高一数学圆与方程。

作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，帮助高中教师更好的完成实现教学目标。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？下面是小编精心为您整理的“高一数学圆与方程”，相信您能找到对自己有用的内容。

第二章圆与方程小结与复习
一、教材分析：本章在第二章“直线与方程”的基础上，在直角坐标系中建立圆的方程，并通过圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位置关系。在直角坐标系中建立几何对象的方程，并通过方程研究几何对象，这是研究几何问题的重要方法，通过坐标系把点与坐标、曲线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合。坐标法是贯穿本章的灵魂，在教学中要让学生充分的感受体验。
二、教学目标：1．了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题；掌握圆的标准方程和一般方程，加深对圆的方程的认识。2．能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能用直线与圆的方程解决一些简单问题。3．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会用空间两点间的距离公式。4．通过本节的复习，使学生形成系统的知识结构，掌握几种重要的数学思想方法，形成一定的分析问题和解决问题的能力。
三、教学重点：解析几何解题的基本思路和解题方法的形成。
教学难点：整理形成本章的知识系统和网络。
四、教学过程：
（一）．知识要点：学生阅读教材的小结部分．
（二）．典例解析：
1．例1。(1)求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程;
(2)求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB外接圆的方程
解：(1)设圆心P(x0,y0),则有,
解得x0=4,y0=5,∴半径r=,∴所求圆的方程为(x─4)2+(y─5)2=10
(2)采用一般式,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将三个已知点的坐标代入列方程组解得：D=─2,E=─4,F=0
点评：第(1),(2)两小题根据情况选择了不同形式
2．例2。设A（－c，0）、B（c，0）（c0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a0），求P点的轨迹
分析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题
解：设动点P的坐标为（x，y），由=a（a0）得=a，
化简，得（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0
当a=1时，方程化为x=0当a≠1时，方程化为=
所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；当a≠1时，点P的轨迹是以点（c，0）为圆心，||为半径的圆
点评：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求同时也考查了分类讨论这一数学思想
3．例3。已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程
分析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？
解：取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系
设动圆圆心为M（x，y），⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与l切于点C，则|MA|=|MC|
∵AB为⊙O的直径，∴MO垂直平分AB于O

由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，而|MC|=|y+3|，∴=|y+3|
化简得x2=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程
点评：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”
4．例4。已知圆C的圆心在直线x─y─4=0上,并且通过两圆C1:x2+y2─4x─3=0和C2:x2+y2─4y─3=0的交点,(1)求圆C的方程;(2)求两圆C1和C2相交弦的方程
解：(1)因为所求的圆过两已知圆的交点,故设此圆的方程为：x2+y2─4x─3+λ(x2+y2─4y─3)=0,
即(1+λ)(x2+y2)─4x─4λy─3λ─3=0,即=0,
圆心为(,),由于圆心在直线x─y─4=0上,∴──4=0,解得λ=─1/3
所求圆的方程为：x2+y2─6x+2y─3=0(2)将圆C1和圆C2的方程相减得：x+y=0,此即相交弦的方程
点评：学会利用圆系的方程解题
5．例5。求圆关于直线的对称圆方程
解：圆方程可化为,圆心O(-2,6),半径为1
设对称圆圆心为，则O‘与O关于直线对称，
因此有解得
∴所求圆的方程为
点评：圆的对称问题可以转化为点(圆心)的对称问题，由对称性质知对称圆半径相等
（三）．课堂小结：本章的知识点主要是实现由形到数的一种转变，所以在今后的学习中要把握关键，寻求规律，掌握方法，要时刻把握好直线于圆的综合问题、相交及交点等问题的应用以及直线于圆的实际应用。
（四）．作业：教材复习参考题
五、教后反思:

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高一数学下册《圆的方程》学案人教版

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高一数学下册《圆的方程》学案人教版

教学目标：

1、知识与技能目标:理解并掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程，能从圆的标准方程熟练地写出它的圆心坐标与半径。

2、过程与方法目标：通过对圆的标准方程的推导及应用，渗透数形结合、待定系数法等数学思想方法，提高学生的观察、比较、分析、概括等思维能力。

3、情感与价值观目标：通过学生主动参与圆的相关知识的探讨和几何画板在解与圆有关问题中的应用，激发学生数学学习的兴趣，培养学生的创新精神。

教学重点：

圆的标准方程的推导及应用。

教学难点：

利用圆的几何性质求圆的标准方程。

教学方法：

本节课采用“诱思探索”的教学方法，借助学生已有的知识引出新知;在概念的形成与深化过程中，以一系列的问题为主线，采用讨论式，引导学生主动探究，自己构建新知识;通过层层深入的例题配置，使学生思路逐步开阔，提高解决问题的能力。

同时借助多媒体，增强教学的直观性，有利于渗透数形结合的思想，同时增大课堂容量，提高课堂效率。

教学过程：

一、复习引入：

1、提问：初中平面几何学习的哪些图形?

