简单线性规划问题。

俗话说，凡事预则立，不预则废。作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生更好的消化课堂内容，减轻教师们在教学时的教学压力。怎么才能让教案写的更加全面呢？小编特地为大家精心收集和整理了“简单线性规划问题”，欢迎大家与身边的朋友分享吧！

3.3.2简单线性规划问题
课前预习学案
一、预习目标
1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题
二、预习内容
1.阅读课本引例，回答下列问题
线性规划的有关概念：
①线性约束条件
②线性目标函数：
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解

2．.通过研究引例及例题5、6，你能总结出求线性规划问题的最值或最优解的步骤吗？那些问题较难解决？

课内探究学案
一、学习目标
1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题
二、学习重难点
学习重点：教学重点：用图解法解决简单的线性规划问题
教学难点：准确求得线性规划问题的最优解
三、学习过程
（一）自主学习
大家预习课本P87页，并回答以下几个问题：
问题1.①线性约束条件
②线性目标函数：
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：

(二)合作探究，得出解决线性规划问题的一般步骤

（三）典型例题
例1、①求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件
解析：注意可行域的准确画出

②求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
解析：注意可行域的准确性
不等式组所表示的平面区域如图所示：
从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（）的直线所对应的t最大.
所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11.
zmax=3×+5×=14
例2.有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见表．

轮船运输量／
飞机运输量／

粮食

石油

现在要在一天内运输至少粮食和石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机？
答案：解：设需安排艘轮船和架飞机，则
即
目标函数为．
作出可行域，如图所示．
作出在一组平行直线（为参数）中经过可行域内某点且和原点距离最小的直线，此直线经过直线和的交点，直线方程为：．
由于不是整数，而最优解中必须都是整数，所以，可行域内点不是最优解．
经过可行域内的整点（横、纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线经过的整点是，
即为最优解．则至少要安排艘轮船和架飞机．
变式训练.1、求的最大值、最小值，使、满足条件
2、设，式中变量、满足
反馈测评给出下面的线性规划问题：求的最大值和最小值，使，满足约束条件要使题目中目标函数只有最小值而无最大值，请你改造约束条件中一个不等式，那么新的约束条件是．

答案：

三、课堂小结
1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题
四课后练习与提高
某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少支援物资的任务．该公司有辆载重的型卡车与辆载重为的型卡车，有名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为型卡车次，型卡车次；每辆卡车每天往返的成本费型为元，型为元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排型或型卡车，所花的成本费分别是多少？
解：设需型、型卡车分别为辆和辆．列表分析数据．
型车
型车
限量
车辆数

运物吨数

费用

由表可知，满足的线性条件：
，且．
作出线性区域，如图所示，可知当直线过时，最小，但不是整点，继续向上平移直线可知，是最优解．这时（元），即用辆型车，辆型车，成本费最低．
若只用型车，成本费为（元），只用型车，成本费为（元）．

相关知识

简单的线性规划问题

简单的线性规划问题
使用说明1.课前完成语系学案上的问题导学及例题.
2.认真限时完成，规范书写，课堂小组合作探讨，答疑解惑.
学习目标：（1）了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；
（2）能根据条件，建立线性目标函数；
（3）了解线性规划问题的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值
问题导学：
1.对于关于两个变量x,y的不等关系表示成的不等式（组），称为（），如果约束条件中都是关于x,y的一次不等式，称为（）
2.在线性约束条件下，欲达到最大值或最小值所涉及的关于变量x,y的函数解析式=f(x,y),称为（），当f(x,y)是关于x,y的一次解析式时，z=f(x,y)称为（）
3.在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为（），满足线性约束条件的解（x,y）叫做（）由所有可行解组成的集合叫做（），使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的（），使x,y均为整数的最优解叫做（）。
4.解线性规划应用题的一般步骤：
1.设出_________
２.列出_________，确定_________
3.画出_________
4.作目标函数表示的一族平行直线，使其中某条直线与_________有交点，
5.判断_________求出目标函数的_________，并回到原问题中作答。.
典型例题：
例1.（1）求z=2x+y的最大值，使x、y满足约束条件

