圆、扇形、弓形的面积(二)。

教案课件是老师不可缺少的课件，大家应该开始写教案课件了。只有写好教案课件计划，才能够使以后的工作更有目标性！你们知道哪些教案课件的范文呢？下面是小编为大家整理的“圆、扇形、弓形的面积(二)”，希望对您的工作和生活有所帮助。

教学目标：

1、使学生在复习巩固圆面积、扇形面积的计算的基础上，会计算弓形面积；

2、会计算一些简单的组合图形的面积．

3、通过弓形面积的计算培养学生观察、理解能力，综合运用知识分析问题和解决问题的能力；

4、通过运用弓形面积的计算解决实际问题，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力；

5、通过学生对弓形及简单组合图形面积的计算，培养学生正确迅速的运算能力．

教学重点：

弓形面积的计算．

教学难点：

(1)简单组合图形的分解．

(2)从实际问题中抽象出数学模型．

教学过程：

一、新课引入：

上一节我们复习了圆的面积，在它的基础上我们学习了扇形的面积，本节课就要在前一课的基础上学习弓形面积的计算．

弓形是一个最简单的组合图形之一，由于有圆的面积、扇形面积、三角形面积做基础，很容易计算弓形的面积．

由于计算弓形的面积不像圆面积和扇形面积那样有公式，当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差；当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角的面积的和；当弓形弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半．也就是说要计算弓形的面积首先要观察这个弓形是怎么组合而成的，从而得到启发；一些组合图形的面积总要分解为几个规则图形的和与差来解决的方法．所谓规则图形指的是有计算公式的图形．因此弓形面积的计算以及受它启发的分解组合图形求面积的方法就是本节课的重点．本节拟就三部分组成：1．师生共同观察分解弓形，然后作有关的练习．2．运用弓形面积的计算解决实际问题．3．受分解弓形的启发分解一些简单的图形．

二、新课讲解：

(复习提问)：1．请回答圆的面积公式．2．请回答扇形的面积公

(以上三问应安排中下生回答)4．请同学看图7-163，弦AB把圆分成两部分，这两部分都是弓形，哪位同学记得弓形的定义？(安排中下生回答：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．)

所组的弓形．它的面积能不能跟扇形面积联系上呢？(安排中上生回答：能，连结OA、OB)．大家再观察图形，这个弓形的面积如何通过扇形

也就是说组成弓形的弧如果是劣弧，那么它的面积应该等于以此劣弧与半径组成的扇形面积减去这两半径与弦组成的三角形的面积．

和半径OA、OB组成的图形是扇形吗？为什么？(安排中上生回答：是，因为它符合扇形的定义．)

如果弦AB是⊙O的直径，那么以AB为弦，半圆为弧的弓形的面积又是多少？(安排中下生回答：圆面积的一半．)

于是我们得出结论：如果组成弓形的弧是半圆，则此弓形面积是圆面积的一半；如果组成弓形的弧是劣弧则它的面积等于以此劣弧为弧的扇形面积减去三角形的面积；如果组成弓形的弧是优弧，则它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三角形的面积．也就是说：要计算弓形的面积，首先观察它的弧属于半圆？劣弧？优弧？只有对它分解正确才能保证计算结果的正确．

哪位同学知道要对这种题进行计算，首先要作什么工作？(安排中下

三角形AOB的面积怎么求？(安排中上生回答：过O作OD⊥AB，垂

以只要解此△AOD即可求出OD、AD的长，则S△AOB可求．)

请同学们把这题计算出来．(安排一学生上黑板做，其余在练习本上

请同学们讨论研究第2题，并计算出它的结果．(安排中上生上黑板

(幻灯提供例题：)水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m．求截面上有水的弓形的面积．(精确到0.01m2)

“水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m”为你提供了什么数学信息？(安排中上生回答：⊙O的半径是0.6m．)“其中水面高是0.3m”．又为你提供了什么信息？(安排中上生回答：弓形高CD是0.3m．)“求截面上有水的弓形的面积为你提供什么信息？(安排中等生回答：

长，看看已知条件，你打算怎么办？(安排中上学生回答：因弓形高CD已知，半径已知，所以弦心距OD可求，根据垂径定理，Rt△AOD可解，即∠AOD的度数可求，所以∠AOB的度数可求．n既然可求当然

请问△AOB的面积又该如何求？(安排中等学生回答：通过解此△AOD可求出AD的长，再据垂径定理可求AB的长，OD已求，所以S△AOB可求．)

