高考数学（理科）一轮简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案。
一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，作为教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，帮助教师缓解教学的压力，提高教学质量。你知道怎么写具体的教案内容吗？小编经过搜集和处理，为您提供高考数学（理科）一轮简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案，仅供参考，欢迎大家阅读。
学案3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
导学目标：
1.了解逻辑联结词“或、且、非”的含义.
2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
自主梳理
1．逻辑联结词
命题中的或，且，非叫做逻辑联结词．“p且q”记作p∧q，“p或q”记作p∨q，“非p”记作綈p.
2．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
pqp∧qp∨q綈p
真真真真假
真假假真假
假真假真真
假假假假真
3.全称量词与存在量词
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题，可用符号简记为x∈M，p(x)，它的否定x∈M，綈p(x)．
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题，叫做特称命题，可用符号简记为x∈M，p(x)，它的否定x∈M，綈p(x)．
自我检测
1．命题“x∈R，x2－2x＋10”的否定是()
A．x∈R，x2－2x＋1≥0B．x∈R，x2－2x＋10
C．x∈R，x2－2x＋1≥0D．x∈R，x2－2x＋10
答案C
解析因要否定的命题是特称命题，而特称命题的否定为全称命题．对x2－2x＋10的否定为x2－2x＋1≥0，故选C.
2．若命题p：x∈A∩B，则綈p是()
A．x∈A且xBB．xA或xB
C．xA且xBD．x∈A∪B
答案B
解析∵“x∈A∩B”“x∈A且x∈B”，
∴綈p：xA或xB.
3．(2011大连调研)若p、q是两个简单命题，且“p∨q”的否定是真命题，则必有()
A．p真q真B．p假q假
C．p真q假D．p假q真
答案B
解析∵“p∨q”的否定是真命题，
∴“p∨q”是假命题，∴p，q都假．
4．(2010湖南)下列命题中的假命题是()
A．x∈R,2x－10
B．x∈N*，(x－1)20
C．x∈R，lgx1
D．x∈R，tanx＝2
答案B
解析对于B选项x＝1时，(x－1)2＝0.
5．(2009辽宁)下列4个命题：
p1：x∈(0，＋∞)，(12)x(13)x；
p2：x∈(0,1)，log12xlog13x；
p3：x∈(0，＋∞)，(12)xlog12x；
p4：x∈(0，13)，(12)xlog13x.
其中的真命题是()
A．p1，p3B．p1，p4
C．p2，p3D．p2，p4
答案D
解析取x＝12，则log12x＝1，log13x＝log321，
p2正确．
当x∈(0，13)时，(12)x1，而log13x1，p4正确．
探究点一判断含有逻辑联结词的命题的真假
例1写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式的复合命题，并判断真假．
(1)p：1是素数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；
(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；
(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同；q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等．
解题导引正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．其步骤为：①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题的真假；③根据其真值表判断复合命题的真假．
解(1)p∨q：1是素数或是方程x2＋2x－3＝0的根．真命题．
p∧q：1既是素数又是方程x2＋2x－3＝0的根．假命题．
綈p：1不是素数．真命题．
(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．
p∧q：平行四边形的对角相等且互相垂直．假命题．
綈p：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．
(3)p∨q：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同或绝对值相等．假命题．
p∧q：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同且绝对值相等．假命题．
綈p：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号不相同．真命题．
变式迁移1(2011厦门月考)已知命题p：x∈R，使tanx＝1，命题q：x2－3x＋20的解集是{x|1x2}，给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题，其中正确的是()
A．②③B．①②④
C．①③④D．①②③④
答案D
解析命题p：x∈R，使tanx＝1是真命题，命题q：x2－3x＋20的解集是{x|1x2}也是真命题，
∴①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；
③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．
探究点二全(特)称命题及真假判断
例2判断下列命题的真假．
(1)x∈R，都有x2－x＋112.
(2)α，β使cos(α－β)＝cosα－cosβ.
(3)x，y∈N，都有x－y∈N.
(4)x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.
解题导引判定一个全(特)称命题的真假的方法：
(1)全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可．
(2)特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立．
解(1)真命题，
因为x2－x＋1＝(x－12)2＋34≥3412.
(2)真命题，如α＝π4，β＝π2，符合题意．
(3)假命题，例如x＝1，y＝5，但x－y＝－4N.
