高二数学《圆锥曲线最值问题的求解》集体备课。

俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。教师要准备好教案，这是教师的任务之一。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。您知道教案应该要怎么下笔吗？以下是小编收集整理的“高二数学《圆锥曲线最值问题的求解》集体备课”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

高二数学《圆锥曲线最值问题的求解》集体备课

一、定义法（最短路径）
对于求距离和的问题，要结合圆锥曲线自身的特点，巧妙地利用定义，解决距离的最值.
例1：已知抛物线，定点A(3,1)，F是抛物线的焦点，在抛物线上求一点P,使|AP|+|PF|取最小值，并求的最小值。:
分析：利用抛物线的定义把到点p到抛物线准线的距离转化成点P到焦点的距离，在利用三角形的知识求最小值.由点A引准线的垂线，垂足Q，则|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,即为最小值。
O
F(1,0)x
A(3,1)
y
QP
解：如图，,焦点F(1,0)。由点A引准线x=-1的垂线，垂足Q，则|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,即为最小值..
由,得为所求点.
若另取一点，显然。
[点悟]：解此类最值问题时，首先注意圆锥曲线定义的转化应用，其次是平面几何知识的应用，例如两点之间的线段最短，三角形中的三边之间的不等关系，点与直线上的点的连线的中垂线段最短等.
二、参数法
利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题，或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题求解。
例2、已知椭圆，直线l：,椭圆上有一动点p,求p到直到直线的最小距离.
分析：写出椭圆参数方程，设切点为，然后代入点到直线的距离公式，结合三角函数的最值判断距离的最值.
解：由题意可设动点的坐标为，
则点P到直线l的距离为
[点悟]利用圆锥曲线参数方程转化为求三角函数的最值问题，再利用三角函数的有界性得出结果。
三、二次函数法
将所求问题转化为二次函数最值问题，再利用配方法或均值不等式或判别式等方法求解.
分析：求出椭圆的焦点，代入所求的表达式中，整理得出函数的表达式，再利用函数方法求解。
解：易知，所以设
因为，所以x=0,即点P为短轴的端点时，有最小值-2.
当
[点悟]把所求的最值表示为函数，再寻求函数在给定区间上的最值，但要注意函数的定义域。
四、数形结合
在求圆锥曲线最值问题中，如果用代数方法求解比较复杂，可考虑用几何知识求解，，利用平面几何知识求解，蕴涵了数形结合的思想。
例4：若实数.
分析：看似是函数求最值，如果做起来实在是不容易，如果考虑到x,y的几何意义，那么问题就简单的多了
解
则，
即表示中心在
顶点坐标
的最大值
即是求表示椭圆上的点到C（-1，0）的距离的平方的最大值减1
所以
[点悟]：在解决求值问题时，应先从几何直观图形出发，根据图形的几何性质洞察最值出现的位置，再从代数运算入手，最终求的最值.
五、不等式法
列出最值关系式，利用均值不等式“等号成立”的条件求解。
例5抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积
分析直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题本例主要涉及弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算.
解：由题意，可设l的方程为y=x+m,其中－5＜m＜0
由方程组,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0①
∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，
∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,
解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)
设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,
∴|MN|=4
点A到直线l的距离为d=
∴S△=2(5+m),从而S△2=4(1－m)(5+m)2
=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128
∴S△≤8,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号
故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8jAB88.COm

扩展阅读

高考数学圆锥曲线最经典题型研究教案

圆锥曲线最经典题型研究
第一定义、第二定义、双曲线渐近线等考查

1、（2010辽宁理数）设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐
近线垂直，那么此双曲线的离心率为
(A)(B)(C)(D)
【答案】D
2、（2010辽宁理数）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|=
(A)(B)8(C)(D)16
【答案】B
3、（2010上海文数）8.动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为y28x。
4、（2010全国卷2理数）（15）已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则．
若双曲线-=1(b0)的渐近线方程式为y=，则ｂ等于。
【答案】1
5、已知椭圆的两焦点为,点满足,则||+|的取值范围为_______，直线与椭圆C的公共点个数_____。
6、已知点P是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，I为的内心，若成立，则双曲线的离心率为（▲）
A．4B．C．2D．