初中平面几何中所学是两个方面的知识：直线形的和曲线形的。在曲线形方面学习的是圆，学习解析几何以来，已经讨论了直线方程，今天我们来研究最简单、最完美的曲线圆的方程。

2、提问：具有什么性质的点的轨迹是圆?

强调确定一个圆需要的的条件为：圆心与半径,它们分别确定了圆的位置与大小，

二、概念的形成：

1、让学生根据显示在屏幕上的圆自己探究圆的方程。

教师演示圆的形成过程，让学生自己探究圆的方程，教师巡视，加强对学生的个别指导，由学生讲解思路，根据学生的回答，教师展示学生的想法，将两种解法同时显示在屏幕上，方便学生对比。

学生通常会有两种解法：

解法1：(圆心不在坐标原点)设M(x,y)是一动点，点M在该圆上的充要条件是|CM|=r。由两点间的距离公式，得

=r。

两边平方，得

(x-a)2+(y-b)2=r2。

解法2：(圆心在坐标原点)设M(x,y)是一动点，点M在该圆上的充要条件是|CM|=r。由两点间的距离公式，得

=r

两边平方，得

x2+y2=r2

若学生只有一种做法，教师可引导学生建立不同的坐标系，有自己发现另一个方程。

2、圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2

当a=b=0时，方程为x2+y2=r2

三、概念深化：

归纳圆的标准方程的特点：

①圆的标准方程是一个二元二次方程;

②圆的标准方程由三个独立的条件a、b、r决定;

③圆的标准方程给出了圆心的坐标和半径。

四、应用举例：

练习1104页练习8-91、2(学生口答)

练习2说出方程(x+m)2+(y+n)2=a2的圆心与半径。

例1、根据下列条件，求圆的方程：

(1)圆心在点C(-2,1)，并且过点A(2，-2);

(2)圆心在点C(1,3),并且与直线3x-4y–6=0相切;

(3)过点A(2,3),B(4,9),以线段AB为直径。

分析探求：让学生说出如何作出这些圆，教师用几何画板做图，帮助学生理清解题思路，由学生自己解答，并通过几何画板来验证。

例2、求过点A(0,1),B(2,1)且半径为的圆的方程。

分析探求：鼓励学生一题多解，先让学生自己求解，再相互讨论、交流、补充，最后教师将学生的想法用多媒体进行展示。

思路一：利用待定系数法设方程为(x-a)2+(y-b)2=5，将两点坐标代入，列方程组，求得a,b,再代入圆的方程。

思路二：利用圆心在圆上两点的垂直平分线上这一性质，利用待定系数法设方程为(x-1)2+(y-b)2=5，将一点坐标代入，列方程，求得b,再代入圆的方程。

思路三：画出圆的图形，利用直角三角形，直接求圆心坐标。

由例1、例2总结求圆的标准方程的方法。

五、反馈练习：

104页练习8-93(要求学生限时完成)

六、归纳总结：

学生小结并相互补充，师生共同整理完善。

1、圆的标准方程的推导;

2、圆的标准方程的形式;

3、求圆的方程的方法;