(4)真命题，例如x0＝0，y0＝3符合题意．
变式迁移2(2011日照月考)下列四个命题中，其中为真命题的是()
A．x∈R，x2＋30
B．x∈N，x2≥1
C．x∈Z，使x51
D．x∈Q，x2＝3
答案C
解析由于x∈R都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，所以命题“x∈R，x2＋30”为假命题；
由于0∈N，当x＝0时，x2≥1不成立，所以命题“x∈N，x2≥1”为假命题；
由于－1∈Z，当x＝－1时，x51，所以命题“x∈Z，使x51”为真命题；
由于使x2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“x∈Q，x2＝3”为假命题．
探究点三全称命题与特称命题的否定
例3写出下列命题的“否定”，并判断其真假．
(1)p：x∈R，x2－x＋14≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
解题导引(1)全(特)称命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或把存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而一般命题的否定则是直接否定结论即可．
(2)要判断“綈p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断p的真假．因为p与綈p的真假相反且一定有一个为真，一个为假．
解(1)綈p：x∈R，x2－x＋140，这是假命题，
因为x∈R，x2－x＋14＝(x－12)2≥0恒成立，即p真，所以綈p假．
(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．
(3)綈r：x∈R，x2＋2x＋20，是真命题，这是由于x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥10成立．
(4)綈s：x∈R，x3＋1≠0，是假命题，这是由于x＝－1时，x3＋1＝0.
变式迁移3(2009天津)命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是()
A．不存在x0∈R,2x00
B．存在x0∈R,2x0≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0
D．对任意的x∈R,2x0
答案D
解析本题考查全称命题与特称命题的否定．原命题为特称命题，其否定应为全称命题，而“≤”的否定是“”，所以其否定为“对任意的x∈R,2x0”．
转化与化归思想的应用
例(12分)已知命题p：“x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
【答题模板】
解由“p且q”是真命题，
则p为真命题，q也为真命题．[3分]
若p为真命题，a≤x2恒成立，
∵x∈[1,2]，∴a≤1.[6分]
若q为真命题，
即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
Δ＝4a2－4(2－a)≥0，
即a≥1或a≤－2，[10分]
综上，所求实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.[12分]
【突破思维障碍】
含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出参数存在的条件，命题p转化为恒成立问题，命题q转化为方程有实根问题，最后再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．若直接求p成立的条件困难，可转化成求綈p成立的条件，然后取补集．
【易错点剖析】
“p且q”为真是全真则真，要区别“p或q”为真是一真则真，命题q就是方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，所以Δ≥0.不是找一个x0使方程成立．
1．逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解．
(1)“或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同，日常用语“或”带有“不可兼有”的意思，如工作或休息，而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思，如x6或x9.
(2)命题“非p”就是对命题“p”的否定，即对命题结论的否定；否命题是四种命题中的一种，是对原命题条件和结论的同时否定．
2．判断复合命题的真假，要首先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后根据真值表判断．
3．全称命题“x∈M，p(x)”的否定是一个特称命题“x∈M，綈p(x)”，
特称命题“x∈M，p(x)”的否定是一个全称命题“x∈M，綈p(x)”．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011宣城模拟)已知命题p：x∈R，x2－3x＋3≤0，则()
A．綈p：x∈R，x2－3x＋30，且綈p为真命题
B．綈p：x∈R，x2－3x＋30，且綈p为假命题
C．綈p：x∈R，x2－3x＋30，且綈p为真命题
D．綈p：x∈R，x2－3x＋30，且綈p为假命题
答案C
解析命题p是一个特称命题，它的否定綈p：对所有的x∈R，都有x2－3x＋30为真．故答案为C.命题的否定要否定量词，即全称量词的否定为存在量词，存在量词的否定为全称量词，而且要否定结论．
2．已知命题p：x∈R，ax2＋2x＋30，如果命题綈p是真命题，那么实数a的取值范围是()
A．a13B．a≤13
C．0a≤13D．a≥13
答案B
解析∵命题綈p是真命题，∴命题p是假命题，而当命题p是真命题时，不等式ax2＋2x＋30对一切x∈R恒成立，这时应有a0，Δ＝4－12a0，解得a13.因此当命题p是假命题，即命题綈p是真命题时，
实数a的范围是a≤13.
3．(2011龙岩月考)已知条件p：|x＋1|2，条件q：xa，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是()
A．a≥1B．a≤1
C．a≥－3D．a≤－3
答案A
解析綈p是綈q的充分不必要条件的等价命题为q是p的充分不必要条件，即qp，而pq，条件p化简为x1或x－3，所以当a≥1时，qp.
4．已知命题“a，b∈R，如果ab0，则a0”，则它的否命题是()
A．a，b∈R，如果ab0，则a0
B．a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0
C．a，b∈R，如果ab0，则a0
D．a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0
答案B
解析a，b∈R是大前堤，在否命题中也不变，又因ab0，a0的否定分别为ab≤0，a≤0，故选B.
5．(2011宁波调研)下列有关命题的说法正确的是()
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“x∈R，使得x2＋x＋10”的否定是“x∈R，均有x2＋x＋10”
D．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题
答案D
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010安徽)命题“对x∈R，|x－2|＋|x－4|3”的否定是______________．
答案x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3
7．已知命题p：“x∈R，m∈R使4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围为__________．
答案m≤1
解析命题綈p是假命题，即命题p是真命题，也就是关于x的方程4x－2x＋1＋m＝0有
实数解，即m＝－(4x－2x＋1)，令f(x)＝－(4x－2x＋1)，由于f(x)＝－(2x－1)2＋1，所以当x-Ray
时f(x)≤1，因此实数m的取值范围是m≤1.