（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使x、y满足约束条件

例2.某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，，生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（按每天8h计算）

基础测评：
一.选择题.
1.若x0,y0,且x+y1,则z=x+y的最大值为()
A－1B1
C2D－2
2.目标函数z=2x-y,将其看成直线方程时，z的意义是（）
A,该直线的截距
B.该直线的纵截距
C.该直线的纵截距的相反数
D.该直线的横截距
3.不等式组x–y+5≥0x+y≥0x≤3表示的平面区域的面积等于（）
A、32B、1214C、1154D、632

4.有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为（）
A,Z=6x+4yBz=5x+4y
Cz=x+yDz=4x+5y
5.．如图，表示的平面区域是（）
6.给出平面区域如图7-28所示，其中A（5，3），B（1，1），C（1，5），若使目标函数z=ax+y(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是（）
A．B．C．2D．
二填空题
7．z=3x+2y，x、y满足，在直线x=3上找出三个整点可行解为__________。
8．给出下面的线性规划问题：求z=3x+5y的最大值和最小值，使x、y满足约束条件，欲使目标函数z只有最小值而无最大值，请你设计一种改变约束条件的办法（仍由三个不等式构成，且只能改变其中一个不等式），那么结果是__________。

9.已知变量x,y满足条件x-4y-3
3x+5y25
x1
，设z=2x+y,取点（3，2）可求得z=8;取点（5，2）可求得=12;取点（1，1）可求得=3；取点（0，0）可求得z=0，点（3，2）叫做__________。
，点（0，0）叫做__________。点（5，2）和点（1，1）均叫做_________。
三解答题；
10.已知x、y满足不等式组，求z=3x+y的最小值。

11.已知点（x,y）满足不等式组,求在这些点中,
①使目标函数k＝6x+8y取得最大值的点P的坐标；
②使目标函数k＝8x+6y取得最大值的点P的坐标.