8、（2010重庆理数）（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是
A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线
解析：排除法轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B
9、（2010四川理数）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是
（A）（B）（C）（D）
解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，
即F点到P点与A点的距离相等
而|FA|＝
|PF|∈[a－c,a＋c]
于是∈[a－c,a＋c]
即ac－c2≤b2≤ac＋c2
∴
又e∈(0,1)
故e∈
答案：D
10、（2010福建理数）若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为()
A．B．C．D．
【答案】B
11、（北京市海淀区2010年4月高三第一次模拟考试理科试题）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形.若，双曲线的离心率的取值范围为.则该椭圆的离心率的取值范围是.
12、（2010年4月北京市西城区高三抽样测试理科）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则的最小值为___________.
13、（北京市东城区2010届高三第二学期综合练习理科）直线过双曲线的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若原点在以为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是．

14、（2010全国卷1文数）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠=，则
(A)2(B)4(C)6(D)8
15、（2010全国卷1理数）(9)已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则P到x轴的距离为
(A)(B)(C)(D)

16、（2010重庆理数）(14)已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,则弦AB的中点到准线的距离为___________.
解析：设BF=m,由抛物线的定义知
中，AC=2m,AB=4m,
直线AB方程为
与抛物线方程联立消y得
所以AB中点到准线距离为
17、（2010上海文数）已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点.
（1）若点满足，求点的坐标；
（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；
（3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆的两个交点、满足？令，，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标.
解析：(1)；
(2)由方程组，消y得方程，
因为直线交椭圆于、两点，
所以0，即，
设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，
则，
由方程组，消y得方程(k2k1)xp，
又因为，所以，
故E为CD的中点；
(3)因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率，从而得直线l的方程．
，直线OF的斜率，直线l的斜率，
解方程组，消y：x22x480，解得P1(6,4)、P2(8,3)．

18、（2010全国卷2理数）（21）（本小题满分12分）
己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．

19、（2010安徽文数）椭圆经过点，对称轴为坐标轴，
焦点在轴上，离心率。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程。
20、（2010全国卷1理数）（21）(本小题满分12分)
已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D.
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设，求的内切圆M的方程.

21、（2010江苏卷）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m0,。
（1）设动点P满足,求点P的轨迹；
（2）设，求点T的坐标；
（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。

22、在直角坐标系中，点M到点的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线与轨迹C交于不同的两点P和Q.
（I）求轨迹C的方程；
（II）当时，求k与b的关系，并证明直线过定点.
解：（1）的距离之和是4，
的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，
其方程为…………3分
（2）将，代入曲线C的方程，
整理得
…………5分
因为直线与曲线C交于不同的两点P和Q，
所以①
设，则
②…………7分
且③
显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A（-2，0），
所以
由
将②、③代入上式，整理得…………10分
所以
即经检验，都符合条件①
当b=2k时，直线的方程为
显然，此时直线经过定点（-2，0）点.
即直线经过点A，与题意不符.
当时，直线的方程为
显然，此时直线经过定点点，且不过点A.
综上，k与b的关系是：
且直线经过定点点…………13分