8．(2010安徽)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是
______________________．
答案对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
解析因特称命题的否定是全称命题，所以得：对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0.
三、解答题(共38分)
9．(12分)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题的真假．
(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3}；
(2)p：1是奇数，q：1是质数；
(3)p：0∈，q：{x|x2－3x－50}R；
(4)p：5≤5，q：27不是质数．
解(1)∵p是假命题，q是真命题，
∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，
綈p为真命题．(3分)
(2)∵1是奇数，
∴p是真命题．
又∵1不是质数，
∴q是假命题．
因此p∨q为真命题，p∧q为假命题，綈p为假命题．(6分)
(3)∵0，∴p为假命题．
又∵x2－3x－503－292x3＋292，
∴{x|x2－3x－50}＝{x|3－292x3＋292}R成立．
∴q为真命题．
∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，綈p为真命题．(9分)
(4)显然p：5≤5为真命题，q：27不是质数为真命题，
∴p∨q为真命题，p∧q为真命题，綈p为假命题．
(12分)
10．(12分)(2011锦州月考)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋40对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
解设g(x)＝x2＋2ax＋4，
由于关于x的不等式x2＋2ax＋40对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，
故Δ＝4a2－160，∴－2a2.(4分)
又∵函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，
∴3－2a1，∴a1.(6分)
又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．
(1)若p真q假，则－2a2，a≥1，
∴1≤a2；(8分)
(2)若p假q真，
则a≤－2，或a≥2，a1，∴a≤－2.(10分)
综上可知，所求实数a的取值范围为
1≤a2，或a≤－2.(12分)
11．(14分)已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
解p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根Δ1＝m2－40－m0m2.(3分)
q：4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．
Δ2＝16(m－2)2－1601m3，(6分)
因为p或q为真，p且q为假，所以p与q的真值相反．
①当p真且q假时，有m2m≤1或m≥3
m≥3；(10分)
②当p假且q真时，有m≤21m31m≤2.(12分)
综上可知，m的取值范围为{m|1m≤2或m≥3}．(14分)
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延伸阅读
§1.3.1简单的逻辑联结词
作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，作为高中教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。关于好的高中教案要怎么样去写呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“§1.3.1简单的逻辑联结词”，欢迎大家与身边的朋友分享吧！
§1.3.1简单的逻辑联结词
【学情分析】：
（1）“常用逻辑用语”是帮助学生正确使用常用逻辑用语，更好的理解数学内容中的逻辑关系，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流，避免在使用过程中产生错误。
（2）“常用逻辑用语”应通过实例理解，避免形式化的倾向.常用逻辑用语的教学不应当从抽象的定义出发，而应该通过数学和生活中的丰富实例理解常用逻辑用语的意义，体会常用逻辑用语的作用。对逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，只要求通过数学实例加以了解，使学生正确地表述相关的数学内容。
（3）“常用逻辑用语”的学习重在使用.对于“常用逻辑用语”的学习，不仅需要用已学过的数学知识为载体，而且需要把常用逻辑用语用于后继的数学学习中。
（4）培养学生用所学知识解决综合数学问题的能力。
【教学目标】：
（1）知识目标：
通过实例，了解简单的逻辑联结词“且”、“或”的含义;
（2）过程与方法目标：
了解含有逻辑联结词“且”、“或”复合命题的构成形式，以及会对新命题作出真假的判断；
（3）情感与能力目标：
在知识学习的基础上，培养学生简单推理的技能．
【教学重点】：
通过数学实例，了解逻辑联结词“或”、“且”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容.
【教学难点】：
简洁、准确地表述“或”命题、“且”等命题，以及对新命题真假的判断.
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
情境引入问题1：
下列三个命题间有什么关系？
（1）12能被3整除；
（2）12能被4整除；
（3）12能被3整除且能被4整除；通过数学实例，认识用用逻辑联结词“且”联结两个命题可以得到一个新命题；
知识建构归纳总结：
一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，
记作，读作“p且q”．
引导学生通过通过一些数学实例分析，概括出一般特征。
三、自主学习1、引导学生阅读教科书上的例1中每组命题p，q，让学生尝试写出命题，判断真假，纠正可能出现的逻辑错误。学习使用逻辑联结词“且”联结两个命题，根据“且”的含义判断逻辑联结词“且”联结成的新命题的真假。
2、引导学生阅读教科书上的例2中每个命题，让学生尝试改写命题，判断真假，纠正可能出现的逻辑错误。
归纳总结：
当p，q都是真命题时，是真命题，当p，q两个命题中有一个是假命题时，是假命题，
学习使用逻辑联结词“且”改写一些命题，根据“且”的含义判断原先命题的真假。
引导学生通过通过一些数学实例分析命题p和命题q以及命题的真假性，概括出这三个命题的真假性之间的一般规律。
四、学生探究问题2：
下列三个命题间有什么关系？判断真假。
（1）27是7的倍数；
（2）27是9的倍数；
（3）27是7的倍数或27是9的倍数；通过数学实例，认识用用逻辑联结词“或”联结两个命题可以得到一个新命题；
归纳总结
1.一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“ｐ∨ｑ”，读作“p或q”.
