简单的三角恒等变换。
老师会对课本中的主要教学内容整理到教案课件中，大家静下心来写教案课件了。只有规划好了教案课件新的工作计划，才能在以后有序的工作！有没有好的范文是适合教案课件？下面是由小编为大家整理的“简单的三角恒等变换”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。
3.2简单的三角恒等变换（三）
教学目标
（一）知识与技能目标
熟练掌握三角公式及其变形公式．
（二）过程与能力目标
抓住角、函数式得特点，灵活运用三角公式解决一些实际问题．
（三）情感与态度目标
培养学生观察、分析、解决问题的能力．
教学重点
和、差、倍角公式的灵活应用．
教学难点
如何灵活应用和、差、倍角公式的进行三角式化简、求值、证明．
教学过程
例1：教材P141面例4
例1.如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP＝a，求当角a取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.
例2：把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？（分别设边与角为自变量）
解：（1）如图，设矩形长为l，则面积，
所以当且仅当
即时，取得最大值，此时S取得最大值，矩形的宽为
即长、宽相等，矩形为圆内接正方形.
（2）设角为自变量，设对角线与一条边的夹角为，矩形长与宽分别为
、，所以面积.
而，所以，当且仅当时，S取最大值，所以当且仅当即时，S取最大值，此时矩形为内接正方形.
变式：已知半径为1的半圆，PQRS是半圆的内接矩形如图，问P点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积时的值．
解：设则
故S四边形PQRS
故为时，
课堂小结
建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题.
课后作业
1.阅读教材P.139到P.142;2.《习案》作业三十五.
精选阅读
高二数学下册《三角恒等变换》复习学案
高二数学下册《三角恒等变换》复习学案
三角恒等变换知识点：
知识结构：
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
重点：通过探索和讨论交流，导出两角差与和的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系。
难点：两角差的余弦公式的探索和证明。
2.简单的三角恒等变换
重点：掌握三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点.
难点：公式的灵活应用.
三角函数几点说明：
1.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.
2.用同角三角函数基本关系证明三角恒等式和求值计算，熟练配角和sin和cos的计算.
3.已知三角函数值求角问题，达到课本要求即可，不必拓展.
4.熟练掌握函数y=Asin(wx+j)图象、单调区间、对称轴、对称点、特殊点和最值.
5.积化和差、和差化积、半角公式只作为练习，不要求记忆.
6.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
练习题：
1．已知sin2α＝－2425，α∈－π4，0，则sinα＋cosα＝()
A．－15
B.15
C．－75
D.75
解析∵α∈－π4，0，∴cosα0sinα且cosα|sinα|，则sinα＋cosα＝1＋sin2α＝1－2425＝15.
答案B
2．若sinπ4＋α＝13，则cosπ2－2α等于()
A.429
B．－429
C.79
D．－79
解析据已知可得cosπ2－2α＝sin2α
＝－cos2π4＋α＝－1－2sin2π4＋α＝－79.
答案D
2015届高考数学教材知识点复习简单的三角恒等变换导学案
【学习目标】
1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
预习案
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝；(2)cos2α＝＝－1＝1－；
(3)tan2α＝2tanα1－tan2α(α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2)．
2．半角公式：(1)sinα2＝；(2)cosα2＝；
(3)tanα2＝＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.
3．二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α＝；α2＝；3α＝都适用．
4．由cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；升幂公式cos2α＝＝.
【预习自测】
1．若sin76°＝m，用含m的式子表示cos7°为()
A.1＋m2B.1－m2C．±1＋m2D.1＋m2
2．设sin2α＝－sinα，α∈(π2，π)，则tan2α的值是________．
3．函数f(x)＝sin2(2x－π4)的最小正周期是________．
4．已知θ是第三象限的角，且sin4θ＋cos4θ＝59，那么sin2θ的值为________．
5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()
A．－45B．－35C.35D.45
探究案
题型一：求值
例1.求值：
(1)sin18°cos36°；(2)2cos10°－sin20°cos20°
(3)sin10°sin50°sin70°.(4)1＋cos20°2sin20°－2sin10°tan80°
例2.（1）已知cos(π4－α)＝1213，α∈(0，π4)，则cos2αsinπ4＋α＝________.
