2019年人教B版选修2-2数学第2章推理与证明全册学案。

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，教师要准备好教案，这是教师的任务之一。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。你知道怎么写具体的教案内容吗？经过搜索和整理，小编为大家呈现“2019年人教B版选修2-2数学第2章推理与证明全册学案”，仅供参考，欢迎大家阅读。

2wwW.Jab88.COm.1.1合情推理
1．理解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理进行简单的推理．
2．体会并认识合情推理在数学发现中的重要作用．
1．推理的结构与合情推理
(1)从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做______；一部分是由已知推出的判断，叫做______．
(2)前提为真时，结论______为真的推理，叫做合情推理．
推理也可以看作是用连接词将前提和结论逻辑的连接，常用的连接词有：“因为……所以……”；“根据……可知……”；“如果……那么……”等．
【做一做1】下列说法正确的是()．
A．由合情推理得出的结论一定是正确的
B．合情推理必须有前提有结论
C．合情推理不能猜想
D．合情推理得出的结论无法判定正误
2．归纳推理
(1)根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做________(简称______)．
(2)归纳推理的一般步骤：
①通过观察个别情况发现某些相同性质；
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．
归纳推理的特点：
(1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；
(2)归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的；
(3)人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一不定期的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行；
(4)归纳推理能够发现前的事实、获得新结论，是科学发现的重要手段。
【做一做2－1】数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()．
A．28B．32C．33D．27
【做一做2－2】已知等式sin230°＋sin230°＋sin30°·sin30°＝

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【人教B版】2019年高中选修2-2数学：第1章-导数及其应用-全册学案（7份，含答案）

1.1导数
1．理解函数在某点的平均变化率的概念，并会求此平均变化率．
2．理解运动物体在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)．
3．理解导数的几何意义，并会求曲线在某点处的切线方程．
1．函数的平均变化率
一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记x＝x1－x0，y＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋x)－f(x0)，则当x0时，商________________称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋x](或[x0＋x，x0])的平均变化率．
x，y的值可正、可负，但x的值不能为0，y的值可以为0.若函数f(x)为常数函数，则y＝0.
【做一做1－1】已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，x＝0.1时，y的值为()．
A．0.40B．0.41
C．0.43D．0.44
【做一做1－2】在x＝1附近，取x＝0.3，在四个函数：①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝1x中，平均变化率最大的是()．
A．④B．③C．②D．①
2．瞬时变化率与导数
(1)设函数y＝f(x)在x0及其附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变量为x时，函数值相应地改变y＝f(x0＋x)－f(x0)．
如果当x趋近于0时，平均变化率yx＝f(x0＋x)－f(x0)x趋近于一个常数l，那么常数l称为函数f(x)在点x0的__________．
(2)当x趋近于0时，f(x0＋x)－f(x0)x趋近于常数l可以用符号记作当x0时，f(x0＋x)－f(x0)xl，或记作f(x0＋x)－f(x0)x＝l，符号读作趋近于．函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率，通常称为f(x)在点x0处的______，并记作f(x0)．
这时又称f(x)在点x0处是可导的．于是上述变化过程，可以记作当x0时，f(x0＋x)－f(x0)x________或f(x0＋x)－f(x0)x＝________．
(3)如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)______．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)．于是，在区间(a，b)内，f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的______，记为f(x)或y(或yx)．
导函数通常简称为______．
(1)x是自变量x在x0处的改变量，x0，而y是函数值的改变量，可以是零．
(2)对于导函数的定义的几种形式表示如下：
y＝f(x＋x)－f(x)x；
y＝f(x)－f(x＋x)－x；
y＝f(x－x)－f(x)－x；
y＝f(x)－f(x0)x－x0.
【做一做2－1】若质点按规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为()．
A．6B．18C．54D．81
【做一做2－2】已知函数f(x)在x＝x0处可导，则limx0f(x0＋x)－f(x0)x()．
A．与x，x0都有关
B．仅与x0有关而与x无关
C．仅与x有关而与x0无关
D．与x0，x均无关
3．导数的几何意义
设函数y=f(x)的图象如图所示．AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0+x，f(x0+x))的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A的切线．于是，当x0时，割线AB的斜率趋近于在点A的切线AD的斜率，即f(x0＋x)－f(x0)x＝切线AD的斜率．
由导数意义可知，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于________．
【做一做3－1】曲线y＝－3x2＋2在点(0,2)处的切线的斜率为()．
A．－6B．6C．0D．不存在
【做一做3－2】下面说法正确的是()．
A．若f(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f(x0)必存在
C．若f(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f(x0)有可能存在
1．函数f(x)在点x＝x0处的导数导函数导数三者有何关系？
剖析：(1)函数在点x＝x0处的导数f(x0)是一个数值，不是变量．
(2)导函数也简称导数，所以
(3)函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点x＝x0处的函数值．所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算导函数在这点的函数值．
2．曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？
