高一数学《等比数列的性质及应用》教案。

经验告诉我们，成功是留给有准备的人。教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助教师能够更轻松的上课教学。我们要如何写好一份值得称赞的教案呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“高一数学《等比数列的性质及应用》教案”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

高一数学《等比数列的性质及应用》教案

一、教学目标：
1.知识与技能：理解并掌握等比数列的性质并且能够初步应用。
2.过程与方法：通过观察、类比、猜测等推理方法，提高我们分析、综合、抽象、
概括等逻辑思维能力。
3.情感态度价值观：体会类比在研究新事物中的作用，了解知识间存在的共同规律。
二、重点：等比数列的性质及其应用。
难点：等比数列的性质应用。
三、教学过程。
同学们，我们已经学习了等差数列，又学习了等比数列的基础知识，今天我们继续学习等比数列的性质及应用。我给大家发了导学稿，让大家做了预习，现在找同学对照下面的表格说说等差数列和等比数列的差别。
数列名称等差数列等比数列
定义一个数列，若从第二项起每一项减去前一项之差都是同一个常数，则这个数列是等差数列。一个数列，若从第二项起每一项与前一项之比都是同一个非零常数，则这个数列是等比数列。
定义表达式an-an-1=d（n≥2）
(q≠0)

通项公式证明过程及方法
an-an-1=d；an-1-an-2=d，
…a2-a1=d
an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1=(n-1)d
an=a1+(n-1)*d
累加法;…….
an=a1qn-1
累乘法
通项公式an=a1+(n-1)*dan=a1qn-1
多媒体投影（总结规律）
数列名称等差数列等比数列
定义等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”
定义
表
达式an-an-1=d（n≥2）

通项公式证明
迭加法迭乘法
通项公式
加-乘
乘—乘方
通过观察，同学们发现：
等差数列中的减法、加法、乘法，
等比数列中升级为除法、乘法、乘方.
四、探究活动。
探究活动1：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习1；等差数列的性质1；猜想等比数列的性质1；性质证明。
练习1在等差数列{an}中，a2=-2,d=2，求a4=_____..(用一个公式计算)解：a4=a2+（n-2）d=-2+（4-2）*2=2
等差数列的性质1：在等差数列{an}中,an=am+(n-m)d.
猜想等比数列的性质1若{an}是公比为q的等比数列，则an=am*qn-m
性质证明右边=am*qn-m=a1qm-1qn-m=a1qn-1=an=左边
应用在等比数列{an}中，a2=-2,q=2，求a4=_____.解：a4=a2q4-2=-2*22=-8
探究活动2：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习2；等差数列的性质2；猜想等比数列的性质2；性质证明。
练习2在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8的值为.解：a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=2a5+2a5+a5=5a5=450a5=90a2+a8=2×90=180
等差数列的性质2：在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq特别的，当m=n时，2an=ap+aq
猜想等比数列的性质2在等比数列{an}中，若m+n=s+t则am*an=as*at特别的，当m=n时，an2=ap*aq
性质证明右边=am*an=a1qm-1a1qn-1=a12qm+n-1=a12qs+t-1=a1qs-1a1qt-1=as*at=左边证明的方向:一般来说，由繁到简
应用在等比数列{an}若an0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,则a3+a5=_____.解：a2a4+2a3a5+a4a6=a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2=36
由于an0，a3+a50,a3+a5=6
探究活动3：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习3；等差数列的性质3；猜想等比数列的性质3；性质证明。
练习3在等差数列{an}中，a30=10,a45=90,a60=_____.解：a60=2*a45-a30=2×90-10=170
等差数列的性质3：若an-k,an,an+k是等差数列{an}中的三项，则这些项构成新的等差数列，且2an=an-k+an+k
an即时an-k,an,an+k的等差中项
猜想等比数列的性质3若an-k,an,an+k是等比数列{an}中的三项，则这些项构成新的等比数列，且an2=an-k*an+k
an即时an-k,an,an+k的等比中项
性质证明右边=an-k*an+k=a1qn-k-1a1qn+k-1=a12qn-k-1+n+k-1=a12q2n-2=(a1qn-1)2t=an2左边证明的方向:由繁到简
应用在等比数列{an}中a30=10,a45=90,a60=_____.
解：a60===810