(2)已知cos(π4－α)＝35，－3π2α－π2.则cos(2α－π4)=
(3)若cos(π4＋x)＝35，1712π＜x＜74π，求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．
题型二化简
例3.（1）已知函数f(x)＝1－x1＋x.若α∈(π2，π)，则f(cosα)＋f(－cosα)可化简为________．
(2)化简sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos2αcos2β.
(3)已知f(x)＝1＋cosx－sinx1－sinx－cosx＋1－cosx－sinx1－sinx＋cosx且x≠2kπ＋π2，k∈Z，且x≠kπ＋π，k∈Z.
①化简f(x)；
②是否存在x，使得tanx2f(x)与1＋tan2x2sinx相等？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．
题型三：证明
例4.已知sin(2α＋β)＝2sinβ，求证：tan(α＋β)＝3tanα.
拓展：(1)求证：tan2x＋1tan2x＝23＋cos4x1－cos4x
(2)若tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
我的学习总结：
（1）我对知识的总结.
（2）我对数学思想及方法的总结
高二数学下册《三角恒等变换》知识点
高二数学下册《三角恒等变换》知识点
知识结构：
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
重点：通过探索和讨论交流，导出两角差与和的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系。
难点：两角差的余弦公式的探索和证明。
2.简单的三角恒等变换
重点：掌握三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点
难点：公式的灵活应用
三角函数几点说明：
1.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.
2.用同角三角函数基本关系证明三角恒等式和求值计算，熟练配角和sin和cos的计算.
3.已知三角函数值求角问题，达到课本要求即可，不必拓展.
4.熟练掌握函数y=Asin(wx+j)图象、单调区间、对称轴、对称点、特殊点和最值.
5.积化和差、和差化积、半角公式只作为练习，不要求记忆.
6.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
练习题：
1．已知sin2α＝－2425，α∈－π4，0，则sinα＋cosα＝()
A．－15
B.15
C．－75
D.75
解析∵α∈－π4，0，∴cosα0sinα且cosα|sinα|，则sinα＋cosα＝1＋sin2α＝1－2425＝15.
答案B
2．若sinπ4＋α＝13，则cosπ2－2α等于()
A.429
B．－429
C.79
D．－79
解析据已知可得cosπ2－2α＝sin2α
＝－cos2π4＋α＝－1－2sin2π4＋α＝－79.
答案D
高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案（附答案）
学案22简单的三角恒等变换
导学目标：1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．
自主梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝________________；
(2)cos2α＝______________＝________________－1＝1－________________；
(3)tan2α＝________________________(α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2)．
2．公式的逆向变换及有关变形
(1)sinαcosα＝____________________cosα＝sin2α2sinα；
(2)降幂公式：sin2α＝________________，cos2α＝________________；
升幂公式：1＋cosα＝________________，1－cosα＝_____________；
变形：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝________________________.
自我检测
1．(2010陕西)函数f(x)＝2sinxcosx是()
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
2．函数f(x)＝cos2x－2sinx的最小值和最大值分别为()
A．－3,1B．－2,2
C．－3，32D．－2，32
3．函数f(x)＝sinxcosx的最小值是()
A．－1B．－12C.12D．1
4．(2011清远月考)已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sinAsinB()
A．有最大值12，最小值0
B．有最小值12，无最大值
C．既无最大值也无最小值
D．有最大值12，无最小值
探究点一三角函数式的化简
例1求函数y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．
变式迁移1(2011泰安模拟)已知函数f(x)＝4cos4x－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x.
(1)求f－11π12的值；
(2)当x∈0，π4时，求g(x)＝12f(x)＋sin2x的最大值和最小值．
探究点二三角函数式的求值
例2已知sin(π4＋2α)sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin2α＋tanα－1tanα－1的值．
变式迁移2(1)已知α是第一象限角，且cosα＝513，求sinα＋π4cos2α＋4π的值．
(2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α3π2，求cos(2α＋π4)的值．
探究点三三角恒等式的证明
例3(2011苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f(x)．
(1)求证：tan(α＋β)＝2tanα；
(2)求f(x)的解析表达式；
(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．
变式迁移3求证：sin2xsinx＋cosx－1sinx－cosx＋1
＝1＋cosxsinx.
转化与化归思想的应用
例(12分)(2010江西)已知函数f(x)＝
1＋1tanxsin2x＋msinx＋π4sinx－π4.
