简单的线性规划。
一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，作为教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助授课经验少的教师教学。那么如何写好我们的教案呢？下面是小编为大家整理的“简单的线性规划”，相信能对大家有所帮助。
3.4.4简单的线性规划
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】
利用图解法求得线性规划问题的最优解；
【教学难点】
把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。
【教学过程】
1.课题导入
[复习引入]：
1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）
2、目标函数,线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域,最优解:
2.讲授新课
线性规划在实际中的应用：
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务
下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：
[范例讲解]
例5营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？
指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.
例6在上一节例3中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1600元，高中每人每年可收取学费2700元。那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最高多？
指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一
结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法：
简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
3.随堂练习
课本第103页练习2
4.课时小结
线性规划的两类重要实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数。然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解，最后，要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。
5.评价设计
课本第105页习题3.3[A]组的第3题
【板书设计】
精选阅读
简单的线性规划1
经验告诉我们，成功是留给有准备的人。高中教师要准备好教案，这是高中教师的任务之一。教案可以让学生更好的消化课堂内容，帮助高中教师在教学期间更好的掌握节奏。那么如何写好我们的高中教案呢？小编经过搜集和处理，为您提供简单的线性规划1，供大家参考，希望能帮助到有需要的朋友。
简单的线性规划1教学目标(1)使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域;
(2)了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念;
(3)了解线性规化问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题;
(4)培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力;
(5)结合教学内容,培养学生学习数学的爱好和“用数学”的意识,激励学生勇于创新.
教学建议
一、知识结构
教科书首先通过一个具体问题,介绍了二元一次不等式表示平面区域.再通过一个具体实例,介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法-图解法,并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用.
二、重点、难点分析
本小节的重点是二元一次不等式(组)表示平面的区域.
对学生来说,二元一次不等式(组)表示平面的区域是一个比较生疏、抽象的概念,按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解,因此学习二元一次不等式(组)表示平面的区域分为两个大的层次:
(1)二元一次不等式表示平面区域.首先通过建立新旧知识的联系,自然地给出概念.明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线(画成虚线).其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线.
(2)二元一次不等式组表示平面区域.在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上,画不等式组所表示的平面区域,找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分.这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础.
难点是把实际问题转化为线性规划问题,并给出解答.
对许多学生来说,从抽象到的化归并不比从具体到抽象碰到的问题少,学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题,即不会建模.所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点,并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件,找出约束条件和目标函数,然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键.
对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类:①不能正确理解题意,弄清各元素之间的关系;②不能分清问题的主次关系,因而抓不住问题的本质,无法建立数学模型;③孤立地考虑单个的问题情景,不能多方联想,形成正迁移.针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素,将本课设计为计算机辅助教学,从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前,以利于理解;分析完题后,能够抓住问题的本质特征,从而将实际问题抽象概括为线性规划问题.另外,利用计算机可以较快地帮助学生把握寻找整点最优解的方法.
三、教法建议
(1)对学生来说,二元一次不等式(组)表示平面的区域是一个比较生疏的概念,不象二元一次方程表示直线那样已早有所知,为使学生对这一概念的引进不感到忽然,应建立新旧知识的联系,以便自然地给出概念
(2)建议将本节新课讲授分为五步(思考、尝试、猜想、证实、归纳)来进行,目的是为了分散难点,层层递进,突出重点,只要学生对旧知识把握较好,完全有可能由学生主动去探求新知,得出结论.
(3)要举几个典型例题,非凡是似是而非的例子,对理解二元一次不等式(组)表示的平面区域的含义是十分必要的.
(4)建议通过本节教学着重培养学生把握“数形结合”的数学思想,尽管侧重于用“数”研究“形”,但同时也用“形”去研究“数”,这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的.
(5)对作业、思考题、研究性题的建议:①作业主要练习学生规范的解题步骤和作图能力;②思考题主要供学有余力的学生课后完成;③研究性题综合性较大,主要用于拓宽学生的思维.
(6)若实际问题要求的最优解是整数解,而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解),应作适当的调整,其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据,在直线的四周寻求与此直线距离最近的整点,不要在用图解法所得到的近似解四周寻找.
假如可行域中的整点数目很少,采用逐个试验法也可.
(7)在线性规划的实际问题中,主要把握两种类型:一是给定一定数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大,收到的效益最大;二是给定一项任务问怎样统筹安排,能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.
线性规划教学设计方案(一)
教学目标
使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域.
重点难点
了解二元一次不等式表示平面区域.
教学过程
引入新课
我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集,那么在平面坐标系中,二元一次不等式的解集的意义是什么呢?
二元一次不等式表示的平面区域
1.先分析一个具体的例子
我们知道,在平面直角坐标系中,以二元一次方程的解为坐标的点的集合是经过点(0,1)和(1,0)的一条直线l(如图)那么,以二元一次不等式(即含有两个未知数,且未知数的最高次数都是1的不等式)的解为坐标的点的集合是什么图形呢?
在平面直角坐标系中,所有点被直线l分三类:①在l上;②在l的右上方的平面区域;③在l的左下方的平面区域(如图)取集合A的点(1,1)、(1,2)、(2,2)等,我们发现这些点都在l的右上方的平面区域,而点(0,0)、(-1,-1)等等不属于A,它们满足不等式,这些点却在l的左下方的平面区域.
由此我们猜想,对直线l右上方的任意点成立;对直线l左下方的任意点成立,下面我们证实这个事实.