2.当p，q两个命题中有一个命题是真命题时，“ｐ∨ｑ”是真命题，当p，q两个命题中都是假命题时，“ｐ∨ｑ”是假命题.引导学生通过一些数学实例分析命题p和命题q以及命题“ｐ∨ｑ”的真假性，概括出这三个命题的真假性之间的一般规律。
三、自主学习1、引导学生阅读教科书上的例3中每组命题p，q，让学生尝试写出命题“ｐ∨ｑ”，判断真假，纠正可能出现的逻辑错误。学习使用逻辑联结词“或”联结两个命题，根据“或”的含义判断逻辑联结词“或”联结成的新命题的真假。
课堂练习课本P17练习1,2反馈学生掌握逻辑联结词“或”的用法和含义的情况，巩固本节课所学的基本知识。
课堂小结1、一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作，读作“p且q”．
2、当p，q都是真命题时，是真命题，当p，q两个命题中有一个是假命题时，是假命题.
3.一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“ｐ∨ｑ”，读作“p或q”.
4.当p，q两个命题中有一个命题是真命题时，“ｐ∨ｑ”是真命题，当p，q两个命题中都是假命题时，“ｐ∨ｑ”是假命题.归纳整理本节课所学知识。
布置作业1.思考题：如果是真命题,那么ｐ∨ｑ一定是真命题吗?反之,如果ｐ∨ｑ是真命题,那么一定是真命题吗?
2.课本P18A组1,2.B组.
3.预习新课，自主完成课后练习。（根据学生实情，选择安排）
课后练习
1．命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是（）
A．简单命题B．非p形式的命题
C．p或q形式的命题D．p且q的命题
2．命题“方程x2＝2的解是x＝±是()
A．简单命题B．含“或”的复合命题
C．含“且”的复合命题D．含“非”的复合命题
3．若命题，则┐p（）
A．B．
C．D．
4．命题“梯形的两对角线互相不平分”的形式为()
A．p或qB．p且qC．非pD．简单命题
5．x≤0是指()
A．x0且x＝0B．x0或x＝0
C．x0且x＝0D．x0或x＝0
6.对命题p：A∩＝，命题q：A∪＝A，下列说法正确的是（）
A．p且q为假B．p或q为假
C．非p为真D．非p为假
参考答案：
1．D2．B3．D4．C5．D6．D
§1.3.2简单的逻辑联结词
【学情分析】：
（1）上节课已经学习了简单的逻辑联结词“且”、“或”的含义和简单运用，本节课继续学习简单的逻辑联结词“非”的含义和简单运用；
（2）一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作：p，读作“非p”或“p的否定”；了解和掌握“非”命题最常见的几个正面词语的否定：
正面
是都是至多有一个至少有一个任意的所有的
否定
不是不都是至少有两个一个也没有某个某些
（3）注意“且”、“或”“非”的含义和简单运用的区别和联系。
（4）培养学生用所学知识解决综合数学问题的能力。
【教学目标】：
（1）知识目标：
通过实例，了解简单的逻辑联结词“非”的含义;
（2）过程与方法目标：
了解含有逻辑联结词“非”复合命题的概念及其构成形式,能对逻辑联结词“非”构成命题的真假作出正确判断;
（3）情感与能力目标：
能准确区分命题的否定与否命题的区别;在知识学习的基础上，培养学生简单推理的技能。
【教学重点】：
（1）了解逻辑联结词“非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容；
（2）区别“或”、“且”、“非”的含义和运用的异同；
【教学难点】：
（1）简洁、准确地表述“非”命题以及对逻辑联结词“非”构成命题的真假判断；
（2）区别“或”、“且”、“非”的含义和运用的异同；
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
情境引入问题1：如果是真命题,那么ｐ∨ｑ一定是真命题吗?反之,如果ｐ∨ｑ是真命题,那么一定是真命题吗?
问题2：下列两个命题间有什么关系，判断真假.
（1）35能被5整除；
（2）35不能被5整除；通过数学实例，认识用逻辑联结词“非”构成命题可以得到一个新命题；
知识建构归纳总结：
(1)一般地，对一个命题全盘否定就得到一个新命题，
记作，读作“非P”;
(2)若P是真命题,则必是假命题;若P是假命题,则必是真命题.引导学生通过通过一些数学实例分析，概括出一般特征。
自主学习1、引导学生阅读教科书上的例4中每组命题p让学生尝试写出命题，判断真假，纠正可能出现的逻辑错误.
