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高中必修三教案

发表时间:2020-10-13

高中数学必修三导学案-3.1.3概率的基本性质。

一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责,高中教师要准备好教案,这是每个高中教师都不可缺少的。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容,帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。我们要如何写好一份值得称赞的高中教案呢?经过搜索和整理,小编为大家呈现“高中数学必修三导学案-3.1.3概率的基本性质”,仅供您在工作和学习中参考。

3.1.3概率的基本性质
【学习目标】
1.了解事件的关系和运算;
2..理解互斥事件和对立事件的概念,能正确区别互斥事件和对立事件;
3.掌握概率的三个基本性质;会使用互斥事件、对立事件的概率性质求概率.
【新知自学】
知识回顾:
1、必然事件的概率为,不可能事件的概率为,随机事件的概率为.
2、若表示集合,则;
阅读教材第119-121页内容,然后回答问题
新知梳理:
1.事件的关系与运算
(1)包含关系:
不可能事件记作,任何事件都包含,事件A也包含于.
(2)相等事件:.记作
(3)并(和)事件:
记作
(4)交(积)事件:.记作
(5)互斥事件和对立事件:
若,即,则称事件A与事件B互斥.若是,
是,则称事件A与事件B互为对立事件.
(我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合(如连续抛掷两枚硬币),那么必然事件对应全集,随机事件对应子集,不可能事件对应空集,从而可以类比集合的关系与运算,分析事件之间的关系与运算,使我们对概率有进一步的理解和认识.)
对点练习:
1.在掷骰子试验中,我们用集合形式定义如下事件:
C1={出现1点},C2={出现2点},
C3={出现3点},C4={出现4点},
C5={出现5点},C6={出现6点},
D1={出现的点数不大于1},
D2={出现的点数大于4},
D3={出现的点数小于6},
E={出现的点数小于7},
F={出现的点数大于6},
G={出现的点数为偶数},
H={出现的点数为奇数},等等.
思考1:上述事件中哪些是必然事件?哪些是随机事件?哪些是不可能事件?

思考2:如果事件C1发生,则一定有哪些事件发生?在集合中,集合C1与这些集合之间的关系怎样描述?

思考3:分析事件C1与事件D1之间的包含关系,按集合观点这两个事件之间的关系应怎样描述?

思考4:如果事件C5发生或C6发生,就意味着哪个事件发生?反之成立吗?

思考5:类似地,当且仅当事件A发生且事件B发生时,事件C发生,则称事件C为事件A与事件B的交事件(或积事件),记作C=A∩B(或AB),在上述事件中能找出这样的例子吗?JAB88.com

思考6:两个集合的交可能为空集,两个事件的交事件也可能为不可能事件,即A∩B=,此时,称事件A与事件B互斥,那么在一次试验中,事件A与事件B互斥的含义怎样理解?在上述事件中能找出这样的例子吗?

思考7:若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,则称事件A与事件B互为,那么在一次试验中,事件A与事件B互为对立事件的含义怎样理解?在上述事件中能找出这样的例子吗?

思考8:事件A与事件B的和事件、积事件,分别对应两个集合的并、交,那么事件A与事件B互为对立事件,对应的集合A、B是什么关系?

思考9:若事件A与事件B相互对立,那么事件A与事件B互斥吗?反之,若事件A与事件B互斥,那么事件A与事件B相互对立吗?
2.概率的几个基本性质:
1.任何事件的概率在0和1之间,即.
2.必然事件的概率为,概率为1的事件不一定是必然事件.
3.不可能事件的概率为,概率为0的事件不一定是不可能事件..
4.概率的加法公式:若事件A与事件B互斥,则.
5.若事件A与事件B互为对立事件,则
【合作探究】
典例精析
例题1.某小组有三名男生和两名女生,从中任选两名同学去参加演讲比赛,试判断下列各对事件是否是互斥事件,并说明道理.
(1)恰有一名男生和恰有两名男生;
(2)至少有一名男生和至少有一名女生;
(3)至少有一名男生和全是男生;
(4)至少有一名男生和全是女生.

变式训练1.把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地发给甲、乙、丙丁四个人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()
(A)对立事件(B)不可能事件
(C)互斥但不对立事件
(D)以上答案都不对
例题2.袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是,试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少?

