两角和与差的正切。

一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责，教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助教师提前熟悉所教学的内容。我们要如何写好一份值得称赞的教案呢？为此，小编从网络上为大家精心整理了《两角和与差的正切》，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

第3课时
【学习导航】
1．掌握两角和与差的正切公式及其推导方法。
2．通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。
3．能正确运用三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
教学重点：
学习重点
能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式
学习难点
进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形
【自学评价】
1．两角和与差的正、余弦公式
2．tan(a+b)公式的推导
∵cos(a+b)0
tan(a+b)=
当cosacosb0时,分子分母同时除以cosacosb得：
以-b代b得：
其中都不等于
3．注意：
1°必须在定义域范围内使用上述公式tana，tanb，tan(a±b)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能用诱导公式.
2°注意公式的结构，尤其是符号.
4．请大家自行推导出cot(a±b)的公式—用cota，cotb表示
当sinasinb0时,cot(a+b)=
同理，得：cot(a-b)=
【精典范例】
例1已知tan=，tan=2求cot()，并求+的值，其中090,90180.
【解】

例2求下列各式的值：
（1）
（2）tan17+tan28+tan17tan28
（3）tan20°tan30°＋tan30°tan40°＋tan40°tan20°
【解】jaB88.cOm

点评：可在△ABC中证明
例3已知求证tan=3tan(+).
【证】

例4已知tan和是方程的两个根，证明：pq+1=0.
【证】
例5已知tan=，tan()=(tantan+m),又,都是钝角，求+的值.
【解】

思维点拔：
两角和与差的正弦及余弦公式,解题时要多观察，勤思考，善于联想，由例及类归纳解题方法，如适当进行角的变换，灵活应用基本公式，特殊角函数的应用等是三角恒等到变换中常用的方法和技能．
【追踪训练一】
1.若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cos（A＋B）的值为()
2.在△ABC中，若0＜tanAtanB＜1则
△ABＣ一定是()
A.等边三角形B.直角三角形
Ｃ.锐角三角形Ｄ.钝角三角形
3.在△ABC中，tanA＋tanB＋tanＣ＝3，tan2B＝tanAtanＣ，则∠B等于.
4.＝.
5.已知.

6.已知
（１）求；
（２）求的值（其中）．

【选修延伸】
例6已知A、B为锐角，证明的充要条件是（1＋tanA）（1＋tanB）＝2.
【证】

思维点拔：
可类似地证明以下命题：
(1)若α＋β＝，
则（1－tanα）（1－tanβ）＝2；
(2)若α＋β＝，
则（1＋tanα）（1＋tanβ）＝2；
(3)若α＋β＝，
则（1－tanα）（1－tanβ）＝2.
【追踪训练二】
1.an67°30′－tan22°30′等于()
A.1B.Ｃ.2Ｄ.4
2.an17°tan43°＋tan17°tan30°＋tan30°tan43°的值为(B)
A.－1B.1Ｃ.Ｄ.－
3.(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)…(1＋tan44°)(1＋tan45°)＝.
4.＝
5.已知3sinβ＝sin（2α＋β）且tanα＝1，则tan（α＋β）=
6.已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0（a＞1）的两根分别为tanα，tanβ且α，β∈
（－)，求sin2（α＋β）＋sin（α＋β）cos（α＋β）＋2cos2（α＋β)的值.

7.已知函数的图象与轴交点为、，
求证：.
学生质疑
教师释疑
【师生互动】

延伸阅读

两角和与差的余弦

第三章三角恒等变换
【学习导航】
1．本章利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式；二倍角的正弦、余弦、正切公式等，以及运用这些公式进行简单的恒等变换。
2．三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。三角恒等变换公式反映了角的相加、相减、二倍角运算引起三角函数值变化的规律，是研究三角函数性质及其应用的一种工具。学习和应用三角恒等变换，有利于发展推理能力和运算能力。
3、三角恒等变换具有几何和物理的应用背景。以向量为桥梁将三角恒等变换的算式与直观的几何图形相互沟通和转化，有助于学习和应用三角恒等变换，还能提高学习数学的兴趣，体会数学是一个有机联系的整体，而不是各不相关的内容的堆积。