(1)当m＝0时，求f(x)在区间π8，3π4上的取值范围；
(2)当tanα＝2时，f(α)＝35，求m的值．
【答题模板】
解(1)当m＝0时，f(x)＝1＋cosxsinxsin2x
＝sin2x＋sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x2
＝122sin2x－π4＋1，[3分]
由已知x∈π8，3π4，得2x－π4∈0，5π4，[4分]
所以sin2x－π4∈－22，1，[5分]
从而得f(x)的值域为0，1＋22.[6分]
(2)f(x)＝sin2x＋sinxcosx－m2cos2x
＝1－cos2x2＋12sin2x－m2cos2x
＝12[sin2x－(1＋m)cos2x]＋12，[8分]
由tanα＝2，得sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α＝45，
cos2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝－35.[10分]
所以35＝1245＋351＋m＋12，[11分]
解得m＝－2.[12分]
【突破思维障碍】
三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．
1．求值中主要有三类求值问题：
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：
(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等．
(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，α＋β2＝α－β2＋β－α2，α2是α4的二倍角等．
(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．
消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011平顶山月考)已知0απ，3sin2α＝sinα，则cos(α－π)等于()
A.13B．－13C.16D．－16
2．已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4等于()
A.1318B.1322C.322D.16
3．(2011石家庄模拟)已知cos2α＝12(其中α∈－π4，0)，则sinα的值为()
A.12B．－12C.32D．－32
4．若f(x)＝2tanx－2sin2x2－1sinx2cosx2，则fπ12的值为()
A．－433B．8
C．43D．－43
5．(2010福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC中，若cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，则sinB的值是()
A.12B.22C.32D．1
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010全国Ⅰ)已知α为第二象限的角，且sinα＝35，则tan2α＝________.
7．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．
8．若cos2αsinα－π4＝－22，则cosα＋sinα的值为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)化简：(1)cos20°cos40°cos60°cos80°；
(2)3－4cos2α＋cos4α3＋4cos2α＋cos4α.
10．(12分)(2011南京模拟)设函数f(x)＝3sinxcosx－cosxsinπ2＋x－12.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当∈0，π2时，求函数f(x)的最大值和最小值．
11．(14分)(2010北京)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.
(1)求f(π3)的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
答案自主梳理
1．(1)2sinαcosα(2)cos2α－sin2α2cos2α2sin2α
(3)2tanα1－tan2α2.(1)12sin2α(2)1－cos2α21＋cos2α22cos2α22sin2α2(sinα±cosα)2
自我检测
1．C2.C3.B4.D
课堂活动区
例1解题导引化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．
解y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x
＝7－2sin2x＋4cos2x(1－cos2x)
＝7－2sin2x＋4cos2xsin2x
＝7－2sin2x＋sin22x＝(1－sin2x)2＋6，
由于函数z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为zmin＝(1－1)2＋6＝6，
故当sin2x＝－1时，y取得最大值10，
当sin2x＝1时，y取得最小值6.
变式迁移1解(1)f(x)
＝1＋cos2x2－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x
＝cos22xsinπ4＋xcosπ4＋x
＝2cos22xsinπ2＋2x＝2cos22xcos2x＝2cos2x，
∴f－11π12＝2cos－11π6＝2cosπ6＝3.
(2)g(x)＝cos2x＋sin2x
＝2sin2x＋π4.
∵x∈0，π4，∴2x＋π4∈π4，3π4，
∴当x＝π8时，g(x)max＝2，
当x＝0时，g(x)min＝1.
例2解题导引(1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；
(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．
解由sin(π4＋2α)sin(π4－2α)
＝sin(π4＋2α)cos(π4＋2α)
＝12sin(π2＋4α)＝12cos4α＝14，
∴cos4α＝12，又α∈(π4，π2)，故α＝5π12，
∴2sin2α＋tanα－1tanα－1
＝－cos2α＋sin2α－cos2αsinαcosα
＝－cos2α＋－2cos2αsin2α
＝－cos5π6－2cos5π6sin5π6＝532.
变式迁移2解(1)∵α是第一象限角，cosα＝513，
∴sinα＝1213.
∴sinα＋π4cos2α＋4π＝22sinα＋cosαcos2α
＝22sinα＋cosαcos2α－sin2α
＝22cosα－sinα＝22513－1213＝－13214.
(2)cos(2α＋π4)＝cos2αcosπ4－sin2αsinπ4
＝22(cos2α－sin2α)，
∵π2≤α32π，
∴3π4≤α＋π474π.