剖析：回答是否定的．这就是我们为什么要用割线的极值位置来定义切线，而不说与曲线只有一个公共点的直线叫切线，其理由如下：
在初中我们学习过圆的切线：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的定义推广为一般曲线的切线的定义：直线和曲线有唯一公共点时，该直线叫做曲线在该点的切线，显然这种推广是不妥当的．
观察图中的曲线C，直线l1虽然与曲线C有唯一的公共点M，但我们不能说直线l1与曲线C相切；而直线l2尽管与曲线C有不止一个公共点，我们还是说直线l2是曲线C在点N处的切线．因此，对于一般的曲线，必须重新寻求曲线切线的定义．
一般地，过曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)作曲线的割线PQ，当点Q沿着曲线无限趋近于点P时，若割线PQ趋近于某一确定的位置，则称这一确定位置的直线为曲线y＝f(x)在点P处的切线．
在这里，要注意，曲线y＝f(x)在点P处的切线：(1)与点P的位置有关；(2)要依据割线PQ是否存在极限位置来判定与求解．如有极限，则在此点处有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线．
题型一求瞬时速度
【例题1】已知物体的运动方程如下：求此物体在t＝1和t＝3时的瞬时速度．(位移的单位：m，时间的单位：s)
分析：先求平均变化率，即平均速度，再取极限(注意定义域的限制)．
反思：质点运动的瞬时速度不同于质点在某段时间内运动的平均速度．
题型二导数定义的应用
【例题2】过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋x,1＋y)作曲线的割线，求出当x＝0.1时割线的斜率．
分析：割线PQ的斜率即为函数f(x)在x＝1到x＝1＋x之间的平均变化率yx.
反思：一般地，设曲线C是函数y＝f(x)的图象，P(x0，y0)是曲线上的定点，点Q(x0＋x，y0＋y)是C上与点P邻近的点，有
y0＝f(x0)，y0＋y＝f(x0＋x)，
y＝f(x0＋x)－f(x0)，
割线PQ的斜率为
tan＝yx＝f(x0＋x)－f(x0)x，
曲线C在点P处的斜率为
tan＝＝.
题型三求切线方程
【例题3】已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；
(2)第(1)问中的切线与曲线C是否还有其他公共点？
分析：求切线方程可先求出切线的斜率，再应用点斜式写出切线方程；判断直线与曲线的交点个数，可联立方程组求其解的个数．
反思：(1)求曲线的切线的斜率的步骤：
①求函数值的增量y＝f(x0＋x)－f(x0)；
②求割线的斜率tan＝yx；
③求极限＝；
④若极限存在，则切线的斜率.
(2)由导数的几何意义得出求切线方程的步骤：
①先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f(x0)；
②根据点斜式得切线方程为y－y0＝f(x0)(x－x0)．
题型四易错辨析
易错点：在求曲线过某点的切线方程时，不注意判断该点是否在曲线上，而直接把点当成在曲线上求切线方程，导致方程求错，避免错误的方法是看到此类题目先判断该点是否在曲线上，然后根据不同情况求解．
【例题4】试求过点M(1,1)且与曲线y＝x3＋1相切的直线方程．
错解：yx＝(x＋x)3＋1－x3－1x＝3x(x)2＋3x2x＋(x)3x＝3xx＋3x2＋(x)2，yx＝3x2，因此y＝3x2，所以切线在x＝1处的斜率k＝3.故切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
1一质点运动的方程为s＝5－3t2，则在时间[1,1＋t]内的平均速度为()．
A．3t＋6B．－3t＋6
C．3t－6D．－3t－6
2设函数f(x)＝ax3＋2，若f(－1)＝3，则a＝()．
A．－1B．12C．1D．13
3设f(x)为可导函数且满足,则过曲线y＝f(x)上的点(1，f(1))的切线的斜率为()．
A．2B．－1
C．1D．－2
4一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s(m)与时间t(s)之间的函数关系为s＝18t2，则t＝2s时，此木块在水平方向的瞬时速度为______m/s.
5已知函数f(x)＝x－1x，则它与x轴交点处的切线方程为____________________．
答案：
基础知识梳理
【做一做1－1】B∵x＝2，x＝0.1，y＝f(x＋x)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝0.41.
【做一做1－2】B根据平均变化率的定义可求得四个函数的平均变化率依次为1,2.3,3.99，－1013.
2．(1)瞬时变化率(2)导数f(x0)f(x0)
(3)可导导函数导数
【做一做2－1】B瞬时速度v＝limt0st＝limt0s?3＋t?－s?3?t＝limt0(3t＋18)＝18.
【做一做2－2】B由导数的定义，对给定的可导函数f(x)有f?x0＋x?－f?x0?x＝f(x0)．显然，f(x0)仅与x0有关而与x无关．
3．f(x0)
【做一做3－1】Cf(0)＝－3?0＋x?2＋2－?0＋2?x＝(－3x)＝0.
【做一做3－2】C函数f(x)在一点x＝x0处的导数f(x0)的几何意义是y＝f(x)在这一点处切线的斜率，但f(x0)不存在，并不能说明这一点处不存在切线，而是说明在这一点处的切线的斜率不存在，即若在这一点处的切线的斜率不存在，曲线在该点处也可能有切线．所以函数f(x)在某点可导，是相应曲线上过该点存在切线的充分不必要条件．
典型例题领悟
【例题1】解：当t＝1时，s＝3t2＋1，
v＝st＝s?t＋t?－s?t?t
＝3?1＋t?2＋1－312－1t
＝6t＋3?t?2t＝6(m/s)．
当t＝3时，s＝2＋3(t－3)2，
v＝s?t＋t?－s?t?t＝2＋3?3＋t－3?2－2－3?3－3?2t
＝3?t?2t＝3t＝0(m/s)．
物体在t＝1和t＝3时的瞬时速度分别为6m/s和0m/s.
【例题2】解：∵y＝f(1＋x)－f(1)＝(1＋x)3－1＝3x＋3(x)2＋(x)3.
割线PQ的斜率
yx＝?x?3＋3?x?2＋3xx＝(x)2＋3x＋3.
当x＝0.1时，设割线PQ的斜率为k，
则k＝yx＝(0.1)2＋30.1＋3＝3.31.
【例题3】解：(1)将x＝1代入曲线C的方程，
得y＝1，所以切点为P(1,1)．
因为y＝yx＝?x＋x?3－x3x＝3x2x＋3x?x?2＋?x?3x＝[3x2＋3xx＋(x)2]＝3x2，
所以.
所以过点P的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
(2)由y－1＝3?x－1?，y＝x3，可得(x－1)2(x＋2)＝0，
解得x1＝x2＝1，x3＝－2.从而求得公共点为P(1,1)或P(－2，－8)，说明切线与曲线C有除切点外的公共点．
【例题4】错因分析：错解中将点M(1,1)当成了曲线y＝x3＋1上的点．因此在求过某点的切线时，一定要先判断点是否在曲线上，再根据不同情况求解．
正解：由错解可知y＝3x2，因为点M(1,1)不在曲线y＝x2＋1上，所以设过点M(1,1)的切线与y＝x3＋1相切于点P(x0，x30＋1)，依据导数的几何意义，函数在点P处的切线的斜率为k＝3x20①，过点M(1,1)的切线的斜率k＝x30＋1－1x0－1②，由①＝②得，3x20＝x30x0－1，解之得x0＝0或x0＝32，所以k＝0或k＝274，因此曲线y＝x3＋1过点M(1,1)的切线方程有两条，分别为y－1＝274(x－1)和y＝1，即27x－4y－23＝0和y＝1.
随堂练习巩固
1．Dv＝5－3?1＋t?2－?5－312?t＝－3t－6.
2．C∵f(－1)＝f?－1＋x?－f?－1?x＝[a(x)2－3ax＋3a]＝3a＝3，a＝1.
3．Bf?1?－f?1－2x?2x＝f?1－2x?－f?1?－2x＝f[1＋?－2x?]－f?1?－2x＝f(1)＝－1.
4．12t＝2s时瞬时速度为limt018?2＋t?2－1822t＝limt018(4＋t)＝12.
5．2x－y＋2＝0和2x－y－2＝0令x－1x＝0，得x＝1，曲线与x轴的交点坐标为(1,0)，又f(x)＝1＋1x2，f(1)＝2，所求切线方程为y＝2(x1)，即2x－y2＝0.