知识结构

学习要求
1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；
2.理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
3.运用上述公式进行简单的恒等变换，推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用。
3.1两角和与差的三角函数
第1课时
【学习导航】
学习要求
1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式，并能初步运用解决具体问题；
2、应用公式，求三角函数值.
3．培养探索和创新的能力和意识.
【自学评价】
1．探究
反例：
问题：的关系？
解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线
2．探究：在坐标系中、角构造+角
3．探究：作单位圆，构造全等三角形
4．探究：写出4个点的坐标
，
，
，
5．计算，
=
=
6．探究由=导出公式
展开并整理得
所以
可记为
7．探究特征
①熟悉公式的结构和特点；
②此公式对任意、都适用
③公式记号
8．探究cos()的公式
以代得：
公式记号
【精典范例】
例1计算①cos105②cos15
③coscossinsin
【解】
例2已知sin=，cos=求cos()的值.
【解】

例3已知cos(2α-β)=-,sin(α-2β)=,且α,0β,
求cos(α+β)的值。
分析：已知条件中的角与所求角虽然不同，但它们之间有内在联系，
即(2α-β)-(α-2β)=α+β由α、β角的取值范围，分别求出2α-β、α-2β角的正弦和余弦值，再利用公式即可求解。
【解】

例4不查表，求下列各式的值.
（1）
（2）
（3）

在三角变换中，首先应考虑角的变换,如何变换角？一定要根据题目的条件与结论来变，简单地说就是“据果变形”，创造出使用三角公式的条件，以达到求值、化简和证明的目的.常用的变换角的方法有：
α=(α+β)-β,α+2β=(α+β)+α,
【追踪训练】：
1．sinsin=，coscos=，(0,),(0,),求cos()的值。

2．求cos75的值

3．计算：cos65cos115cos25sin115

4计算：cos70cos20+sin110sin20

5．已知锐角,满足cos=cos(+)=求cos.

6．已知cos()=,求(sin+sin)2+(cos+cos)2的值.

【选修延伸】
例5已知，
是第三象限角，求的值.

例6，
且，
求的值.

【追踪训练】：
学生质疑
教师释疑
1．满足的一组的值是（）
A.B.
C.D.

2．若，则的值为（）
A.0B.1C.D.—1
3．已知cosα=35,α∈（3π2，2π），则cos（α－π3）=。
4．化简：
=。
5．利用两角和与差的余弦公式证明下列诱导公式：
（1）
（2）
（3）
（4）

两角和与差的正弦

俗话说，磨刀不误砍柴工。作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，使高中教师有一个简单易懂的教学思路。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？以下是小编为大家收集的“两角和与差的正弦”欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！

第2课时
【学习要求】
1．掌握两角和与差的正弦公式及其推导方法。
2．通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。
并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
3．掌握诱导公式
重点难点
重点：由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式
难点：进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形
【自学评价】
1．两角和的正弦公式的推导
sin(+)=cos[(+)]
=cos[()]
=cos()cos+sin()sin
=sincos+cossin
即：
以代得：
2公式的分析，结构解剖：正余余正符号同。
【精典范例】
例1求值
【解】
例2：已知，求的值.

例3已知sin(+)=,sin()=求的值.
【解】

例4（1）已知，
求tanα:tanβ的值.
【解】

思维点拔：
由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
【追踪训练一】：
1.在△ABC中，已知cosA=，cosB=，则cosC的值为（）
（A）（B）
（C）（D）
2.已知，，，，求sin(+)的值.
3.已知sin+sin=，求cos+cos的范围.
4.已知sin(+)=，sin()=，求的值.
4．已知sin+sin=
①cos+cos=②求cos()
【解】

【选修延伸】
例5化简.
【解】

思维点拔：
我们得到一组有用的公式：
⑴sinα±cosα
＝sin＝cos．
(2)sinα±cosα
＝2sin＝2cos．
(3)asinα＋bcosα
＝sin（α＋φ）
＝cos（α－）
【追踪训练二】：
1．化简
2．求证：cosx+sinx=cos(x).
3.求证：cosa+sina＝2sin(+a).

学生质疑
教师释疑
4.已知，求函数的值域.
5.求的值.