学习使用逻辑联结词“非”构成一个新命题,根据“非”的含义判断逻辑联结词“非”构成命题的真假。
2：写出下列命题的非命题：
（1）p:对任意实数x，均有x2－2x+1≥0；
（2）q：存在一个实数x，使得x2－9=0
（3）“AB∥CD”且“AB=CD”；
（4）“△ABC是直角三角形或等腰三角形”．
解：（1）存在一个实数x，使得x2－2x+1＜0；
（2）不存在一个实数x，使得x2－9=0；
（3）AB不平行于CD或AB≠CD；
（4）原命题是“p或q”形式的复合命题，它的否定形式是：△ABC既不是直角三角形又不是等腰三角形．
学生探究指出下列命题的构成形式及真假：并指出“或”、“且”、“非”的区别与联系.
（1）不等式没有实数解；
（2）－1是偶数或奇数；
（3）属于集合Q，也属于集合R；
（4）
解：（1）此命题是“非ｐ”形式，是假命题。
（2）此命题是“ｐ∨ｑ”形式，此命题是真命题。
（3）此命题是“ｐ∧ｑ”形式，此命题是假命题。
（4）此命题是“非ｐ”形式，是假命题。通过探究,归纳总结判断“p且q”、“p或q”、“非p”形式的命题真假的方法。
归纳总结：
1．“p且q”形式的复合命题真假：
当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。（一假必假）
pqp且q
真真真
真假假
假真假
假假假
2．“p或q”形式的复合命题真假：
当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，p或q为假。(一真必真）
pqP或q
真真真
真假真
假真真
假假假
3．“非p”形式的复合命题真假：
当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真．（真假相反）
p非p
真假
假真
引导学生通过通过一些数学实例分析，概括出一般特征。
提高练习1.分别指出由下列各组命题构成的p或q、p且q、非p形式的复合命题的真假：
（1）p：2+2=5；q：32
（2）p：9是质数；q：8是12的约数；
（3）p：1∈{1，2}；q：{1}{1，2}
（4）p：{0}；q：{0}
解：①p或q：2+2=5或32；p且q：2+2=5且32；非p：2+25.
∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.
②p或q：9是质数或8是12的约数；p且q：9是质数且8是12的约数；非p：9不是质数.
∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.
③p或q：1∈{1，2}或{1}{1，2}；p且q：1∈{1，2}且{1}{1，2}；
非p：1{1，2}.
∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.
④p或q：φ{0}或φ={0}；p且q：φ{0}且φ={0}；非p：φ{0}.
∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.
通过练习，使学生更进一步理解“p且q”、“p或q”、“非p”形式的命题的形式特点以及判断真假的规律，区别“非”命题与否命题。
课堂小结
(1)一般地，对一个命题全盘否定就得到一个新命题，
记作，读作“非P”;
(2)若P是真命题,则必是假命题;若P是假命题,则必是真命题.
(3)1．“p且q”形式的复合命题真假：
当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。（一假必假）
pqp且q
真真真
真假假
假真假
假假假
2．“p或q”形式的复合命题真假：
当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，p或q为假。(一真必真）
pqP或q
真真真
真假真
假真真
假假假
（
3．“非p”形式的复合命题真假：
当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真．（真假相反）
p非p
真假
假真
归纳整理本节课所学知识。反馈学生掌握逻辑联结词“且”的用法和含义的情况，巩固本节课所学的基本知识。
布置作业1．课本P18A组3.
2．见课后练习
课后练习
1．如果命题p是假命题，命题q是真命题，则下列错误的是（）
A．“p且q”是假命题B．“p或q”是真命题
C．“非p”是真命题D．“非q”是真命题
2．下列命题是真命题的有()
A．52且73B．34或34
C．7≥8D．方程x2－3x+4=0的判别式Δ≥0
3．若命题p：2n－1是奇数，q：2n＋1是偶数，则下列说法中正确的是（）
A．p或q为真B．p且q为真C．非p为真D．非p为假
4．如果命题“非p”与命题“p或q”都是真命题，那么（）
A．命题p与命题q的真值相同B．命题q一定是真命题
C．命题q不一定是真命题D．命题p不一定是真命题
5．由下列各组命题构成的复合命题中，“p或q”为真，“p且q”为假，
“非p”为真的一组为()
A．p：3为偶数，q：4为奇数B．p：π3，q：53
C．p：a∈{a，b}，q：{a}{a，b}D．p：QR，q：N=Z
6.在下列结论中，正确的是（）
①为真是为真的充分不必要条件；
②为假是为真的充分不必要条件；
③为真是为假的必要不充分条件；
④为真是为假的必要不充分条件；
A.①②B.①③C.②④D.③④
参考答案：
1．D2．A3．B4．B5．B6．B
逻辑联结词
课题：1.6逻辑联结词（2）
教学目的：
1．加深对“或”“且”“非”的含义的理解；
2．能利用真值表，判断含有复合命题的真假；
3．培养抽象逻辑思维能力，培养归纳推理的思维能力
教学重点：判断复合命题真假的方法
教学难点：对“p或q”复合命题真假判断的方法
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
这一节的重点是逻辑联结词“或”、“且”、“非”．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．
这一节的难点是对一些代数命题真假的判断．初中阶段，学生只是对简单的推理方法有一定程度的熟悉，并且，相关的技能和能力，主要还是通过几何课的学习获得的，初中代数侧重的是运算的技能和能力，因此，像对代数命题的证明，学生还需要有一个逐步熟悉的过程．
教学过程：
一、复习引入：
1．什么叫做命题？（可以判断真假的语句叫命题正确的叫真命题，错误的叫假命题）
2．逻辑联结词是什么？（“或”的符号是“∨”、“且”的符号是“∧”、“非”的符号是“┑”，这些词叫做逻辑联结词）
含义是？“p或q”是指p,q中的任何一个或两者.例如，“xA或xB”，是指x可能属于A但不属于B（这里的“但”等价于“且”），x也可能不属于A但属于B，x还可能既属于A又属于B（即xAB）；又如在“p真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，还可能p,q都为真.