2019年选修1-2数学第2章推理与证明单元全套学案（苏教版）

一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责，作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，帮助教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。教案的内容具体要怎样写呢？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“2019年选修1-2数学第2章推理与证明单元全套学案（苏教版）”，但愿对您的学习工作带来帮助。

2.1合情推理与演绎推理
第1课时归纳推理
问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？
提示：都能导电．
问题2：由问题1你能得出什么结论？
提示：一切金属都能导电．
问题3：最近中国健康报报道了人的血压和年龄一组数据，先观察表中数据的特点，用适当的数填入表中.
年龄(岁)3035404550556065
收缩压(水
银柱/毫米)110115120125130135145
舒张压(水
银柱/毫米)70737578808388
提示：14085
问题4：由问题3中的数据你还能得出什么结论？
提示：随着人的年龄增长，人的血压在增高．
问题5：数列{an}的前五项为1，3，5，7，9试写出an.
提示：an＝2n－1(nN*)．
1．推理
(1)推理的定义
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．
(2)推理的组成
任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得命题，它告诉我们推出的知识是什么．
2．归纳推理
(1)归纳推理的定义
从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．
(2)归纳推理的思维过程如图
(3)归纳推理的特点
①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．
③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
1．归纳推理是从特殊到一般，具体到抽象的推理形式．因此，由归纳得到的结论超越了前提所包容的范围．
2．归纳是根据若干已知的条件(现象)推断未知结论(现象)，因而，结论(现象)具有猜测的性质．
3．归纳的前提是特殊现象，归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的．
4．观察和实验是进行归纳推理的最基本条件，是归纳推理的基础，通过观察和实验，为知识的总结和归纳提供依据．
5．由归纳推理所得到的结论未必是可靠的，但是它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却是十分有用的，是进行科学研究的最基本的方法之一．
[例1]已知数列{an}的第1项a1＝1，且an＋1＝(n＝1，2，)，求出a2，a3，a4，并推测an.
[思路点拨]数列的通项公式表示的是数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系，根据已知的递推公式，求出数列的前几项，观察出n与an的关系即可解决．
[精解详析]当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝；
当n＝3时，a3＝＝；当n＝4时，a4＝＝.观察可得，数列的前4项等于相应序号的倒数．由此猜想，这个数列的通项公式为an＝.
[一点通]在求数列的通项与前n项和时，经常用归纳推理得出结论．这就需要在进行归纳推理时要先转化为一个统一的形式，分出变化部分和不变部分，重点分析变化规律与n的关系，往往会较简捷地获得结论．
1．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝.求出a1，a2，a3，a4，并推测an.
解：∵Sn＝，a1＝，a＝1.
又∵an0，a1＝1；
a1＋a2＝，即1＋a2＝，
a2＝－1；
a1＋a2＋a3＝，
即＋a3＝，a3＝－；
a1＋a2＋a3＋a4＝，
＋a4＝，a4＝2－；
观察可得，an＝－.
2．已知数列{an}中，a2＝6，＝n.
(1)求a1，a3，a4；
(2)猜想数列{an}的通项公式．
解：(1)由a2＝6，＝1，得a1＝1.
由＝2，得a3＝15.
由＝3，得a4＝28.
故a1＝1，a3＝15，a4＝28.
(2)由a1＝1＝1(21－1)；
a2＝6＝2(22－1)；
a3＝15＝3(23－1)；
a4＝28＝4(24－1)，
猜想an＝n(2n－1).
[例2]对任意正整数n，试归纳猜想2n与n2的大小关系．
[思路点拨]
[精解详析]当n＝1时，2112；
当n＝2时，22＝22；
当n＝3时，2332；
当n＝4时，24＝42；
当n＝5时，2552；
当n＝6时，2662.
归纳猜想，当n＝3时，2nn2；
当nN*，且n3时，2nn2.
[一点通]对于与正整数n有关的指数式与整式的大小比较，不能用作差、作商法比较，常用归纳、猜想、证明的方法，解题时对n的取值的个数要适当，太少易产生错误猜想，太多增大计算量，凡事恰到好处．对有些复杂的式子的大小比较，往往通过作差后变形(通分、因式分解等)，变成比较两个简单式子的大小，即化繁为简．
3．观察下列式子：
1＋，1＋＋，1＋＋＋，，猜想第n个不等式为__________________________．
解析：第1个不等式：1＋；
第2个不等式：1＋＋；
第3个不等式：1＋＋＋；
故猜想第n个不等式为
1＋＋＋＋＋.
答案：1＋＋＋＋
4．对任意正整数n，猜想nn＋1与(n＋1)n的大小关系．
解：n＝1时，1221；
n＝2时，2332，n＝3时；3443；
n＝4时，4554，n＝5时；5665.
据此猜想，当n3时，nn＋1(n＋1)n，
n3时，nn＋1(n＋1)n.
[例3]古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：
由于图中1，3，6，10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形的数的特点，归纳第n个三角形数．
[思路点拨]将1，3，6，10分别写成，，，，据此可完成本题的求解．
[精解详析]观察项与项数的关系特点如下：
项1234
项数
分析：项的各分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数与1和的积．
归纳：第n个三角形数应为(nN*)．
[一点通]此类图形推理问题涉及的图形构成的元素一般为点．题目类型为已知几个图形，图形中元素的数量呈现一定的变化，这种数量变化存在着简单的规律性，如点的数目的递增关系或递减关系，依据此规律求解问题，一般需转化为求数列的通项公式或前n项和等．
5．下面是按照一定规律画出的一列树型图：
设第n个图有an个树枝，则an＋1与an(n1)之间的关系是
_________________________________________________．
解析：由图可得，第一个图形有1根树枝，a1＝1，
第2个图形有3根树枝，即a2＝3，同理可知：
a3＝7,a4＝15，a5＝31.
归纳可知：a2＝3＝21＋1＝2a1＋1，
a3＝7＝23＋1＝2a2＋1，
a4＝15＝27＋1＝2a3＋1，
a5＝31＝215＋1＝2a4＋1，
由归纳推理可猜测：an＋1＝2an＋1.
答案：an＋1＝2an＋1
6．根据下图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n个图中点的个数是______．
解析：图中点的个数依次为：1，3，7，13，21.
又1＝1＋01；3＝1＋12；7＝1＋23，13＝1＋34，21＝1＋45.
结合项数与项的关系猜想第n个图中点的个数为：1＋(n－1)n，即为n2－n＋1(nN*)．
答案：n2－n＋1(nN*)
[例4]如图是杨辉三角的前5行，请试写出第8行，并归纳、猜想一般规律．
[思路点拨]由杨辉三角的前5行总结各行数字的规律，由此寻找第8行的数字，整体观察杨辉三角可得到多个有趣的规律．
[精解详析]第8行：172135352171.
一般规律：
(1)每行左、右的数字具有对称性；
(2)两斜边的数字都是1，其余数字等于它肩上两数字之和；
(3)奇数行中间一项最大，偶数行中间两项相等且最大．
[一点通]解决此类数阵问题时，通常利用归纳推理，其步骤如下：
(1)明确各行、各列数的大小；
(2)分别归纳各行、各列中相邻两个数的大小关系；
(3)按归纳出的规律写出一个一般性的结论．
7．将全体正整数排成一个三角形数阵，如图所示，则数阵中第n(n3)行的从左至右的第3个数是______．
解析：第1行，第2行，第3行，分别有1，2，3，个数字，且每个数字前后差1，则第n－1行的最后一个数字加3即为第n(n3)行的从左至右的第3个数，前n－1行共有数字1＋2＋3＋＋(n－1)＝，则第n(n3)行的从左至右的第3个数为＋3＝.
答案：
1
24
357
681012
911131517
141618202224
8.把正整数按一定的规则排成了右边所示的三角形数表，设aij(i，jN*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j行．如a42＝8，若aij＝2009.则i和j的和为________．
解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝21005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2962－1
＝1923，2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.
答案：107
1．归纳推理的一般步骤
(1)通过观察某类事物个别情况，发现某些相同性质．
(2)对这些性质进行归纳整理，得到一个合理的结论．
(3)猜想这个结论对该类事物都成立．
2．归纳推理应注意的问题
归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．
一、填空题
1．(陕西高考)观察下列等式
(1＋1)＝21
(2＋1)(2＋2)＝2213
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23135
照此规律，第n个等式可为________________．
解析：观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为：(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋n)＝2n135(2n－1)．
答案：(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋n)＝2n135(2n－1)
2．已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝f1(x)，f3(x)＝f2(x)，f4(x)＝f3(x)，，fn(x)＝fn－1(x)，则f2016(x)＝________．
解析：f1(x)＝cosx，f2(x)＝f1(x)＝－sinx，
