感教育方面：如何营造课堂积极求解的氛围。以激发学生的创造力。增强学生知难而进的决心。
教学过程：
一、创设情境，引入问题
问题1直线方程的一般式是怎么样的，其中的系数有什么要求？
(学生回答)是Ax+By+C=0(A、B不同时为0）（板书）
问题2两点A、B间的距离公式是什么？
(学生回答)PQ=
2
1
2
2
1
2
)
(
)y
y
x
x-
+
-
（
问题3当直线AB垂直y轴或x轴时，公式又成什么样子的？(动画)
(学生回答)AB=|x
2-x
1
|或|y
2
-y
1
|
问题4点B在直线Ax+By+C=0上,点A在直线外,则什么时候它们最近？
(学生回答)当直线AB与直线Ax+By+C=0垂直时。(动画)
这时AB就是点A到直线Ax+By+C=0的距离，它会等于什么呢？这就是现在我们要研究的问题。（板书课题）
二、课题解决
研究一般性的问题往往从研究特殊情形入手。
问题1如何求点P(3,5)到直线L：y=2的距离？（作图）
问题2变为求点P(3,5)到直线L：x=2/3的距离？如何求？
学生思考一会儿，教师再引导学生同理来求，并归纳：己知P（x
0,y
），当直线平行x
轴时，为d=|y
0-y
1
|；当直线平行y轴时，为d=|x
-x
1
|。（板书）
问题3那么一般情况下，己知P（x0,y0）与直线L：Ax+By+C=0，你们想到用什么方案
解决这个问题呢？
学生容易得到：先求过点P且垂直L的直线；再求两直线交点Q的坐标；最后用两点间的距离公式求|PQ|。教师简要板书步骤，并让学生体会这种方法繁简程度？
教师指出，我们还要寻找其它的简便的方法。
我们用一个特殊点（0，0）来代P（x
0,y
）来思考一下，有没有其它的好方法。
问题4若直线交两坐标分别于M、N两点，则有什么关系式存在？
学生得到：|OM||ON|=|MN||OQ|
教师：哪些可以求出来？
|OM|、|ON|、|MN|，从而算出|OQ|。
教师可举具体的直线让学生运算，体会过程。如果学生想到其他办法，教师充分肯定。
（移到一般点处）（动画）如何求点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离呢？能否从特殊问题的解决中受到一些启发呢？
教师让想到的学生回答，过点P作x轴、y轴的平行线。
教师通过几何画板添加相关线。
|PM||PN|=|MN||PQ|
得到|PQ|=|PM||PN|/|MN|
学生口述，教师板演得到公式。
问题5这个公式使用的条件是什么？
问题6这个公式怎么记？
让学生分析，并观察归纳公式的特征。
师：点P坐标带入分子可能为0吗？
学生分析：可能，此时点在直线上。
师：从形式上看公式——下面根式好象楼梯，因此可说成“登上楼梯关上门”。
问题6这个公式有什么限制条件吗？
学生反思：没有，对任意点和任意直线都成立。
教师将特殊直线和特殊点说一下，将特殊情况与一般情况进行统一。
归纳：点P（x
0,y
）到直线Ax+By+C=0的距离为d=
2
2
B
A
C
By
Ax
+
+
+
三、公式应用，简单模仿
例：求点P（-1，2）到下列直线的距离：
（1）2x+y-10=0;
（2）3x=2.
教师板演，指出解题规范及注意点。
做以下的练习，直线与坐标轴平行时的应用。
1.点A(-3,2)到直线L:y=-3的距离为______.
2.点P(-1,2)到直线L:3x=2的距离为______.
3.点P(5,-4)到两坐标轴的距离和为______.
4.直线x=-1与直线x=7间的距离是_______.
以上的题目可学生口答,教师简要分析。
（1）在什么条件下，用什么公式？
己知P（x
0,y
），当直线平行x轴时，为d=|y
-y
1
|;当直线平行y轴时，为d=|x
-x
1
|。
（2）第4题中可取怎样的两点？与x轴的两个交点。
活用公式，理解本质
5.求点P(-1,2)到直线L:x/5+y/10=1的距离。
6.已知点(a,6)到直线4x-3y-3=0的距离为28/5，求a的值。
7.已知点A(1,0)到直线x/m+y=1的距离为1/2，求m的值。
8.求过原点且与点(-2,5)的距离为2的直线方程。
学生上来板书，教师再叫其它同学来评价。
注：一般式中A、B化整；求其它未知量；要注意数形结合，特别是第8题，要注意有两条直线。
四、小结内容，形成体系
问：我们学了几种推导点线距离的方法?
问：哪几种求点线距离的方式?①|坐标差|②距离公式.。
要注意我们在研究一般性问题时可以先从特殊问题入手，从特殊问题的解决过程中得到启发，这也是我们这节课的一个重要收获。
师：思考新的问题——两平行直线间的距离公式是什么？怎么求？
五、作业：
1．课本第97页第6、7、9题
２．思考题：你还能想出推导距离公式的其它方法吗？请课后讨论。