《两角和与差的余弦公式》学案

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，作为教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，帮助教师掌握上课时的教学节奏。那么，你知道教案要怎么写呢？小编收集并整理了“《两角和与差的余弦公式》学案”，仅供参考，希望能为您提供参考！

《两角和与差的余弦公式》学案

【学习目标】
1.了解两角差的余弦公式的产生背景；
2.熟悉用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，通过对比，体会向量法的优越性；
3.把握两角和与差的余弦公式的结构特点，熟记公式，并能灵活运用.
【重点难点】
用向量的数量积推导两角差的余弦公式
【预习指导】
1.左图是我校桅杆标志，你有什么办法可以知道其高度：
（1）；
（2）；

（3）如果有皮尺和测角仪等工具你会怎么办？画图说明

（4）桅杆底部外侧正在施工，有皮尺和测角仪等工具你会怎么办？画图说明
2.阅读课本P124_126,想想学好这节课该做好哪些知识准备：
（1）如何在单位圆中定义三角函数？如何用角表示终边上点的坐标？
（2）三角函数线的意义？
（3）向量的夹角的定义及求法？
（4）向量的投影的定义？回顾一下我们是如何用投影证明向量的数量积的分配律？
【典型例题】
例1.利用两角和与差的余弦公式求.
变式：利用两角和与差的余弦公式推导下列诱导公式

例2.已知是第四象限的角，求的值.

变式：已知是第二象限角，求的值.

例3.已知均为锐角，且，求的值.

变式：

【当堂检测】
1.求值：

2．
3.化简

4.已知是锐角求
【课下拓展】
1.已知均为锐角，，求的值.
2.已知中，，求的值.
【思考】
你能由和差的余弦公式得到和差的正弦、正切公式吗？

高考数学（理科）一轮复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

学案21两角和与差的正弦、余弦和正切公式
导学目标：1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用．
自主梳理
1．(1)两角和与差的余弦
cos(α＋β)＝_____________________________________________，
cos(α－β)＝_____________________________________________.
(2)两角和与差的正弦
sin(α＋β)＝_____________________________________________，
sin(α－β)＝_____________________________________________.
(3)两角和与差的正切
tan(α＋β)＝_____________________________________________，
tan(α－β)＝_____________________________________________.
(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π2，k∈Z)
其变形为：
tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，
tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．
2．辅助角公式
asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，
其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝ba，角φ称为辅助角．
自我检测
1．(2010福建)计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于()
A.12B.33C.22D.32
2．已知cosα－π6＋sinα＝435，则sinα＋7π6的值是()
A．－235B.235C．－45D.45
3．函数f(x)＝sin2x－cos2x的最小正周期是()
A.π2B．πC．2πD．4π
4．(2011台州月考)设0≤α2π，若sinα3cosα，则α的取值范围是()
A.π3，π2B.π3，π
C.π3，4π3D.π3，3π2
5．(2011广州模拟)已知向量a＝(sinx，cosx)，向量b＝(1，3)，则|a＋b|的最大值为()
A．1B.3C．3D．9
探究点一给角求值问题(三角函数式的化简、求值)
例1求值：
(1)[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]2sin280°；
(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)．

变式迁移1求值：(1)2cos10°－sin20°sin70°；
(2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．

探究点二给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)
例2已知0βπ4α3π4，cosπ4－α＝35，
sin3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．

变式迁移2(2011广州模拟)已知tanπ4＋α＝2，tanβ＝12.
(1)求tanα的值；
(2)求sinα＋β－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosα＋β的值．

探究点三给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)
例3已知0απ2βπ，tanα2＝12，cos(β－α)＝210.
(1)求sinα的值；(2)求β的值．