在直线上任取一点,过点P作垂直于y轴的直线,在此直线上点P右侧的任意一点,都有∴
于是
所以
因为点,是L上的任意点,所以,对于直线右上方的任意点,
都成立
同理,对于直线左下方的任意点,
都成立
所以,在平面直角坐标系中,以二元一次不等式的解为坐标的点的集点.
是直线右上方的平面区域(如图)
类似地,在平面直角坐标系中,以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是直线左下方的平面区域.
2.二元一次不等式和表示平面域.
(1)结论:二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域.
把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线,若画不等式就表示的面区域时,此区域包括边界直线,则把边界直线画成实线.
(2)判定方法:由于对在直线同一侧的所有点,把它的坐标代入,所得的实数的符号都相同,故只需在这条直线的某一侧取一个非凡点,以的正负情况便可判定表示这一直线哪一侧的平面区域,非凡地,当时,常把原点作为此非凡点.
应用举例
例1画出不等式表示的平面区域
解;先画直线(画线虚线)取原点(0,0),代入,
∴∴原点在不等式表示的平面区域内,不等式表示的平面区域如图阴影部分.
例2画出不等式组
表示的平面区域
分析:在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
解:不等式表示直线上及右上方的平面区域,表示直线上及右上方的平面区域,上及左上方的平面区域,所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分.
课堂练习
作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域.
(1)(2)(3)
(4)(5)
总结提炼
1.二元一次不等式表示的平面区域.
2.二元一次不等式表示哪个平面区域的判定方法.
3.二元一次不等式组表示的平面区域.
布置作业
1.不等式表示的区域在的().
A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方
2.不等式表示的平面区域是().
3.不等式组表示的平面区域是().
4.直线右上方的平面区域可用不等式表示.
5.不等式组表示的平面区域内的整点坐标是.
6.画出表示的区域.
答案:
1.B2.D3.B4.5.(-1,-1)
简单线性规划教案
俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，帮助高中教师缓解教学的压力，提高教学质量。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？考虑到您的需要，小编特地编辑了“简单线性规划教案”，相信能对大家有所帮助。
教学设计
3．5.2简单线性规划
整体设计
教学分析
本节内容在教材中有着重要的地位与作用．线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益．它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题．中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法．通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力．
把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是本节的重点也是难点．对许多学生来说，解数学应用题的最常见的困难是不会将实际问题转化成数学问题，即不会建模，所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点．对学生而言，解决应用问题的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情境，不能多方面联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本节设计为计算机辅助教学，充分利用现代化教学工具，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解．
实际教学中注意以下几个问题：①用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键．可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件，并就题目所述找到目标函数．②可行域就是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．③如果可行域是一个凸多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大值或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点．到底哪个顶点为最优解，可有两种确定方法：一是将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是；另一种方法可利用围成可行域的直线的斜率来判断．④若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解)，应作适当的调整．其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找．如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也是很有效的办法．⑤在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．
如果条件允许，可将本节的思考与讨论融入课堂．
三维目标
1．使学生了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．
2．通过本节内容的学习，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．
3．通过本节学习，理解线性规划求最优解的原理，明确线性规划在现实生活中的意义．
重点难点
教学重点：求线性目标函数的最值问题，培养学生“用数学”的意识，理解线性规划最优解的原理．
教学难点：把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答．
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.(问题引入)由身边的线性规划问题导入课题，同时阐明其重要意义．如6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元．而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元．如果想买2枝玫瑰与3枝康乃馨，那么价格比较结果是怎样的呢？可由学生列出不等关系，并画出平面区域．由此导入新课．
思路2.(章头问题引入)在生产与营销活动中，我们常常需要考虑：怎样利用现在的资源取得最大的收益，或者怎样以最少的资源投入去完成一项给定的任务．我们把这一类问题称为“最优化”问题．线性规划知识恰是解决这类问题的得力工具．由此展开新课．
推进新课
新知探究
提出问题
1回忆二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法.
2怎样从实际问题中抽象出不等式组，并画出所确定的平面区域？
3阅读教材，明确什么是目标函数，线性目标函数，约束条件，线性约束条件，线性规划问题，最优解，可行域.,4你能给出解决线性规划问题的一般步骤吗？
活动：教师引导学生回顾二元一次不等式表示平面区域常用的方法是：直线定界、原点定域，即先画出对应直线，再将原点坐标代入直线方程中，看其值比零大还是比零小；不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，是它们平面区域的公共部分．
教师引导学生探究教材本节开头的问题．根据上节所学，学生很容易设出计划生产甲种产品x工时，生产乙种产品y工时，且很容易地列出获得利润总额为f＝30x＋40y，①
及x，y满足的条件
3x＋2y≤1200，x＋2y≤800，x≥0，y≥0.②
教师引导学生画出上述不等式组表示的区域，如下图．
结合图形，教师与学生一起探究，原问题就是在x，y满足②的情况下，求f的最大值．也就是在图中阴影部分内找一点，把它的坐标代入式子30x＋40y时，使该式值最大．若令30x＋40y＝0，则此方程表示通过原点的一条直线，记为l0，则在区域OABC内有30x＋40y≥0.设这个区域内任意一点P(x，y)到l0的距离为d，则d＝|30x＋40y|302＋402＝30x＋40y302＋402，即30x＋40y＝302＋402d.
