八年级数学复习资料：等腰三角形。

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八年级数学复习资料：等腰三角形

等腰三角形的轴对称性:
(1)等腰三角形是轴对称图形.
(2)顶角平分线所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形顶角的平分线,底边上的
中线,底边上的高互相重合(三线合一)
等腰三角形两底角的平分线相等.
等腰三角形两腰上的中线相等.
等腰三角形两腰上的高相等.
以等腰三角形为条件时的常用辅助线:
如图：若AB=AC
①作AD⊥BC于D，必有结论:∠1=∠2，BD=DC
②若BD=DC，连结AD，必有结论：∠1=∠2，AD⊥BC
③作AD平分∠BAC必有结论：AD⊥BC，BD=DC
作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2.
例1.一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量A，B之间的距离.同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点A出发，沿着与直线AB成60°角的AC方向前进至C，在C处测得C=30°.量出AC的长，它就是河宽(即A，B之间的距离).这个方法正确吗?请说明理由.
解：小聪的测量方法正确.理由如下：
∵∠DAC=∠B+∠C
(三角形的外角的性质)
∴∠ABC=∠DAC-∠C
=60°-30°=30°
∴∠ABC=∠C
∴AB=AC(在一个三角形中，等角对等边.)60°BAC
例2：上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°求从B处到灯塔C的距离
解：∵∠NBC=∠A+∠C
∴∠C=80°-40°=40°
∴BA=BC(等角对等边)
∵AB=20(12-10)=40∴BC=40答：B处到达灯塔C40海里ABN80°40°C
1、已知等腰三角形的两边分别是4和6，则它的周长是()
(A)14(B)15(C)16(D)14或16
2、等腰三角形的周长是30，一边长是12，则另两边长是______________
判断下列语句是否正确。
(1)等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。()
(2)有一个角是60°的等腰三角形，其它两个
内角也为60°.()
(3)等腰三角形的底角都是锐角.()
(4)钝角三角形不可能是等腰三角形.()

扩展阅读

等腰三角形的判定

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第十二讲等腰三角形的判定
由于等腰三角形有丰富的性质，这些性质为我们解几何题提供了新的理论依据，所以寻找发现等腰三角形是解一些几何题的关键，判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是：从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等，实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：
1．“角平分线+平行线”构造等腰三角形；
2．“角平分线+垂线”构造等腰三角形；
3．用“垂直平分线”构造等腰三角形；
4．用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形．

例题求解
【例1】如图，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5，那么这个六边形的周长是cm．
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
思路点拨设法将六边形的问题转化为三角形或四边形的问题加以解决，六边形的外角都为60°，利用60°构造等边三角形是解本例的关键．
注证明线段相等是最基本的几何问题，目前常用证法有：
(1)若两线段属于两个三角形，则考虑证对应的三角形全等；
(2)若两线段是同一个三角形两边，则考虑用等角对等边证明；
(3)寻找中间线段，通过等量代换证明．
类似的，我们可以对证明角相等、等边三角形的判定作归纳总结．
不同形状的几何图形之间可互相转化，向外补形与对内分割是基本的两种转化方式．
【例2】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有()
A．2个B．4个C．6个D．8个
(江苏省竞赛题)
思路点拨AB既可作等腰三角形PAB的腰，也可作为等腰三角形PAB的底，故要思考全面，才能正确地得出符合条件的P点的个数．
【例3】如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB十BD＝CD．
(天津市竞赛题)
思路点拨如何利用条件∠B=2∠C?又怎样得到AB+BD?不同的思考方向，会找到解题的不同方法．
【例4】如图甲，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．
(1)求证：AN=BM；
(2)求证：△CEF是等边三角形；
(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图乙中补出符合要求的图形，并判断第(1)、(2)两小属结论是否仍然成立(不要求证明)．
(荆门市中考题)