f3(x)＝f2(x)＝－cosx，f4(x)＝f3(x)＝sinx，
f5(x)＝f4(x)＝cosx，再继续下去会重复出现，周期为4，
f2016(x)＝f4(x)＝sinx.
答案：sinx
3．根据三角恒等变换，可得到如下等式：
cos＝cos；
cos2＝2cos2－1；
cos3＝4cos3－3cos；
cos4＝8cos4－8cos2＋1；
cos5＝16cos5－20cos3＋5cos
依照规律猜想cos6＝32cos6＋mcos4＋ncos2－1.
则m＋n＝________．
解析：根据三角恒等变换等式可知，各项系数与常数项的和是1，
即32＋m＋n－1＝1.
m＋n＝－30.
答案：－30
4．已知an＝，把数列{an}的各项排成如下的三角形：
a1
a2a3a4
a5a6a7a8a9
记A(s，t)表示第s行的第t个数，则A(11，12)＝________．
解析：每行对应的元素个数分别为1，3，5，那么第10行最后一个数为a100，则第11行的第12个数为a112，
即A(11，12)＝a112＝.
答案：
5．经计算发现下列不等式：＋2，＋2，＋2，，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：________________________________________________________________________.
解析：2＋18＝20，4.5＋15.5＝20，3＋＋17－＝20，，即各不等式左边两根号内的数之和等于20，右侧均为2.
答案：当a＋b＝20，a，b(0，＋)时，有＋2
二、解答题
6．已知＝2，＝3，＝4，，若＝6(a，b均为实数)，请推测a，b的值．
解：由前面三个等式，推测归纳被开方数的整数部分与分数部分的关系，发现规律．
由三个等式，知整数部分和分数部分的分子相同，
而分母是这个分子的平方减1，
由此推测中，a＝6，b＝62－1＝35，
即a＝6，b＝35.
7．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线由此猜出凸n边形有几条对角线？
解：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；
于是猜想凸n边形的对角线条数比凸n－1边形多n－2条对角线，由此凸n边形对角线条数为2＋3＋4＋5＋＋(n－2)＝n(n－3)(n4，nN*)．
8．观察：
①tan10tan20＋tan20tan60＋tan60tan10＝1；
②tan5tan10＋tan10tan75＋tan75tan5＝1.
由以上两式成立且有一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广．
解：观察到10＋20＋60＝90，5＋10＋75＝90，
因此猜测此推广为＋＋＝，
且、、都不为k＋，kZ，
则tantan＋tantan＋tantan＝1.
证明如下：由＋＋＝得＋＝－，
tan(＋)＝tan＝cot.
又∵tan(＋)＝，
tan＋tan＝tan(＋)(1－tantan)
＝cot(1－tantan)．
tantan＋tantan＋tantan
＝tan(tan＋tan)＋tantan
＝tan(1－tantan)cot＋tantan
＝1－tantan＋tantan＝1.
第2课时类比推理
为了回答火星上是否有生命这个问题，科学家们把火星与地球作为类比，发现火星具有一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．
问题：科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的？
提示：在提出上述猜想的过程中，科学家对比了火星与地球之间的某些相似特征，然后从地球的一个已知特征(有生命存在)出发，猜测火星也可能具有这个特征．
1．类比推理
根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．其思维过程为：
2．合情推理
合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践结果，以及个人的经验等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．
类比推理的特点主要体现在以下几个方面：
(1)类比推理是从特殊到特殊的推理．
(2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征．所以，类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．
(3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征．所以，进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征．
[例1]在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋＋an＝a1＋a2＋＋a19－n(n19，nN*)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有什么样的等式成立？
[思路点拨]在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂．
[精解详析]在等差数列{an}中，a10＝0，
a1＋a2＋＋an＋＋a19＝0，
即a1＋a2＋＋an＝－a19－a18－－an＋1.
又由a10＝0，
得a1＋a19＝a2＋a18＝＝an＋a20－n
＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，
a1＝－a19，a2＝－a18，，a19－n＝－an＋1，
a1＋a2＋＋an＝a1＋a2＋＋a19－n，
若a9＝0，
同理可得a1＋a2＋＋an＝a1＋a2＋＋a17－n，
相应的，在等比数列{bn}中，若b9＝1，
则可得b1b2bn＝b1b2b17－n(n17，nN*)．
[一点通]类比推理的一般模式为：A类事物具有性质a，b，c，d，B类事物具有性质a，b，c，d(a，b，c分别与a，b，c相似或相同)，所以B类事物可能具有性质d(d与d相似或相同)．
1．若数列{an}(nN*)是等差数列，则有数列bn＝(nN*)也是等差数列．
类比上述性质，相应地：
若数列{cn}(nN*)是等比数列，且cn0，则数列dn＝
_____________________(nN*)也是等比数列．
答案：
2．已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(mn，m，nN*)，则am＋n＝.现已知等比数列{bn}(bn0，nN*)，且bm＝a，bn＝b(mn，m，nN*)，类比上述结论，求bm＋n.
解：等差数列通项an与项数n是一次函数关系，等比数列通项bn与项数n是指数型函数关系．
利用类比可得bm＋n＝＝.
[例2]
如图，在三棱锥S－ABC中，SASB，SBSC，SASC，且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为1、2、3，三侧面△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．
[思路点拨]在△DEF中，有三条边，三个角，与△DEF相对应的是四面体S－ABC，与三角形三条边长对应的是四面体三个侧面的面积，三角形三个角对应的是SA，SB，SC与底面ABC所成的三个线面角1，2，3.在平面几何中三角形的有关性质，我们可以用类比的方法，推广到四面体、三棱柱等几何体中．
[精解详析]在△DEF中，由正弦定理，得＝＝.于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S－ABC中，我们猜想＝＝成立．
[一点通](1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．
(2)平面图形与空间图形类比
平面图形空间图形
点线
线面
边长面积
面积体积
线线角二面角
三角形四面体
3．在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比＝，将这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB交于E，则类比的结论为___________．
图(1)(2)
解析：平面中的面积类比到空间为体积，
故类比成.
平面中的线段长类比到空间为面积，
故类比成.故有＝.
答案：＝
4.
如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝bcosC＋ccosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
解：
如图所示，在四面体PABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，，，依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1cos＋S2cos＋S3cos.
[例3]我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？
(1)类比等差数列给出等和数列的定义；
(2)探索等和数列{an}的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明；
(3)在等和数列{an}中，如果a1＝a，a2＝b，求它的前n项和Sn.
[思路点拨]可先根据等差数列的定义类比出等和数列的定义，然后再据此定义探索等和数列的奇数项、偶数项及其前n项和．
[精解详析](1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列．
(2)由(1)知an＋an＋1＝an＋1＋an＋2，
所以an＋2＝an.
所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等．
(3)当n为奇数时，令n＝2k－1，kN*，则
Sn＝S2k－1＝S2k－2＋a2k－1＝(a＋b)＋a
＝(a＋b)＋a＝a＋b；
当n为偶数时，令n＝2k，kN*，则
Sn＝S2k＝k(a＋b)＝(a＋b)．
所以它的前n项和Sn＝
[一点通](1)本题是一道浅显的定义类比应用问题，通过对等差数列定义及性质的理解，类比出等和数列的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能力．
(2)本题型是类比定义，对本类题型解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性．
5．类比平面向量基本定理：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于平面内任一向量a，有且只有一对实数1，2，使得a＝1e1＋2e2.写出空间向量基本定理的是________．
答案：如果e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，那么对空间内任一向量a，有且只有一组实数1，2，3，使得a＝1e1＋2e2＋3e3