又cos(α＋π4)＝350，
故可知32πα＋π474π，
∴sin(α＋π4)＝－45，
从而cos2α＝sin(2α＋π2)
＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)
＝2×(－45)×35＝－2425.
sin2α＝－cos(2α＋π2)
＝1－2cos2(α＋π4)
＝1－2×(35)2＝725.
∴cos(2α＋π4)＝22(cos2α－sin2α)＝22×(－2425－725)
＝－31250.
例3解题导引本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第(3)小题则利用基本不等式求解即可．
(1)证明由sin(2α＋β)＝3sinβ，得sin[(α＋β)＋α]
＝3sin[(α＋β)－α]，
即sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα，
∴sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，
∴tan(α＋β)＝2tanα.
(2)解由(1)得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2tanα，即x＋y1－xy＝2x，
∴y＝x1＋2x2，即f(x)＝x1＋2x2.
(3)解∵角α是一个三角形的最小内角，
∴0α≤π3，0x≤3，
设g(x)＝2x＋1x，则g(x)＝2x＋1x≥22(当且仅当x＝22时取“＝”)．
故函数f(x)的值域为(0，24]．
变式迁移3证明因为左边＝
2sinxcosx[sinx＋cosx－1][sinx－cosx－1]
＝2sinxcosxsin2x－cosx－12
＝2sinxcosxsin2x－cos2x＋2cosx－1
＝2sinxcosx－2cos2x＋2cosx＝sinx1－cosx
＝sinx1＋cosx1－cosx1＋cosx
＝sinx1＋cosxsin2x＝1＋cosxsinx＝右边．
所以原等式成立．
课后练习区
1．D[∵0απ，3sin2α＝sinα，
∴6sinαcosα＝sinα，又∵sinα≠0，∴cosα＝16，
cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－16.]
2．C[因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，
所以α＋π4＝(α＋β)－β－π4.
所以tanα＋π4＝tanα＋β－β－π4
＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝322.]
3．B[∵12＝cos2α＝1－2sin2α，
∴sin2α＝14.又∵α∈－π4，0，
∴sinα＝－12.]
4．B[f(x)＝2tanx＋1－2sin2x212sinx＝2tanx＋2cosxsinx
＝2sinxcosx＝4sin2x
∴fπ12＝4sinπ6＝8.]
5．C[由cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0化简变形，得2cos2B－3cosB＋1＝0，
∴cosB＝12或cosB＝1(舍)．
∴sinB＝32.]
6．－247
解析因为α为第二象限的角，又sinα＝35，
所以cosα＝－45，tanα＝sinαcosα＝－34，
所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247.
7．1－2
解析∵y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x
＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π4＋1，
∴当sin(2x＋π4)＝－1时，函数取得最小值1－2.
8.12
解析∵cos2αsinα－π4＝cos2α－sin2α22sinα－cosα
＝－2(sinα＋cosα)＝－22，
∴cosα＋sinα＝12.
9．解(1)∵sin2α＝2sinαcosα，
∴cosα＝sin2α2sinα，…………………………………………………………………………(2分)
∴原式＝sin40°2sin20°sin80°2sin40°12sin160°2sin80°
＝sin180°－20°16sin20°＝116.……………………………………………………………………(6分)
(2)原式＝3－4cos2α＋2cos22α－13＋4cos2α＋2cos22α－1………………………………………………………(9分)
＝1－cos2α21＋cos2α2＝2sin2α22cos2α2＝tan4α.………………………………………………………(12分)
10．解f(x)＝3sinxcosx－cosxsinπ2＋x－12
＝32sin2x－12cos2x－1
＝sin2x－π6－1.…………………………………………………………………………(4分)
(1)T＝2π2＝π，故f(x)的最小正周期为π.…………………………………………………(6分)
(2)因为0≤x≤π2，所以－π6≤2x－π6≤5π6.
所以当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)有最大值0，
……………………………………………………………………………………………(10分)
当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)有最小值－32.
……………………………………………………………………………………………(12分)
11．解(1)f(π3)＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3
＝－1＋34－2＝－94.………………………………………………………………………(4分)
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx
＝3cos2x－4cosx－1
＝3(cosx－23)2－73，x∈R.………………………………………………………………(10分)
因为cosx∈[－1,1]，
所以，当cosx＝－1时，f(x)取得最大值6；
当cosx＝23时，f(x)取得最小值－73.…………………………………………………(14分)
