八年级数学竞赛例题专题-等腰三角形的判定。
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专题17等腰三角形的判定
阅读与思考
在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结．
1．等腰三角形的判定：
⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；
⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等．
2．证明线段相等的方法：
⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明；
⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明；
⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等．
善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：
例题与求解
【例1】如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则CF的长为____________．
（全国初中数学竞赛试题）
解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M”．
【例2】如图，在△ABC中，∠B=2∠C，则AC与2AB之间的关系是（）
A．AC＞2ABB．AC＝2AB
C．AC≤2ABD．AC＜2AB
(山东省竞赛试题)
解题思路：如何条件∠B=2∠C，如何得到2AB，这是解本题的关键．
【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连结BD，取BD中点M，连结ME，MC，试判断△EMC的形状，并说明理由．
（山东省中考试题）
解题思路：从△ADE≌△BAC出发，先确定△ADB的形状，为判断△EMC的形状奠定基础．
【例4】如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF．
（天津市竞赛试题）
解题思路：只需证明∠FAE=∠AEF，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形．
【例5】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=200，在边AB上取点D，使AD=BC，求∠BDC度数．
（“祖冲之杯”竞赛试题）
解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口．
如图1，以BC为边在△ABC内作等边△BCO；如图②，以AC为边作等边△ACE．
能力训练
A级
1．已知△ABC为等腰三角形，由顶点A所引BC边的高线恰等于BC边长的一半，则
∠BAC=__________．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠ABC=660，△ABC以点C为中点旋转到△A′B′C的位置，顶点B在斜边A′B′上，A′C与AB相交于D，则∠BDC=_________．
3．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FD⊥AB于D，则AD=_______．
（天津市竞赛试题）
4．如图，一个六边形的六个内角都是1200，其连续四边的长依次是1，9，9，5，那么这个六边形的周长是____________．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
5．如图，△ABC中，AB=AC，∠B=360，D、E是BC上两点，使∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中等腰三角形共有（）
A．3个B．4个
C．5个D．6个
6．若△ABC的三边长是，，，且满足，，，则△ABC（）
A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
（“希望杯”邀请赛试题）
7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）
A．300B．300或1500C．1200或1500D．300或1200或1500
（“希望杯”邀请赛试题）
8．如图，已知Rt△ABC中，∠C=900，∠A=300，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（）
A．2个B．4个C．6个D．8个
（江苏省竞赛试题）
第5题图第8题图第9题图
9．如图在等腰Rt△ABC中，∠ACB=900，D为BC中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于G．
⑴求证：AD⊥CF；
⑵连结AF，度判断△ACF的形状，并说明理由．
10．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD．
（天津市竞赛试题）
11．如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三角形．
（江苏省竞赛试题）
12．如图1，Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．
⑴求证：CE=CF；
⑵将图1中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E的位置，使点E′落在BC边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．
（山西省中考试题）
B级
1．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，则∠B：∠C的值=__________．
2．如图，△ABC的两边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若∠BAC+∠DAE=1500，则∠BAC的度数是____________．
3．在等边△ABC所在平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有_________个．
4．如图，在△ABC中，∠ABC=600，∠ACB=450，AD、CF都是高，相交于P，角平分线BE分别交AD、CF于Q、S，则图中的等腰三角形的个数是（）
A．2B．3C．4D．5
5．如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=1200，EA=AB=BC=DC=DE，则∠D=（）
A．300B．450C．600D．67.50
（“希望杯”竞赛试题）
6．如图，∠MAN=160，A1点在AM上，在AN上取一点A2，使A2A1=AA1，再在AM上取一点A3，使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（）
A．A5B．A6C．A7D．A8
7．若P为△ABC所在平面内一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=1200，则点P叫作△ABC的费尔马点，如图1．
⑴若点P为锐角△ABC的费尔马点，且∠ABC=600，PA=3，PC=4，则PB的值为_____．
⑵如图2，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′过△ABC的费尔马点P，且BB′=PA+PB+PC．
（湖州市中考试题）
8．如图，△ABC中，∠BAC=600，∠ACB=400，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP．
（全国初中数学联赛试题）
9．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，过M作ME∥AD交BA延长线于E，交AC于F，求证：BE=CF=(AB+AC)．
（重庆市竞赛试题）
10．在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠DAE=600，DE交∠C的外角平分线于E，那么△ADE是什么三角形？证明你的结论．
（《学习报》公开赛试题）
11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线：与轴、轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C(－4，－4)作平行于轴的直线交AB于点D，CD=10．
⑴求直线的解析式；
⑵求证：△ABC是等腰直角三角形；
⑶将直线沿轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与，轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
（宁波市江东区模拟题）
12．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A(4，4)．
⑴求B点坐标；
⑵如图2，若C为轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=900，连接OD，求∠AOD度数；
⑶如图3，过点A作轴于E，F为轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作轴垂线交EH于点M，连接FM，等式=1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．