应用等比数列{an}中，a15=10,a45=90,a60=________.解：
a30===30
A60=

探究活动4：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习4；等差数列的性质4；猜想等比数列的性质4；性质证明。
练习4设数列{an}、{bn}都是等差数列，若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=_____.解：a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=2*21-7=35
等差数列的性质4：设数列{an}、{bn}是公差分别为d1、d2的等差数列,则数列{an+bn}是公差d1+d2的等差数列两个项数相同的等差数列的和任然是等差数列
猜想等比数列的性质4设数列{an}、{bn}是公比分别为q1、q2的等比数列,则数列{an*bn}是公比为q1q2的等比数列两个项数相同的等比数列的和比一定是等比数列，两个项数相同的等比数列的积任然是等比数列。
性质证明证明：设数列{an}的首项是a1，公比为q1;{bn}的首项为b1，公比为q2，设cn=anbn那么数列{anbn}的第n项与第n+1项分别为：
应用设数列{an}、{bn}都是等比数列，若a1b1=7,a3b3=21,则a5b5=_____.解：由题意可知{anbn}是等比数列，a3b3是a1b1；a5b5的等比中项。
由（a3b3）2=a1b1*a5b5212=7*a5b5a5b5=63

（四个探究活动的设计充分尊重学生的主体地位，以学生的自主学习，自主探究为主题，以教师的指导为辅，开展教学活动）
五、等比数列具有的单调性
（1）q0,等比数列为摆动数列，不具有单调性
（2）q0（举例探讨并填表）
a1a10a10
q的范围0q=1q10q=1q1
{an}的单调性单调递减不具有单调性单调递增单调递增不具有单调性单调递减
让学生举例说明，并查验有多少学生填对。（真确评价）
六、课堂练习：
1、已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于().
A.B.7C.6D.
解析:由已知得a32=5,a82=10,
∴a4a5a6=a53===5.
答案:A
2、已知数列1,a1,a2,4是等比数列,则a1a2=.
答案:4
3、+1与-1两数的等比中项是().
A.1B.-1C.D.±1
解析：根据等比中项的定义式去求。答案:选D
4、已知等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2,a2=1,则a1等于().
A.2B.C.D.
解析:∵a3a9==2,∴=q2=2,∵q0,∴q=.故a1===.
答案:C
5练习题：三个数成等比数列，它们的和等于14，
它们的积等于64，求这三个数。
分析：若三个数成等差数列，则设这三个数为a-d,a,a+d.
由类比思想的应用可得，若三个数成等比数列，则设这三个数
为：根据题意
再由方程组可得：q=2或
既这三个数为2，4，8或8，4，2。
七、小结
本节课通过观察、类比、猜测等推理方法，研究等比数列的性质及其应用，从而培养和提高我们综合运用分析、综合、抽象、概括，逻辑思维解决问题的能力。
八、
§3.1.2等比数列的性质及应用
性质一：若{an}是公比为q的等比数列，则an=am*qn-m
性质二：在等比数列{an}中，若m+n=s+t则am*an=as*at
性质三：若an-k,an,an+k是等比数列{an}中的三项，则这些
项构成新的等比数列，且an2=an-k*an+k
性质四：设数列{an}、{bn}是公比分别为q1、q2的等比
数列,则数列{an*bn}是公比为q1q2的等比数列
板书设计

九、反思

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高一数学等比数列019

作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，高中教师要准备好教案，这是高中教师的任务之一。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？下面是由小编为大家整理的“高一数学等比数列019”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