思路点拨图甲中有多对全等三角形，这是解(1)、(2)问的基础．
注若仅将题中的条件∠A＝30°改为∠A=45°，则符合条件的点有几个?若将题中的条件∠A=30°，改为∠A≠30°，∠A≠45°，则符合条件的P点有几个?请读者思考．
分折法(执果溯因)，综合法(由因导果)是两种最基本的分析方法．
处理题设条件中的“两倍角”的基本途径是：
(1)向外构造等腰三角形；(2)对内作角平分线．
【例5】如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E，∠C=∠D，BC=DE，M为CD中点，求证：AM⊥CD．(武汉市选拔赛试题)
思路点拨证明∠AMC=90°或应用等腰三角形“三线合一”的性质，通过作辅助线将五边形问题恰当地转化为三角形问题是解本例的关键．

学历训练
1．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于O点．作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC，BC＝a，AC=b，AB＝c，则△GMO周长+△ENO的周长－△FHO的周长．
2．如图，△ABC中，AB=AC，∠B=36°，D、E是BC上两点，使∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中等腰三角形共有个．

3．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，则∠D：∠C的值=．
（“五羊杯”竞赛题）
4．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E点，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四个结论：
①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAB；④△ABE是等边三角形．请写出正确结论的序号．(把你认为正确结论的序号都填上)(2002午天津市中考题)
5．如图，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、M在BC上，则∠EAM等于()
A．58°B．32°C．36°D．34°

6．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，则AC与2AB之间的关系是()
A．AC2ABB．AC＝2ABC．AC≤2ABD．AC2AB
(山东省竞赛题)
7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于()
A．30°B．30°或150°C．120°或150°D．30°或120°或150°
(“希望杯”邀请赛试题)
8．在锐角△ABC中，三个内角的度数都是质数，则这样的三角形()
A．只有一个且为等腰三角形
B．至少有两个且都为等腰三角形
C．只有一个但不是等腰三角形
D．至少有两个，其中有非等腰三角形
9．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．
(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系．
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论．(广东省中考题)

10．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．
11．如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．
12．在△ABC中，AB=AC，高线AD=BC，AE为∠BAC的平分线，则∠CAD的度数为．(北京市竞赛题)
13．如图，△ABC中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，则∠A=．
14．如图，四边形ABCD中，AE、AF分别是BC，CD的中垂线，∠EAF=80°，∠CBD=30°，则∠ABC=，∠ADC=．(天津市竞赛题)
15．有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为度．(江苏省竞赛题)
16．在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有()
A．1个B．4个C．7个D．10个
17．如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=DC=DE，则∠D＝（）
A．30°B．450°C．60°D．67．5°
18．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC内一点，则()

A．PA+PB+PCAB+ACB．PA+PB+PCAB+AC
C．PA+PB+PC=AB+ACD．PA+PB+PC与AB+AC的大小关系不确定，与P点位置有关

19．如图，在△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：BQ+AQ=AB+BP．
(2002年全国初中数学竞赛矗)
20，如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC60°，∠ABD=60°，且∠ADB=90°一∠BDC，求证：AC=BD+DC．(天津市竞赛题)
21．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB＝AC，D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，求证：BD＝BA．
22．在平面内确定四点，连接每两点，使任意三点构成等腰三角形(包括等边三角形)，且每两点之间函线段长只有两个数值，则这四点的取法有多少种?画图说明．
(潍坊市中考题)
23．（1）如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠ABD=60°，∠BCD=120°，证明：BC+DC=AC．
(2)如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P为四边形ABCD内一点，且∠APD=120°，证明：PA+PD+PC≥BD．(江苏省竞赛题)

24．如图，等边三角形ABD和等边三角形CBDD的长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF＝a．
(1)E、F移动时，△BEF的形状如何?
(2)求△BEF面积的最小值．