请同学们完成这道应用题．(安排一位中上学生到黑板做，其余学生在练习本上完成)．

弓形面积虽然没有计算公式，但可以选用图形分解法，将它转化为扇形与三角形的和或差来解决，那么其它一些组合图形，不也可以用图形分解法来求其面积吗？

幻灯示题：如图7-166，已知正△ABC的边长为a，分别以A、B、

图形面积S．

显然图形中阴影部分的面积无计算公式，因此必须将它转化为有公式图形的和或差来解决．想想看，你打算如何求S阴？(安排中等生回答：S阴=S正△ABC-3S扇)

正三角形的边长为a，显然S正△ABC可求．由于正△ABC，所以∠

请同学们完成此题．(安排一中上学生上黑板，其余在练习本上完成)．

幻灯示题：已知：⊙O的半径为R，直径AB⊥CD，以B为圆心，

大家观察，图(7-167)中的阴影部分面积应当如何求？(安排中下生回

我的看法对还是不对？为什么？(安排举手的学生回答：图形BCAD不是扇形，因为扇形的定义是在同一个圆中，一条弧和过弧端点的两条半径

的半径．因此将阴影面积看成两扇形的差是错误的．)

请同学们按照正确思路完成此题．(安排一中等学生上黑板，其余学生在练习本上做)

三、课堂小结：

哪位同学能为本节课作总结？(安排中上学生回答：1．弓形面积的计算：首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧，从而选择分解方案．2．应用弓形面积解决实际问题．3．分解简单组合图形为规则圆形的和与差．)

四、布置作业

教材P．183练习1、2；P．188中12．

相关知识

圆、扇形、弓形的面积(三)

老师会对课本中的主要教学内容整理到教案课件中，大家应该开始写教案课件了。我们制定教案课件工作计划，才能对工作更加有帮助！你们会写多少教案课件范文呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“圆、扇形、弓形的面积(三)”，仅供您在工作和学习中参考。

教学目标：

1、简单组合图形的分解；

3、通过简单组合图形的分解，培养学生的观察能力、发散思维能力和综合运用知识分析问题、解决问题的能力．

4、通过对S△与S扇形关系的探讨，进一步研究正多边形与圆的关系，培养学生抽象思维能力和归纳概括能力．

教学重点：

简单组合图形的分解．

教学难点：

正确分解简单的组合图形．

教学过程：

一、新课引入：

上节课学习了弓形面积的计算，并且从中获得了简单组合图形面积的计算可转化为规则图形的和与差来解决的方法．今天我们继续学习“7．20圆、扇形、弓形的面积(三)”，巩固化简单组合图形为规则图形和与差的方法．

学生在学习弓形面积计算的基础上，获得了通过分解简单组合图形，计算其面积的方法．但要正确分解图形，还需一定题量的练习，所以本堂课为学生提供练习题让学生们互相切磋、探讨．通过正多边形的有关计算的复习进一步理解正多边形与圆的关系，随着正多边形边数增加，周长越来越趋向于圆的周长，面积越来越趋向于圆的面积，使学生初步体会极限的思想，了解S△与S扇形之间的关系．

二、新课讲解：

(复习提问)：1．圆面积公式是什么？2．扇形面积公式是什么？如何选择公式？3．当弓形的弧是半圆时，其面积等于什么？4．当弓形的弧是劣弧时，其面积怎样求？5．当弓形的弧是优弧时，其面积怎样求？(以上各题均安排中下生回答．)

(幻灯显示题目)：如图7-168，已知⊙O上任意一点C为圆心，以R

从题目中可知⊙O的半径为R，“以⊙O上任意一点C为圆心，以R为半径作弧与⊙O相交于A、B．”为我们提供的数学信息是什么？(安排中上生回答：A、B到O、C的距离相等，都等于OC等于R．)

转化为弓形面积求呢？若能，辅助线应怎样引？(安排中等生回答：能，连结AB．)

大家观察图形不难发现我们所求图形实质是两个弓形的组合，即

倍？(安排中下生回答：因已知OA=OC=AC所以△OAC是等边三角

同学们讨论研究一下，S△AOB又该如何求呢？(安排中上等生回答：求S△AOB，需知AB的长和高的长，所以设OC与AB交点为D．∵∠AOC=60°，OA=R∴解Rt△AOD就能求出AB与高OD．)连结OC交AB于D怎么就知OD⊥AB？(安排中等生回答：根据垂径定理∵C是AB中点．)