由此可发现，点P(x，y)到直线l0的距离d越大，式子30x＋40y的值就越大．这样问题又转化为：在区域OABC内，找与直线l0距离最大的点．观察图象易发现，平移直线l0，最后经过的点为B，易知区域OABC内的点B即为所求．
解方程组3x＋2y＝1200，x＋2y＝800，得B(200,300)，代入式子①，得fmax＝30×200＋40×300＝18000.
即问题中，用200工时生产甲种产品，用300工时生产乙种产品，能获得最大利润18000元．
进一步探究上述问题，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．z＝2x＋y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数．由于z＝2x＋y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数．线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．[
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z＝2x＋y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题．满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解，接着让学生说出上述问题中的目标函数，约束条件，可行域，最优解分别是什么．
根据以上探究，我们可以得出用图解法解决线性规划问题的一般步骤：
(1)分析并将已知数据列出表格；
(2)确定线性约束条件；
(3)确定线性目标函数；
(4)画出可行域；
(5)利用线性目标函数求出最优解．在可行域内平行移动目标函数，从图中能判定问题有唯一最优解，或者是无穷最优解，或是无最优解；
(6)实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．
讨论结果：
(1)～(4)略．
应用示例
例1已知x、y满足不等式x＋2y≥2，2x＋y≥1，x≥0，y≥0，求z＝3x＋y的最小值．
活动：可先找出可行域，平行移动直线l0：3x＋y＝0找出可行解，进而求出目标函数的最小值．
解：不等式x＋2y≥2表示直线x＋2y＝2上及其右上方的点的集合；
不等式2x＋y≥1表示直线2x＋y＝1上及其右上方的点的集合．
可行域如图所示．
作直线l0：3x＋y＝0，作一组与直线l0平行的直线l：3x＋y＝t(t∈R)．
∵x、y是上面不等式组表示的区域内的点的横纵坐标，
由图可知，当直线l：3x＋y＝z通过点P(0,1)时，z取到最小值1，即zmin＝1.
点评：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的．
(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；
(2)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；
(3)在可行域内求目标函数的最优解.
变式训练
若变量x，y满足2x＋y≤40，x＋2y≤50，x≥0，y≥0，则z＝3x＋2y的最大值是________．
答案：70
解析：由不等式组2x＋y≤40，?x＋2y≤50，?x≥0，?y≥0画出可行域如下图．
结合图形，
由2x＋y＝40，x＋2y＝50x＝10，y＝20，
于是zmax＝3×10＋2×20＝70.
例2(教材本小节例2)
活动：教材此例的数据以表格的形式给出．这样可使量与量之间的关系一目了然，非常有助于我们顺利地找出约束条件和目标函数，特别是对于那些量比较多的问题．本例难度不大，可由学生自己完成，教师给予适当点拨．
点评：完成此例后，可让学生对应用线性规划解决实际问题作一简单归纳．对较好的学生，教师可结合思考与讨论进行归纳.
变式训练
某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、五合板2m2；生产每个书橱需要方木料0.2m3、五合板1m2.出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使所得利润最大？
解：(1)设只生产书桌x张，可获得利润z元，
则0.1x≤90，2x≤600x≤900，x≤300x≤300.
z＝80x，∴当x＝300时，zmax＝80×300＝24000(元)，
即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元．
(2)设只生产书橱y张，可获利润z元，
则0.2y≤90，y≤600y≤450，y≤600y≤450.
z＝120y，∴当y＝450时，zmax＝120×450＝54000(元)，
即如果只安排生产书橱，最多可生产450个，获得利润54000元．
(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元．
则0.1x＋0.2y≤90，2x＋y≤600，x≥0，y≥0x＋2y≤900，2x＋y≤600，x≥0，y≥0，
z＝80x＋120y，可行域如图．
由图可知：当直线y＝－23x＋z120经过可行域上的点M时，截距z120最大，即z最大，解方程组x＋2y＝900，?2x＋y＝600，得M的坐标为(100,400)．
∴zmax＝80x＋120y＝80×100＋120×400＝56000(元)．
因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大，最大利润为56000元.
例3某工厂生产甲、乙两种产品．已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t．每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不超过360t，甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1t)，能使利润总额达到最大？
活动：将已知数据列成下表，然后按线性规划解决实际问题的步骤完成，本例可由学生自己完成．
解：设生产甲、乙两种产品分别为xt、yt，利润总额为z元，
那么10x＋4y≤300，5x＋4y≤200，4x＋9y≤360，x≥0，y≥0；
目标函数为z＝600x＋1000y.
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域如图．
作直线l：600x＋1000y＝0，即直线l：3x＋5y＝0.
把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z＝600x＋1000y取最大值．
解方程组5x＋4y＝200，4x＋9y＝360，得x＝36029≈12.4，y＝100029≈34.4.∴M的坐标为(12.4,34.4)．
答：应生产甲产品约12.4t，乙产品34.4t，能使利润总额达到最大．
知能训练
1．设变量x，y满足约束条件：y≥x，x＋2y≤2，x≥－2，则z＝x－3y的最小值为()
A．－2B．－4C．－6D．－8
2．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？
答案：
1．D解析：在坐标平面内画出不等式组y≥x，x＋2y≤2，x≥－2所表示的平面区域，作出直线x－3y＝0，平移该直线，并结合图形(图略)知点(－2,2)为最优解．所以目标函数的最小值为zmin＝－2－3×2＝－8，故选D.