变式训练2.在数学考试中,小明的成绩在90分以上的概率是0.18,在80~89分的概率是0.51,在70~79分的概率是0.15,在60~69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07,计算:
(1)小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率;
(2)小明考试及格的概率.

例题3.盒中装有各色球共12球,其中5只红球,4只黑球,2只白球,1只绿球,从中去一球,设事件为“取出一球是红球”,事件为“取出一个球是黑球”,事件“取出一球是白球”,事件为“取出一球是绿球”,已知.求:
(1)“取出一球是红球或黑球”的概率;
(2)“取出一球为红球或白球”的概率.

变式训练3一枚硬币连掷5次,则至少一次正面向上的概率为()
A.B.C.D.

【课堂小结】

【当堂达标】
1.在同一试验中,若事件是必然事件,事件是不可能事件,则事件与事件的关系是()
(A)互斥不对立(B)对立不互斥
(C)互斥且对立(D)不互斥,不对立
2.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率为90%,则甲、乙下和棋的概率为()
(A)60%(B)30%(C)10%(D)50%
3.若,则事件与的关系是()
(A)A、B是互斥事件但不是对立事件
(B)A、B是对立事件
(C)A、B不是互斥事件
(D)以上都不对
4.同时掷两枚骰子,没有5点或6点的概率为,则至少有一个5点或6点的概率是.
【课时作业】
1.抽出20件产品进行检验,设事件:“至少有三件次品”,则的对立事件为()
(A)至多三件次品(B)至多两件次品
(C)至多有三件正品(D)至少有三件正品
2.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()
(A)至多有一次中靶
(B)两次都中靶
(C)只有一次中靶
(D)两次都不中靶
3.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得一张,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是()
(A)对立事件(B)互斥但不对立事件
(C)不可能事件(D)以上都不对
4.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是()
(A)至少有1个白球,两个都是白球
(B)至少有1个白球,至少有1个红球
(C)恰好有1个白球,恰好2个白球
(D)至少有1个白球,都是红球
5.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率均为,事件表示“小于5的偶数点出现”,事件表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件表示事件的对立事件)发生的概率是()
(A)(B)(C)(D)
6.丁力掷一枚骰子,记事件为“落地时向上的数是奇数”,事件为“落地时向上的数为偶数”,事件为“落地时向上的数是3的倍数”,其中是互斥事件的是和,是对立事件的是和.
7.某小组有男生6人,女生4人,现从中抽出一名学生作为代表,则抽到女生的概率是.抽到男生的概率是.
8.事件、互斥,它们都不发生的概率为,且,则.
9.从一批乒乓球产品中任取一个,若其重量小于2.45的概率为0.22,重量不小于2.50的概率为0.20,则重量在2.45~2.50范围内的概率为.
10.某公务员去开会,他乘火车,轮船,汽车,飞机的概率分别为
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率;
(2)求他不乘轮船去的概率.

11.某家庭电话在家中有人时,打进的电话响第声时被接的概率为,响第声时被接的概率为,响第声时被接的概率为,响第声时被接的概率为,那么电话在响前声内被接的概率是多少.

12.如图,从地到地设置了条不同的网络线路,
它们通过的最大信息量分别为,现从中任取三条网
线连通两地(三条网线可通过的信息总量即为三条网
线各自的最大信息量之和).
(1)三条网线可通过的最大信息总量为,已知当时,可保证线路信息畅通,求线路信息畅通的概率;
(2)为保证网络在时信息畅通的概率超过,需要增加一条最大信息量为的网线与原有条线路并联,问满足条件的的最小值是多少?

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高中数学必修三导学案:3.1.1随机事件的概率


第三章概率
3.1.1随机事件的概率
【学习目标】
1.了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性.
2.了解随机事件,必然事件和不可能事件的概念.
3.正确了解概率的含义,了解频率与概率的区别与联系.会求随机事件的概率.
【新知自学】
阅读教材第108-112页内容,然后回答问题
知识回顾:
1.频率分布表中的频率=.
2.初中教材中随机事件的概念是:在一定条件下,可能发生也可能的事件叫做随机事件.