2.4等比数列（二）
教学目标
（一）知识与技能目标
1．等比中项的概念；
2．掌握＂判断数列是否为等比数列＂常用的方法；
3．进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用．
（二）过程与能力目标
1．明确等比中项的概念；
2．进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用．
教学重点
等比数列的通项公式、性质及应用．
教学难点
灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题．
教学过程
一、复习
1．等比数列的定义．
2.等比数列的通项公式:
，，
3．｛an｝成等比数列
4．求下面等比数列的第4项与第5项：
（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3），…….
二、讲解新课：
思考：类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？
1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G=±（a,b同号），则，
反之，若G=ab,则，即a,G,b成等比数列∴a,G,b成等比数列G=ab（ab≠0）
例1．三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数.
解:设m,G,n为所求的三个数,
有已知得m+n+G=14,,
这三个数为8,4,2或2,4,8.
解法二:设所求三个数分别为则
又解得
这三个数为8,4,2或2,4,8.
2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则
在等比数列中，m+n=p+q，有什么关系呢？
由定义得：
，
则
例2.已知{}是等比数列，且,求．
解：∵{}是等比数列，∴＋2＋＝(＋)＝25,
又0,∴＋＝5;
3．判断等比数列的常用方法：定义法，中项法，通项公式法
例3．已知是项数相同的等比数列，求证是等比数列.
证明：设数列的首项是，公比为;的首项为，公比为，那么数列的第n项与第n+1项分别
它是一个与n无关的常数，所以是一个以q1q2为公比的等比数列.
思考；（1）｛an｝是等比数列，C是不为0的常数，数列是等比数列吗？
（2）已知是项数相同的等比数列，是等比数列吗？
4．等比数列的增减性：当q1,a10或0q1,a10时,{an}是递增数列;
当q1,a10,或0q1,a10时,{an}是递减数列;
当q=1时,{an}是常数列;当q0时,{an}是摆动数列．
思考：通项为的数列的图象与函数的图象有什么关系？
三、例题讲解
例4．已知无穷数列，
求证：（1）这个数列成等比数列；
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的；
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．
证：（1）（常数）∴该数列成等比数列．
（2），即：．
（3），∵，∴．
∴且，
∴，（第项）．
四、练习：教材第53页第3、4题．
五、课堂小结：
1.等比中项的定义；
2.等比数列的性质；
3．判断数列是否为等比数列的方法．
六、课外作业
1.阅读教材第52～52页；
2.《习案》作业十六．

高一数学等比数列018

2.4等比数列（一）
教学目标
（一）知识与技能目标
1.等比数列的定义；
2.等比数列的通项公式．
（二）过程与能力目标
1.明确等比数列的定义；
2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道，，，n中的三个，求另一个的问题．
教学重点
1.等比数列概念的理解与掌握；
2.等比数列的通项公式的推导及应用．
教学难点
等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．
教学过程
一、复习引入：
下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48面）
1，2，4，8，16，…，263;①1，，，，…；②
1，，…；③④
对于数列①，=;=2（n≥2）．对于数列②，=；（n≥2）．
对于数列③，=;=20（n≥2）．
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数．
二、新课
1．等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）.
思考：（1）等比数列中有为0的项吗？（2）公比为1的数列是什么数列？
（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？（4）常数列都是等比数列吗？
(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q；｛｝成等比数列=q（，q≠0．）
(2)隐含：任一项
(3)q=1时，{an}为常数数列．（4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

2.等比数列的通项公式1:
观察法：由等比数列的定义，有：；
；；…………………
．
迭乘法：由等比数列的定义，有：；；；…；
所以，即
3.等比数列的通项公式2:
三、例题讲解
例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.
解：
例2．求下列各等比数列的通项公式：
解：(1)
(2)
例3．教材P50面的例1。
例4．已知数列{an}满足，
（1）求证数列{an+1}是等比数列；（2）求的表达式。
练习：教材第52页第1、2题．
三、课堂小结：
1.等比数列的定义；
2.等比数列的通项公式及变形式．
四、课外作业
1.阅读教材第48～50页；
2.《习案》作业十五．

等比数列性质

课题

1.1.2等比数列性质

课型

新课

课程

分析

等比数列是又一特殊数列，它与前面我们刚刚所探讨过的等差数列仅有一字之差，所以我们可用比较法来学习等比数列的相关知识。在深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系的基础上，牢固掌握等比数列的性质。

学情

分析

学生已经学习了等差数列，对于等比数列学生对比等差数列学习较容易接受。

设计

理念

采用比较式数学法，从而使学生抓住等差数列与等比数列各自的特点，以便理解、掌握与应用.

学习目标

知识目标

掌握等比数列的性质

能力目标

会求等比数列的通项公式,运用等比数列的性质。

德育目标

1.培养学生的发现意识、提高学生创新意识、提高学生的逻辑推理能力、增强学生的应用意识。

板书设计

3.1.2课题探究一练习性质1探究二性质2应用举例探究三性质3

课后反馈

解：设这个等比数列的首项是a1,公比是q,

①②

则：②÷①得:q=③③代入①得：a1=,∴an=a1·qn－1=，8.答：这个数列的第1项与第2项分别是和8.评述：要灵活应用等比数列定义式及通项公式.课堂练习1.求下面等比数列的第4项与第5项：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3），……；（4）…….2.(1)一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项.解：由题意得a9=,q=－∵a9=a1q8,∴,∴a1=2916答：它的第1项为2916.