12.下表给出X、Y、Z三种食品的维生素含量及其成本

XYZ
维生素A/单位/千克400500300
维生素B/单位/千克700100300
成本/（元/千克）643

现欲将三种食物混合成100千克的混合食品，要求至少含35000单位维生素A，40000单位维生素B，采用何种配比成本最小？

高三数学《简单线性规划问题》学案人教A版

高三数学《简单线性规划问题》学案人教A版

一、教学内容解析
线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，是辅助人们进行科学管理的数学方法，为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出最优决策.
本节的教学重点是线性规划问题的图解法.数形结合和化归思想是研究线性约束条件下求线性目标函数的最值问题的数学理论和方法,本节教学内容中蕴含了丰富的属性结合素材，具体表现为:(1)不定方程的解与平面内点的坐标的结合，进而产生了直线的方程.(2)线性目标函数解析式与直线的斜截式方程的结合.(3)线性目标函数的函数值与直线的纵截距的结合.(4)二元一次不等式(组)与为平面内点的坐标的结合.(5)线性目标函数在线性约束条件下的最值与直线过可行域内的点时纵截距的最值的结合.这样就能使学生对数形结合思想的理解和应用更透彻,为以后解析几何的学习和研究奠定了基础,使学生从更深层次地理解“以形助数”的作用。
二、教学目标设置
(1)知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域;了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;理解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题;
(2)过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力;在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力。
(3)情态、态度与价值观：让学生体会数学源于生活，服务于生活;体会数学活动充满着探索与创造，培养学生动手操作、勇于探索的精神。
教学重点:求线性规划问题的最优解
教学难点:学生对为什么要将求目标函数的最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题以及如何想到这样转化存在疑惑，在教学中应紧扣实际，突出知识的形成发展过程。
三、学生学情分析
本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化成数学问题。从数学知识上看，问题涉及多个已知数据，多个字母变量、多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。
四、教学策略分析
本课以问题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，激发学生动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，“从具体到一般”的抽象过程。应用“数形结合”的思想方法，培养学生学会分析问题，解决问题的能力。
五、教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
一、回顾旧知
请同学们作出不等式组所表示的平面区域
请一位学生上黑板，按要求规范作图，老师巡视不仅起到温故的作用，同时为后引例中的可行域服务
二、提出问题激发热情
创设情境：
李咏主持的《非常6+1》是大家很喜欢的娱乐节目。为了提高更多收视率，央视准备为宣传《非常6+1》播放两套宣传片：其中宣传片甲播放时间为4分，其中广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播放时间为2分钟，其中广告时间为1分钟，收视观众为10万。广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间，电视台每周应播放两套宣传片各多少次，才能使收视观众最多?
问题1：如何将生活问题转化为数学问题?
问题2：应设什么为变量？它们要满足什么关系？
问题3：转化为解决什么样的数学问题？
师：现在问题转化为已知x,y满足关系中
，求z=6x+y最值问题。
师:我们先来学习几个有关概念。
问题4：已知x,y满足条件
，求z=6x+y最值问题。
问题5：求最值有什么方法?
生：函数法、几何法
师：能否将双变量转化为单变量。
生：不能。没有x，y的等量关系。
师：那么能否从x,y满足的图形入手呢?
生：可以，x,y是平面区域上有限个点，可以将坐标代入求z值。
师：通过已经设置好的表格，完成最优解。
教师引导学生得出：设甲宣传片x次，乙宣传片y次，满足
即
(1)
设收视观众人数为z(万人)，建立目标函数：
Z=6x+y,其中x,y满足不等式组(1)
教师介绍线性规划的有关概念，并启发学生思考如何解决最值问题，同时学生不断进行尝试。
问题情景使学生感到数学是自然的、有用的。
让学生经历实际问题抽象为数学问题的整个模型建立过程，体会数学源于生活，又服务于生活。
通过问题串将难点分解，同时将思维层层递进。
利用信息技术得到图解的特殊法—代点计算。
三、实验操作深入探究
问题6：这种方法有什么局限性?
生：它只能解决x,y有限个点的问题。
问题7：若将约束条件改成
，求z=6x+y最值问题，我们应该如何解决?(学生思考)
问题8：你能从几何角度来研究z=6x+y吗?它对应图形是什么?
问题9：z的最值问题可以转化为求与直线有关的什么问题?
转化为：直线y=-6x+z在区域中变化时纵截距的最值问题。
师：几何画板动态演示，学生观察z值变化与截距关系。
问题10：纵截距的最大值是否一定是z的最大值

生：是（不是）
师：到底是不是，我们一起来研究下。(学生操作几何画板，演示)提示：如果我们变换目标函数，那z值与纵截距的关系有什么变化。
问题11：通过演示你有什么发现?
问题12：z=ax+by，z与截距关系主要由哪个字母决定。
结论1：最优解通常在交点处取得。
2：z的最值问题可以转化为直线在y轴的截距问题。
将有限点上升到区域问题，体现特殊到一般的思想。
通过学生实验，老师几何画板的演示，以及师生不断探究归纳出Z最值问题可转化为直线纵截距的最值问题。
学生思维的最近发现区是上节的相关知识，教师有目的引导学生直观感知，操作确认，这样引导出教科书给出的数形结合的合理性。
四、例题展示规范答题
1.回归引例：
例1已知x，y满足条件
，求Z=6x+y的最大值。
变式1.已知x，y满足条件
，求Z=6x-2y的最值。
小结：形如：Z=ax+by(b
0)的最值，即直线
在平面区域内有公共解时，纵截距的最值。
备用题：
1.错在哪儿?
变式2.已知x，y满足条件
，设z=ax+y(a0)，在(3,2)取最大值求a取值范围。
变式3.(备用)已知x，y满足条件
，设z=ax+y(a0)，若Z取得最大值时对应点有无数个，求a的值。
教师规范解题过程：解线性规划问题的步骤：画、移、求、答。
通过学生对变式1的练习教师的讲解，引导学生思考Z的最值与直线纵截距之间的关系。
教师展示变式训练1中的错误的解法，让学生发现错误。
备用题将学生的思维从动态的角度体会目标函数。
利用信息技术突破难点，得到引例的最终结论，这是本节课的中心所在。
通过例题的不断深入让学生进一步体会x、y的约束条件，以及几何法求最值的特点。
五、课堂小结、布置作业
(一)课堂小结：
以提问形式给出小结：
1、解线性规划问题的一般步骤是什么?
(画—移—求—答)
2、目标函数z的最值问题可转化为直线在y轴上的截距的最值问题。
（二）作业布置：
1、书面作业：书P91练习1、2
2、课外拓展:上网查阅有关线性规划的资料，了解它的实际应用。
学生自己思考，小结可写在自己的笔记本上，也可以口头交流，教师可引导学生进行小结

