高中解三角形教案

解直角三形应用举例。

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相关知识

相似三角形的应用举例

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19.7相似三角形的应用

目的：利用相似三角形的性质解决实际问题．
中考基础知识
通过证明三角形相似
线段成比例

备考例题指导
例1．如图，P是△ABC的BC边上的一个动点，且四边形ADPE是平行四边形．
（1）求证：△DBP∽△EPC；
（2）当P点在什么位置时，SADPE=S△ABC，说明理由．
分析：
（1）证明两个三角形相似，常用方法是证明两个角对应相等，题目中有ADPE平行线角相等，命题得证．
（2）设=x，则=1-x，
ADPEDP∥AC，EP∥AB，
△BDP∽△BAC△CPE∽△CBA
∴=（）2=（1-x）2，=（）2=x2
∴=x2+（1-x）2．
∵SADPE=S△ABC，即=．
∴x2+（1-x）2=（转化为含x的方程）
x=，
∴=．
即P应为BC之中点．
例2．已知△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于D，且AD=m，BD=n，AC2：BC2=2：1，又关于x的方程x2-2（n-1）x+m2-12=0的两个实数根的差的平方小于192，求m，n为整数时，一次函数y=mx+n的解析式．
分析：这是一个几何、代数综合题，由条件发现，建立关于m，n的方程或不等式，求出m，n再写出一次函数．
抓条件：AC2：BC2=2：1做文章（转化到m，n上）．
双直角图形有相似形比例式（方程）
∠ACB=90°，CD⊥ABRt△BCD∽Rt△BAC
BC2=BDBA，同理有AC2=ADAB，
∴==m=2n①
抓条件：x1+x2=8（n-1），x1x2=4（m2-12）．
由（x1-x2）2192配方（x1+x2）2-4x1x2192．
64（n-1）2-16（m2-12）192，
4n2-m2-8n+40．②
①代入②n．
又由△≥0得4（n-1）2-4×（m2-12）≥0，
①代入上式得n≤2．③
由n，n≤2得n≤2．
∵n为整数，∴n=1，2．
∴m=2，4
∴y=2x+1，或y=4x+2．
遇根与系数关系题目则用韦达定理，但必须考虑△≥0．

备考巩固练习
1．如图，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．关于x的一元二次方程x2-2b（a+）x+（a+b）2=0的两根之和与两根之积相等，D为AB上一点，DE∥AC交BC于E，EF⊥AB，垂足是F．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若BF=6，FD=4，CE=CD，求CE的长．
2．某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上,种植花木如图1
（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后，共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用．
（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择种哪种花木，刚好用完后筹集的资金？（3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一个花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得△APD≌△BPC且S△APD=S△BPC，并说出你的理由．

3．（1）如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=b，CD=a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：
①当=1时，有EF=；②当=2时，有EF=；③当=3时，有EF=．当=k时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示DE的一般结论，并给出证明；
（2）现有一块直角梯形田地ABCD（如图2所示），其中AB∥CD，AD⊥AB，AB=310m，DC=120cm，AD=70m，若要将这块分割成两块，由两位农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等，请你给出具体分割方案．
答案:
1．（1）由x1+x2=x1x2
得2b（a+）=（a+b）2
2ab+c2=a2+b2+2ab
∴△ABC是直角三角形．
∴c2=a2+b2
（2）易证△EFD∽△EDB，
∴EF2=DFDB=40．设CE=x，则CD=x，
∴DE=（x）2-x2=40x=4．
2．（1）∵四边形ABCD是梯形（见图）．
∴AD∥BC，
∴∠MAD=∠MCB，∠MDA=∠MBC，
∴△AMD∽△CMB，∴=（）2=．
∵种植△AMD地带花带160元．
∴=2（m2）∴S△OMB=80（m2）
∴△BMC地带的花费为80×8=640（元）
（2）设△AMD的高为h1，△BMC的高为h2，梯形ABCD的高为h
∵S△AMD=×10h2=20∴h1=4
∵=∴h2=8
∴S梯形ABCD=（AD+BC）h=×30×12=180
∴S△AMB+S△DMC=180-20-80=80（m2）
∴160+160+80×12=1760（元）
又：160+640+80×10=1600（元）
∴应种值茉莉花刚好用完所筹集的资金．
（3）点P在AD、BC的中垂线上（如图），
此时，PA=PD，PB=PC．∵AB=DC
∴△APB≌△DPC．
设△APD的高为x，则△BPC高为（12-x），
∴S△APD=×10x=5x，
S△BPC=×20（12-x）=10（12-x）．
当S△APD=S△BPC即5x=10（12-x）=8．
∴当点P在AD、BC的中垂线上且与AD的距离为8cm时，S△APD=S△BPC．
3．解：（1）猜想得：EF=
证明：过点E作BC的平行线交AB于G，交CD的延长线于H．
∵AB∥CD，
∴△AGE∽△DHE，
∴．
又EF∥AB∥CD，
∴CH=EF=GB，∴DH=EF-a，AG=b-EF，
∴=k，可得EF=．
（2）在AD上取一点EF∥AB交BC于点F，
设=k，则EF=，DE=，
若S梯形DCFE=S梯形ABFE，则S梯形ABCD=2S梯形DCFE
∵梯形ABCD、DCEF为直角梯形
∴×70=2×（170+）×，
化简得12k2-7k-12=0，解得k1=，k2=-（舍去）
∴DP==40，所以只需在AD上取点E，使DE=40m，作EF∥AB（或EF⊥DA），即可将梯形分成两个直角梯形，且它们的面积相等．