2．活动：将已知数据列成下表：
原料/10g蛋白质/单位铁质/单位
甲510
乙74
费用32
设甲、乙两种原料分别用10xg和10yg，则需要的费用为z＝3x＋2y；病人每餐至少需要35单位蛋白质，可表示为5x＋7y≥35；同理，对铁质的要求可以表示为10x＋4y≥40，这样，问题成为在约束条件5x＋7y≥35，10x＋4y≥40，x≥0，y≥0下，求目标函数z＝3x＋2y的最小值．
解：设甲、乙两种原料分别用10xg和10yg，总费用为z，那么5x＋7y≥35，10x＋4y≥40，x≥0，y≥0；
目标函数为z＝3x＋2y，
作出可行域如图．
把z＝3x＋2y变形为y＝－32x＋z2，得到斜率为－32，在y轴上的截距为z2，随z变化的一组平行直线．
由图可知，当直线y＝－32x＋z2经过可行域上的点A时，截距z2最小，即z最小．
由10x＋4y＝40，5x＋7y＝35，得A(145，3)，∴zmin＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲种原料使用145×10＝28(g)，乙种原料使用3×10＝30(g)时，费用最省．
课堂小结
1．让学生自己归纳整合本节所学的知识方法及用线性规划解决实际问题的方法步骤，自己在本节中的最大收获有哪些？
2．教师强调，通过本节学习，需掌握如何用线性规划解决实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解．最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解．
作业
习题3—5A组3、4、5；习题3—5B组3.
设计感想
1．本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力．本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的典型教材，也是培养学生观察、作图能力的典型教材．
2．通过实例给出解题步骤，让其更深入了解并掌握新知．这里强调的还有作图的规范问题，这是学生容易忽视的，但这又是本节课很重要的一部分．
3．关于难度把握问题，依据《课程标准》及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题，以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次．但这个了解不同于其他的了解，应注意让学生切实学会从实际问题抽象出约束条件及目标函数，并注意规范书写解答步骤．
(设计者：郑吉星)
第2课时
导入新课
思路1.(直接导入)上一节课我们探究了用线性规划解决实际问题的一种类型，这节课我们进一步探究有关线性规划的一些问题，看看用线性规划还能解决哪些实际问题．教师出示多媒体课件，提出问题，由此引入新课．
思路2.(问题导入)关于线性规划的整点问题是个难点，我们是用平移直线的办法来解决的，需要画图精确，令学生很头痛．下面我们探究调整最优值法来确定最优整数解的方法．教师用多媒体出示以下问题：
某人有楼房一座，室内面积共有180平方米，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18平方米，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元，小房间每间面积15平方米，可住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？
学生很容易设隔出大房间x间，小房间y间时收益为z元，则x，y满足
18x＋15y≤180，1000x＋600y≤8000，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N.
作出可行域(出示多媒体课件)，作直线l：200x＋150y＝0，即l：4x＋3y＝0，把直线l向右上方平移，直线经过可行域上的点B时，与原点距离最大，此时z＝200x＋150y取得最大值，解方程组6x＋5y＝60，5x＋3y＝40，得点B的坐标为(207，607)，由于B的坐标不是整数，而最优解(x，y)中，x、y必须都是整数，所以可行域内的点B不是最优解．
以下教师与学生共同探究调整最优值法来确定最优整点的方法：
将B点坐标代入4x＋3y＝z，得z＝3717，所以令4x＋3y＝37.
所以y＝37－4x3，x＝37－3y4，代入约束条件得y＝9，x无解；
再令4x＋3y＝36，所以y＝36－4x3，x＝36－3y4，代入约束条件得7≤y≤12,0≤x≤4.
又因为4x＋3y＝36，所以得最优解为(0,12)和(3,8)，此时z的最大值是36，最大利润是1800元．
用图解法解决时，容易丢一组解，而选择调整最优值法，即可避免丢解问题，只是需要一定的不等式及不定方程的知识．鼓励学生课外进一步探究其他方法．
推进新课
新知探究
提出问题
1回忆上节课我们利用线性规划解决实际问题的方法、步骤、格式，解题时应注意哪些问题？
2前面我们解决了可行域中整点问题，明确了求可行域中最优解问题，请思考最优解的个数有可能为无数个吗？
活动：教师与学生一起回忆上节课利用线性规划解决实际问题时应注意：①在寻求约束条件时，要注意挖掘隐含条件；②在确定最优解时，首先要赋予因变量的几何意义，然后利用图形的直观来确定最优解；③在确定最优解时，用直线的斜率来定位．
关于可行域中的整点求法，是以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点．如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也是很有效的办法．下面我们进一步探究最优解问题以及用线性规划解决的另一类实际问题．
讨论结果：(1)略．
(2)求最优解，若没有特殊要求，一般为边界交点．但取得最值的最优解可能有无穷多个．若通过图形观察不易分辨时，可把边界交点代入验证．
应用示例
例1某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？
活动：这是高考中继江苏卷线性规划大题后第二个线性规划大题，教师引导学生按前面的方法列出表格，则各量之间的关系即一目了然．本题难度不大，可由学生自己解决．列表如下：
甲乙合计
时间x分钟y分钟300
收费500元/分钟200元/分钟9万元
解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元．
由题意得x＋y≤300，500x＋200y≤90000，x≥0，y≥0.目标函数为z＝3000x＋2000y.