23、（北京市朝阳区2010年4月高三年级第二学期统一考试理科）（本小题满分13分）
已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C的离心率为，且经过点，过点P（2，1）的直线与椭圆C在第一象限相切于点M.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求直线的方程以及点M的坐标；
（3））是否存过点P的直线与椭圆C相交于不同的两点A、B，满足？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由.
解（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由题意得
解得，故椭圆C的方程为.……………………4分
（Ⅱ）因为过点P（2，1）的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可调直线l的议程为
由得.①
因为直线与椭圆相切，所以
整理，得解得[
所以直线l方程为
将代入①式，可以解得M点横坐标为1，故切点M坐标为…………9分
（Ⅲ）若存在直线l1满足条件，的方程为，代入椭圆C的方程得
因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为
所以
所以.
又，
因为即，
所以.
即
所以，解得
因为A，B为不同的两点，所以.
于是存在直线1满足条件，其方程为………………………………13分
24、直线的右支交于不同的两点A、B.
（I）求实数k的取值范围；
（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
答案：.解：（Ⅰ）将直线
……①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得
……②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）.
则由FA⊥FB得：
整理得
……③
把②式及代入③式化简得
解得
可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.

高考数学圆锥曲线的综合问题复习教案

§9.8圆锥曲线的综合问题
★知识梳理★
1.直线与圆锥曲线C的位置关系：
将直线的方程代入曲线C的方程，消去y或者消去x，得到一个关于x（或y）的方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)交点个数：
①当a＝0或a≠0，⊿＝0时,曲线和直线只有一个交点；②当a≠0,⊿0时,曲线和直线有两个交点；③当⊿0时,曲线和直线没有交点。
(2)弦长公式：
2.对称问题：
曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿0）③曲线上两点的中点在对称直线上。
3.求动点轨迹方程：
①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法；②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法；③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法。
★重难点突破★
重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法；理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值
难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题
重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题
1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能
①求弦长时用韦达定理设而不求;②弦中点问题用“点差法”设而不求.
2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用
问题1：已知点为椭圆的左焦点，点，动点在椭圆上，则的最小值为.
点拨：设为椭圆的右焦点，利用定义将转化为，结合图形，，当共线时最小，最小值为
★热点考点题型探析★
考点1直线与圆锥曲线的位置关系
题型1：交点个数问题
[例1]设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）
A．[－，]B．[－2，2]C．[－1，1]D．[－4，4]
【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法
[解析]易知抛物线的准线与x轴的交点为Q(－2,0)，
于是，可设过点Q(－2,0)的直线的方程为，
联立
其判别式为，可解得，应选C.
【名师指引】（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法
（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）
（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论
【新题导练】
1.（09摸底）已知将圆上的每一点的纵坐标压缩到原来的,对应的横坐标不变,得到曲线C；设，平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m≠0),直线与曲线C交于A、B两个不同点.
(1)求曲线的方程；(2)求m的取值范围.
[解析]（1）设圆上的动点为压缩后对应的点为，则，
代入圆的方程得曲线C的方程：
（2）∵直线平行于OM，且在y轴上的截距为m,又,
∴直线的方程为.由,得
∵直线与椭圆交于A、B两个不同点，∴
解得.∴m的取值范围是.
题型2：与弦中点有关的问题
[例2]（08韶关调研）已知点A、B的坐标分别是，.直线相交于点M，且它们的斜率之积为－2.(Ⅰ)求动点M的轨迹方程;
(Ⅱ)若过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点,且N为线段CD的中点，求直线的方程.
【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解
[解析](Ⅰ)设，
因为,所以化简得:
(Ⅱ)设
当直线⊥x轴时,的方程为,则,它的中点不是N,不合题意
设直线的方程为将代入得
…………(1)…………(2)
(1)－(2)整理得:
直线的方程为即所求直线的方程为
解法二:当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,
其中点不是N,不合题意.故设直线的方程为,
将其代入化简得
由韦达定理得,
又由已知N为线段CD的中点,得,解得,
将代入(1)式中可知满足条件.
此时直线的方程为,即所求直线的方程为
【名师指引】通过将C、D的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁
【新题导练】
2.椭圆的弦被点所平分，求此弦所在直线的方程。
[解析]设弦所在直线与椭圆交于两点，则
，，两式相减得：，
化简得，
把代入得
故所求的直线方程为，即
3.已知直线y＝－x＋1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y＝0上，求此椭圆的离心率
[解析]设，AB的中点为,
代入椭圆方程得，,两式相减,得.
AB的中点为在直线上，，
，而
题型3：与弦长有关的问题
[例3](山东泰州市联考)已知直线被抛物线截得的弦长为20，为坐标原点．（1）求实数的值；
（2）问点位于抛物线弧上何处时，△面积最大？