新知梳理:
1、事件的概念
(1)必然事件:在条件S下,的事件,叫做相对于条件S的必然事件.
(2)不可能事件:在条件S下,的事件,叫做相对于条件S的不可能事件.
(3)确定事件:与统称为相对于条件S的确定事件,简称确定事件.
(4)随机事件:在条件S下,的事件,叫做相对于条件S的随机事件,简称随机事件..
2、事件的分类

3、事件的表示
事件常用表示.
4、频数与频率
在相同的条件S下重复次试验,观察某一事件A是否出现,称次试验中事件A出现次数为事件A出现的,称事件A出现的比例为事件A出现的.范围是.
5、概率
对于给定的事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率稳定在中的某一个常数上,把这个,记作,称为事件A的概率.
思考:1频率与概率的区别与联系是什么?

2必然事件的概率是多少?不可能事件的概率是多少?

对点练习:
1.考察下列事件:
①导体通电时发热;②向上抛出的石头会下落;③在没有水分的真空中种子发芽;④在常温常压下钢铁融化;⑤某人射击一次命中目标.
这些事件就其发生与否有什么共同特点?是什么事件?

2.下列说法正确地是()
A.任何事件的概率总是在之间
B.频率是客观存在的,与试验次数无关
C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率
D.概率是随机的,在试验前不能确定
3.下面的事件:(1)在标准大气压下,水加热到时会沸腾;(2)∈R,则;(3)一枚硬币连掷两次,两次都会出现正面向上.是不可能事件的有()
A.(2)B.(1)C.(1)(2)D.(3)
【合作探究】
典例精析
例题1.在10个同类产品中,有8个正品,2个次品,从中任意抽出3个检验,据此列出其中的不可能事件、必然事件、随机事件.

变式训练1.盒中仅有4只白球,5只黑球,从中任意取出一只球.
(1)“取出的球是黄球”是什么事件?它的概率是多少?
(2)“取出的球是白球”是什么事件?
(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件?它的概率是多少?
例题2.某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:
射击次数n102050100200500
击中靶心次数m8194492178455
击中靶心的频率
(1)填写表中击中靶心的频率;
(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率估计是什么?

变式训练2.某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次中10环,有3次射中9环,有4次中8环,有1次未中靶,试计算此人中靶的频率,假设此人射击1次,试问中靶的概率约为多大?中10环的概率约为多大?

例题3.袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球,分别写出以下随机试验的条件和结果.列举出重复试验的结果
(1)从中任取1球;(2)从中任取2球.

变式训练3.指出下列试验的结果.
(1)先后掷两枚质地均匀的硬币的结果;
(2)某人射击一次命中的环数;
(3)从集合中任取两个元素构成的的子集.

【课堂小结】

【当堂达标】
1、判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不肯能事件,哪些是随机事件?
(1)掷一枚骰子两次,所得点数之和大于12.
(2)如果,那么;
(3)掷一枚硬币,出现正面向上;
(4)从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签;
(5)某电话机在1分钟内接到2次呼叫.

2、从存放号码分别为1,2,3,,10是的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下:
卡片号码12345678910
取到的次数138576131810119

则取到号码为奇数的频率()
A.0.53B.0.5C.0.47D.0.37
3、从一批准备出厂的电视中随机抽取10台进行质量检查,其中有一台是次品.若用C表示抽到次品这一事件,则对C这一事件发生的说法正确地是()
A.概率为B.频率为
C.概率接近
D.每抽10台电视机,必有一台次品
【课时作业】

1.下列说法正确的是().
①频数和频率都反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度;
②每个试验结果出现的频数之和等于实验的总次数;
③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1;
④概率就是频率.
A.①B.①②④C.①②D.③④
2.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是()
A.必然事件B.随机事件
C.不可能事件D.无法确定
3.下列说法正确的是()
A.任一事件的概率总在(0.1)内
B.不可能事件的概率不一定为0
C.必然事件的概率一定为1
D.以上均不对
4.下面的事件:(1)任取一个实数a,a≥2;(2)异性电荷相互吸引;(3)3×510.
是必然事件的有()
A.(2)B.(3)C.(1)D.(2)(3)
5.在20支同型号钢笔中,有3支钢笔式次品,从中任意取出4支钢笔,则以下事件是必然事件的是()
A.4支均为正品
B.3支正品,1支次品
C.3支次品,1支正品
D.至少有1支正品.
6.抛掷一枚硬币,观察那一面朝上的随机事件是;同时.抛掷两枚硬币,观察那一面朝上的结果,用随机事件可表示为.
7.必然事件出现的频率为,不可能事件出现的频率为.
8.下列说法:①频率是反映事件发生的频繁程度,概率是反映事件发生的可能性大小;②做次随机试验,事件A发生了次,则事件A发生的频率就是事件的概率;③百分率是频率,但不是概率;
④频率是不能脱离具体的次试验的实验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值;
⑤频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.其中正确的是.
9.某人进行打靶练习,共射击10次,其中2次中10环,3次中19环,4次中8环,1次未中靶,试计算此人中靶的概率,假设此人射击1次,问中靶的可能性约是多少?