简单的线性规划

一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，作为教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助授课经验少的教师教学。那么如何写好我们的教案呢？下面是小编为大家整理的“简单的线性规划”，相信能对大家有所帮助。

3.4.4简单的线性规划
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】
利用图解法求得线性规划问题的最优解；
【教学难点】
把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。
【教学过程】
1.课题导入
[复习引入]：
1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）
2、目标函数,线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域,最优解:
2.讲授新课
线性规划在实际中的应用：
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务
下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：
[范例讲解]
例5营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？

指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.
例6在上一节例3中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1600元，高中每人每年可收取学费2700元。那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最高多？

指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一

结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法：
简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
3.随堂练习
课本第103页练习2

4.课时小结
线性规划的两类重要实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数。然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解，最后，要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。
5.评价设计
课本第105页习题3.3[A]组的第3题
【板书设计】

简单的线性规划1

经验告诉我们，成功是留给有准备的人。高中教师要准备好教案，这是高中教师的任务之一。教案可以让学生更好的消化课堂内容，帮助高中教师在教学期间更好的掌握节奏。那么如何写好我们的高中教案呢？小编经过搜集和处理，为您提供简单的线性规划1，供大家参考，希望能帮助到有需要的朋友。

简单的线性规划1教学目标
(1)使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域;
(2)了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念;
(3)了解线性规化问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题;
(4)培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力;
(5)结合教学内容,培养学生学习数学的爱好和“用数学”的意识,激励学生勇于创新.
教学建议
一、知识结构
教科书首先通过一个具体问题,介绍了二元一次不等式表示平面区域.再通过一个具体实例,介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法-图解法,并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用.
二、重点、难点分析
本小节的重点是二元一次不等式(组)表示平面的区域.
对学生来说,二元一次不等式(组)表示平面的区域是一个比较生疏、抽象的概念,按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解,因此学习二元一次不等式(组)表示平面的区域分为两个大的层次:
(1)二元一次不等式表示平面区域.首先通过建立新旧知识的联系,自然地给出概念.明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线(画成虚线).其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线.
(2)二元一次不等式组表示平面区域.在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上,画不等式组所表示的平面区域,找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分.这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础.
难点是把实际问题转化为线性规划问题,并给出解答.
对许多学生来说,从抽象到的化归并不比从具体到抽象碰到的问题少,学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题,即不会建模.所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点,并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件,找出约束条件和目标函数,然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键.