6．已知椭圆C：＋＝1具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为KPM，KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线－＝1写出类似的性质，并加以证明．
解：类似的性质：若M，N是双曲线－＝1上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为KPM，KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值．
证明如下：
设M(m，n)，则N(－m，－n)，其中－＝1.
设P(x，y)，由KPM＝，KPN＝，
得KPMKPN＝＝，
将y2＝x2－b2，n2＝m2－b2代入得KPMKPN＝.
1．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
2．多用下列技巧会提高所得结论的准确性：
(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些．
(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．
(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．
一、填空题
1．正方形的面积为边长的平方，则在立体几何中，与之类比的图形是________，
结论是______________________________．
答案：正方体正方体的体积为棱长的立方
2．给出下列推理：
(1)三角形的内角和为(3－2)180，
四边形的内角和为(4－2)180，
五边形的内角和为(5－2)180，
所以凸n边形的内角和为(n－2)180；
(2)三角函数都是周期函数，y＝tanx是三角函数，所以y＝tanx是周期函数；
(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；
(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．
其中属于合情推理的是________．(填序号)
解析：根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．
答案：(1)(3)(4)
3．三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为
___________________________________________________．
解析：△ABC的内心为O，连结OA，OB，OC，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a，b，c；类比：设四面体A－BCD的内切球球心为O，连结OA，OB，OC，OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以有V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r.
答案：(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1，S2，S3，S4为四个面的面积，r为内切球的半径)
4．在平面几何中，有射影定理：在△ABC中，ABAC，点A在BC边上的射影为D，有AB2＝BDBC.类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：在三棱锥A－BCD中，AD平面ABC，点A在底面BCD上的射影为O，则有______________________________．
答案：S＝S△BOCS△BCD
5．已知结论：在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则＝2．若把该结论推广到空间，则有结论：在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则＝________．
解析：
如图，易知球心O在线段AM上，不妨设四面体ABCD的边长为1，外接球的半径为R，
则BM＝＝，AM＝＝，R＝，解得R＝.
于是，＝＝3.
答案：3
二、解答题
6．已知：等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，有如下的性质：
(1)通项an＝am＋(n－m)d.
(2)若m＋n＝p＋q，且m，n，p，qN*，则am＋an＝ap＋aq.
(3)若m＋n＝2p，且m，n，pN*，则am＋an＝2ap.
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．
类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质．
解：设等比数列{bn}中，公比为q，前n项和为Sn.
(1)通项an＝amqn－m.
(2)若m＋n＝p＋q，且m，n，p，qN*，
则aman＝apaq.
(3)若m＋n＝2p，且m，n，pN*，则a＝aman.
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．
7．类比圆的下列特征，找出球的相关特征．
(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆；
(2)平面内不共线的3个点确定一个圆；
(3)圆的周长与面积可求．
解：(1)在空间中，与定点距离等于定长的点的集合是球；
(2)空间中不共面的4个点确定一个球；
(3)球的表面积与体积可求．
8．若记号*表示两个实数a与b的算术平均的运算，即a*b＝，则两边均含有运算符号*和＋，写出对于任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式．
解：由于本题是探索性和开放性的问题，问题的解决需要经过一定的探索类比过程，并且答案不惟一．解决这道试题要把握住a*b＝，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号*和＋，则可容易得到a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋b)．
正确的结论还有：(a*b)＋c＝(a*c)＋(b*c)，(a*b)＋c＝(b*a)＋c等．
第3课时演绎推理
看下面两个问题：
(1)是任意非空集合的真子集，A是非空集合，所以是集合A的真子集；
(2)循环小数是有理数，0.33是循环小数，所以0.33是有理数．
问题1：这两个问题中的第一句都说明什么？
提示：都说的一般原理．
问题2：第二句又说什么？
提示：都说的特殊示例．
问题3：第三句呢？
提示：由一般原理对特殊示例作出判断．
1．演绎推理
含义由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法．
特点(1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．
(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系．
(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它缺少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化.
2．三段论
一般模式常用格式
大前提提供了一个一般性的原理M是P
小前提指出了一个特殊对象S是M
结论揭示了一般原理与特殊对象的内在联系S是P
1．演绎推理是由一般到特殊的推理，一种必然性的推理，这决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提与结论之间的联系是必然的．
2．三段论中大前提是一个一般性结论，是共性，小前提是指其中的一个，结论为这一个也具有大前提中的结论．要得到一个正确的结论，大前提和小前提都必须正确，二者中有一个错误，结论就不正确．
[例1]将下面的演绎推理写成三段论的形式：
(1)所有椭圆的离心率e的取值范围为(0，1)，曲线C：＋y2＝1是椭圆，所以曲线C的离心率e的取值范围为(0，1)．
(2)等比数列的公比都不为零，数列{2n}(nN*)是等比数列，所以数列{2n}的公比不为零．
[思路点拨]这种类型的题目只要明确各推理案例中的大前提、小前提与结论即可．
[精解详析](1)大前提：所有椭圆的离心率e的取值范围为(0，1)．
小前提：曲线C：＋y2＝1是椭圆．
结论：曲线C的离心率e的取值范围为(0，1)．
(2)大前提：等比数列的公比都不为零．
小前提：数列{2n}(nN*)是等比数列．
结论：数列{2n}的公比不为零．
[一点通]演绎推理的重要形式是三段论，分清大前提、小前提和结论是解题的关键．大前提是给出一般性的原理，小前提是指出特殊对象，结论是体现一般性原理与特殊对象的内在联系的必然结果．
1．用三段论的形式写出下列演绎推理．
(1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直．
(2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不是对顶角，则此两角不相等．
(3)0.332是有理数．
(4)y＝sinx(xR)是周期函数．
解：(1)因为菱形的对角线相互垂直，(大前提)
正方形是菱形，(小前提)
所以正方形的对角线相互垂直．(结论)
(2)如果两个角是对顶角，则这两个角相等，(大前提)
1和2不是对顶角，(小前提)
所以1和2不相等．(结论)
(3)因为所有的有限小数是有理数，(大前提)
0．332是有限小数，(小前提)
所以0.332是有理数．(结论)
(4)因为三角函数是周期函数，(大前提)
y＝sinx(xR)是三角函数，(小前提)
所以y＝sinx是周期函数．(结论)
2．指出下列各演绎推理中的大前提、小前提，并判断结论是否正确．
(1)a∥b一定有a＝b(R)，向量c与向量d平行，所以c＝d.
(2)指数函数y＝ax(0a1)是减函数，而y＝是指数函数，所以y＝是减函数．
解：(1)大前提：a∥b一定有a＝b(R)．
小前提：向量c与向量d平行．
结论是错误的，原因是大前提错误．
因为当a0，b＝0时a∥b，
这时找不到实数使得a＝b.
(2)大前提：指数函数y＝ax(0a1)是减函数．
小前提：y＝是指数函数．
结论是正确的．因为大前提、小前提均是正确的．
[例2]
在平面四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，求证：四边形ABCD为平行四边形．写出三段论形式的演绎推理．
[思路点拨]原题可用符号表示为：AB＝CD且BC＝AD四边形ABCD为平行四边形．用演绎推理来证明命题的方法，也就是从包含在命题中的一般原理推出包含在命题中的个别、特殊事实．为了证明这个命题为真，我们只需在前提(AB＝CD且BC＝AD)为真的情况下，以已知公理、已知定义、已知定理为依据，根据推理规则，导出结论为真．
[精解详析](1)连结AC.
(2)AB＝CD，(已知)
BC＝AD，(已知)
CA＝AC.
(3)平面几何中的边边边定理是：有三边对应相等的两个三角形全等．这一定理相当于：
对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等；(大前提)
△ABC和△CDA的三边对应相等；(小前提)
△ABC与△CDA全等．(结论)
符号表示：