二元一次不等式组等价于x＋y≤300，5x＋2y≤900，x≥0，y≥0.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图．
作直线l：3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0.
平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．
联立x＋y＝300，5x＋2y＝900，解得x＝100，y＝200.∴点M的坐标为(100,200)．
∴zmax＝3000x＋2000y＝700000(元)．
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
例2(教材本小节例3)
活动：本例是整数线性规划问题．整数线性规划问题的可行域是由满足不等式的整点组成的集合，所求的最优解必须是整数解．我们知道，最优解一般都为边界的交点，若这个交点不是整数，则需要平移直线找到附近的最优解．本例可由教师与学生共同完成．
点评：找整数最优解是个难点，要求画图精确，要使学生明白如何找整数最优解的原理.
变式训练
某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y必须满足约束条件5x－11y≥－22，2x＋3y≥9，2x≤11，则z＝10x＋10y的最大值是()
A．80B．85C．90D．95
答案：C
解析：画出约束条件表示的平面区域，如图所示．
由x＝112，5x－11y＝－22，
解得A(112，92)．
而由题意知x和y必须是正整数，直线y＝－x＋z10平移经过的整点为(5,4)时，z＝10x＋10y取得最大值90.
例3某人承揽一项业务，需做文字标牌2个，绘画标牌3个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？
解：设用甲种规格原料x张，乙种规格原料y张，则可做文字标牌x＋2y个，绘画标牌2x＋y个，
由题意可得x＋2y≥2，2x＋y≥3，x≥0，y≥0.
所用原料的总面积为z＝3x＋2y，作出可行域，如图阴影所示．作直线l0：3x＋2y＝0，作一组与直线l0平行的直线l：3x＋2y＝t(t∈R)，当直线l通过2x＋y＝3与直线x＋2y＝2的交点A(43，13)时，t取得最小值为133.
因为43，13都不是整数，而最优解(x，y)中，x、y必须都是整数，所以可行域内点(43，13)不是最优解．经过可行域内整点，点B(1,1)满足3x＋2y＝5，使t最小．
所以最优解为B(1,1)，即用甲种规格原料1张，乙种规格原料1张，可使所用原料总面积最小为5m2.
知能训练
1．设变量x，y满足约束条件x－y≥0，x＋y≤1，x＋2y≥1，则目标函数z＝5x＋y的最大值为()
A．2B．3C．4D．5
2．设x、y满足约束条件x－4y≤－3，3x＋5y≤25，x≥1，分别求下列各式的最大值、最小值：
(1)z＝6x＋10y；
(2)z＝2x－y；
(3)z＝2x－y(x，y均为整数)．
答案：
1．D解析：如图，由可行域知目标函数z＝5x＋y过点A(1,0)时z取得最大值，zmax＝5.
2．解：(1)先作出可行域，如下图所示的△ABC的区域，且求得A(5,2)、B(1,1)、C(1，225)．
作出直线l0：6x＋10y＝0，再将直线l0平移，
当l0的平行线l1过B点时，可使z＝6x＋10y达到最小值；
当l0的平行线l2过A点时，可使z＝6x＋10y达到最大值．
∴zmin＝6×1＋10×1＝16；zmax＝6×5＋10×2＝50.
(2)同上，作出直线l0：2x－y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过C点时，
可使z＝2x－y达到最小值；
当l0的平行线l2过A点时，可使z＝2x－y达到最大值．∴zmax＝8，zmin＝－125.
(3)同上，作出直线l0：2x－y＝0，再将直线l0平移，
当l0的平行线l2过A点时，可使z＝2x－y达到最大值，∴zmax＝8.
当l0的平行线l1过C点时，可使z＝2x－y达到最小值，
但由于225不是整数，而最优解(x，y)中，x、y必须都是整数，
∴可行域内的点C(1，225)不是最优解．
当l0的平行线经过可行域内的整点(1,4)时，可使z＝2x－y达到最小值．
∴zmin＝2×1－4＝－2.
课堂小结
1．我们用线性规划解决了哪些实际问题？
2．教师点拨学生：你能用精练的几个字来说明利用线性规划解决实际问题的方法与步骤吗？
(1)找：找出实际问题中的约束条件及目标函数；(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域；(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；(4)求：通过解方程组求出最优解；(5)答：作出答案．即可用5个字来概括：找、画、移、求、答．
作业
一、习题3—5A组6；习题3—5B组4、5.
二、阅读本章小结
设计感想
1．本课时设计注重学生的操作练习．通过学生积极参与，动手操作，培养创造性思维、增强创新意识，使认知在练习中加深，兴趣在练习中勃发，情感在练习中陶冶，质量在练习中提高，目标在练习中实现．
2．本课时注重了学生的能力训练．通过本节的学习，向学生渗透数形结合的思想，深化对知识的理解和掌握，体验发现的快乐，增强创新意识，培养学生应用数学的意识．
3．本课时设计强化使用现代化教学手段．充分发挥多媒体教学的优势，利用计算机作为辅助工具，更清楚地展示区域问题，有利于发现区域问题的异同点，将信息技术和数学课件有机地结合起来，有利于突出重点，突破难点，有利于教学目标的实现．
备课资料
一、备选例题
【例1】某糖果厂生产A、B两种糖果，A种糖果每箱获利润40元，B种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间：(单位：分钟)
混合烹调包装
A153
B241
每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12小时，烹调的设备至多能用30小时，包装的设备至多能用15小时，试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？
活动：找约束条件，建立目标函数．
解：设生产A种糖果x箱，B种糖果y箱，可获得利润z元，则此问题的约束条件x＋2y≤720，5x＋4y≤1800，3x＋y≤900，x≥0，y≥0下，求目标函数z＝40x＋50y的最大值，作出可行域如图，其边界OA：y＝0，AB：3x＋y－900＝0，BC：5x＋4y－1800＝0，CD：x＋2y－720＝0，DO：x＝0.