每批粒数251070130
发芽的粒数24960116
发芽的频率
每批粒数700150020003000
发芽的粒数28263913392715
发芽的频率

10.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格回答题.
(1)完成上面表格:
(2)该油菜子发芽的概率约是多少?

《概率的基本性质》学案


《概率的基本性质》学案

一、教学目标

学生经历用集合间的关系及运算类比得出事件间的关系及运算的教学过程,正确理解事件的包含关系,并事件、交事件、相等事件以及互斥事件、对立事件的概念,掌握概率的几个基本性质,会运用它们处理教材中的例、习题,进一步体会类比思想,提升理解能力,激发学习兴趣。

二、教学重点和难点

重点:事件的关系及运算,概率的几个基本性质。

难点:事件的关系及概率运算,类比思想的渗透。

三、教学辅助

骰子、多媒体课件

四、教学过程

1.问题导入

前面我们学习了随机事件的频率与概率的意义,得知每天发生的事情具有随机性,难预测,比如今天我刚到数学组办公室,一位学生问了一题:已知集合是掷一颗骰子,出现向上的点数为,集合是掷一颗骰子,出现向上的点数为奇数,试判断它们间的关系。你们愿意解答吗?有什么启示呢?

学生解答后,把集合改为事件,事件出现向上的点数为,事件出现向上的点数为奇数并写出掷一颗骰子的其他事件。我们的启示:类比集合的关系及运算研究事件的关系及运算,引出课题。

2.引导探究,发现概念与性质

先让学生类比得出一些关系及运算并相互交流,再观看多媒体课件内容(教材的重点内容),加深对事件的关系及运算的理解,师生形成的共识如下:

2.1事件的关系及运算

2.1.1包含关系

一般地,对于事件与事件,如果事件发生,则事件一定发生,这时称事件包含事件(或事件包含于事件),记作(或)。不可能事件记为,任何事件都包含不可能事件,。

2.1.2相等关系

如果事件发生,那么事件一定发生,反过来也对,这时,我们说这两个事件相等,记作。

2.1.3并事件

若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生,则称此事件为事件与事件的并事件(或和事件),记作(或)。

2.1.4交事件

若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生,则称此事件为事件与事件的交事件(或积事件),记作(或)。

2.1.5互斥事件

若为不可能事件(),那么称事件与事件互斥。其含义是:事件与事件在任何一次试验中不会同时发生。

2.1.6对立事件

若为不可能事件,为必然事件,那么称事件与事件互为对立事件。其含义是:事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生。

2.2概率的几个基本性质

2.2.1范围

。必然事件的概率是,不可能事件的概率为。

2.2.2概率的加法法则

如果事件与事件互斥,则。互斥加法则。

2.2.3概率的减法法则

如果事件与事件对立,则,即,。对立减法则。

3.在应用中加深理解

例1从装有个红球和个白球的口袋任取个球,那么以下选项中的个事件是互斥但不对立事件的是()

“至少有一个红球”与“都是红球”“至少有一个白球”与“至少有一个红球”

“恰有一个白球”与“恰有两个红球”“至少有一个白球”与“都是红球”

例2如果从不包括大小王的张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件)的概率是,取到方片(事件)的概率是,问:

(1)取到红色牌(事件)的概率是多少?

(2)取到黑色牌(事件)的概率是多少?