【解题思路】用“韦达定理”求弦长；考虑△面积的最大值取得的条件
[解析]（1）将代入得，
由△可知，弦长AB，解得；
（2）当时，直线为，要使得内接△ABC面积最大，
则只须使得，即，即位于（4，4）点处．
【名师指引】用“韦达定理”不要忘记用判别式确定范围
【新题导练】
4.(山东省济南市高三统一考试)
已知椭圆与直线相交于两点．
（1）当椭圆的半焦距，且成等差数列时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，求弦的长度；
[解析]（1）由已知得：，∴
所以椭圆方程为：
（2），由，得
∴∴
（文）已知点和，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线交于D、E两点，求线段DE的长．
（文）解：根据双曲线的定义，可知C的轨迹方程为．设，，
联立得．则．
所以．
故线段DE的长为．
考点2：对称问题
题型：对称的几何性质及对称问题的求法（以点的对称为主线，轨迹法为基本方法）
【新题导练】
[例4]若直线l过圆x2＋y2＋4x－2y＝0的圆心M交椭圆＝1于A、B两点，若A、B关于点M对称，求直线l的方程．
[解析]，设，则
又，，两式相减得：，
化简得，
把代入得
故所求的直线方程为，即
所以直线l的方程为：8x－9y＋25＝0.
5.已知抛物线y2＝2px上有一内接正△AOB，O为坐标原点.
求证：点A、B关于x轴对称；
[解析]设，，，
，即，
，，，故点A、B关于x轴对称
6.在抛物线y2＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围.
[解析]（1）当时，曲线上不存在关于直线对称的两点．
（2）当k≠0时，设抛物线y2＝4x上关于直线对称的两点，AB的中点为，则直线直线的斜率为直线，可设
代入y2＝4x得
，
在直线y＝kx＋3上，，
代入得即,又恒成立，所以－1＜k＜0．
综合（1）（2），k的取值范围是（－1，0）
考点3圆锥曲线中的范围、最值问题
题型：求某些变量的范围或最值
[例5]已知椭圆与直线相交于两点．当椭圆的离心率满足，且（为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围．
【解题思路】通过“韦达定理”沟通a与e的关系
[解析]由，得
由，得此时
由，得，∴
即，故由，得
∴由得，∴
所以椭圆长轴长的取值范围为
【名师指引】求范围和最值的方法：
几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题
代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值．
【新题导练】
7.已知P是椭圆C：的动点，点关于原点O的对称点是B，若|PB|的最小值为，求点P的横坐标的取值范围。