由z＝40x＋50y，得y＝－45x＋z50，它表示斜率为－45，截距为z50的平行直线系，z50越大，z越大，从而可知过C点时截距最大，z取得了最大值．
解方程组x＋2y＝7205x＋4y＝1800C(120,300)．
∴zmax＝40×120＋50×300＝19800，即生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱，可得最大利润19800元．
点评：由于生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为120＋2×300＝720(分)，烹调时间5×120＋4×300＝1800(分)，包装时间3×120＋300＝660(分)，这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有240分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松弛”部分，有待于改进研究．
【例2】要将甲、乙两种大小不同的钢板截成A、B两种规格，每张钢板可同时截得A、B两种规格的小钢板的块数如下表所示：
已知库房中现有甲、乙两种钢板的数量分别为5张和10张，市场急需A、B两种规格的成品数分别为15块和27块．
(1)问各截这两种钢板多少张可得到所需的成品数，且使所用的钢板张数最少？
(2)若某人对线性规划知识了解不多，而在可行域的整点中随意取出一解，求其恰好取到最优解的概率．
解：设需截甲、乙两种钢板的张数分别为x、y，则2x＋y≥15，x＋3y≥27，0≤x≤5，0≤y≤10，
作出可行域如图．
(1)因为目标函数为z＝x＋y(x、y为整数)，所以在一组平行直线x＋y＝t(t为参数)中，经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝12，其经过的整点是(3,9)和(4,8)，它们都是最优解．
(2)因为可行域内的整点个数为8，而最优解有两个，所以所求的概率为p＝28＝0.25.
答：两种钢板的张数分别为3、9或4、8，概率为0.25.
二、利润的线性预测
问题：某企业1999年的利润为5万元，2000年的利润为7万元，2001年的利润为8万元．请你根据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程，从而预测2003年企业的利润，请问你帮该企业预测的利润是多少万元？
解：建立平面直角坐标系，1999年的利润为5万元，对应的点为A(0,5)，2000年的利润为7万元，2001年的利润为8万元分别对应点B(1,7)和C(2,8)，那么
(1)过A、B两点的直线作为预测直线l1，其方程为y＝2x＋5，这样预测2003年的利润为13万元．
(2)过A、C两点的直线作为预测直线l2，其方程为y＝32x＋5，这样预测2003年的利润为11万元．
(3)过B、C两点的直线作为预测直线l3，其方程为y＝x＋6，这样预测2003年的利润为10万元．
(4)过A及线段BC的中点E(32，152)的直线作为预测直线l4，其方程为y＝53x＋5，这样预测2003年的利润约为11.667万元．
(5)过A及△ABC的重心F(1，203)(注：203为3年的年平均利润)的直线作为预测直线l5，其方程为y＝53x＋5，这样预测2003年的利润为11.667万元．
(6)过C及△ABC的重心F(1，203)(注：203为3年的年平均利润)的直线作为预测直线l6，其方程为y＝43x＋163，这样预测2003年的利润为10.667万元．
(7)过A及以线段BC的斜率kBC＝1作为预测直线斜率，则预测直线l7的方程为y＝x＋5，这样预测2003年的利润为9万元．
(8)过B及以线段AC的斜率kAC＝32作为预测直线斜率，则预测直线l8的方程为y＝32x＋112，这样预测2003年的利润为11.5万元．
(9)过C及以线段AB的斜率kAB＝2作为预测直线斜率，则预测直线l9的方程为y＝2x＋4，这样预测2003年的利润为12万元．
(10)过A及以线段AB的斜率kAB与线段AC的斜率kAC的平均数作为预测直线斜率，则预测直线l10的方程为y＝74x＋5，这样预测2003年的利润为12万元．
还有其他方案，在此不一一列举．
点评：(1)读完以上的各种预测方案后，请你先思考两个问题：
①第(5)种方案与第(4)种方案的结果完全一致，这是为什么？
②第(7)种方案中，kBC的现实意义是什么？
(2)本题可从以下两个方面进一步拓展，其一是根据以上的基本解题思路，提出新的方案，如方案(6)过△ABC的重心F(1，203)，找出以m为斜率的直线中与A、C两点距离的平方和最小的直线作为预测直线；其二是根据以上结论及你自己的答案估计利润的范围，你预测的利润频率出现最多的是哪一个值？你认为将你预测的结论作怎样的处理，使之得到的利润预测更有效？如果不要求用线性预测，你能得出什么结果？
简单的线性规划及实际应用
学生们有一个生动有趣的课堂，离不开老师辛苦准备的教案，大家开始动笔写自己的教案课件了。用心制定好教案课件的工作计划，才能更好地安排接下来的工作！你们会写教案课件的范文吗？请您阅读小编辑为您编辑整理的《简单的线性规划及实际应用》，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。
题目第七章直线和圆的方程简单的线性规划及实际应用
高考要求
1了解二元一次不等式表示平面区域
2了解线性规划的意义并会简单的应用
知识点归纳
1二元一次不等式表示平面区域:
在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（x0，y0）
B＞0时，①Ax0+By0+C＞0，则点P（x0，y0）在直线的上方；②Ax0+By0+C＜0，则点P（x0，y0）在直线的下方
对于任意的二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0），无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数
当B＞0时，①Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0上方的区域；②Ax+By+C＜0表示直线Ax+By+C=0下方的区域
2线性规划:
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题
满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题
线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：
（1）根据题意，设出变量x、y；
（2）找出线性约束条件；
（3）确定线性目标函数z=f（x，y）；
（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；
（5）利用线性目标函数作平行直线系f（x，y）=t（t为参数）；
（6）观察图形，找到直线f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案
题型讲解
例1求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积
分析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积
解：｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为
或或或
其平面区域如图
∴面积S=×4×4=8
点评：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界
例2某人上午7时，乘摩托艇以匀速vnmile/h（4≤v≤20）从A港出发到距50nmile的B港去，然后乘汽车以匀速wkm/h（30≤w≤100）自B港向距300km的C市驶去应该在同一天下午4至9点到达C市设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是xh、yh
（1）作图表示满足上述条件的x、y范围；
（2）如果已知所需的经费p=100+3×（5－x）+2×（8－y）（元），
那么v、w分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?