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等腰三角形的判定
每个老师上课需要准备的东西是教案课件，规划教案课件的时刻悄悄来临了。是时候对自己教案课件工作做个新的规划了，接下来的工作才会更顺利！你们了解多少教案课件范文呢？考虑到您的需要，小编特地编辑了“等腰三角形的判定”，希望对您的工作和生活有所帮助。
第十二讲等腰三角形的判定
由于等腰三角形有丰富的性质，这些性质为我们解几何题提供了新的理论依据，所以寻找发现等腰三角形是解一些几何题的关键，判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是：从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等，实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：
1．“角平分线+平行线”构造等腰三角形；
2．“角平分线+垂线”构造等腰三角形；
3．用“垂直平分线”构造等腰三角形；
4．用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形．
例题求解
【例1】如图，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5，那么这个六边形的周长是cm．
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
思路点拨设法将六边形的问题转化为三角形或四边形的问题加以解决，六边形的外角都为60°，利用60°构造等边三角形是解本例的关键．
注证明线段相等是最基本的几何问题，目前常用证法有：
(1)若两线段属于两个三角形，则考虑证对应的三角形全等；
(2)若两线段是同一个三角形两边，则考虑用等角对等边证明；
(3)寻找中间线段，通过等量代换证明．
类似的，我们可以对证明角相等、等边三角形的判定作归纳总结．
不同形状的几何图形之间可互相转化，向外补形与对内分割是基本的两种转化方式．
【例2】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有()
A．2个B．4个C．6个D．8个
(江苏省竞赛题)
思路点拨AB既可作等腰三角形PAB的腰，也可作为等腰三角形PAB的底，故要思考全面，才能正确地得出符合条件的P点的个数．
【例3】如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB十BD＝CD．
(天津市竞赛题)
思路点拨如何利用条件∠B=2∠C?又怎样得到AB+BD?不同的思考方向，会找到解题的不同方法．
【例4】如图甲，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．
(1)求证：AN=BM；
(2)求证：△CEF是等边三角形；
(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图乙中补出符合要求的图形，并判断第(1)、(2)两小属结论是否仍然成立(不要求证明)．
(荆门市中考题)
思路点拨图甲中有多对全等三角形，这是解(1)、(2)问的基础．
注若仅将题中的条件∠A＝30°改为∠A=45°，则符合条件的点有几个?若将题中的条件∠A=30°，改为∠A≠30°，∠A≠45°，则符合条件的P点有几个?请读者思考．
分折法(执果溯因)，综合法(由因导果)是两种最基本的分析方法．
处理题设条件中的“两倍角”的基本途径是：
(1)向外构造等腰三角形；(2)对内作角平分线．
【例5】如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E，∠C=∠D，BC=DE，M为CD中点，求证：AM⊥CD．(武汉市选拔赛试题)
思路点拨证明∠AMC=90°或应用等腰三角形“三线合一”的性质，通过作辅助线将五边形问题恰当地转化为三角形问题是解本例的关键．
学历训练
1．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于O点．作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC，BC＝a，AC=b，AB＝c，则△GMO周长+△ENO的周长－△FHO的周长．
2．如图，△ABC中，AB=AC，∠B=36°，D、E是BC上两点，使∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中等腰三角形共有个．
3．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，则∠D：∠C的值=．
（“五羊杯”竞赛题）
4．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E点，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四个结论：
①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAB；④△ABE是等边三角形．请写出正确结论的序号．(把你认为正确结论的序号都填上)(2002午天津市中考题)
5．如图，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、M在BC上，则∠EAM等于()
A．58°B．32°C．36°D．34°
6．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，则AC与2AB之间的关系是()
A．AC2ABB．AC＝2ABC．AC≤2ABD．AC2AB
(山东省竞赛题)
7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于()
A．30°B．30°或150°C．120°或150°D．30°或120°或150°
(“希望杯”邀请赛试题)
8．在锐角△ABC中，三个内角的度数都是质数，则这样的三角形()
A．只有一个且为等腰三角形
B．至少有两个且都为等腰三角形
C．只有一个但不是等腰三角形
D．至少有两个，其中有非等腰三角形
9．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．
(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系．
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论．(广东省中考题)
10．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．
11．如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．
12．在△ABC中，AB=AC，高线AD=BC，AE为∠BAC的平分线，则∠CAD的度数为．(北京市竞赛题)
13．如图，△ABC中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，则∠A=．
14．如图，四边形ABCD中，AE、AF分别是BC，CD的中垂线，∠EAF=80°，∠CBD=30°，则∠ABC=，∠ADC=．(天津市竞赛题)
15．有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为度．(江苏省竞赛题)
16．在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有()
A．1个B．4个C．7个D．10个
17．如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=DC=DE，则∠D＝（）
A．30°B．450°C．60°D．67．5°
18．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC内一点，则()
A．PA+PB+PCAB+ACB．PA+PB+PCAB+AC
C．PA+PB+PC=AB+ACD．PA+PB+PC与AB+AC的大小关系不确定，与P点位置有关
19．如图，在△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：BQ+AQ=AB+BP．
(2002年全国初中数学竞赛矗)
20，如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC60°，∠ABD=60°，且∠ADB=90°一∠BDC，求证：AC=BD+DC．(天津市竞赛题)
21．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB＝AC，D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，求证：BD＝BA．
22．在平面内确定四点，连接每两点，使任意三点构成等腰三角形(包括等边三角形)，且每两点之间函线段长只有两个数值，则这四点的取法有多少种?画图说明．
(潍坊市中考题)
23．（1）如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠ABD=60°，∠BCD=120°，证明：BC+DC=AC．
(2)如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P为四边形ABCD内一点，且∠APD=120°，证明：PA+PD+PC≥BD．(江苏省竞赛题)
24．如图，等边三角形ABD和等边三角形CBDD的长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF＝a．
(1)E、F移动时，△BEF的形状如何?