“p且q”是指p,q中的两者.例如，“xA且xB”，是指x属于A，同时x也属于B（即xAB）.
“非p”是指p的否定，即不是p.例如，p是“xA”，则“非p”表示x不是集合A的元素（即x）.
3．什么叫做简单命题和复合命题？（不含有逻辑联结词的命题是简单命题由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题）
4．复合命题的构成形式是什么？
p或q(记作“p∨q”)；p且q(记作“p∨q”)；非p(记作“┑q”)
二、讲解新课：
判断复合命题真假的方法
1．“非p”形式的复合命题
例1(1)如果p表示“2是10的约数”，试判断非p的真假.
(2))如果p表示“3≤2”，那么非p表示什么？并判断其真假.
解：(1)中p表示的复合命题为真，而非p“2不是10的约数”为假.
(2)中p表示的命题“3≤2”为假，非p表示的命题为“32”，其显然为真.
小结：非p复合命题判断真假的方法
当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真，即“非p”形式的复合命题的真假与p的真假相反，可用下表表示
p非p
真假
假真
2．“p且q”形式的复合命题
例2．如果p表示“5是10的约数”，q表示“5是15的约数”，r表示“5是8的约数”，试写出ｐ且ｑ，ｐ且ｒ的复合命题，并判断其真假，然后归纳出其规律.
解：p且q即“5是10的约数且是15的约数”为真（p、q为真）；
p且r即“5是10的约数且是8的约数”为假（r为假）
小结：“p且q”形式的复合命题真假判断
当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假可用下表表示
pqp且q
真真真
真假假
假真假
假假假
3．“p或q”形式的复合命题：
例3．如果p表示“5是12的约数”q表示“5是15的约数”，r表示“5是8的约数”，写出，p或r，q或s，p或q的复合命题，并判断其真假，归纳其规律.
p或q即“5是12的约数或是15的约数”为真（p为假、q为真）；
p或r即“5是12的约数或是8的约数”为假（p、r为假）
小结：“p或q”形式的复合命题真假判断
当p，q中至少有一个为真时，“p或q”为真；当p，q都为假时，“p或q”为假.即“p或q”形式的复合命题，当p与q同为假时为假，其他情况时为真.可用下表表示.
pqp或q
真真真
真假真
假真真
假假假
像上面三个表用来表示命题的真假的表叫做真值表.
在真值表中，是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容.
例4（课本第28页例2）分别指出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题的真假：
①p：2+2=5，q：32；
②p：9是质数，q：8是12的约数；
③p：1∈{1，2}，q：{1}{1，2}；
④p：φ{0}，q：φ={0}.
解：①p或q：2+2=5或32；p且q：2+2=5且32；非p：2+25.
∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.
②p或q：9是质数或8是12的约数；p且q：9是质数且8是12的约数；非p：9不是质数.
∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.
③p或q：1∈{1，2}或{1}{1，2}；p且q：1∈{1，2}且{1}{1，2}；非p：1{1，2}.
∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.
④p或q：φ{0}或φ={0}；p且q：φ{0}且φ={0}；非p：φ{0}.
∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.
4．逻辑符号
“或”的符号是“∨”，“且”的符号是“∧”，“非”的符号是“┐”.
例如，“p或q”可记作“p∨q”；“p且q”可记作“p∧q”；“非p”可记作“┐p”.
注意：数学中的“或”与日常生活用语中的“或”的区别
“或”这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：
一是“不可兼有”，即“a或b”是指a，b中的某一个，但不是两者.日常生活中有时采用这一解释.例如“你去或我去”，人们在理解上不会认为有你我都去这种可能.