变式迁移3(2011岳阳模拟)若sinA＝55，sinB＝1010，且A、B均为钝角，求A＋B的值．

转化与化归思想的应用
例(12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝255.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若－π2β0απ2，且sinβ＝－513，求sinα的值．
【答题模板】
解(1)∵|a－b|＝255，∴a2－2ab＋b2＝45.[2分]
又∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a2＝b2＝1，
ab＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，[4分]
故cos(α－β)＝a2＋b2－452＝2－452＝35.[6分]
(2)∵－π2β0απ2，∴0α－βπ.∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.[8分]
又∵sinβ＝－513，－π2β0，∴cosβ＝1213.[9分]
故sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ
＝45×1213＋35×－513＝3365.[12分]
【突破思维障碍】
本题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一个等式条件|a－b|＝255，必须从这个等式出发，利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第(1)问，在第(2)问中需要把未知角向已知角转化再利用角的范围来求，即将α变为(α－β)＋β.
【易错点剖析】
|a－b|平方逆用及两角差的余弦公式是易错点，把未知角转化成已知角并利用角的范围确定三角函数符号也是易错点．
1．转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换，角的变换，“1”的变换，和积变换，幂的升降变换等等．
2．变换则必须熟悉公式．分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件．
3．恒等变形前需已知式中角的差异，函数名称的差异，运算结构的差异，寻求联系，实现转化．
4．基本技巧：切割化弦，异名化同，异角化同或尽量减少名称、角数，化为同次幂，化为比例式，化为常数．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011佛山模拟)已知sinα＋π3＋sinα＝－435，则cosα＋2π3等于()
A．－45B．－35C.35D.45
2．已知cosα＋π6－sinα＝233，则sinα－7π6的值是()
A．－233B.233C．－23D.23
3．(2011宁波月考)已知向量a＝sinα＋π6，1，b＝(4,4cosα－3)，若a⊥b，则sinα＋4π3等于()
A．－34B．－14C.34D.14
4．函数y＝sinx＋cosx图象的一条对称轴方程是()
A．x＝5π4B．x＝3π4
C．x＝－π4D．x＝－π2
5．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则C的大小为()
A.π6B.56π
C.π6或56πD.π3或23π
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010重庆)如图，
图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等．设第i段弧所对的圆心角为αi(i＝1,2,3)，则cosα13cosα2＋α33－
sinα13sinα2＋α33＝________.
7．设sinα＝35π2απ，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)＝________.
8．(2011惠州月考)已知tanα、tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且α、β∈－π2，π2，则tan(α＋β)＝__________，α＋β的值为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(1)已知α∈0，π2，β∈π2，π且sin(α＋β)＝3365，cosβ＝－513.求sinα；
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．

10．(12分)(2010四川)(1)①证明两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－
sinαsinβ；②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
（2）已知△ABC的面积S=，AB→AC→＝3，且cosB＝35，求cosC.

11．(14分)(2011济南模拟)设函数f(x)＝ab，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，3sin2x)，x∈R.
(1)若函数f(x)＝1－3，且x∈－π3，π3，求x；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．