AB＝CD且BC＝DA且CA＝AC△ABC≌△CDA.
(4)由全等三角形的性质可知：全等三角形的对应角相等．这一性质相当于：
对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等；(大前提)
△ABC和△CDA全等；(小前提)
它们的对应角相等，即1＝2，3＝4.(结论)
(5)内错角相等，两直线平行；(大前提)
1与2、3与4分别是AB与CD、AD
与BC被AC所截得到的内错角；(小前提)
AB∥CD，AD∥BC.(结论)
(6)两组对边分别平行的四边形为平行四边形；(大前提)
四边形ABCD的两组对边分别平行；(小前提)
四边形ABCD是平行四边形．(结论)
[一点通]应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目的外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的、严密的，才能得出正确的结论．
常见的解题错误：
①条件理解错误(小前提错)；
②定理引入和应用错误(大前提错)；
③推理过程错误等．
3．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝________．
解析：∵由题意可得，＋＋＝10，
a2＋b2＋c2＋＋＋－ax－by－cz＝0，
即＋＋＝0.
a＝，b＝，c＝.＝＝.
答案：
4.
梯形的两腰和一底如果相等，它的对角线必平分另一底上的两个角．
已知：在如图所示的梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的对角线．
求证：AC平分BCD，BD平分CBA.
证明：(1)等腰三角形两底角相等，(大前提)
△DAC是等腰三角形，DA，DC为两腰，(小前提)
1＝2.(结论)
(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等，(大前提)
1和3是平行线AD，BC被AC截出的内错角，(小前提)，
1＝3.(结论)
(3)等于同一个量的两个量相等，(大前提)
2和3都等于1，(小前提)
2＝3.(结论)即AC平分BCD.
(4)同理DB平分CBA.
5.
如图，平行四边形ABCD中，DAB＝60，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB平面ABD.求证：ABDE.
证明：在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，DAB＝60，
BD＝＝2，
AB2＋BD2＝AD2，
ABBD.
又∵平面EBD平面ABD，
平面EBD平面ABD＝BD，AB平面ABD，
AB平面EBD.
∵DE平面EBD，ABDE.
合情推理演绎推理
区别定义根据已有的事实和正确的结论(包括实验和实践的结果)，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程
思维方法归纳、类比三段论
推理
形式由部分到整体、由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理由一般到特殊的推理
结论结论不一定正确，有待于进一步证明在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确
作用具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，利于创新意识的培养按照严格的逻辑法则推理，利于培养和提高演绎推理和逻辑证明的能力
联系合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过逻辑推理来证明
一、填空题
1．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提__________________________________________；
小前提__________________________________________；
结论_____________________________________________．
答案：一次函数的图象是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图象是一条直线．
2．指数函数y＝ax(a1)是增函数，y＝x(1)是指函数，所以y＝x(1)是增函数，在以上演绎推理中，下列说法正确的命题序号是________．
①推理完全正确②大前提不正确③小前提不正确④推理形式不正确
解析：∵y＝x(1)是幂函数，而不是指数函数，
小前提错误．
答案：③
3．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为关于n的没有常数项的二次函数，{bn}的前n项和为Sn＝n2＋3n.所以{bn}为等差数列．上述推理中，下列说法正确的序号是________．
①大前提错误②小前提错误③结论错误④正确
解析：该推理过程中，大前提、小前提、结论都正确．
答案：④
4．三段论①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的．中的小前提是序号________．
解析：该推理的大前提是①，小前提是③，结论是②.
答案：③
5．0，幂函数y＝x的图象在区间(0，＋)上是减函数，y＝x－2是幂函数，由三段论可得结论__________________________________________________．
解析：三段论的结论是蕴涵于前提之中的特殊事实，结合大前提，小前提可得答案．
答案：y＝x－2的图象在区间(0，＋)上是减函数
二、解答题
6．将下面的演绎推理写成三段论的形式：
(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾．
(2)两直线平行，同位角相等，如果A与B是两平行直线被第三条直线所截而成的同位角，则A＝B.
解：(1)大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，
小前提：在一个标准大气压下把水加热到100℃，
结论：水会沸腾．
(2)大前提：两条直线平行，同位角相等．
小前提：A与B是两平行直线被第三条直线所截而成的同位角．
结论：A＝B.
7．已知函数f(x)＝(ax－a－x)，其中a＞0，且a1.
(1)判断函数f(x)在(－，＋)上的单调性，并加以证明；
(2)判断f(2)－2与f(1)－1，f(3)－3与f(2)－2的大小关系，由此归纳出一个更一般的结论，并加以证明．
解：(1)由已知得f(x)＝(ax＋a－x)＞0，
所以f(x)在(－，＋)上是增函数．
(2)f(2)－2＞f(1)－1，f(3)－3＞f(2)－2.
一般的结论：f(n＋1)－(n＋1)＞f(n)－n(nN*)．
证明如下：
上述不等式等价于f(n＋1)－f(n)＞1，即＞1，
化简得(an＋1－1)(an－1)＞0，
在a＞0且a1的条件下，(an＋1－1)(an－1)＞0显然成立，
故f(n＋1)－(n＋1)＞f(n)－n(nN*)成立．
8．已知{an}是各项均为正数的等差数列．lga1、lga2、lga4成等差数列，又bn＝(n＝1，2，3，)．证明：{bn}为等比数列．
证明：∵lga1、lga2、lga4成等差数列，
2lga2＝lga1＋lga4，即a＝a1a4.
若{an}的公差为d，
即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，a1d＝d2，
从而d(d－a1)＝0.
①若d＝0，{an}为常数列，相应{bn}也是常数列，此时{bn}是首项为正数，公比为1的等比数列．
②若d＝a10，则a2n＝a1＋(2n－1)d＝2nd，bn＝＝.
这时{bn}是首项b1＝，公比为的等比数列．
综上，{bn}为等比数列．
第4课时推理案例赏析
[例1]观察如图所示的三角数阵：
记第n行的第2个数为an(n2，nN*)，请仔细观察上述三角数阵的特征，完成下列各题：
(1)第6行的6个数依次为__________、__________、______________、______________、______________、______________；
(2)依次写出a2、a3、a4、a5；
(3)归纳出an＋1与an的关系式．
[思路点拨](1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果．
(2)由数阵可直接写出答案．
(3)写出a3－a2，a4－a3，a5－a4，从而归纳出(3)的结论．
[精解详析]由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．
[答案](1)6，16，25，25，16，6
(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11
(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，
由此归纳：an＋1＝an＋n.
[一点通]对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解了．
1．设[x]表示不超过x的最大整数，如[]＝2，[]＝3，[k]＝k(kN*)．
我的发现：[]＋[]＋[]＝3；
[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10；
[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21；
通过归纳推理，写出一般性结论
_________________________________________________(用含n的式子表示)．
解析：第n行右边第一个数是[]，往后是[]，[]，，最后一个是[]．等号右边是n(2n＋1)．
答案：[]＋[]＋[]＋＋[]＝n(2n＋1)
2．(1)如图(a)、(b)、(c)、(d)所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面围成了多少个区域？
顶点数边数区域数
(a)
(b)
(c)
(d)
(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？
(3)现已知某个平面图形有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边？
解：(1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为
顶点数边数区域数
(a)332
(b)8126
(c)695
(d)10157
(2)观察：3＋2－3＝2；8＋6－12＝2；6＋5－9＝2；10＋7－15＝2，
通过观察发现，它们的顶点数V，边数E，区域数F之间的关系为V＋F－E＝2.
(3)由已知V＝999，F＝999，代入上述关系式得E＝1996，故这个平面图形有1996条边．
[例2]通过计算可得下列等式：
23－13＝312＋31＋1；
33－23＝322＋32＋1；
43－33＝332＋33＋1；
(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1.
将以上各等式两边分别相加，得
(n＋1)3－13＝3(12＋22＋＋n2)＋3(1＋2＋3＋＋n)＋n，