二是“可兼有”，即“a或b”是指a，b中的任何一个或两者.例如“xA或xB”，是指x可能属于A但不属于B（这里的“但”等价于“且”），x也可能不属于A但属于B，x还可能既属于A又属于B（即xA∩B）；又如在“p真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，还可能p,q都为真.数学书中一般采用这种解释，运用数学语言和解数学题时，都要遵守这一点.还要注意“可兼有”并不意味“一定兼有”.
另外，“苹果是长在树上或长在地里”这一命题，按真值表判断，它是真命题，但在日常生活中，我们认为这句话是不妥的.
5．学习逻辑的意义
一方面是因为数学基础需要用逻辑来阐明，另一方面是因为计算机离不开数学逻辑，课本中介绍的洗衣机上的“或门电路”和电子保险门上的“与门电路”就是两个在这方面应用的实例.可以说计算机的“智能”装置是以数学逻辑为基础进行设计的.
同学们可以结合日常生活中电器的自动控制功能，再找出一些这样的例子.
电路：
或门电路（或）与门电路（且）
三、小结：用真值表法判断复合命题真假的方法
四、练习：课本第28练习：1，2.
答案：1.⑴真；⑵真；⑶假.
2.⑴p或q：4∈{2，3}或2∈{2，3}；p且q：4∈{2，3}且2∈{2，3}；非p：4{2，3}.
∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.
⑵p或q：2是偶数或不是质数；p且q：2是偶数且不是质数；非p：2不是偶数.
∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.
五、作业：课本第29页习题1.6：3，4.
六、板书设计（略）
七、课后记：
高三数学简单的逻辑联结词4
§1.3简单的逻辑联结词
教学目标：
1．通过数学实例，了解简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；
2．能正确地利用“或”、“且”、“非”表述相关的数学内容；
3．知道命题的否定与否命题的区别．
教学重点及难点：
1．掌握真值表的方法；
2．理解逻辑联结词的含义．
教学过程：
一、复习回顾
问题：判断下面的语句是否正确．
⑴；
⑵3是12的约数；
⑶3是12的约数吗？
⑷0.4是整数；
⑸．
象⑴⑵⑷这样可以判断正确或错误的语句称为命题，⑶⑸就不是命题．
二、讲授新课
例1：判断下面的语句是否为命题？若是命题，指出它的真假．
⑴请全体同学起立！
⑵；
⑶对于任意的实数a，都有；
⑷；
⑸91是素数；
⑹中国是世界上人口最多的国家；
⑺这道数学题目有趣吗？
⑻若，则；
⑼任何无限小数都是无理数．
我们再来看几个复杂的命题：
⑴10可以被2或5整除；
⑵菱形的对角线互相垂直且平分；
⑶0.5非整数．
这里的“或”、“且”、“非”称为逻辑联结词．
我们常用小写拉丁字母p，q，r，…表示命题，上面命题⑴⑵⑶的构成形式分别是：
p或q；
p且q；
非p．
非p也叫做命题p的否定．非p记作“”，“”读作“非”（或“并非”），表示“否定”．
思考：下列三个命题间有什么关系？
⑴12能被3整除；
⑵12能被4整除；
⑶12能被3整除且能被4整除．
一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，
记作，读作“p且q”．
规定：当p、q都是真命题时，是真命题；当p、q两个命题中有一个是假命题时，是假命题．
全真为真，有假即假．
例1：将下列命题用“且”联结成新命题，并判断它的真假：
⑴p：平行四边形的对角线互相平分；q：平行四边形的对角线相等．
⑵p：菱形的对角线互相垂直；q：菱形的对角线互相平分．
例2：用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断它们的真假：
⑴1既是奇数，又是素数；
⑵2和3都是素数．
例3：分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题．
⑴24既是8的倍数，又是6的倍数；
⑵李强是篮球运动员或跳水运动员；
⑶平行线不相交．
思考：下列三个命题间有什么关系？
⑴27是7的倍数；
⑵27是9的倍数；
⑶27是7的倍数或是9的倍数．
一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，
记作：，读作：p或q．
规定：当p、q两个命题中有一个是真命题时，是真命题；当p、q都是假命题时，是假命题．
全假为假，有真即真．
例1：判断下列命题的真假：
⑴；
⑵集合A是的子集或是的子集；
⑶周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．
思考：如果为真命题，那么一定是真命题吗？反之，如果为真命题，那么一定是真命题吗？
注：逻辑联结词中的“或”相当于集合中的“并集”，它与日常用语中的“或”的含义不同．日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”，可以是两个都选，但又不是两个都选，而是两个中至少选一个，因此，有三种可能的情况．
逻辑联结词中的“且”相当于集合中的“并集”即两个必须都选．