同学们互相研究看，此题还有什么方法？

下面给出另外两种方法，供参考：

幻灯展示题目：正方形的边长为a，以各边为直径，在正方形内画半圆，求所围成的图形(阴影部分)的面积．

请同学们仔细观察图形，思考如何分解这个组合图形．同学间互相讨论、研究、交流看法：

现将学生可能提出的几种方案列出，供参考：

方案1．S阴=S正方形-4S空白．观察图形不难看出SⅡ+SⅣ=S正方形-

方案2．观察图形，由于正方形ABCD∴∠AOB=90°，由正方形的轴对称性可知阴影部分被分成八部分．观察发现半圆AOB的面积-△

即可．即S阴=4S瓣而S瓣=S半⊙-S△AOB∴S阴=4．(S半⊙-S△AOB)=2S⊙-4S△AOB=2S⊙-S正方形．

方案4．观察扇形EAO，一瓣等于2个弓形，一个S弓形=S扇OA-

方案5．观察Rt△ABC部分．用半圆BOC与半圆AOB去盖Rt△ABC，发现这两个半圆的和比Rt△ABC大，大出一个花瓣和两个弓形，而这两个弓形的和就又是一个瓣．因此有2个S瓣=2个S半圆-SRt△ABC=

方案6．用四个半圆盖正方形，发现其和比正方形大，大的部分恰是S即：

在学生们充分讨论交流之后，要求学生仔细回味展示出来的不同解法．尤其要琢磨这些解法是怎样观察、思考的．

幻灯展示练习题：1．如图7-176，已知正△ABC的半径为R，则它的外接圆周长是____；内切圆周长是____；它的外接圆面积是____；

2．如图7-177，已知正方形ABCD的半径R，则它的外接圆周长是____；内切圆周长是____；它的外接圆面积是____；它的内切圆面积

3．如图7-178，已知正六边形ABCDEF的半径R，则它的外接圆的周长是____；内切圆周长是____；它的外接圆

将上面三片复合到一起．如图7-179，让学生观察，随着正多边形边数的增加，周长和面积有什么变化？(安排中等学生回答：随着正多边形边数的增加，周长越来越接近圆的周长，面积越来越接近圆的面积．)正因为如此，所以古代人用增加正多边形边数的方法研究圆周率π，研究圆的周长与圆的面积的计算．

大家再观察，随着正多边形边数的增加，边长越来越接近于弧，再看正多边形的边心距越来越接近于圆的半径，所以以边长为底，边心距

三、课堂小结：

安排学生归纳所学知识内容：1．简单组合图形的分解；2．复习了正多边形的计算以及以此为例，复习了圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、弓形面积的计算．进一步理解了正多边形和圆的关系定理．

四、布置作业

教材P185．练习1、2、3；P．187中8、11．

《圆、扇形、弓形》学案

《圆、扇形、弓形》学案

教学目标：

1、在复习巩固圆面积、扇形面积的计算的基础上，会计算弓形面积；

2、培养学生观察、理解能力，综合运用知识分析问题和解决问题的能力；

3、通过面积问题实际应用题的解决，向学生渗透理论联系实际的观点．

教学重点：扇形面积公式的导出及应用．

教学难点：对图形的分解和组合、实际问题数学模型的建立．

教学活动设计：

（一）概念与认识

弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．

弦AB把圆分成两部分，这两部分都是弓形．弓形是一个最简单的组合图形之一．

（二）弓形的面积

提出问题：怎样求弓形的面积呢？

学生以小组的形式研究，交流归纳出结论：

（1）当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差；

（2）当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角的面积的和；

（3）当弓形弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半．

理解：如果组成弓形的弧是半圆，则此弓形面积是圆面积的一半；如果组成弓形的弧是劣弧则它的面积等于以此劣弧为弧的扇形面积减去三角形的面积；如果组成弓形的弧是优弧，则它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三角形的面积．也就是说：要计算弓形的面积，首先观察它的弧属于半圆？劣弧？优弧？只有对它分解正确才能保证计算结果的正确．

（三）应用与反思

练习：

(1)如果弓形的弧所对的圆心角为60°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_______；

(2)如果弓形的弧所对的圆心角为300°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_______．

（学生独立完成，巩固新知识）

例3、水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m．求截面上有水的弓形的面积．(精确到0.01m2)

教师引导学生并渗透数学建模思想，分析：

（1）“水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m”为你提供了什么数学信息？

（2）求截面上有水的弓形的面积为你提供什么信息？

（3）扇形、三角形、弓形是什么关系，选择什么公式计算？

学生完成解题过程，并归纳三角形OAB的面积的求解方法．

反思：①要注重题目的信息，处理信息；②归纳三角形OAB的面积的求解方法，根据条件特征，灵活应用公式；③弓形的面积可以选用图形分解法，将它转化为扇形与三角形的和或差来解决．