对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类:①不能正确理解题意,弄清各元素之间的关系;②不能分清问题的主次关系,因而抓不住问题的本质,无法建立数学模型;③孤立地考虑单个的问题情景,不能多方联想,形成正迁移.针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素,将本课设计为计算机辅助教学,从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前,以利于理解;分析完题后,能够抓住问题的本质特征,从而将实际问题抽象概括为线性规划问题.另外,利用计算机可以较快地帮助学生把握寻找整点最优解的方法.
三、教法建议
(1)对学生来说,二元一次不等式(组)表示平面的区域是一个比较生疏的概念,不象二元一次方程表示直线那样已早有所知,为使学生对这一概念的引进不感到忽然,应建立新旧知识的联系,以便自然地给出概念
(2)建议将本节新课讲授分为五步(思考、尝试、猜想、证实、归纳)来进行,目的是为了分散难点,层层递进,突出重点,只要学生对旧知识把握较好,完全有可能由学生主动去探求新知,得出结论.
(3)要举几个典型例题,非凡是似是而非的例子,对理解二元一次不等式(组)表示的平面区域的含义是十分必要的.
(4)建议通过本节教学着重培养学生把握“数形结合”的数学思想,尽管侧重于用“数”研究“形”,但同时也用“形”去研究“数”,这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的.
(5)对作业、思考题、研究性题的建议:①作业主要练习学生规范的解题步骤和作图能力;②思考题主要供学有余力的学生课后完成;③研究性题综合性较大,主要用于拓宽学生的思维.
(6)若实际问题要求的最优解是整数解,而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解),应作适当的调整,其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据,在直线的四周寻求与此直线距离最近的整点,不要在用图解法所得到的近似解四周寻找.
假如可行域中的整点数目很少,采用逐个试验法也可.
(7)在线性规划的实际问题中,主要把握两种类型:一是给定一定数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大,收到的效益最大;二是给定一项任务问怎样统筹安排,能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.
线性规划教学设计方案(一)
教学目标
使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域.
重点难点
了解二元一次不等式表示平面区域.
教学过程
引入新课
我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集,那么在平面坐标系中,二元一次不等式的解集的意义是什么呢?
二元一次不等式表示的平面区域
1.先分析一个具体的例子
我们知道,在平面直角坐标系中,以二元一次方程的解为坐标的点的集合是经过点(0,1)和(1,0)的一条直线l(如图)那么,以二元一次不等式(即含有两个未知数,且未知数的最高次数都是1的不等式)的解为坐标的点的集合是什么图形呢?
在平面直角坐标系中,所有点被直线l分三类:①在l上;②在l的右上方的平面区域;③在l的左下方的平面区域(如图)取集合A的点(1,1)、(1,2)、(2,2)等,我们发现这些点都在l的右上方的平面区域,而点(0,0)、(-1,-1)等等不属于A,它们满足不等式,这些点却在l的左下方的平面区域.
由此我们猜想,对直线l右上方的任意点成立;对直线l左下方的任意点成立,下面我们证实这个事实.
在直线上任取一点,过点P作垂直于y轴的直线,在此直线上点P右侧的任意一点,都有∴
于是
所以
因为点,是L上的任意点,所以,对于直线右上方的任意点,
都成立
同理,对于直线左下方的任意点,
都成立
所以,在平面直角坐标系中,以二元一次不等式的解为坐标的点的集点.
是直线右上方的平面区域(如图)
类似地,在平面直角坐标系中,以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是直线左下方的平面区域.
2.二元一次不等式和表示平面域.
(1)结论:二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域.
把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线,若画不等式就表示的面区域时,此区域包括边界直线,则把边界直线画成实线.
(2)判定方法:由于对在直线同一侧的所有点,把它的坐标代入,所得的实数的符号都相同,故只需在这条直线的某一侧取一个非凡点,以的正负情况便可判定表示这一直线哪一侧的平面区域,非凡地,当时,常把原点作为此非凡点.
应用举例
例1画出不等式表示的平面区域
解;先画直线(画线虚线)取原点(0,0),代入,
∴∴原点在不等式表示的平面区域内,不等式表示的平面区域如图阴影部分.
例2画出不等式组
表示的平面区域
分析:在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
解:不等式表示直线上及右上方的平面区域,表示直线上及右上方的平面区域,上及左上方的平面区域,所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分.
课堂练习
作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域.
(1)(2)(3)
(4)(5)
总结提炼
1.二元一次不等式表示的平面区域.
2.二元一次不等式表示哪个平面区域的判定方法.
3.二元一次不等式组表示的平面区域.
布置作业
1.不等式表示的区域在的().
A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方
2.不等式表示的平面区域是().
3.不等式组表示的平面区域是().
4.直线右上方的平面区域可用不等式表示.
5.不等式组表示的平面区域内的整点坐标是.
6.画出表示的区域.
答案:
1.B2.D3.B4.5.(-1,-1)