解直角三角形的应用(3)导学案(新湘教版)

湘教版九年级上册数学导学案
4.4解直角三角形的应用（3）
【学习目标】
1.巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于触礁的问题．会利用方程帮助解直角三角形.
2.逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．
3.培养学生用数学的意识.
重点：理解触礁问题的实质.
难点：利用方程帮助解直角三角形.
【预习导学】
学生通过自主预习教材P128-P129完成下列各题（培养学生自主学习的良好习惯和能力）.
1.直角三角形中，五个元素之间的关系是什么？
2.在实际问题中，怎样用解直角三角形的知识来解决问题？
用锐角三角函数解决实际问题要注意些什么？
【探究展示】
(一)合作探究
如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东600方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东300方向上.已知在灯塔C的四周30km内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全？

学法指导：要判断船有没有触礁的危险，就是看船距灯塔的最近的距离与30km相比较的结果.若最近的距离超过30km，则船是安全的，若最近的距离小于或等于30km，则船有触礁的危险.船距灯塔的最近的距离即过点C向航线AB作垂线CD，所以先得求出CD的长.
但CD在RtACD中不能直接求出，而且在RtBCD中也不能直接求出，怎么办？
解：作CD⊥AB，交AB延长线于点D，设CD=.
在RtACD中，因为tan∠CAD=，
所以AD=
同理，在RtBCD中，BD=，
因为AB=AD-BD
所以
解得=
又因为30，所以
(二)展示提升
某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告：A船说B船在它的正东方向，C船在它的北偏东550方向；B船说C船在它的北偏西350方向；C船说它到A船的距离比它到B船的距离远40km.求A，B两船的距离（结果精确到0.1km）.

【知识梳理】
本节课我们学到了什么?
在一个直角三角形中，要求的边不能直接用锐角三角函数求出时，可以利用方程。

【当堂检测】
如图，塔AD的高度为30m，塔的底部D与桥BC位于同一水平直线上，由塔顶A测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为600和300.求BD.BC的长（结果精确到0.01m）

【学后反思】
通过本节课的学习，
1.你学到了什么？
2.你还有什么样的困惑？
3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？

解直角三角形的应用(1)导学案(新湘教版)

湘教版九年级上册数学导学案
4.4解直角三角形的应用（1）
【学习目标】
1.使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
2.逐步培养学生分析问题.解决问题的能力.
3.渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识.
重点：善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
难点：根据实际问题构造合适的直角三角形.
【预习导学】
在RtABC中，∠C=900
1.若∠A=600，b=，求a.
2.若∠B=350，c=8，用计算器求a的值（结果精确到0.1）
【探究展示】
(一)合作探究
某探险者某天到达点A处时，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离（图见课本125页的图4-15）.你能帮他想出一个可行的办法吗？
探究讨论：
先把图4-15抽象，并构造出直角三角形.
如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，过点A作AC⊥BD即可以构造出直角三角形.
在RtABC中，AC表示A处离B处的水平距离，要求AC，只需测出仰角∠BAC和A.B的相对高度AC即可.
如果测得点A的海拔AE=1600m，仰角∠BAC=400，求A.B两点之间的水平距离AC（结果保留整数）.
学生上台展示因为BD=，AE=，AC⊥BD，BAC=400，
所以BC=
在RtABC中，tan∠BAC=
AC=
(二)展示提升
1.在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为250，仪器距地面高AE为1.7m，求上海东方明珠塔的高度BD（结果精确到1m）.

2.某厂家新开发的一种电动车的大灯A射出的光线AB.AC与地面MN所成的夹角∠ABN.∠ACN分别为80和150，大灯A与地面的距离为1m，求该车大灯照亮地面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1m）.

【知识梳理】
求某些不便直接测量的物体的高或距离时，可以根据实际问题构造直角三角形，再利用解直角三角形的方法来求.
解直角三角形的应用题一般步骤：
（1）。
（2）。
（3）。
（4）。

【当堂检测】
1.一艘游船在离开码头A后，以和河岸成300角的方向行驶了500m到达B处，求B处与河岸的距离BC.

2.有一段斜坡BC长为10m，坡角∠CBD=120，为方便残疾人的轮椅通行，现准备把坡角降为50.
求坡高CD（结果精确到0.1m）；
求斜坡新起点A与原起点B的距离（结果精确到0.1m）.

【学后反思】
1.你学到了什么？
2.你还有什么样的困惑？
3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需加油？