八年级上册《等腰三角形》导学案

八年级上册《等腰三角形》导学案

2．1等腰三角形
学习目标：
1、掌握等腰三角形的概念及等腰三角形有关边、角的名称。根据条件会作等腰三角形。
2、理解等腰三角形的轴对称性及对称轴的情况。
学习重点：等腰三角形的轴对称性。
学习难点：理解等腰三角形的轴对称性（例题）
学习过程：
一、预习准备
1、你还记得三角形的概念：
2、你学习过哪些类型的三角形：
3、你在日常生活中中看到过有两条边相等的三角形吗？请举例：
4、等腰三角形的概念：
并在下图中写出相应的边角名称
5、如图，点D在AC上，
AB＝AC，AD＝BD。你能
在图中找到几个等腰三角
形？说出每个等腰三角形
的腰、底边和顶角。

二、合作学习
1、等腰三角形的两边分别是2cm和5cm，则它的周长是多少？

2、知线段a，b（如图）（１）用直尺和圆规做等腰三角形ABC，使AB＝AC＝b，BC＝a；
（２）它的周长是多少？

3、在上图的基础上，画出等腰三角形ABC的顶角平分线AD，然后沿着AD所在的直线把△ABC对折，你发现了什么？由此，你得出了什么结论？

三、应用举例：
例、如图，在△ABC中，AB=AC，D、E
分别是AB、AC上的点，且AD=AE。AP
是△ABC的角平分线。点D、E关于AP
对称吗？DE与BC平行吗？请说明理由。

四、巩固练习
1、如图，AD是等腰三角形ABC的
角平分线，E、F分别是AB，AC上的点，
请分别作出E、F关于AD的对称点。

总结：
2、等腰三角形的底边长为7cm，一腰上的中线把周长分为两部分，其差为3cm，则等腰三角形的腰长为多少？

3、等腰三角形一腰长的中线将它的周长分成15cm和16cm两部分，求等腰三角形的底边长。

思考：
在平面内，分别用3根，5根，6根火柴棒首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形？
通过尝试，完成下面的表格。7根火柴棒呢？8根呢？你发现了什么规律？完成书中表格（Ｐ.25）
五．作业
1．作业本（2）
2．预习2.2节内容
六、课后反思

§14．3．1．1等腰三角形

§14．3．1．1等腰三角形
教学目标
1．等腰三角形的概念．
2．等腰三角形的性质．
3．等腰三角形的概念及性质的应用．
教学重点
1．等腰三角形的概念及性质．
2．等腰三角形性质的应用．
教学难点
等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？
有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．
问题：那什么样的三角形是轴对称图形？
满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．
我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．
Ⅱ．导入新课
要求学生通过自己的思考来做一个等腰三角形．
作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．
等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．
思考：
1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
2．等腰三角形的两底角有什么关系？
3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？
结论：等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．
沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．
由此可以得到等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．
如右图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为
所以△BAD≌△CAD（SSS）．
所以∠B=∠C．
]如右图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为
所以△BAD≌△CAD．
所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°．
[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求：△ABC各角的度数．
分析：
根据等边对等角的性质，我们可以得到
∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，
再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．
再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角．
把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．
解：因为AB=AC，BD=BC=AD，
所以∠ABC=∠C=∠BDC．
∠A=∠ABD（等边对等角）．
设∠A=x，则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°．
在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．
[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P141练习1、2、3．
（二）阅读课本P138～P140，然后小结．
Ⅳ．课时小结
这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．
我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．
Ⅴ．作业
（一）课本P147─1、3、4、8题．
课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞
板书设计
14．3．1．1等腰三角形（一）
一、设计方案作出一个等腰三角形
二、等腰三角形性质
1．等边对等角
2．三线合一

参考练习
一、选择题
1．如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（）
A．某一条边上的高;B．某一条边上的中线
C．平分一角和这个角对边的直线;D．某一个角的平分线
2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（）
A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°
答案：1．C2．C
二、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm．
求这个等腰三角形的边长．
解：设三角形的底边长为xcm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得
2（x+2）+x=16．
解得x=4．
所以，等腰三角形的三边长为4cm、6cm和6cm．