思考：下列命题间有什么关系？
⑴35能被5整除；
⑵35不能被5整除．
一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作：p，读作“非p”或“p的否定”．
若p是真命题，则必是假命题；若p是假命题，则必是真命题．
“非”命题最常见的几个正面词语的否定：
正面
是都是至多有一个至少有一个任意的所有的
否定
不是不都是至少有两个一个也没有某个某些
例1：写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
⑴p：是周期函数；
⑵p：；
⑶p：空集是集合A的子集；
⑷p：是无理数；
⑸p：等腰三角形的两个底角相等；
⑹p：等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合．
练习：
1．判断下列命题的真假：
⑴12是48且是36的约数；
⑵矩形的对角线互相垂直且平分．
2．判断下列命题的真假：
⑴47是7的倍数或49是7的倍数；
⑵等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直．
3．写出下列命题的否定，然后判断它们的真假：
⑴；
⑵3是方程的根；
⑶．
简单逻辑联结词学案练习题
§1.2简单逻辑联结词(2)
一、知识要点
1.区分命题的否定和否命题；
2.反证法的证题思想及步骤；
3.命题“或”与“且”及“非”的应用。
二、例题
例1.写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并判断真假。
⑴若，则关于的方程有实根；
⑵若都是奇数，则是奇数；
⑶若，则中至少有一个为0。
例2.已知：方程有两个不等的负实根，方程无实数，若“或”为真，“且”为假，求的取值范围。
例3.已知均为实数，且，求证至少有一个大于0。
三、课堂检测
1.写出下列命题的否定形式
⑴若，则全为零；
⑵等腰三角形有两个内角相等；
⑶自然数的平方是正数。
2.已知，，若“或”和“非”都是假命题，求的值。
四、回顾小结
1.会用反证法证明；
2.正确求出命题的否命题和命题的否定形式。
五、课后作业
1.命题“若，则”的否定是，命题的否命题是；
2.由命题“函数的图象与轴有公共点，命题方程没有实根”构成的“或”、“且”、“非”形式的命题的真假分别是；
3.已知：，非是非的条件；
4.对于平面和共面的直线，下列命题中真命题是。
①若，则；②若，则；
③若，则；④若与所成的角相等，则。
5.命题若，则“”是“”的充分不必要条件。
命题函数的定义域是，则下列正确的是。
①“或”为假；②“且”为真；③真假；④假真；
6.已知：函数在上为增函数，：关于的方程无实数解，若或为真命题，求实数的取值范围。
7.已知，若“”和“”都是假命题，求的值。
8.用反证法证明：若，则。
预习作业
1.指出下列语句中的全称量词或存在量词。
⑴每个人都喜欢体育锻炼；
⑵有时晴天下雨；
⑶有些相似三角形是全等三角形。
2.判断下列命题是全称命题还是存在性命题。
⑴任何实数的平方都是非负数；
⑵任何数与0相乘，都等于0；
⑶至少有一个三角形没有外接圆。
§1.2简单逻辑联结词(1)
一、知识要点
1.逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；
2.逻辑联结词“或”、“且”、“非”与集合中的“并”、“交”、“补”的关系；
3.“或”、“且”，“非”形式的命题；
4.“或”、“且”、“非”形式命题的真假判定。
二、例题
例1.分别指出下列命题的形式：
⑴8≥7；
⑵2是偶数且2是质数；
⑶π不是整数；
⑷24既是8的倍数，也是7的倍数；
⑸
例2.写出由下列各组命题构成的“或”、“且”以及“非”形成的命题，并判断它们的真假：
⑴3是质数，3是偶数；
⑵方程的解是，方程的解是；
⑶π是无理数，e不是无理数。
例3.判断下列命题的真假
⑴4≥3；⑵且；⑶方程没有有理根。
三、课堂检测课本P121、2、3
四、课堂小结
1．命题的否定和否命题二者关系：
2．三种形式命题的真假：
或
且
非
真真
真假
假真
假假
五、课外作业
1.若命题不等式的解集为；命题关于的不等式
的解集为，则“”、“”、“”中真命题是。
2.已知，，则是的条件。
3.已知全集，，若命题，则命题“”是；
4.已知命题(为锐角)，命题任意抛掷硬币2次，出现正确向上的是必然事件。下列命题中为真命题的有；
①；②；③；④；⑤；⑥
5.已知命题为真，命题为假
①命题“”为假；②命题“”为假；③命题“”为真；
④命题“”为假；⑤命题“”为假，以上说法中错误的是。
6.指出下列命题是由哪些命题和逻辑联结词构成的：
⑴是等腰三角形或是直角三角形；
⑵不是分数；
⑶平行四边形的对边平行且相等。
7.分别判断由下列各组命题构成的“或”、“且”和“非”形成的命题的真假。
⑴2是实数，2不是奇数；
⑵对于集合，；
⑶方程无实数根，方程有实数根；
⑷9是3的命题，10是4的倍数。
预习作业
1.下列判断正确的是
①命题：若“则”与“若则”互为逆否命题；
②“矩形的两条对角线相等”的否定为假；
③若命题，则；
④命题或为真。
2.写出下列命题的否定形式和否命题
⑴若，则中至少有一个为零；
⑵等腰三角形有两个内角相等。