即12＋22＋32＋＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋＋n3的值．
[思路点拨]类比上面的求法；可分别求出24－14，34－24，44－34，(n＋1)4－n4，然后将各式相加求解．
[精解详析]∵24－14＝413＋612＋41＋1，
34－24＝423＋622＋42＋1，
44－34＝433＋632＋43＋1，
(n＋1)4－n4＝4n3＋6n2＋4n＋1.
将以上各式两边分别相加，
得(n＋1)4－14＝4(13＋23＋＋n3)＋6(12＋22＋＋n2)＋4(1＋2＋＋n)＋n
13＋23＋＋n3＝＝n2(n＋1)2.
[一点通](1)解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比，从而产生解题方法的迁移，这是数学学习中很高的境界，需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法．
(2)类比推理的步骤与方法
第一步：弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别．
第二步：把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．
3．二维空间中圆的一维侧度(周长)l＝2r，二维测度(面积)S＝r2，观察发现S＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4r2，三维测度(体积)V＝r3，观察发现V＝S.则四维空间中超球的三维测度V＝8r3，猜想其四维测度W＝________．
解析：(2r4)＝8r3.
答案：2r4
4．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面的面积，S4表示截面的面积，那么你类比得到的结论是______________________．
解析：由于平面图形中的边长应与空间几何体中的面积类比，因此所得到的结论为：S＝S＋S＋S.
答案：S＝S＋S＋S
[例3]已知{an}为等差数列，首项a11，公差d0，n1且nN*.
求证：lgan＋1lgan－1(lgan)2.
[思路点拨]对数之积不能直接运算，可由基本不等式转化为对数之和进行运算．
[精解详析]∵{an}为等差数列，
an＋1＋an－1＝2an.
∵d0，
an－1an＋1＝(an－d)(an＋d)＝a－d2a.
∵a11，d0，an＝a1＋(n－1)d1.
lgan0.
lgan＋1lgan－1
＝＝(lgan)2，
即lgan＋1lgan－1(lgan)2.
[一点通]三段论推理的根据，从集合的观点来讲，就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.
5.
如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B.
(1)证明：平面AB1C平面A1BC1；
(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．
要求：写出每一个三段论的大前提、小前提、结论．
解：(1)因为菱形的对角线互相垂直(大前提)，
侧面BCC1B1是菱形(小前提)，
所以B1CBC1(结论)．
又线面垂直的判定定理(大前提)，
B1CA1B，且A1BBC1＝B(小前提)，
所以B1C平面A1BC1(结论)．
又面面垂直的判定定理(大前提)，
B1C平面AB1C，B1C平面A1BC1(小前提)，
所以平面AB1C平面A1BC1(结论)．
(2)设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．
根据线面平行的性质定理(大前提)，因为A1B∥平面B1CD(小前提)，
所以A1B∥DE(结论)．
又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1＝1∶1.
6．求证：函数y＝是奇函数，且在定义域上是增函数．
证明：y＝f(x)＝＝1－，
所以f(x)的定义域为xR.
f(－x)＋f(x)＝＋
＝2－＝2－
＝2－＝2－2＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
任取x1，x2R，且x1x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝2＝2.
因为x1x2，所以2x12x2，2x1－2x20，
所以f(x1)f(x2)．故f(x)为增函数．
1．通俗地说，合情推理是指合乎情理的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常为我们提供证明的思路和方向．
2．在数学推理活动中常常利用归纳和类比去发现结论，再想办法去证明或否定发现的结论．
一、填空题
1．设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k＋1)＝f(k)＋___________.
解析：k棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的k－2条侧棱可构成k－2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面．
所以f(k＋1)＝f(k)＋k－2＋1＝f(k)＋k－1.
答案：k－1
2．如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有__________条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)＝______；f(n)＝________．(答案用数字或含n的式子表示)
解析：所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数，
即n＋n＋＝.f(4)＝42＋2＝12，
f(n)＝n(n－2)＋(n－2)＝.
答案：12
3．(陕西高考)已知f(x)＝，x0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，nN*,则f2014(x)的表达式为________．
解析：由f1(x)＝f2(x)＝f＝＝；又可得f3(x)＝f(f2(x))＝＝，故可猜想f2014(x)＝.
答案：
4．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的分裂：
23＝33＝43＝.
仿此，若m3的分裂数中有一个是2015，则m＝________．
解析：根据分裂特点，设最小数为a1，
则ma1＋2＝m3，a1＝m2－m＋1.
∵a1为奇数，又452＝2025，
猜想m＝45.
验证453＝91125＝.
答案：45
5．观察以下等式
sin230＋cos290＋sin30cos90＝；
sin225＋cos285＋sin25cos85＝；
sin210＋cos270＋sin10cos70＝.
推测出反映一般规律的等式：_______________________________________.
解析：∵90－30＝60，85－25＝60，70－10＝60，
其一般规律为sin2＋cos2(60＋)＋sincos(60＋)＝.
答案：sin2＋cos2(60＋)＋sincos(60＋)＝
二、解答题
6．试将下列演绎推理写成三段论的形式：
(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；
(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；
(3)一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数；
(4)等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常数)，数列1，2，3，n是等差数列，所以数列1，2，3，，n的通项具有an＝pn＋q的形式．
解：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，(大前提)
海王星是太阳系中的大行星，(小前提)
海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．(结论)
(2)所有导体通电时发热，(大前提)
铁是导体，(小前提)
铁通电时发热．(结论)
(3)一次函数都是单调函数，(大前提)
函数y＝2x－1是一次函数，(小前提)
y＝2x－1是单调函数．(结论)
(4)等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常数)，(大前提)
数列1，2，3，，n是等差数列，(小前提)
数列1，2，3，，n的通项具有an＝pn＋q的形式．(结论)
7．平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的，如：长方形的每一边与其对边平行，而与其余的边垂直；长方体的每一面与其相对面平行，而与其余的面垂直，请用类比法写出更多相似的命题．(写出三种即可)
解：(1)(平面)在平行四边形中，对角线互相平分；
(立体)在平行六面体中，体对角线相交于同一点，且在这一点互相平分．
(2)(平面)在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和；
(立体)在平行六面体中，各体对角线长的平方和等于各棱长的平方和．
(3)(平面)圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；
(立体)球体积等于球表面积与半径之积的1/3.
(4)(平面)正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍；
(立体)正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍．
8．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)写出f(5)的值；
(2)利用合情推理的归纳推理思想，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求＋＋＋＋的值．
解：(1)f(5)＝41.
(2)因为f(2)－f(1)＝4＝41，
f(3)－f(2)＝8＝42，
f(4)－f(3)＝12＝43，
f(5)－f(4)＝16＝44，
由以上规律，可得出f(n＋1)－f(n)＝4n，
因为f(n＋1)－f(n)＝4n，所以f(n＋1)＝f(n)＋4n，
所以当n2时，
f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)
＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)
＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)
＝
＝f[n－(n－1)]＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋＋4[n－(n－1)]
＝2n2－2n＋1.
f(1)＝1也适合上式，故f(n)＝2n2－2n＋1(nN*)．
(3)当n2时，
＝＝，
所以＋＋＋＋
＝1＋
＝1＋＝－.