分析：由p=100+3×（5－x）+2×（8－y）可知影响花费的是3x+2y的取值范围
解：（1）依题意得v=，w=，4≤v≤20，30≤w≤100
∴3≤x≤10，≤y≤①
由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在9至14个小时之间，
即9≤x+y≤14②
因此，满足①②的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）
（2）∵p=100+3（5－x）+2（8－y），
∴3x+2y=131－p
设131－p=k，那么当k最大时，p最小在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为－的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点（10，4），即当x=10，y=4时，p最小
此时，v=125，w=30，p的最小值为93元
点评：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式然后分析要求量的几何意义
例3某矿山车队有4辆载重量为10t的甲型卡车和7辆载重量为6t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?
分析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解
解：设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么
z=252x+160y，
作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图
作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求
此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，zmin=252×2+160×5=1304
答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低
点评：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点
例4设，式中变量满足条件
求的最大值和最小值
解：由已知，变量满足的每个不等式都表示一个平面区域，因此①所表示的区域为如图中的四边形ABCD
当过点C时，取最小值，当过点A时，取最大值
即当时，，
当时，
例5某糖果公司得一条流水线不论生产与否每天都要支付3000元的固定费用，它生产1千克糖果的成本是10元，而销售价是每千克15元，试问：每天应生产并销售多少糖果，才能使收支平衡，即它的盈亏平衡点是多少？
解：设生产千克的糖果的成本函数为，销售千克的糖果的收益函数为，在同一坐标系中画出它们的图像，交点的横坐标就是反映盈亏平衡的产销量，
令，得，
即每天必须生产并销售600千克糖果，这条流水线才能做到盈亏平衡，从图中可以看出，当时，，表示有盈利，反之则表示亏本
例6某人有楼房一幢，室内面积共180m，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元，小房间每间面积为15，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元，装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他们只能筹8000元用于装修，且游客能住满客房，它应隔出大房间和小房间各多少间，能获最大利益？
解：设应隔出大房间间和小房间间，则
且，
目标函数为，
作出约束条件可行域：
根据目标函数，
作出一组平行线
当此线经过直线
和直线的交点，
此直线方程为，
由于不是整数，所以经过整点（3，8）时，才是他们的最优解，同时经过整点(0,12)也是最优解
即应隔大房间3间，小房间8间，或者隔大房间0间，小房间12间，所获利益最大如果考虑到不同客人的需要，应隔大房间3间，小房间8间
小结：
简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决
图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步一般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域第二是画好线性目标函数对应的平行直线系，特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确通常最优解在可行域的顶点（即边界线的交点）处取得，但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标
学生练习
1下列命题中正确的是
A点（0，0）在区域x+y≥0内B点（0，0）在区域x+y+10内
C点（1，0）在区域y2x内D点（0，1）在区域x－y+10内
解析：将（0，0）代入x+y≥0，成立
答案：A
2设动点坐标（x，y）满足（x－y+1）（x+y－4）≥0，x≥3，则x2+y2的最小值为
ABCD10
解析：数形结合可知当x=3，y=1时，x2+y2的最小值为10
答案：D
3不等式组2x－y+1≥0，x－2y－1≤0，x+y≤1表示的平面区域为
A在第一象限内的一个无界区域B等腰三角形及其内部
C不包含第一象限内的点的一个有界区域D正三角形及其内部
答案：B
4点（－2，t）在直线2x－3y+6=0的上方，则t的取值范围是______
解析：（－2，t）在2x－3y+6=0的上方，则2×（－2）－3t+6＜0，解得t＞答案：t＞
5不等式组表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有____________个
解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个答案：3
6（x－1）2+（y－1）2=1是｜x－1｜+｜y－1｜≤1的__________条件
A充分而不必要B必要而不充分C充分且必要D既不充分也不必要
答案：B
7（x+2y+1）（x－y+4）≤0表示的平面区域为
ABCD
答案：B
8画出以A（3，－1）、B（－1，1）、C（1，3）为顶点的△ABC的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x－2y的最大值和最小值
分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组；③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值
解：如图，连结点A、B、C，则直线AB、BC、CA所围成的区域为所求△ABC区域
直线AB的方程为x+2y－1=0，BC及CA的直线方程分别为x－y+2=0，2x+y－5=0
在△ABC内取一点P（1，1），
分别代入x+2y－1，x－y+2，2x+y－5
得x+2y－10，x－y+20，2x+y－50
因此所求区域的不等式组为
x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0
作平行于直线3x－2y=0的直线系3x－2y=t（t为参数），即平移直线y=x，观察图形可知：当直线y=x－t过A（3，－1）时，纵截距－t最小此时t最大，tmax=3×3－2×（－1）=11；
当直线y=x－t经过点B（－1，1）时，纵截距－t最大，此时t有最小值为tmin=3×（－1）－2×1=－5
因此，函数z=3x－2y在约束条件
x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0下的最大值为11，最小值为－5
9某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价05元，米食每100g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价04元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?