(2)求△BEF面积的最小值．
等腰三角形的性质和判定
为了促进学生掌握上课知识点，老师需要提前准备教案，又到了写教案课件的时候了。只有规划好教案课件计划，就可以在接下来的工作有一个明确目标！你们了解多少教案课件范文呢？以下是小编为大家精心整理的“等腰三角形的性质和判定”，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！
§1.1等腰三角形的性质和判定
学习目标：
1．能证明等腰三角形性质定理和判定定理；
2．了解分析的思考方法；
3．经历思考、猜想，并对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明的必要性，感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识的事物的重要途径．
学习重点：了解分析的思考方法；
学习难点：合理添加辅助线。
学习过程：
一、回顾旧知：
文字命题的几何证明一般步骤是：
①；②；③。
二、情境创设：
1、什么叫做等腰三角形？
2、等腰三角形有哪些性质？
3、上述性质你是怎么得到的？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？（不妨动手操作做一做）
三、合作探究：
活动一：1、证明：等腰三角形的两个底角相等.
2、思考：由上面的证明过程，你能否得出“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”的结论？请用符号语言表示.
3、通过上面两个问题的证明，我们得到了等腰三角形的性质定理.
定理：_______________________________________，（简称：________________）
定理：_______________________________________，（简称：________________）
活动二：如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的？
要求：（1）写出它的逆命题：如果,那么。
（2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明.
活动三：
例：已知：如图∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC.
求证：AB＝AC
拓展：在下图中，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平分∠EAC吗？为什么？
四、反馈检测：
1．若等腰三角形的周长为12，一边长为5，那么另两边长分别为；
2．若等腰三角形有两边长为2和5，那么周长为；
3．若等腰三角形有一个角等于50°，那么另两个角为；
4．若等腰三角形有一个角等于120°，那么另两个角为；
五、总结反思：
六、布置作业：必做题：课本P8第1、2、4题;
选做题：课本P8第3题.
七、课外拓展：
已知：如图，AB=AC．
（1）若CE=BD，求证：GE=GD；
（2）若CE=mBD（m为正数），试猜想GE与GD有何关系。
（只写结论，不证明）．
等腰三角形
每个老师上课需要准备的东西是教案课件，大家静下心来写教案课件了。需要我们认真规划教案课件工作计划，才能对工作更加有帮助！你们到底知道多少优秀的教案课件呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“等腰三角形”，仅供参考，欢迎大家阅读。
10.3等腰三角形（3）2．等腰三角形的识别
教学目的
1．通过探索一个三角形是等腰三角形的条件，培养学生的探索能力。
2．能利用一个三角形是等腰三角形的条件，正确判断某个三角形是否为等腰三角形。
重点、难点
重点：让学生掌握一个三角形是等腰三角形的条件和正确应用。
难点：一个三角形是等腰三角形的条件的正确文字叙述。
教学过程
一、复习引入
等腰三角形具有哪些性质?
等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线“三线合一”。
二、新课
对于一个三角形，怎样识别它是不是等腰三角形呢?我们已经知道的方法是看它是否有两条边相等。这一节，我们再学习另一种识别方法。
我们已学过，等腰三角形的两个底角相等，反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗?
为了回答这个问题，请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下方法进行操作：
1．在半透明纸上画一个线段BC。
2．以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，用量角器画两个相等的角，两角终边的交点为A。
3．用刻度尺找出BC的中点D，连接AD，然后沿AD对折。
问题1：AB与AC是否重合?
问题2：本实验的条件与结论如何用文字语言加以叙述?
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简写成“等角对等边”。
也就是说，如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形。一个三角形是等腰三角形的条件，可以用来判定一个三角形是否为等腰三角形。
例1．在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°，判断△ABC是什么三角形，为什么?
问题3：三个角都是60°的三角形是等边三角形吗?你能说明理由吗?
等腰直角三角形：顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形，如图所示。
问题4：你能说出等腰直角三角形各角的大小吗?
问题5：请你画一个等腰直角三角形，使∠C＝90°，CD是底边上的高，数一数图中共有几个等腰直角三角形?
三、练习巩固
练习l、2、3。
四、小结
这节课，，我们学习了一个三角形是等腰三角形的条件：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)，此条件可以做为判断一个三角形是等腰三角形的依据。因此，要牢记并能熟练应用它。
五、作业
1．习题第5题。