[解析]由，设
，
，，解得或
又或
8.定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．
[解析]设，，
因AB与x轴不平行，故可设AB的方程为，
将它代入得
由得即
，
将代入得
当且仅当即时取等号，此时，
所以，点M为或时，到y轴的最短距离最小，最小值为．
9.直线m：y＝kx＋1和双曲线x2－y2＝1的左支交于A，B两点，直线过点P（－2，0）和线段AB的中点M，求在y轴上的截距b的取值范围．
[解析]由消去y得：
解得
设M（x0，y0）则
三点共线
令上为减函数.
10.已知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求的最小值；
（2）求|PA|＋|PB|的最小值和最大值．
[解析]（1）最小值为
（2）最大值为10＋|BC|＝；最小值为10－|BC|＝．
考点4定点，定值的问题
题型：论证曲线过定点及图形（点）在变化过程中存在不变量
[例6]已知P、Q是椭圆C：上的两个动点，是椭圆上一定点，是其左焦点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。
求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；
【解题思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差数列”找出两动点间的坐标关系
证明：设知
同理
①当，
从而有设PQ的中点为，
得线段PQ的中垂线方程为
②当
线段PQ的中垂线是x轴，也过点
【名师指引】定点与定值问题的处理一般有两种方法：
（1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关;
（2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）．
【新题导练】
11.已知抛物线C的方程为y＝x2－2m2x－(2m2＋1)(m∈R)，则抛物线C恒过定点
[解析](－1,0)[令x＝－1得y＝0]
12.试证明双曲线－＝1（a＞0，b＞0）上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数.
[解析]双曲线上任意一点为，
它到两渐近线的距离之积
考点6曲线与方程
题型：用几种基本方法求轨迹方程
[例7]已知抛物线C：y2＝4x，若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；
【解题思路】探求动点满足的几何关系，在转化为方程
［解析］由抛物线y2＝4x,得焦点F(1,0),准线x＝－1
(1)设P(x,y)，则B(2x－1,2y),椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|＝e,
又设点B到l的距离为d,则|BF|∶d＝e,∴|FO′|∶|BF|＝|BF|∶d,
即(2x－2)2＋(2y)2＝2x(2x－2),化简得P点轨迹方程为y2＝x－1(x＞1)
[名师指引]求曲线方程的方法主要有：直接法、定义法、代入法、参数法，本题用到直接法，但题目条件需要转化
【新题导练】
13.点P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段OP中点，则点M的轨迹方程是.
[解析][相关点法]
14.过双曲线C:的右焦点F作直线l与双曲线C交于P、Q两点，,求点M的轨迹方程．
[解析]右焦点（2，0），设
得，，直线l的斜率
又,,两式相减得,
把，，代入上式得
15.已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为．求动点的轨迹方程；
[解析]（1）由条件知，动点的轨迹为椭圆，其中半焦距为，
点P在y轴上时最大，由余弦定理得，动点的轨迹方程．
16.(广东实验中学)已知圆C:.
(1)直线过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若，求直线的方程；
(2)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量，求动点的轨迹方程.
(3)若点R(1,0)，在（2）的条件下，求的最小值.
解析（1）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意……1分
②若直线不垂直于轴，设其方程为，即…2分
设圆心到此直线的距离为，则，得
∴，，………4分故所求直线方程为3x－4y＋5＝0
综上所述，所求直线为3x－4y＋5＝0或x＝1……………5分
(2)设点M的坐标为(x0,y0)，Q点坐标为(x,y)则N点坐标是(x0,0)
∵，∴即，………7分
又∵，∴…………9分
直线m//y轴，所以，,∴点的轨迹方程是()……10分
（3）设Q坐标为(x,y)，，，……11分
又()可得：
.………13分
…………14分
★课后训练★
基础巩固训练
1.已知是三角形的一个内角，且，则方程表示
（A）焦点在x轴上的椭圆（B）焦点在y轴上的椭圆
（C）焦点在x轴上的双曲线（D）焦点在y轴上的双曲线
1.[解析]B.由知，
2.已知点M（3，4）在一椭圆上，则以点M为顶点的椭圆的内接矩形的面积是（）
（A）12（B）24（C）48（D）与椭圆有关
2.[解析]C[由椭圆的对称性可知];
3.已知点F（，直线，点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是（）
A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线
3.[解析]D.[MB＝MF]
4.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且，则这样的直线有___________条.
4.[解析]3；垂直于实轴的弦长为4,实轴长为2.
5.是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是．
5.[解析]≤;
6.若双曲线与圆有公共点，则实数的取值范围为.
6.[解析][]
综合提高训练
7.已知抛物线的弦AB经过点P（4，2）且OA⊥OB（O为坐标原点），弦AB所在直线的方程为
7.[解析]12x—23y—2＝0记住结论：
8.已知椭圆，直线l到原点的距离为求证：直线l与椭圆必有两上交点.
8.[解析]证明：当直线l垂直x轴时，由题意知：
不妨取代入曲线E的方程得：
即G（，），H（，－）有两个不同的交点，
当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为：
由题意知：
由
∴直线l与椭圆E交于两点,综上，直线l必与椭圆E交于两点
9.求过椭圆内一点A（1，1）的弦PQ的中点M的轨迹方程．
9.［解析］解：设动弦PQ的方程为，设P（），Q（），M（），则：①②
①－②得：
当时，
由题意知，即③
③式与联立消去k，得④
当时，k不存在，此时，，也满足④．
故弦PQ的中点M的轨迹方程为：
10.已知抛物线．过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B．若,求a的取值范围．
10.[解析]直线的方程为，将，
得:．
设直线与抛物线的两个不同交点的坐标为、，
则又，
∴．
∵，∴．
解得．
11.过抛物线的焦点作一条斜率为k(k≠0)的弦，此弦满足：①弦长不超过8；②弦所在的直线与椭圆3x2＋2y2＝2相交，求k的取值范围．
11.解析：抛物线的焦点为(1，0)，设弦所在直线方程为
由得2分
∴故
由，解得k≥1
由得8分
由，解得k23因此1≤k23
∴k的取值范围是[，－1]∪[1，]
12.在直角坐标平面内，已知两点A（－2，0）及B（2，0），动点Q到点A的距离为6，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P。
（Ⅰ）证明|PA|＋|PB|为常数，并写出点P的轨迹T的方程；