解：设每盒盒饭需要面食x（百克），米食y（百克），
所需费用为S=05x+04y，且x、y满足
6x+3y≥8，4x+7y≥10，x≥0，y≥0，
由图可知，直线y=－x+S过A（，）时，纵截距S最小，即S最小
故每盒盒饭为面食百克，米食百克时既科学又费用最少
10配制A、B两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药需甲料3mg，乙料5mg；配一剂B种药需甲料5mg，乙料4mg今有甲料20mg，乙料25mg，若A、B两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?
解：设A、B两种药分别配x、y剂（x、y∈N），则
x≥1，y≥1，3x+5y≤20，5x+4y≤25
上述不等式组的解集是以直线x=1，y=1，3x+5y=20及5x+4y=25为边界所围成的区域，这个区域内的整点为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2）、（4，1）所以，在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法．
11某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：
资金单位产品所需资金（百元）月资金供应量（百元）
空调机洗衣机
成本3020300
劳动力（工资）510110
单位利润68
试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少?
解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P=6x+8y，由题意有
30x+20y≤300，5x+10y≤110，x≥0，y≥0，x、y均为整数
由图知直线y=－x+P过M（4，9）时，纵截距最大这时P也取最大值Pmax=6×4+8×9=96（百元）
故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元
12实系数方程f（x）=x2+ax+2b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：
（1）的值域；
（2）（a－1）2+（b－2）2的值域；
（3）a+b－3的值域
解：由题意知
f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0b＞0，a+b+1＜0，a+b+2＞0
如图所示A（－3，1）、B（－2，0）、C（－1，0）
又由所要求的量的几何意义知，值域分别为（1）（，1）；（2）（8，17）；（3）（－5，－4）
课前后备注
简单线性规划问题
3.3.2简单线性规划问题
课前预习学案
一、预习目标
1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题
二、预习内容
1.阅读课本引例，回答下列问题
线性规划的有关概念：
①线性约束条件
②线性目标函数：
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解
2．.通过研究引例及例题5、6，你能总结出求线性规划问题的最值或最优解的步骤吗？那些问题较难解决？
课内探究学案
一、学习目标
1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题
二、学习重难点
学习重点：教学重点：用图解法解决简单的线性规划问题
教学难点：准确求得线性规划问题的最优解
三、学习过程
（一）自主学习
大家预习课本P87页，并回答以下几个问题：
问题1.①线性约束条件
②线性目标函数：
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
(二)合作探究，得出解决线性规划问题的一般步骤
（三）典型例题
例1、①求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件
解析：注意可行域的准确画出
②求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
解析：注意可行域的准确性
不等式组所表示的平面区域如图所示：
从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（）的直线所对应的t最大.
所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11.
zmax=3×+5×=14
例2.有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见表．
轮船运输量／
飞机运输量／
粮食
石油
现在要在一天内运输至少粮食和石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机？
答案：解：设需安排艘轮船和架飞机，则
即
目标函数为．
作出可行域，如图所示．
作出在一组平行直线（为参数）中经过可行域内某点且和原点距离最小的直线，此直线经过直线和的交点，直线方程为：．
由于不是整数，而最优解中必须都是整数，所以，可行域内点不是最优解．
经过可行域内的整点（横、纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线经过的整点是，
即为最优解．则至少要安排艘轮船和架飞机．
变式训练.1、求的最大值、最小值，使、满足条件
2、设，式中变量、满足
反馈测评给出下面的线性规划问题：求的最大值和最小值，使，满足约束条件要使题目中目标函数只有最小值而无最大值，请你改造约束条件中一个不等式，那么新的约束条件是．
答案：
三、课堂小结
1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题
四课后练习与提高
某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少支援物资的任务．该公司有辆载重的型卡车与辆载重为的型卡车，有名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为型卡车次，型卡车次；每辆卡车每天往返的成本费型为元，型为元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排型或型卡车，所花的成本费分别是多少？
解：设需型、型卡车分别为辆和辆．列表分析数据．
型车
型车
限量
车辆数
运物吨数
费用
由表可知，满足的线性条件：
，且．
作出线性区域，如图所示，可知当直线过时，最小，但不是整点，继续向上平移直线可知，是最优解．这时（元），即用辆型车，辆型车，成本费最低．
若只用型车，成本费为（元），只用型车，成本费为（元）．