高二数学选修2-2定积分的简单应用导学案及练习题

一、基础过关
1．用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是()
A．caf(x)dx
B．|caf(x)dx|
C．baf(x)dx＋cbf(x)dx
D．cbf(x)dx－baf(x)dx
2．由y＝1x，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为()
A．ln2B．ln2－1
C．1＋ln2D．2ln2
3．曲线y＝x3与直线y＝x所围成图形的面积等于()
A．1－1(x－x3)dxB．1－1(x3－x)dx
C．210(x－x3)dxD．20－1(x－x3)dx
4．曲线y＝x2－1与x轴所围成图形的面积等于()
A.13B.23
C．1D.43
5．由曲线y＝x与y＝x3所围成的图形的面积可用定积分表示为________．
6．由y＝x2，y＝14x2及x＝1围成的图形的面积S＝________.
二、能力提升
7．设f(x)＝x2，x∈[0，1]，2－x，x∈1，2]，则20f(x)dx等于()
A.34B.45C.56D．不存在

8．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c0)围成图形的面积是23，则c等于()
A.13B.12C．1D.23
9．从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．
10．求曲线y＝6－x和y＝8x，x＝0围成图形的面积．

11．求曲线y＝x2－1(x≥0),直线x＝0，x＝2及x轴围成的封闭图形的面积．

12．设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2,4)移动，如果直线OP，曲
线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1、S2.
(1)当S1＝S2时，求点P的坐标；
(2)当S1＋S2有最小值时，求点P的坐标和最小值．

2019年选修1-2数学第3章数系的扩充与复数的引入学案（苏教版）

俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。优秀有创意的高中教案要怎样写呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《2019年选修1-2数学第3章数系的扩充与复数的引入学案（苏教版）》，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

3.1数系的扩充
问题1：方程2x2－3x＋1＝0.试求方程的整数解？方程的实数解？
提示：方程的整数解为1，方程的实数解为1和.
问题2：方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？
提示：没有解．
问题3：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？
提示：有解，x＝i.
问题4：实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋bi，这一新数集形式如何表示？
提示：C＝{a＋bi|a，bR}．
1．虚数单位i
我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：
(1)i2＝－1．
(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．
2．复数的概念
形如a＋bi(a，bR)的数叫做复数．全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.
3．复数的代数形式
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，bR)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
问题1：复数z＝a＋bi(a，bR)，当b＝0时，z是什么数？
提示：当b＝0时，z＝a为实数．
问题2：复数z＝a＋bi(a，bR)，当a＝0时，z是什么数？
提示：当a＝b＝0时，z＝0为实数；当a＝0，b0，z＝bi为纯虚数．
1．复数z＝a＋bi
2．两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等．
1．注意复数的代数形式z＝a＋bi中a，bR这一条件，否则a，b就不一定是复数的实部与虚部．
2．复数集是实数集的扩充，两个实数可以比较大小，但若两个复数不全为实数，则不能比较大小．在复数集里，一般没有大小之分，但却有相等与不相等之分．
[例1]实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
[思路点拨]分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断．
[精解详析](1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－10，解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－30，且有意义，即m－10，解得m1且m－3.
(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，且m2＋2m－30，解得m＝0或m＝－2.
[一点通]z＝a＋bi(a，bR)是复数的基本定义，由a，b的取值来确定z是实数、虚数、纯虚数还是零．在解题时，关键是确定复数的实部和虚部．
1．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．
解析：∵z＝(x2－1)＋(x－1)i是纯虚数，
x＝－1.
答案：－1
2．已知复数2＋，i，0i，5i＋8，i(1－)，i2，其中纯虚数的个数为________．
解析：∵0i＝0，i2＝－1，
纯虚数有i，i.
答案：2
3．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解：(1)当
即m＝2时，
复数z是实数；
(2)当m2－2m0，
即m0.
且m2时，
复数z是虚数；
(3)当
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
[例2]已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若MP＝P，求实数m的值．
[思路点拨]因为MP＝P，所以M?P，从而可建立关于m的关系式，进而求得m的值．
[精解详析]∵M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，
P＝{－1，1，4i}，且MP＝P.
M?P，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
或
m＝1或m＝2.
[一点通](1)一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小．
(2)复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．
(3)必须在代数形式下确定实部、虚部后才可应用．
4．当关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，则实数m＝________．
解析：设实根为x0，则x＋x0＋2x0i＋3m＋i＝0.
即x＋x0＋3m＋(2x0＋1)i＝0.
m＝.
答案：
5．已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x、y的值．
解：∵x，y为实数，
2x－1，y＋1，x－y，－x－y均为实数，由复数相等的定义，
知
6．已知m是实数，n是纯虚数，且2m＋n＝4＋(3－m)i，求m，n的值．
解：设n＝bi(bR且b0)
由2m＋n＝4＋(3－m)i得2m＋bi＝4＋(3－m)i，
m的值为2，n的值为i.
[例3]若不等式m2－(m2－3m)i(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．
[思路点拨].
[精解详析]∵m2－(m2－3m)i(m2－4m＋3)i＋10，
解上式得：m＝3.
[一点通]不全为实数的两个复数没有大小的关系，只有相等或不等．由两个复数可以比较大小，知两个数必全为实数，进而根据复数的分类法列实数m的方程(组)求解．
7．已知复数x2－1＋(y＋1)i大于复数2x＋2＋(y2－1)i，试求实数x，y的取值范围．
解：∵x2－1＋(y＋1)i2x＋2＋(y2－1)i，(x，yR)，
8．已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(kR)，且z0，求实数k.
解：∵z0，zR.
k2－5k＋6＝0.
k＝2或k＝3.但当k＝3时，z＝0不符合题意．
k＝2时，z＝－20符合题意．
k＝2.
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数bi(b0，bR)不要只记形式，要注意b0.
2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解．
3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．即a＋bi0(a，bR).
一、填空题
1．下列命题中，
①若aR，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，bR且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝1；
④两个虚数不能比较大小．
其中正确的命题是________．
解析：①若a＝－1，则(a＋1)i＝0，①错；②复数中的虚数只能说相等或不相等，不能比较大小．②错；③中x＝－1则x2＋3x＋2＝0，x＝－1不适合，③错；④是正确的．
答案：④
2．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为________．
解析：由复数相等的充要条件可知
解得a＝－4.
答案：－4
3．复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(aR)是纯虚数，则a的取值为________．
解析：∵复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i是纯虚数，
解之得a＝－1.
答案：－1
4．已知M＝{1，2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，N＝{－1，3}，MN＝{3}，则实数a＝________．
解析：∵MN＝{3}，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，即解之得a＝－1.
答案：－1
5．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中aR，z1z2，则a的值为________．
解析：∵z1z2，
即
故a＝0.
答案：0
二、解答题
6．已知复数(2k2－3k－2)＋(k2－k)i，实部小于零，虚部大于零，求实数k的取值范围．
解：由题意得即
即解得－k0或1k2.
7．求适合方程xy－(x2＋y2)i＝2－5i的实数x，y的值．
解：由复数相等的条件可知：
解得或或或
8．设复数z＝lg(m2－2m－14)＋(m2＋4m＋3)i，试求实数m的值，使(1)z是实数；(2)z是纯虚数．
解：(1)∵z为实数，
虚部m2＋4m＋3＝0，
则m＝－1或m＝－3.
而当m＝－1时，m2－2m－14＝1＋2－140(舍去)；
当m＝－3时，m2－2m－14＝10.
当m＝－3时z为实数．
(2)∵z为纯虚数，
实部lg(m2－2m－14)＝0，
且m2＋4m＋30，即解得m＝5.
当m＝5时z为纯虚数．