12.解：）连结PB∵线段BQ的垂直平分线与AQ交于点P，∴|PB|＝|PQ|，又|AQ|＝6，
∴|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PQ|＝|AQ|＝6（常数）。
又|PA|＋|PB||AB|，从而P点的轨迹T是中心在原点，以A、B为两个焦点，长轴在x轴上的椭圆，其中，2a＝6，2c＝4，∴椭圆方程为

圆锥曲线

古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教师要准备好教案，这是高中教师的任务之一。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，让高中教师能够快速的解决各种教学问题。优秀有创意的高中教案要怎样写呢？下面是小编为大家整理的“圆锥曲线”，希望能对您有所帮助，请收藏。

一、的最值
若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离心率，求的最小值。
例1.已知椭圆内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。
分析：注意到式中的数值“”恰为，则可由椭圆的第二定义知等于椭圆上的点P到左准线的距离。这种方法在本期《椭圆中减少运算量的主要方法》一文中已经介绍过，这里不再重复，答案为。
二、的最值
若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。
例2.已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。
解：如图1，设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0）
图1
由椭圆的第一定义得：
可知，当P为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为，当P为的延长线与椭圆的交点时，最小，最小值为。
故的最大值为，最小值为。
三、的最值
若A为椭圆C外一定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到的距离为d，求的最小值。
例3.已知椭圆外一点A（5，6），为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。
解：如图2，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为
图2
根据椭圆的第二定义有：，即
可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时，最小，最小值。
故的最小值为10。
四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值
例4.定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。
解：设F为椭圆的右焦点，如图3，作于A”，BB”⊥于B”，MM”⊥于M”
图3
则
当且仅当AB过焦点F时等号成立。
故M到椭圆右准线的最短距离为。
评注：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，是AB能过焦点的充要条件。

高考数学圆锥曲线复习教案

一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责，作为高中教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生更好的消化课堂内容，使高中教师有一个简单易懂的教学思路。你知道如何去写好一份优秀的高中教案呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“高考数学圆锥曲线复习教案”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

90题突破高中数学圆锥曲线
1.如图，已知直线L：的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线上的射影依次为点D、E。
（1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；
（2）（理）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。
（文）若为x轴上一点,求证:

2.如图所示，已知圆定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E。
（1）求曲线E的方程；
（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足的取值范围。
3.设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q，且
⑴求椭圆C的离心率；
⑵若过A、Q、F三点的圆恰好与直线
l：相切，求椭圆C的方程.
4.设椭圆的离心率为e=
（1）椭圆的左、右焦点分别为F1、F2、A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程.
（2）求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，而且OQ1⊥OQ2．
5.已知曲线上任意一点P到两个定点F1(-，0)和F2(，0)的距离之和为4．
（1）求曲线的方程；
（2）设过(0，-2)的直线与曲线交于C、D两点，且为坐标原点），求直线的方程．
6.已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．
（Ⅰ）当m＋n0时，求椭圆离心率的范围；
（Ⅱ）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．
7.有如下结论：“圆上一点处的切线方程为”，类比也有结论：“椭圆处的切线方程为”，过椭圆C：的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为A、B.
（1）求证：直线AB恒过一定点；（2）当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积
8.已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．
（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；
（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．
9.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为，右焦点与点的距离为。
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率的直线：，使直线与椭圆相交于不同的两点满足，若存在，求直线的倾斜角；若不存在，说明理由。
10.椭圆方程为的一个顶点为，离心率。
（1）求椭圆的方程；
（2）直线：与椭圆相交于不同的两点满足，求。
11.已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为．
(1)若椭圆的离心率，求的方程；
（2）若的圆心在直线上，求椭圆的方程．
12.已知直线与曲线交于不同的两点，为坐标原点．
（Ⅰ）若，求证：曲线是一个圆；
（Ⅱ）若，当且时，求曲线的离心率的取值范围．
13.设椭圆的左、右焦点分别为、，A是椭圆C上的一点，且，坐标原点O到直线的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点，较y轴于点M，若，求直线l的方程．
14.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点的切线方程为为常数）.
（I）求抛物线方程；
（II）斜率为的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为的直线PB与抛物线的另一交点为B（A、B两点不同），且满足，求证线段PM的中点在y轴上；
（III）在（II）的条件下，当时，若P的坐标为（1，－1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.
15.已知动点A、B分别在x轴、y轴上，且满足|AB|=2，点P在线段AB上，且
设点P的轨迹方程为c。
（1）求点P的轨迹方程C；
（2）若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点（M、N不在坐标轴上），点Q
坐标为求△QMN的面积S的最大值。
16.设上的两点，
已知，，若且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由
17.如图，F是椭圆(ab0)的一个焦点，A,B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为．点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线l1：相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程：
（Ⅱ）过点A的直线l2与圆M交于PQ两点，且，求直线l2的方程．
18.如图，椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由.
19.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点.直线交椭圆于两不同的点.
20.设，点在轴上，点在轴上，且
（1）当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）设是曲线上的点，且成等差数列，当的垂直平分线与轴交于点时，求点坐标.
21.已知点是平面上一动点，且满足
（1）求点的轨迹对应的方程；
（2）已知点在曲线上，过点作曲线的两条弦和，且，判断：直线是否过定点？试证明你的结论.
22.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．
（1）求椭圆的方程：
（2）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；
（3）若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上．
23.过直角坐标平面中的抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点。
（1）用表示A，B之间的距离；
（2）证明：的大小是与无关的定值，
并求出这个值。
24.设分别是椭圆C：的左右焦点
(1)设椭圆C上的点到两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标
(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点B的轨迹方程
(3)设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。
25.已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
（I）求椭圆的方程；
（II）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；
（III）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足求的取值范围.
26.如图所示，已知椭圆：，、为
其左、右焦点，为右顶点，为左准线，过的直线：与椭圆相交于、
两点，且有：（为椭圆的半焦距）
（1）求椭圆的离心率的最小值；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若,，
求证：、两点的纵坐标之积为定值；