4、数学思想。

七、课后作业：（略）

高一数学圆的一般方程042

圆的一般方程
三维目标：
知识与技能：(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．
(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。
(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
过程与方法：通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。
教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．
教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
课题引入：
问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。
利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。
探索研究：
请同学们写出圆的标准方程：
(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．
把圆的标准方程展开，并整理：
x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．
取得
①
这个方程是圆的方程．
反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？
把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得
②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？
(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示（1）当时，表示以（-，-）为圆心,为半径的圆；
（2）当时，方程只有实数解，，即只表示一个点（-，-）;
（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形
综上所述，方程表示的曲线不一定是圆
只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程
我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．
②没有xy这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
知识应用与解题研究：
例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。
学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于来说，这里的
.
例2：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程
解：设所求的圆的方程为：
∵在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，
即
解此方程组，可得：
∴所求圆的方程为：
；
得圆心坐标为（4，-3）.
或将左边配方化为圆的标准方程，,从而求出圆的半径，圆心坐标为(4,-3)
学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：
①、根据提议，选择标准方程或一般方程；
②、根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；
③、解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。
例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。
解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是①
上运动，所以点A的坐标满足方程,即
②
把①代入②，得
课堂练习：
小结：
1．对方程的讨论(什么时候可以表示圆)
2．与标准方程的互化
3．用待定系数法求圆的方程
4．求与圆有关的点的轨迹。
课后作业：

高一数学圆的一般方程043

4.1.2圆的一般方程
三维目标：
知识与技能：(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．
(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。
(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
过程与方法：通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。
教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．
教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
课题引入：
问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。
利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。
探索研究：
请同学们写出圆的标准方程：
(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．
把圆的标准方程展开，并整理：
x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．
取得
①
这个方程是圆的方程．
反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？
把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得
②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？
(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示（1）当时，表示以（-，-）为圆心,为半径的圆；
（2）当时，方程只有实数解，，即只表示一个点（-，-）;
（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形
综上所述，方程表示的曲线不一定是圆
只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程
我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．
②没有xy这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
知识应用与解题研究：
例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。
学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于来说，这里的
.
例2：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程
解：设所求的圆的方程为：
∵在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，
即
解此方程组，可得：
∴所求圆的方程为：
；
得圆心坐标为（4，-3）.
或将左边配方化为圆的标准方程，,从而求出圆的半径，圆心坐标为(4,-3)
学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：
①、根据提议，选择标准方程或一般方程；
②、根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；
③、解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。
例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。
解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是①
上运动，所以点A的坐标满足方程,即
②
把①代入②，得
课堂练习：课堂练习第1、2、3题
小结：
1．对方程的讨论(什么时候可以表示圆)
2．与标准方程的互化
3．用待定系数法求圆的方程
4．求与圆有关的点的轨迹。
课后作业：习题4.1第2、3、6题

人教版高一数学下册《圆的方程》知识点复习

古人云，工欲善其事，必先利其器。作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，有效的提高课堂的教学效率。那么，你知道高中教案要怎么写呢？下面是小编精心为您整理的“人教版高一数学下册《圆的方程》知识点复习”，希望对您的工作和生活有所帮助。

人教版高一数学下册《圆的方程》知识点复习

圆的方程定义：

圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为(a，b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

直线和圆的位置关系：

1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系.

①Δ＞0,直线和圆相交.②Δ=0,直线和圆相切.③Δ＜0,直线和圆相离.

方法二是几何的观点,即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.

①d＜R,直线和圆相交.②d=R,直线和圆相切.③d＞R,直线和圆相离.

2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.

3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.

切线的性质

⑴圆心到切线的距离等于圆的半径；

⑵过切点的半径垂直于切线；

⑶经过圆心,与切线垂直的直线必经过切点；

⑷经过切点,与切线垂直的直线必经过圆心；

当一条直线满足

（1）过圆心；

（2）过切点；

（3）垂直于切线三个性质中的两个时,第三个性质也满足.

切线的判定定理

经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

切线长定理

从圆外一点作圆的两条切线,两切线长相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．

圆锥曲线性质：

一、圆锥曲线的定义

1.椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆.

2.双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线.即.

3.圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.当01时为双曲线.

二、圆锥曲线的方程

1.椭圆：+=1（ab0）或+=1（ab0）（其中,a2=b2+c2）

2.双曲线：-=1（a0,b0）或-=1（a0,b0）（其中,c2=a2+b2）

3.抛物线：y2=±2px（p0）,x2=±2py（p0）

三、圆锥曲线的性质

1.椭圆：+=1（ab0）

（1）范围：|x|≤a,|y|≤b（2）顶点：(±a,0),(0,±b)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(0,1)（5）准线：x=±

2.双曲线：-=1（a0,b0）（1）范围：|x|≥a,y∈R（2）顶点：(±a,0)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(1,+∞)（5）准线：x=±（6）渐近线：y=±x

3.抛物线：y2=2px(p0)（1）范围：x≥0,y∈R（2）顶点：（0,0）（3）焦点：（,0）（4）离心率：e=1（5）准线：x=-