例4、已知：⊙O的半径为R，直径AB⊥CD，以B为圆心，以BC为半径作．求与围成的新月牙形ACED的面积S．

解：∵，

有∵，

，，

∴．

组织学生反思解题方法：图形的分解与组合；公式的灵活应用．

（四）总结

1、弓形面积的计算：首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧，从而选择分解方案；

2、应用弓形面积解决实际问题；

3、分解简单组合图形为规则圆形的和与差．

（五）作业教材P183练习2；P188中12．

弧长和扇形的面积

弧长及扇形的面积

教学目标

(一)教学知识点

1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；

2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．

(二)能力训练要求

1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力．

2．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．

(三)情感与价值观要求

1．经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

2．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力．

教学重点

1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程．

2．了解弧长及扇形面积计算公式．

3．会用公式解决问题．

教学难点

1．探索弧长及扇形面积计算公式

2．用公式解决实际问题．

教学方法

学生互相交流探索法

教具准备

2．投影片四张

第一张：(记作§3．7A)

第二张：(记作§3．7B)

第三张：(记作§3．7C)

第四张：(记作§3．7D)

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索．

Ⅱ．新课讲解

一、复习

1．圆的周长如何计算？

2．圆的面积如何计算？

3．圆的圆心角是多少度？

[生]若圆的半径为r，则周长l＝2πr，面积S＝πr2，圆的圆心角是360°．

二、探索弧长的计算公式

投影片(§3．7A)

如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm．

(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？

(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？

(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？

[师]分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转1°，传送带上的物品A被传送圆周长的；转动轮转n°，传送带上的物品A被传送转1°时传送距离的n倍．

[生]解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送2π×10＝20πcm；

(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送cm；

(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送n×＝cm．

[师]根据上面的计算，你能猜想出在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗？请大家互相交流．

[生]根据刚才的讨论可知，360°的圆心角对应圆周长2πR，那么1°的圆心角对应的弧长为，n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍，即n×．

[师]表述得非常棒．

在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为：

l＝．

下面我们看弧长公式的运用．

三、例题讲解

投影片(§3．7B)

制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)．

分析：要求管道的展直长度，即求的长，根根弧长公式l＝可求得的长，其中n为圆心角，R为半径．

解：R＝40mm，n＝110．

∴的长＝πR＝×40π≈76.8mm．

因此，管道的展直长度约为76.8mm．

四、想一想

投影片(§3．7C)

在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．

(1)这只狗的最大活动区域有多大？

(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？

[师]请大家互相交流．

[生](1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9π；

(2)如图(2)，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积，1°的圆心角对应圆面积的，即×9π＝，n°的圆心角对应的圆面积为n×＝．

[师]请大家根据刚才的例题归纳总结扇形的面积公式．

[生]如果圆的半径为R，则圆的面积为πR2，1°的圆心角对应的扇形面积为，n°的圆心角对应的扇形面积为n．因此扇形面积的计算公式为S扇形＝πR2，其中R为扇形的半径，n为圆心角．

五、弧长与扇形面积的关系

[师]我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝πR，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝πR2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n．半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗？请大家互相交流．

[生]∵l＝πR，S扇形＝πR2，

∴πR2＝RπR．∴S扇形＝lR．

六、扇形面积的应用

投影片(§3．7D)

扇形AOB的半径为12cm，∠AOB＝120°，求的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2)

分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径R和圆心角n即可，本题中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了．

解：的长＝π×12≈25.1cm．

S扇形＝π×122≈150.7cm2．

因此，的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7cm2．

Ⅲ．课堂练习

随堂练习

Ⅳ．课时小结

本节课学习了如下内容：

1．探索弧长的计算公式l＝πR，并运用公式进行计算；

2．探索扇形的面积公式S＝πR2，并运用公式进行计算；

3．探索弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方．

Ⅴ．课后作业

习题3．10

Ⅵ．活动与探究

如图，两个同心圆被两条半径截得的的长为6πcm，的长为10πcm，又AC＝12cm，求阴影部分ABDC的面积．

分析：要求阴影部分的面积，需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差．根据扇形面积S＝lR，l已知，则需要求两个半径OC与OA，因为OC＝OA＋AC，AC已知，所以只要能求出OA即可．

解：设OA＝R，OC＝R＋12，∠O＝n°，根据已知条件有：

得．

∴3(R＋12)＝5R，∴R＝18．

∴OC＝18＋12＝30．

∴S＝S扇形COD－S扇形AOB＝×10π×30－×6π×18＝96πcm2．

所以阴影部分的面积为96πcm2．

板书设计

§3．7弧长及扇形的面积

一、1．复习圆的周长和面积计算公式；

2．探索弧长的计算公式；

3．例题讲解；

4．想一想；

5．弧长及扇形面积的关系；

6．扇形面积的应用．

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业