师生共同处理,重思路剖析及辐射。

练习

教材第面练习。

4.归纳小结,反思提升

介绍事件的关系与运算,概率的几个基本性质的理解及简单应用,渗透类比思想。

5.作业

教材第面练习。

五、板书设计

3.1.3概率的基本性质

1.引例3.概率的基本性质4.小结

2.事件的关系与运算例题练习

六、教学反思

部分学生对“任何事件都包含不可能事件,”不理解,并举例掷一颗骰子,出现向上点数为,掷一枚硬币,出现正面向上。

高中数学必修三1.1.1算法的概念导学案


第一章算法初步
1.1.1算法的概念
【学习目标】
1.了解算法的含义,体会算法的思想;
2.能够用自然语言叙述算法,知道正确的算法应满足的要求;
3.会写出数值性计算的算法问题和解线性方程(组)的算法;
【新知自学】
问题1.你知道在家里烧开水的基本过程吗?

问题2.两个大人和两个小孩一起渡河,渡口只有一条小船,每次最多能渡1个大人或两个小孩,他们四人都会划船,但都不会游泳。试问他们怎样渡过河去?
请写出一个渡河方案。

问题3.猜物品的价格游戏:
现在一商品,价格在0~8000元之间,解决这一问题有什么策略?

新知梳理:
1.算法的概念:
数学中的算法通常是指

现代算法通常是指
.
2.算法与计算机
计算机解决任何问题都要依赖于,只有将解决问题的过程分解为若干个,即算法,并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来,计算机才能解决问题.
3.算法的特点:
(1)确定性;(2)有限性;(3)普遍性;(4)不唯一性.
对点练习:1.下列关于算法的描述正确的是()
A.算法与求解一个问题的方法相同
B.算法只能解决一个问题,不能重复使用
C.算法过程要一步一步执行,每步执行的操作必须确切
D.有的算法执行完以后,可能没有结果.
2.下列可以看成算法的是()
A.学习数学时,课前预习,课上认真听讲并记好笔记,课下先复习再作业,之后做适当的练习题
B.今天餐厅的饭真好吃
C.这道数学题难做
D.方程无实数根
3.下列各式的值不能用算法求解的是()
A.
B.
C.
D.
【合作探究】
典例精析
例题1.给出求1+2+3+4+5的一个算法.

变式练习:1.给出求1+2+3+…+100的一个算法.

例题2.写出解方程的一个算法.

变式练习:2.写出解方程组的一个算法.

例题3.设计一个问题2的算法.

变式练习:3.一位商人有9枚银元,其中有1枚略轻的是假银元,你能用天平(无砝码)将假银元找出来吗?试写出一个算法.
【课堂小结】

【当堂达标】
1.下列关于算法的叙述中,不正确的是()
A.计算机解决任何问题都需要算法
B.只有将要解决的问题分解为若干步骤,并且用计算机能够识别的语言描述出来,计算机才能解决问题
C.算法执行后可以不产生确定的结果
D.解决同一个问题的算法并不唯一,而且每一个算法都要一步一步执行,每一步都要产生确切的结果
2.下列叙述能称为算法的个数为()
①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤.
②顺序进行下列运算:,,,.
③从枣庄乘火车到徐州,从徐州乘飞机到广州.
④求所有能被3整除的正数,即3,6,9,12,….
3.求的值的一个算法是:
第一步:求得到结果3;
第二步:将第一步所得结果3乘5,得到结果15;
第三步:;
第四步:再将105乘9得到945;
第五步:再将945乘11,得到10395,即为最后结果.
【课时作业】
1.下列关于算法的说法,正确的个数是()
①求解某一问题的算法是唯一的;②算法必须在有限步骤操作之后停止;③算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义或模糊.
A.1B.2C.3D.0
2.关于方程的求根问题,下列说法正确的是()
A.只能设计一种算法
B.可以设计两种算法
C.不能设计算法
D.不能根据解题过程设计算法
3.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5分钟)、刷水壶(2分钟)、烧水(8分钟)、泡面(3分钟)、吃饭(10分钟)、听广播(8分钟)几个步骤.从下列选项中选出最好的一种算法.
A.第一步洗脸刷牙、第二步刷水壶、第三步烧水、第四步泡面、第五步吃饭、第六步听广播
B.第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭、第五步听广播
C.第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭同时听广播
D.第一步吃饭同时听广播、第二步泡面、第三步烧水同时洗脸刷牙、第四步刷水壶
4.给出下列算法:
第一步,输入的值.
第二步,当时,计算;否则执行下一步.
第三步,计算.
第四步,输出.
当输入时,输出=.
5.求二次函数的最值的一个算法如下,请将其补充完整:
第一步,计算.