答案自主梳理
1．(1)cosαcosβ－sinαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ
(2)sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ
(3)tanα＋tanβ1－tanαtanβtanα－tanβ1＋tanαtanβ2.aa2＋b2ba2＋b2
自我检测
1．A2.C3.B4.C5.C
课堂活动区
例1解题导引在三角函数求值的问题中，要注意“三看”口诀，即(1)看角，把角尽量向特殊角或可计算的角转化，合理拆角，化异为同；(2)看名称，把算式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为弦，或把所有的弦都转化为切；(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式．如果满足则直接使用，如果不满足需转化一下角或转换一下名称，就可以使用．
解(1)原式
＝2sin50°＋sin10°1＋3sin10°cos10°2sin80°
＝2sin50°＋sin10°cos10°＋3sin10°cos10°2sin80°
＝2sin50°＋2sin10°12cos10°＋32sin10°cos10°2cos10°
＝2sin50°＋2sin10°sin40°cos10°2cos10°
＝2sin60°cos10°2cos10°＝22sin60°
＝22×32＝6.
(2)原式＝sin[(θ＋45°)＋30°]＋cos(θ＋45°)－3cos[(θ＋45°)－30°]
＝32sin(θ＋45°)＋12cos(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)－32cos(θ＋45°)－32sin(θ＋45°)＝0.
变式迁移1解(1)原式＝2cos30°－20°－sin20°sin70°
＝3cos20°＋sin20°－sin20°sin70°＝3cos20°sin70°＝3.
(2)原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)tan(π6＋θ)]＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝3.
例2解题导引对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分类讨论．应注意公式的灵活运用，掌握其结构特征，还要学会拆角、拼角等技巧．
解cosπ4－α＝sinπ4＋α＝35，
∵0βπ4α3π4，
∴π2π4＋απ，3π43π4＋βπ.
∴cosπ4＋α＝－1－sin2π4＋α＝－45，
cos3π4＋β＝－1－sin23π4＋β＝－1213.
∴sin[π＋(α＋β)]＝sinπ4＋α＋3π4＋β
＝sinπ4＋αcos3π4＋β＋cosπ4＋αsin3π4＋β
＝35×－1213－45×513＝－5665.
∴sin(α＋β)＝5665.
变式迁移2解(1)由tanπ4＋α＝2，得1＋tanα1－tanα＝2，
即1＋tanα＝2－2tanα，∴tanα＝13.
(2)sinα＋β－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosα＋β
＝sinαcosβ＋cosαsinβ－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ
＝－sinαcosβ－cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ＝－sinα－βcosα－β
＝－tan(α－β)＝－tanα－tanβ1＋tanαtanβ
＝－13－121＋13×12＝17.
例3解题导引(1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好．
(2)解这类问题的一般步骤：
①求角的某一个三角函数值；
②确定角的范围；
③根据角的范围写出所求的角．
解(1)∵tanα2＝12，
∴sinα＝sin2α2＝2sinα2cosα2
＝2sinα2cosα2sin2α2＋cos2α2＝2tanα21＋tan2α2＝2×121＋122＝45.
(2)∵0απ2，sinα＝45，∴cosα＝35.
又0απ2βπ，∴0β－απ.
由cos(β－α)＝210，得sin(β－α)＝7210.
∴sinβ＝sin[(β－α)＋α]
＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα
＝7210×35＋210×45＝25250＝22.
由π2βπ得β＝34π.
(或求cosβ＝－22，得β＝34π)
变式迁移3解∵A、B均为钝角且sinA＝55，sinB＝1010，
∴cosA＝－1－sin2A＝－25＝－255，
cosB＝－1－sin2B＝－310＝－31010.
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB
＝－255×－31010－55×1010＝22.①
又∵π2Aπ，π2Bπ，
∴πA＋B2π.②
由①②，知A＋B＝7π4.
课后练习区
1．D2.D3.B4.A5.A
6．－127.－2118.3－23π
9．解(1)∵β∈π2，π，cosβ＝－513，
∴sinβ＝1213.…………………………………………………………………………(2分)
又∵0απ2，π2βπ，
∴π2α＋β3π2，又sin(α＋β)＝3365，
∴cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β
＝－1－33652＝－5665，…………………………………………………………(4分)
∴sinα＝sin[(α＋β)－β]
＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ
＝3365－513－－56651213＝35.…………………………………………………………(6分)
(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]
＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝13，……………………………………………………(8分)
∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝tanα＋tanα－β1－tanαtanα－β＝13＋121－13×12＝1.……………………………………………………(10分)
∵α，β∈(0，π)，tanα＝131，tanβ＝－170，
∴0απ4，π2βπ，
∴－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.……………………………………………………(12分)
10．(1)
①证明如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4.
则P1(1,0)，P2(cosα，sinα)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))，
…………………………………………………………………………………………(2分)
由|P1P3|＝|P2P4|及两点间的距离公式，
得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)
＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2，
展开并整理得：
2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………………………………………(4分)
②解由①易得，cosπ2－α＝sinα，
sinπ2－α＝cosα.
sin(α＋β)＝cosπ2－α＋β
＝cosπ2－α＋－β
＝cosπ2－αcos(－β)－sinπ2－αsin(－β)
＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.……………………………………………………(7分)
(2)解由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c.
则S＝12bcsinA＝12，
AB→AC→＝bccosA＝30，
∴A∈0，π2，cosA＝3sinA，……………………………………………………………(9分)
又sin2A＋cos2A＝1，
∴sinA＝1010，cosA＝31010，
由cosB＝35，得sinB＝45.
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝1010.
……………………………………………………………………………………………(11分)
故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－1010.
……………………………………………………………………………………………(12分)
11．解(1)依题设得f(x)＝2cos2x＋3sin2x
＝1＋cos2x＋3sin2x＝2sin2x＋π6＋1.
由2sin2x＋π6＋1＝1－3，
得sin2x＋π6＝－32.……………………………………………………………………(3分)
∵－π3≤x≤π3，∴－π2≤2x＋π6≤5π6.
∴2x＋π6＝－π3，即x＝－π4.………………………………………………………………(6分)
(2)－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ(k∈Z)，
即－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ(k∈Z)，
得函数单调增区间为－π3＋kπ，π6＋kπ(k∈Z)．……………………………………(10分)
列表：
x0π6
π3
π2
2π3
5π6
π
y2320－102
描点连线，得函数图象如图所示：
…………………………………………………………………………………………(14分)