组织教学导入新课讲授新课归纳小结布置作业

备注

一．导入新课

（一）回顾等比数列的有关概念

（1）定义式：

（2）通项公式：

导入本课题意：与等差数列类似，等比数列也是特殊的数列，它还有一些规律性质，本节课，就让我们一起来探寻一下它到底有一些怎样的性质。

二．推进新课

题：就任一等差数列｛an｝，计算a7+a10和a8+a9，a10+a40和a20+a30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律作一般化的推广吗？类比猜想一下，在等比数列中会有怎样的类似结论？

引导探：…性质1（板书）：在等比数列中，若m+n＝p+q，有aman＝apaq

探究二.(引导学生通过类比联想发现进而推证出性质2)

已知｛an｝是等比数列.

（1）是否成立？成立吗？为什么？

（2）是否成立？你据此能得到什么结论？是否成立？你又能得到什么结论？)

合作探：…性质2（板书）：在等比数列中（本质上就是等比中项）

探究三：一位同学发现：若是等差数列的前n项和，则也是等差数列。在等比数列中是否也有这样的结论？为什么？

性质数列是公比为的等比数列，为的前项之和，则新构成的数列仍为等比数列，且公比为。

组织教学导入新课讲授新课归纳小结布置作业

备注

证明①当时，，则（常数），所以数列是以为首项，1为公比的等比数列；

②当时，则（常数），所以数列是以为首项，为公比的等比数列；

由①②得，数列为等比数列，且公比为。三．应用举例：（理解、巩固）

例1．1）在等比数列｛an｝中，已知

2)在等比数列｛bn｝中，b4＝3，求该数列的前7项之积。例2在等比数例中，求

例3等比数列｛an｝的各项均为正数，且，求

的值

例4、在等比数列中，,求的值.解：因是等比数列，所以是等比数列，所以

组织教学导入新课讲授新课归纳小结布置作业

备注

四.练习（掌握，应用）

1、下列命题中:(1)常数列既是等差数列又是等比数列;

(2)若{an}是等差数列，则{3－2an}也是等差数列;

(3)若{an}是等比数列，则{an+an+1}也是等比数列;

(4)若{an}是等比数列，则也是等比数列.

其中正确的命题是_____________(填命题序号)

2、在等比数列中，，则的值为_______

3、在等比数列中，，，求的值.解：因为由上述等比数列性质知，构造新数列其是首项为，公比为的等比数列，是新数列的第5项，所以。4、已知等比数列前项的和为2，其后项的和为12，求再后面项的和.解：由，，因成等比数列，其公比为，所以问题转化为：求的值.因为得，所以或，于是.

组织教学导入新课讲授新课归纳小结布置作业

备注

五．课堂小结

（1）等比数列的性质1、性质2性质3内容及推导方法归纳。

（2）等比数列三性质的探寻，我们是通过类比等差联想到等比，猜想在等比数列中可能存在的性质规律。然后先从简单的等比数列加以验证，再推出一般式，并加以严格的逻辑证明。这个过程所用的类比、联想、猜想、从特殊到一般，最后给予证明得出结论的想法和方法，我们称为数学思想方法。是解决问题、科学发现、探究自然的一种重要的思维方法和手段。它无处不体现在我们解决问题的思维过程中，希望大家今后留心思考，对提高你们的学习能力及分析解决问题的能力将有极大的帮助。

高一数学《等比数列公式性质》知识点总结

一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃，帮助教师缓解教学的压力，提高教学质量。怎么才能让教案写的更加全面呢？下面是由小编为大家整理的“高一数学《等比数列公式性质》知识点总结”，仅供参考，欢迎大家阅读。

高一数学《等比数列公式性质》知识点总结

1．等比数列的有关概念
(1)定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an+1/an＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.

3．等比数列{an}的常用性质
(1)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.
特别地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….
(2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列，公比为qk；数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时q≠－1)；an＝amqn－m.
4．等比数列的特征
(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
(2)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
5．等比数列的前n项和Sn
(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．
(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．