第二步,.

第三步,.

6.一般一元二次方程组
(其中)的求解步骤(参照课本填空)
第一步,
第二步,
第三步,
第四步,
第五步,.

7.写出判断整数是否为质数的算法.

8.已知直角坐标系中的两点,,写出求直线的方程的一个算法.

9.写出求中最小值的算法.

高中数学必修四2.3.1平面向量基本定理导学案


2.3平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1平面向量基本定理

【学习目标】
1.了解平面向量基本定理;
2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法;
3.能够在具体问题中适当选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.

【新知自学】
知识回顾:
1、实数与向量的积:实数λ与向量的积是一个,记作;规定:
(1)|λ|=
(2)λ0时,λ与方向;
λ0时,λ与方向;
λ=0时,λ=
2.运算定律:
结合律:λ(μ)=;
分配律:(λ+μ)=,
λ(+)=

3.向量共线定理:向量与非零向量共线,则有且只有一个非零实数λ,使=λ.

新知梳理:
1.给定平面内两个向量,,请你作出向量3+2,-2,

2.由上,同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示?
平面向量基本定理:如果,是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使
不共线的向量,叫做这一平面内表示所有向量的一组基底。
思考感悟:
(1)基底不惟一,关键是;不同基底下,一个向量可有不同形式表示;
(2)基底给定时,分解形式惟一.λ1,λ2是被,,唯一确定的数.

3.向量的夹角:平面中的任意两个向量之间存在夹角吗?若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗?

已知两个非零向量、,作,,则∠AOB=,叫向量、的夹角。

当=,、同向;
当=,、反向;统称为向量平行,记作
如果=,与垂直,记作⊥。

对点练习:
1.设、是同一平面内的两个向量,则有()
A.、一定平行
B.、的模相等
C.同一平面内的任一向量都有=λ+μ(λ、μ∈R)
D.若、不共线,则同一平面内的任一向量都有=λ+u(λ、u∈R)

2.已知向量=-2,=2+,其中、不共线,则+与=6-2的关系()
A.不共线B.共线
C.相等D.无法确定

3.已知λ1>0,λ2>0,、是一组基底,且=λ1+λ2,则与,
与.(填共线或不共线).

【合作探究】
典例精析:
例1:已知向量,求作向量2.5+3

变式1:已知向量、(如图),求作向量:
(1)+2.?(2)-+3

例2:如图,,不共线,且
,用,来表示

变式2:已知G为△ABC的重心,设=,=,试用、表示向量.

【课堂小结】
知识、方法、思想

【当堂达标】
1.设是已知的平面向量且,关于向量的分解,其中所列述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,有如下四个命题:
①给定向量,总存在向量,使;
②给定向量和,总存在实数和,使;
③给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;
④给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使;
上述命题中的则真命题的个数是()()
A.1B.2C.3D

2.如图,正六边形ABCDEF中,=
A.B.C.D.

3.在中,,,,为的中点,则____________.(用表示)

【课时作业】
1、若、不共线,且λ+μ=(λ、μ),则()
A.=,=B.=0,=0
C.=0,=D.=,=0
2.在△ABC中,AD→=14AB→,DE∥BC,且DE与AC相交于点E,M是BC的中点,AM与DE相交于点N,若AN→=xAB→+yAC→(x,y∈R),则x+y等于()
A.1B.12C.14D.18

3.在如图所示的平行四边形ABCD中,AB→=a,AD→=b,AN=3NC,M为BC的中点,则MN→=________.(用a,b表示).

4.如图ABCD的两条对角线交于点M,且=,=,用,表示,,和

5.设与是两个不共线向量,=3+4,=-2+5,若实数λ、μ满足λ+μ=5-,求λ、μ的值.

6如图,在△ABC中,AN→=13NC→,P是BN上一点,若AP→=mAB→+211AC→,求实数m的值.

7.如图所示,P是△ABC内一点,且满足条件AP→+2BP→+3CP→=0,设Q为CP延长线与AB的交点,令CP→=p,用p表示CQ→.

【延伸探究】
已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E,O是任意一点,求证:+++=4