27.已知椭圆的左焦点为，左右顶点分别为，上顶点为，过三点作圆，其中圆心的坐标为
（1）当＞时，椭圆的离心率的取值范围
（2）直线能否和圆相切？证明你的结论
28.已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.
（I）证明:为定值;
（II）若△POM的面积为，求向量与的夹角；
(Ⅲ)证明直线PQ恒过一个定点.
29.已知椭圆C：上动点到定点,其中的距离的最小值为1.
（1）请确定M点的坐标
（2）试问是否存在经过M点的直线,使与椭圆C的两个交点A、B满足条件（O为原点）,若存在,求出的方程,若不存在请说是理由。
30.已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.
（Ⅰ）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；
（Ⅱ）在轴上是否存在点，使的值与无关？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
31.直线AB过抛物线的焦点F，并与其相交于A、B两点。Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点．O是坐标原点．
(I)求的取值范围；
(Ⅱ)过A、B两点分剐作此撒物线的切线，两切线相交于N点．求证：∥;
(Ⅲ)若P是不为1的正整数，当，△ABN的面积的取值范围为时，求该抛物线的方程．
32.如图，设抛物线（）的准线与轴交于，焦点为；以、为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为.
（Ⅰ）当时，求椭圆的方程及其右准线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线经过椭圆的右焦点，与抛物线交于、，如果以线段为直径作圆，试判断点与圆的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）是否存在实数，使得的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由．
33.已知点和动点满足：,且存在正常数，使得。
（1）求动点P的轨迹C的方程。
（2）设直线与曲线C相交于两点E，F，且与y轴的交点为D。若求的值。
34.已知椭圆的右准线与轴相交于点，右焦点到上顶点的距离为，点是线段上的一个动点.
（I）求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于、两点,使得,并说明理由.
35.已知椭圆C：(.
（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为，求椭圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下，设过定点的直线与椭圆C交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率k的取值范围;
（3）如图，过原点任意作两条互相垂直的直线与椭圆()相交于四点，设原点到四边形一边的距离为，试求时满足的条件.
36.已知若过定点、以()为法向量的直线与过点以为法向量的直线相交于动点．
(1)求直线和的方程;
(2)求直线和的斜率之积的值，并证明必存在两个定点使得恒为定值；
(3)在（2）的条件下，若是上的两个动点，且，试问当取最小值时，向量与是否平行，并说明理由。
37.已知点,点(其中)，直线、都是圆的切线．
（Ⅰ）若面积等于6，求过点的抛物线的方程；
（Ⅱ）若点在轴右边，求面积的最小值．
38.我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题。
（1）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，试求d1d2的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系。
（2）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线
（m、n不同时为0）的距离分别为d1、d2，且直线L与椭圆M相切，试求d1d2的值。
（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明。
（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）。
39.已知点为抛物线的焦点，点是准线上的动点，直线交抛物线于两点，若点的纵坐标为，点为准线与轴的交点．
（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）求的面积范围；
（Ⅲ）设，，求证为定值．
40.已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
（I）求椭圆的方程；
（II）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；
（III）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足求的取值范围.
41.已知以向量为方向向量的直线过点，抛物线：的顶点关于直线的对称点在该抛物线的准线上．
（1）求抛物线的方程；
（2）设、是抛物线上的两个动点，过作平行于轴的直线，直线与直线交于点，若（为坐标原点，、异于点），试求点的轨迹方程。
42.如图，设抛物线（）的准线与轴交于，焦点为；以、为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为.
（Ⅰ）当时，求椭圆的方程及其右准线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线经过椭圆的右焦点，
与抛物线交于、，如果以线段为直径作圆，
试判断点与圆的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）是否存在实数，使得的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由．
43.设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率且过椭圆右焦点的直线与椭圆C交于两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)是否存在直线，使得.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
(Ⅲ)若AB是椭圆C经过原点O的弦，MNAB，求证：为定值．
44.设是抛物线的焦点，过点M(－1，0)且以为方向向量的直线顺次交抛物线于两点。
（Ⅰ）当时，若与的夹角为，求抛物线的方程；
（Ⅱ）若点满足，证明为定值，并求此时△的面积
45.已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足.
（Ⅰ）当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设、为轨迹上两点，且1,0,，求实数，
使，且.
46.已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，P为C上任一点，MN是圆的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为的直线恰好与圆相切。
（1）已知椭圆的离心率；
（2）若的最大值为49，求椭圆C的方程.